Teoremi del generatore equivalente, di non

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Teoremi del generatore equivalente, di non
Lezione 12 – Teoremi del generatore equivalente, di non amplificazione e di reciprocità
Lezione n.12
Teoremi del generatore equivalente, di non
amplificazione e di reciprocità
1.
2.
3.
4.
Teorema del generatore equivalente di tensione (Teorema di Thévenin)
e di corrente (Teorema di Norton)
1.1 Esercizio (Thevenin)
1.2 Esercizio (Norton)
Teoremi di non amplificazione delle tensioni e delle correnti
Teoremi di reciprocità
3.1 I forma
3.2 II forma
3.3 III forma
Una lezione aggiuntiva sul T. del generatore equivalente
In questa lezione introduciamo tre teoremi molto importanti.
L’importanza risiede nel fatto che essi descrivono delle proprietà che
caratterizzano il comportamento dei circuiti e, allo stesso tempo,
introducono degli efficaci strumenti di analisi.
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Lezione 12 – Teoremi del generatore equivalente, di non amplificazione e di reciprocità
1. Teorema del generatore equivalente di tensione (Teorema di Thevenin) e di
corrente (Teorema di Norton)
Vale per un qualsiasi sottocircuito dinamico purché lineare e tempo invariante. Noi lo
introduciamo considerando un sottocircuito costituito unicamente da generatori ideali
e resistori. Vedremo poi nel seguito come quanto trovato in questo caso si estende ad
un sottocircuito avente anche condensatori e induttori.
Serve a semplificare un sottocircuito presente in un circuito.
Il teorema del generatore equivalente fornisce uno “strumento” che può essere
utilizzato per semplificare l’analisi di un circuito. Infatti consiste nel sostituire ad una
sottocircuito un circuito molto semplice ad esso equivalente. In generale il
sottocircuito di partenza può essere costituito da resistori, condensatori, induttori e
generatori. Tuttavia, per introdurre il teorema, considereremo sottocircuiti costituiti
da soli resistori e generatori. Una volta compreso, in questo caso semplice, come si
procede, sarà possibile estendere il teorema ai circuiti dinamici in regime sinusoidale
utilizzando il metodo dei fasori e, generalizzando ancora di più, ai circuiti dinamici in
generale usando le impedenze operatoriali (argomento che tratteremo nella lezione
n.17).
Sottoliniamo il fatto che questo importante teorema vale per circuiti lineari e tempo
invariante.
Consideriamo il circuito rappresentato in Fig.1. Questo è costituito da due
sottocircuiti collegati attraverso i morsetti A e B. Il circuito NR è costituito da soli
generatori ideali di tensione e corrente e da resistenze, viceversa il circuito NS può
essere un generico circuito dinamico. Quello che richiediamo è che il circuito NR
abbia come bipoli passivi unicamente delle resistenze.
NS
NR
i(t)
A
v(t)
B
Fig.1 _ Circuito nel quale vogliamo introdurre i circuiti equivalenti.
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Il valore della tensione v(t) e della corrente i(t) dipendono da entrambi i sottocircuiti
NR e NS. Ognuno dei due sottocircuiti imporrà ai morsetti A-B una relazione
caratteristica tensione-corrente e il valore della tensione v(t) e della corrente i(t) si
determina considerando simultaneamente le due relazioni caratteristiche. Il circuito
NR visto ai morsetti A-B avrà una sua caratteristica tensione-corrente, cioè una
relazione funzionale tra la tensione v(t) e la corrente i(t). Essendo i resistori nel
circuito NR lineari ci aspettiamo che la relazione funzionale tensione-corrente sia di
tipo “affine”, cioè:
v(t) = Req i (t) + g(t),
(1)
dove Req rappresenta un coefficiente avente le dimensioni, di una resistenza e
dipendente dalle resistenze presenti nel circuito e dove g (t ) rappresenta una funzione
dipendente dai generatori presenti nel circuito NR. Si tenga presente che sul
sottocircuito NR visto dai morsetti A-B abbiamo fatto la convenzione dell’utilizzatore
e quindi non dobbiamo meravigliarci del segno positivo considerato davanti alla
resistenza Req.
Poiché il nostro sottocircuito NR è statico (non ci sono elementi dinamici) e questo si
riscontra anche dalla caratteristica (1) possiamo sottintendere la dipendenza dal
tempo e procedere nel seguito con grandezze costanti (lettera maiuscola).
Cominciamo allora con il considerare la relazione (1) in un regime stazionario.
V = Req I + V0.
(2)
V
V0
Icc
I
Fig. 2 – Retta di carico del sottocircuito NS.
La relazione caratteristica (2) la possiamo rappresentare nel piano V-I attraverso la
sua curva caratteristica che in questo caso chiamiamo retta di carico. In Fig.2
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abbiamo rappresentato tale retta. Osserviamo che questa interseca gli assi in due punti
notevoli. Quando sostituiamo al circuito NS un corto circuito (vedi Fig.3) abbiamo
che la tensione V si annulla e la corrente I assume il valore Icc che rappresenta la
cosiddetta corrente di corto circuito; quando colleghiamo il circuito NS ad un
circuito aperto (vedi Fig. 4) abbiamo che la corrente I si annulla e che la tensione V
assume valore V0 che rappresenta la cosiddetta tensione a vuoto.
Req è la pendenza della retta di Fig.2. Questa resistenza rappresenta la resistenza
equivalente di NR vista ai morsetti A-B quando al suo interno sono stati spenti i
generatori. Diciamo che, non conoscendo la natura interna del circuito NR siamo in
grado di individuare la sua retta di carico se misuriamo la tensione a vuoto e la
corrente di corto circuito ai morsetti A-B, oppure se conosciamo la resistenza
equivalente del circuito e la tensione a vuoto o se, infine, conosciamo la resistenza
equivalente e la corrente di corto circuito. Lavorando sulla retta di carico o ponendo
V=0 nella (2) otteniamo la immediata relazione
Icc= - V0/Req.
(3)
Dalla (3) possiamo riscrivere la relazione caratteristica (2) come
V = Req (I -Icc).
(4)
E’ chiaro che ai morsetti A-B misuriamo una tensione a vuoto o una corrente di corto
circuito non nulle se in NR vi sono generatori.
NR
I=0
A
V0
B
Fig.3 – Tensione a vuoto ai morsetti A-B del circuito NR.
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NR
Icc
A
B
Fig.4 – Corrente di corto circuito ai morsetti A-B del circuito NR.
Il fatto che la caratteristica tensione-corrente del sottocircuito NR ha l’espressione (2)
o (4) suggerisce di “costruire” un circuito semplice (perché semplice è la
caratteristica!) che “simuli” il comportamento di NR realizzando la sua stessa
caratteristica (2).
Il teorema del generatore equivalente asserisce che esistono due circuiti equivalenti
ad NR che realizzano questo proposito. Abbiamo rappresentato in Fig.5 e in Fig.6
rispettivamente il circuito equivalente secondo Thévenin e il circuito equivalente
secondo Norton. Si tratta nei due casi rispettivamente di un generatore reale di
tensione e di un generatore reale di corrente. Entrambi hanno per resistenza la
resistenza equivalente Req. Nel primo caso il generatore ideale di tensione eroga una
tensione pari alla tensione a vuoto V0; mentre nel secondo caso il generatore ideale di
corrente eroga una corrente pari alla corrente di corto circuito Icc. Si osservi come
sono stati scelti il verso della tensione del generatore di Fig. 5 e il verso della corrente
del generatore di Fig.6.
Vedremo poi che questi due circuiti sono (ovviamente!) anch’essi tra di loro
equivalenti.
VR
I
A
Req
V
V0
B
Fig.5 – Circuito equivalente secondo Thevenin.
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I
I
A
IR
Req
V
Icc
B
II
Fig.6 – Circuito equivalente secondo Norton.
Per convincerci di quanto afferma il teorema, cominciamo con il calcolare la
relazione caratteristica tensione V- corrente I vista ai morsetti A-B dei semplici
circuiti rappresentati in Fig.5 e in Fig.6.
Cominciamo dal circuito equivalente secondo Thévenin. Applicando la seconda legge
di Kirchhoff all’unica maglia del circuito di Fig.5 si ha:
V0 + VR – V = 0.
(5)
Sostituendo la relazione caratteristica del resistore VR = Req I si ha
V= Req I + V0.
(6)
E quindi abbiamo visto che il circuito di Fig.5 realizza la caratteristica (2).
Consideriamo il circuito equivalente secondo Norton di Fig.6. Applicando la I legge
di Kirchhoff al nodo I si ha:
I - Icc - IR = 0.
(7)
Sostituendo poi la relazione caratteristica IR = V/Req del resistore si ha
V= Req I - Req Icc.
(8)
E quindi abbiamo dimostrato che il circuito di Fig.6 realizza la caratteristica (4).
Le relazioni (6) e (8) bastano a dimostrare il teorema. Nel primo caso, infatti, basterà
scegliere il generatore di tensione di valore pari alla tensione a vuoto che si misura ai
morsetti A-B. Nel secondo caso, invece, il valore del generatore di corrente sarà pari
alla corrente di corto circuito valutata ai morsetti A-B.
Paragonando la (6) e la (8) si ricava che i circuiti di Fig.5 e Fig.6 sono equivalente se
si sceglie
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V0 = -Req Icc.
(9)
Per finire osserviamo che i due circuiti sono del tutto equivalenti! Converrà
utilizzarne uno piuttosto che un altro a seconda se conviene calcolare la tensione a
vuoto o la corrente di corto circuito.
1.1 Esercizio (Thevenin)
Vogliamo determinare il circuito equivalente di tensione visto dalla resistenza R2 del
circuito di Fig 7. Si osservi che il circuito che vogliamo esaminare è quello di Fig. 11
della Lezione n.10.
J
R2
E
R3
R1
R4
R5
Fig. 7 – Circuito resistivo con due generatori.
I dati del problema sono:
E=10Volt; J=3A; R1=10Ω; R2=20 Ω; R3=30 Ω; R4=4 Ω; R5=5 Ω.
La prima cosa da fare è scollegare la R2 dal circuito di Fig.7. Consideriamo quindi il
circuito di Fig. 8. In questo circuito abbiamo evidenziato i morsetti A e B.
Conviene considerare la resistenza equivalente parallelo R45=20/9 Ω come in Fig. 9.
Il calcolo del circuito equivalente secondo Thevenin consiste nel calcolo della
resistenza equivalente vista dai morsetti A – B e il calcolo della tensione a vuoto
esistente tra i morsetti A – B.
Cominciamo con il calcolo della resistenza. Dall Fig. 9 vediamo che il corto circuito
derivante dalla presenza del generatore di tensione spento mette fuori gioco la
resistenza R1; pertanto la resistenza equivalente risulta:
Req=R3+R45=30+20/9=290/9 Ω.
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J
A
B
V0
E
R3
R1
R4
R5
Fig. 8 – Calcolo del circuito equivalente visto dai morsetti A e B.
A
B
R3
R1
R45
Fig. 9 – Calcolo della resistenza equivalente vista dai morsetti A e B.
Per il calcolo della tensione a vuoto dobbiamo utilizzare il principio di
sovrapposizione degli effetti nel circuito di Fig. 8.
Possiamo scrivere:
V0=V0J+V0E .
(11)
I circuiti da considerare per la determinazione delle due tensioni sono rispettivamente
quello di Fig. 10 per V0J e quello di Fig. 11 per V0E.
Cominciamo con il calcolo di V0J. Osserviamo che la resistenza R1 è cortocircuitata e
quindi ha tensione nulla, inoltre in R4 non c’è corrente in quanto i morsetti A – B
sono aperti; quindi la tensione V0J è pari alla caduta di tensione sul resistore R3:
V0J =VR3=R3J=90Volt.
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(12)
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Lezione 12 – Teoremi del generatore equivalente, di non amplificazione e di reciprocità
Procediamo con il calcolo di V0E. Osserviamo che non vi è passaggio di corrente in
R3 ed R4 e quindi la tensione in A – B è pari alla caduta di tensione sul resistore R1
nonché alla tensione del generatore di tensione E:
V0E = E=10Volt.
(13)
Quindi dalla (11), (12) e (13) abbiamo:
V0=100Volt.
J
A
B
V0J
R3
VR3
R1
R4
Fig. 10 – Calcolo della tensione a vuoto con generatore di tensione spento.
A
B
V0E
E
R1
R3
VR1
R4
Fig. 11 – Calcolo della tensione a vuoto con generatore di corrente spento.
Si potrebbe ora calcolare la tensione su R2 utilizzando il circuito equivalente appena
individuato rappresentato in Fig. 12!
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R2
V0
Req
Fig. 12 – Circuito equivalente.
1.2 Esercizio (Norton)
Vogliamo determinare il circuito equivalente di corrente visto dalla resistenza R4 del
circuito di Fig 13. In seguito vogliamo calcolare la tensione su R4 utilizzando il
circuito equivalente trovato
J
R2
E
R3
R1
R4
R5
Fig. 13 – Circuito resistivo con due generatori.
I dati del problema sono:
E=10Volt; J=3A; R1=10Ω; R2=20 Ω; R3=30 Ω; R4=4 Ω; R5=5 Ω.
L’esercizio svolto lo trovate negli esercizi online sul sito.
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Lezione 12 – Teoremi del generatore equivalente, di non amplificazione e di reciprocità
2. Teorema di non amplificazione delle tensioni e delle correnti
Un’importante proprietà delle reti di bipoli passivi in regime stazionario è il
cosiddetto teorema di non amplificazione delle tensioni e delle correnti.
Il teorema di non amplificazione delle tensioni asserisce che, se ho una rete con un
solo lato attivo G (generatore ideale di tensione o di corrente) e tutti gli altri
componenti sono bipoli statici passivi (Fig. 13), il potenziale dei due morsetti A e B a
cui è connesso il generatore, sono l’uno il massimo e l’altro il minimo potenziale tra
tutti quelli della rete. Tutti gli altri nodi della rete avranno, quindi, valore del
potenziale compreso tra quello massimo e quello minimo ai morsetti dell’unico
generatore.
A
G
B
Fig.13 – Circuito statico con un solo generatore attivo.
Il teorema di non amplificazione delle correnti afferma che la corrente che attraversa
l’unico bipolo attivo G è quella in valore assoluto maggiore o uguale di tutte le altre.
Sottoliniamo il fatto che questi due teoremi valgono per circuiti aventi un unico
generatore ideale e, per elementi passivi unicamente statici, cioè resistori.
Osserviamo che questi due teoremi introducono una relazione d’ordine tra le
grandezze elettriche presenti nel circuito.
I due teoremi si possono dimostrare ma non lo faremo in questo corso.
3. Teoremi di reciprocità
Questo teorema vale per qualsiasi circuito lineare costituito da generatori ideali,
resistori, condensatori, induttori e trasformatori (vedremo nella Lezione n.16 cosa è
un trasformatore).
E’ un teorema molto importante che viene spesso richiamato per dimostrare proprietà
matematiche del modello che descrivono il circuito. Per esempio il fatto che la
matrice H introdotta per le equazioni di stato nella Lezione n.4 è simmetrica o
antisimmetrica. Vedremo nella Lezione n.15 che per i doppi bipoli useremo questo
teorema per mostrare la simmetrie delle matrici di coefficienti che caratterizzano il
sistema.
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Lezione 12 – Teoremi del generatore equivalente, di non amplificazione e di reciprocità
Noi lo introduciamo per circuiti resistivi perché la dimostrazione, che utilizza il
teorema di Tellegen, risulta molto agevole in questo caso. Ma si può dimostrare che il
teorema vale anche in regimi dinamici.
Dato un circuito resistivo passivo, supponiamo che sia alimentato da due generatori.
Consideriamo dunque la Fig. 14.
G2
G1
Fig. 14 – Circuito reciproco.
Esistono tre forme per questo teorema a seconda del tipo di generatori considerati.
3.1 I forma
I due generatori sono generatori di tensione. Consideriamo pertanto la Fig. 15.
Le due correnti nei lati in cui sono presenti i generatori possiamo esprimerle come
somma di due contributi, ognuno dipendente da un solo generatore.
I1
I2
E1
E2
Fig. 15 – Circuito usato per la prima forma del teorema di reciprocità.
Applichiamo il principio di sovrapposizione e lasciamo lavorare un generatore alla
volta come abbiamo rappresentato in Fig. 16. Per la sovrapposizione degli effetti la
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corrente in ognuno dei due lati dei generatori è la sovrapposizione di due termini,
ognuno dovuto ad uno dei due generatori funzionante da solo. Si ha:
I1 = I 11 + I 12,
(14a)
dove:
I11 = I1 E
2 ==0
e I12 = I1 E ==0 .
1
I 2 = I 21 + I 22.
I 21 = I 2
E 2 ==0
(14b)
e I 22 = I 2
E1 ==0
.
I11
I21
E1
(a)
I12
I22
E2
(b)
Fig. 16 – Sovrapposizione degli effetti sul circuito di Fig. 15.
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Lezione 12 – Teoremi del generatore equivalente, di non amplificazione e di reciprocità
Il teorema afferma che il rapporto tra causa (il generatore E1) ed effetto (la corrente
nel lato del generatore spento I21) nel circuito (a) di Fig. 16 è uguale al rapporto tra
causa (il generatore E2) ed effetto (la corrente nel lato del generatore spento I12) nel
circuito (b) di Fig. 16. Si ha in formula
I2
E1
=
E 2 =0
I1
E2
⇒
E1 = 0
I 21 I12
=
.
E1 E 2
(15)
Il teorema introduce una “simmetria” tra causa ed effetto. Questa simmetria dipende
dal fatto che causa ed effetto nei due casi sono poste alternativamente nei medesimi
lati. Questo teorema è un “teorema topologico”, dipende cioè dalla topologia del
circuito piuttosto che dalla natura dei bipoli. La sua dimostrazione si basa, infatti sul
teorema di Tellegen. Vediamola nel caso della I forma e lasciamola per esercizio
nelle altre due. Consideriamo, a tale scopo, i due circuiti di Fig. 16. Avendo stessa
configurazione topologica possiamo applicare il teorema di Tellegen. Consideriamo
per prima il prodotto delle correnti del circuito (a) per le tensioni del circuito (b).
Possiamo scrivere:
l
∑i
v =0
(17)
i1 i 2
i =1
Consideriamo poi il prodotto delle correnti del circuito (b) per le tensioni del circuito
(a). Possiamo scrivere:
l
∑i
i2
vi 1 = 0
(18)
i =1
Ora possiamo eguagliare l’espressioni al primo membro delle (17) e (18) tra di loro
essendo entrambe nulle per il teorema di Tellegen:
l
l
∑i v
i1 i 2
i =1
= ∑ ii 2vi1 .
(19)
i =1
Nella (19) possiamo tirare fuori dalla sommatoria i termini relativi ai rami 1 e 2.
Avremo:
l
l
i11v12 + i21v22 + ∑ ii1vi 2 = i12 v11 + i22 v21 + ∑ ii 2vi1 .
i =3
(20)
i =3
Nella (20) possiamo osservare che:
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• le sommatorie sono uguali perché all’interno della “scatola” i circuiti abbiamo
supposto siano uguali
• i11 = I11
• v12 = 0
• i21 = I 21
• v22 = E 2
• i12 = I12
• v11 = E1
• i22 = I 22
• v21 = 0
Sostituendo tutte le posizioni appena fatte nella (20) otteniamo la (15) e quindi
abbiamo dimostrato il teorema.
3.1 II forma
I due generatori sono generatori di corrente. Consideriamo pertanto la Fig. 17.
Le due tensioni nei lati in cui sono presenti i generatori di corrente possiamo
esprimerle come somma di due contributi, ognuno dipendente da un solo generatore.
Applichiamo il principio di sovrapposizione e lasciamo lavorare un generatore alla
volta. Questa volta consideriamo le tensioni e spegniamo i generatori di corrente
ponendo al loro posto dei circuiti aperti. Scriviamo;
V1 = V11 + V12
(21a)
V 2 = V21 + V22
(21b)
J1
V1
J2
V2
Fig. 17 – Circuito usato per la seconda forma del teorema di reciprocità.
In questo caso il teorema afferma che :
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Lezione 12 – Teoremi del generatore equivalente, di non amplificazione e di reciprocità
V12 V21
.
=
J2
J1
(22)
3.1 III forma
I due generatori sono uno di tensione e l’altro di corrente. Consideriamo pertanto la
Fig. 18.
Questa volta gli effetti da considerare sono rispettivamente la corrente al lato 1 e la
tensione al lato 2. E’ chiaro che si poteva considerare la configurazione duale. Vale a
dire: generatore di corrente al lato 1 e generatore di tensione al lato 2.
I1 = I 11 + I 12
(23a)
V2 = V 21 + V 22
(23b)
I1
I2
J2
E1
Fig. 18 – Circuito usato per la prima forma del teorema di reciprocità.
In questo caso l’uguaglianza si verifica a meno di un segno negativo. Si ha infatti:
I12
V
= − 21 .
J2
E1
(24)
Nel caso in cui avessimo considerato i generatori invertiti nei due lati avremmo
ottenuto:
V12
I
= − 21 .
E2
J1
(25)
Si osservi che nella prima forma il rapporto considerato (15) ha le dimensioni di una
conduttanza. Nella seconda forma ha le dimensioni di una resistenza (vedi la (22)) e
infine nella terza forma (vedi le (24) e (25)) il rapporto è a-dimensionale.
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Lezione 12 – Teoremi del generatore equivalente, di non amplificazione e di reciprocità
4. Una lezione aggiuntiva sul T. del generatore equivalente
NR
I
A
V
B
Fig. 19 – Circuito di cui vogliamo il circuito equivalente.
v(t) = r( i(t)) ,
i(t) = g(v(t)) .
(26)
Le (26) sono le relazioni caratteristiche equivalenti del sottocircuito visto ai morsetti
A-B.
Per un circuito lineare e tempo-invariante queste sono rispettivamente:
V = RI + V0 ,
I = V/R-Icc ;
con
Icc= - V0/Req.
(27)
Come determinare R, V0 e Icc?
Se non posso accedere all’interno del sottocircuito allora dovrò misurare in qualche
modo le grandezze all’esterno, cioè ai morsetti A-B.
Alimento la porta con un generatore di corrente I e misuro la tenzione ai morsetti con
un voltmetro come in Fig. 20. Quando il nostro generatore di corrente erogherà
corrente nulla allora il voltmetro misurerà la tensione a vuoto V0.
Alimento la porta con un generatore di tensione V e misuro la corrente che attraversa
il generatore di tensione con un amperometro come in Fig. 21. Quando il nostro
generatore di tensione erogherà tensione nulla allora l’amperometro misurerà la
corrente di corto circuito Icc.
Come calcolo la resistenza R?
Utilizziamo il circuito di Fig. 20. La tensione che misura il voltmetro dipende dai
generatori interni e dal generatore di corrente opportunamente posto tra i morsetti AB.
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Lezione 12 – Teoremi del generatore equivalente, di non amplificazione e di reciprocità
V=Vint+VI.
(28)
NR
A
I
V
B
Fig.20 – Calcolo della tensione a vuoto.
NR
A
A
I
V
B
Fig.21 – Calcolo della corrente di corto circuito.
La (28) rappresenta una sovrapposizione degli effetti. Ognuna delle due componenti
va valutata quando i generatori non interessati sono spenti. Pertanto Vint=V0 in quanto
corrisponde al circuito di Fig. 20 quando il generatore di corrente I=0 e VI=ReqI dove
Req rappresenta la resistenza equivalente vista dai morsetti A-B del sottocircuito reso
passivo. Abbiamo rappresentato la sovrapposizione degli effetti in Fig.22.
Osserviamo che avremmo potuto seguire il ragionamento duale utilizzando il circuito
di Fig. 21.
Si osservi che l’utilizzo del voltmetro e dell’amperometro non deve introdurre
rispettivamente un lato con un passaggio di corrente e una caduta di tensione. In altre
parole la corrente deviata nel voltmetro deve essere trascurabile rispetto alla corrente
del generatore di corrente e la tensione dell’amperometro deve essere trascurabile
rispetto a quella del generatore di tensione. Ciò si realizza con, rispettivamente, una
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resistenza elevatissima interna al voltmetro e una resistenza piccolissima interna
all’amperometro.
NR
A
I=0
V0
V
B
+
NR
A
I
V
B
Fig.20 – Calcolo della relazione caratteristica del sottocircuito.
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