Teoria delle Decisioni

Transcript

La teoria delle decisioni
L’oggetto della Decision Theory è la decisione intesa come scelta tra
alternative
• Esempi: se introdurre o meno di un nuovo prodotto, se rinnovare un
impianto oppure aprirne uno nuovo, se effettuare o meno un investimento,
di quanto rifornirsi per soddisfare una domanda di prodotto, ...
Teoria delle Decisioni
Decisioni dagli esiti non deterministici
• Le conseguenze di una decisione non sono certe
• Casi diversi da quelli affrontati con i metodi di ottimizzazione (funzione
obiettivo = misura certa della prestazione)
30/01/2002 15.15
M.Paolucci, R.Pesenti
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2
Un semplice esempio
• The newsvendor model:
Un venditore di giornali deve decidere di quanto rifornirsi
Acquista i giornali a 40 e li vende a 75
Non conosce a priori quale sarà la domanda di giornali
Se si rifornisce in eccesso perde l’investimento (40 per invenduto)
Se si rifornisce in difetto perde potenziali clienti (stima 50 per cliente)
Se ad esempio i livelli di domanda fossero d=0,1,2,3
Fasi dell’analisi decisionale (Decision Analysis, DA)
• Individuazione delle alternative Ai, i=1,...,m (mutuamente esclusive)
• Individuazione degli eventi futuri (stati della natura) Sj, j=1,...,n (esaustivi
e mutuamente esclusivi)
∪i Si = S Si ∩ Sj = ∅ ;
• Calcolo (stima) degli esiti della scelta nei diversi stati della natura (payoff)
Vij, i=1,...,m; j=1,...,n
Livello della domanda
Decisione
0
1
2
3
0
0
-50
-100
-150
1
-40
35
-15
-65
2
-80
-5
70
20
3
-120
-45
30
105
Matrice dei Payoff
S1
...
Sn
A1
V11
...
V1n
...
...
Vij
...
An
Vm1
...
Vmn
3
4
certezza
Fasi dell’analisi decisionale
• Valutazione delle alternative
Tre classi di decisioni
• Decisioni in condizioni di certezza
lo stato futuro della natura (esiti della decisione) sono certi
• Decisioni in condizioni di rischio
lo stato futuro della natura è noto in probabilità
• Decisioni in condizioni di incertezza
non si conosce nulla circa lo stato futuro della natura
ProdMix
rischio
incertezza
cj var. aleatorie
cj
cj∈{cj1, cj2, cj3}
p(cj)
Imperfezione dell’informazione
Inaffidabilità dei modelli
(insoddisfazione delle soluzioni)
Condizioni di rischio
• la probabilità fornisce una misura del “rischio” di una decisioni
• normalmente è una probabilità soggettiva (stima)
• Sono tre modelli “artificiali” (nella realtà non si verificano quasi mai)
• Si cerca di modellare le situazioni di informazione imperfetta o parziale
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Decisioni strutturate e non strutturate
Nella realtà i fattori soggettivi (emotivi, avversione al rischio, valutazioni non
quantitative) giocano un ruolo fondamentale
La teoria delle decisioni fornisce un supporto metodologico per confrontare
alternative decisionali
I metodi assumono un comportamento razionale del decisore (Decision
Maker, DM):
• “Un DM è razionale se sceglie l’alternativa che giudica la migliore”
• Assunzioni della DA:
il DM è in grado di quantificare i suoi giudizi sui possibili stati futuri
della natura (probabilità soggettive)
il DM è in grado di specificare le sue preferenze circa la desiderabilità
delle alternative (teoria dell’utilità)
il DM (consistentemente rispetto alle probabilità soggettive e alla
propria utilità) sceglie l’alternativa che massimizza l’utilità attesa
Strutturate
Non strutturate
Certezza
Ripetitività
Operative
Obiettivo singolo
Procedure disponibili
Incertezza
Unicità
Strategiche
Obiettivi multipli contrastanti
Non esistono procedure
DM sempre razionali
DM spesso non razionali
Ruolo della DA
• fornire strumenti metodologici che aiutano i DM a prendere decisioni
razionali, ossia consistenti con i loro giudizi di preferenza
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D.A. – Decisioni in condizioni di rischio
Si suppongono specificate le probabilità (soggettive) degli stati futuri della
natura
Teoria delle decisioni vs Teoria dei giochi
Si basano sulla massimizzazione del valore atteso
• Alternative Ai, i=1,...,m
• Nella Game Theory si ipotizza la presenza di più DM che operano in
competizione ⇒ la decisione del DM è presa in presenza di entità
intelligenti che agiscono in opposizione (tendono a determinare uno stato
futuro sfavorevole per il DM) e possono subire a loro volta conseguenze
(negative) in seguito alla decisione del DM
• Stati delle natura Sj, j=1,...,n
• Probabilità di occorrenza degli stati p(Sj)
• Matrice dei payoff V (n×m) V =[Vij,i=1,...,m j=1,...,n]
• Valore monetario atteso dell’alternativa i EVi = ∑j p(Sj)Vij
• Nella Decision Analysis non esiste un entità che opera in opposizione ma
un’entità, la “natura”, che determina lo stato futuro restando indifferente
rispetto alle decisioni del DM (l’oppositore è la natura che non agisce in
modo malevolo)
• Valore monetario atteso massimo (EV)
EV = maxi EVi
A* = { Ai : i = arg maxi EVi }
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Il criterio del massimo EV non è generalmente accettabile
• Esempio 1: decidere un investimento
• Esempio 2: una diversa opportunità di un investimento per DM1
ricavo 100.000
p=0,5
ricavo 23.000
p=0,5
18.000
Investimento
80000
Investimento
EV = 30.000
di 20.000
1-p=0,5
ricavo 0
10
di 5.000
-20000
1-p=0,5
ricavo 0
Guadagno atteso = EV = 30.000
EV = 6.500
-5000
Guadagno atteso = EV = 6.500
Due diversi decisori:
DM1: una perdita > 5.000 corrisponde alla bancarotta ⇒non investe
Anche se il EV è molto inferiore DM1 questa volta accetta di investire!
DM2: dispone di un surplus di capitale ⇒investe
La decisione dipende dalla diversa propensione del DM a rischiare
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La decisione è presa considerando l’utilità attesa
• Perché il criterio del massimo valore atteso monetario non funziona?
L’utilità è una misura (cardinale) della preferenza di un DM in presenza di
rischio
• Si basa sull’ipotesi che la situazione decisionale si possa ripetere un
numero sufficiente grande di volte:
Tiene conto dei payoff delle alternative ma anche della diversa avversione o
propensione al rischio del DM
se Zi, i=1,..n sono le realizzazioni di una variabile aleatoria Z con
media E[Z] e varianza σ2 ...
La funzione di utilità, U(.), fornisce un valore numerico che è legato al valore
intrinseco della decisione per un DM
la media della sequenza campionaria tende a E[Z] per n →∞ dato che
la varianza della sequenza
σ2 / n →0
U(.) esprime una misura soggettiva:
• se A > B (A è preferita a B) ⇒U(A) > U(B)
• U(A) è una misura proporzionale alla preferenza del DM per A
• è determinata fissando l’origine (zero) e la scala dei valori di utilità
• Il criterio si basa sulla legge dei grandi numeri ma la decisione reale è
unica e non può essere ripetuta
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Costruzione della funzione di utilità (l’esperimento di Von NeumannMorgenstern)
Esempio: A1:investimento es. 1, A2:investimento es. 2.
• La lotteria standard (standard lottery) S(p)
Scelta
p
1-p
XE
XD
U(XE)
EU(A1) = 50
U(XD)
U(XE) =100
p=0,5
80.000
1-p = 0,5
-20.000
p=0,5
18.000
U(X1) =95
1-p = 0,5
-5.000
U(X2) =75
U(XD)=0
Scelta
• XE è la conseguenza più desiderabile (utilità massima)
• XD è la conseguenza meno desiderabile (utilità minima)
EU(A2) = 85
• Data un’alternativa A, U(A) si costruisce chiedendo al DM di specificare
per quale livello di p risulta indifferente scegliere A o partecipare alla
lotteria S(p)
U(A) = EV(S(p)) = pU(XE)+(1-p)U(XD)
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Determinazione dell’utilità delle alternative:
Commenti (cont.):
in questo caso, l’utilità è normalizzata a 100. Altre scelte possono
essere adottate, vedi in seguito la CME.
alla conseguenza X2 è imposta utilità 75, i.e., il decisore piuttosto che
perdere con certezza 5.000 EUR parteciperebbe ad una lotteria in cui
la probabilità di vittoria di 80.000 EUR è ≥75% e la probabilità di
perdere 20.000 EUR è il ≤25%. Si noti che il DM preferisce perdere
Si inizia fissando l’utilità delle conseguenze ultime delle varie
decisioni, si procede quindi all’indietro determinando l’utilità delle
varie alternative:
con certezza 5.000 EUR per probabilità di perdita superiore al 25%;
alla conseguenza più desiderabile XE è imposta utilità 100;
data l’utilità delle sue possibili conseguenze, l’utilità (attesa)
dell’alternativa A1 (vedi lucidi successivi) è 50 = 0.5U(XE)+
0.5U(XD);
alla conseguenza meno desiderabile XD è imposta utilità 0;
alla conseguenza X1 è imposta utilità 95, i.e., il decisore rinuncerebbe
ai suoi 18.000 EUR solo per partecipare ad una lotteria in cui la
probabilità di vittoria di 80.000 EUR è ≥ 95% e la probabilità di
perdere 20.000 EUR è ≤5%;
in modo analogo, l’utilità (attesa) dell’alternativa A2 è 85 = 0.5U(X1)+
0.5U(X2).
(continua)
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Esempio: Calcolo utilità A2.
p=0,5
Scelta
A2
1-p = 0,5
calcolando la probabilità totale che si verifichi 80.000 e –20.000 si ottiene,
l’albero seguente.
18.000 U(X1) =95
-5.000
U(X2) =75
Data la definizione di utilità alla Von Neumann-Morgenstern, i due alberi
sono equivalenti.
p=0,95
p=0,5
Scelta
Scelta
80.000
A2
p=0,85
1-p = 0,15
80.000
-20.000
U(X1) =95
1-p = 0,05 -20.000
per il DM scegliere l’alternativa A2 equivale a sottoporsi ad una lotteria in cui
vi sia la probabilità p=0,85 di vincere 20.000EUR e la probabilità 1-p=0,15 di
perdere 20.000EUR. L’utilità di A2 corrisponde quindi a 0,85 ovvero al valore
atteso ottenendo mediando le utilità di X1 e X2.
A2
p=0,75
1-p = 0,5
80.000
U(X2) =75
1-p = 0,25
Questo risultato è vero in generale come si può banalmente provare,
imponendo le utilità e le probabilità come dei parametri.
-20.000
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Costruzione della funzione di utilità: la CME (Certezza Monetaria Equivalente)
1
Costruzione della funzione di utilità: la CME (Certezza Monetaria
Equivalente)
retta del valore atteso
EVi=piXE+(1-pi)XD
pi
• La CME è anche la minima somma a cui il DM è disposto a cedere il
diritto a partecipare alla lotteria S(pi)
Esempio: lotteria con premi A e B
premio di rischio (risk
premium) > 0 in
presenza di
avversione al rischio
funzione
di utilità
0
XD
CMEi
B
Vj
500
2
Uj
1
0
p
1-p
Ai
XE
• La CME è il massimo valore che il DM è disposto a pagare per una lotteria con
probabilità pi, ossia con EV pari ad Ai
Se p=0,5 EV=500p+2(1-p)=251
• L’utilità della CME è uguale alla utilità della lotteria
CME=21
U(CMEi) = piU(XE) + (1-pi)U(XD)
A
1
0,5
0
2 21
251
500
21
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Costruzione della funzione di utilità: L’avversione al rischio
Scelta della struttura della funzione di utilità
• La curva di utilità indica l’avversione o propensione al rischio del DM
Proprietà locali di U(x)
DM avverso al rischio
DM propenso al rischio
(concava)
(convessa)
Per studiare le proprietà locali della funzione utilità si suppone di avere un
capitale x e di partecipare ad una lotteria il cui risultato è il valore stocastico D
definito dai possibili premi –d ≤ d i ≤ d, ognuno con probabilità pi e dove d è
un valore infinitesimo. Sia EV=E{D} = 0, mentre ovviamente sia var{D} > 0.
La certezza monetaria equivalente di questa situazione CME(x+D) è vicino a x
(coinciderebbe con x, se d=0) e dipende da var{D}. In ipotesi di avversione al
rischio, CME(x+D) diminuisce all’aumentare di var{D}.
• L’andamento della curva per un DM può variare nel tempo
• La curva è non decrescente (l’utilità cresce con il ritorno)
• Com’è la curva nel caso di indifferenza al rischio?
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Calcolo di CME(x+D)
U(CME(x +D)) = ΣiU(x+di)pi ≅
Σi (U(x)+ U’(x) di + ½U”(x) di2) pi =
= U(x)Σipi + U’(x)Σi di pi+ ½ U”(x)Σ
2
i di pi =
Proprietà globali di U(x)
U(x) + ½ U”(x) var{D}
Dalla soluzione dell’equazione differenziale
da cui
U”(x) +r(x)U’(x) = 0
CME(x +D)
=
U-1(U(x)
+ ½ U”(x) var{D}) ≅
U(xmin) = 0
≅ x + ½ (U”(x) var{D}) / U’(x) = x - ½ r(x) var{D}
U(xmax) = 100
Nella prima equazione si sono approssimati in valori di U(.) con il suo sviluppo in serie
di Taylor fino al secondo grado in quanto la somma delle componenti di primo grado è
uguale a 0.
si ottiene la funzione di utilità U(x) desiderata.
Al variare di r(x) si ottengono funzioni di utilità diverse.
Nella seconda equazione si sono approssimati in valori di U-1 (.) con il suo sviluppo in
serie di Taylor, tenendo presente che la derivata di una funzione inversa è uguale
all’inverso della derivata della funzione diretta.
La funzione r(x) è detta Pratt-Arrow measure of [absolute] risk aversion. Se il DM è
avverso al rischio r(x) ≥ 0, in quanto U”(x) ≤ 0 e U’(x) ≥ 0.
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r(x) = r = costante
r(x) decrescente in x
U(x) = a - b e-rx
è ragionevole ritenere che il DM abbia la stessa r per lotterie diverse se queste
coinvolgono valori paragonabili.
r(x) costante implica che l’avversione al rischio del DM non dipende dalla disponibilità del
capitale, ma solo dalla variabilità dei possibili risultati della lotteria. Equivalentemente:
•
Il DM decide se partecipare a una lotteria solo in base alle probabilità dei vari premi e ai loro
valori relativi. Il DM ritiene che i CME di due lotterie, i cui premi corrispondenti hanno le
stesse probabilità e hanno valori che differiscono per una costante Q, a loro volta differiscono
per la stessa costante Q.
•
Esempio, se il DM ritiene che vale la pena partecipare ad una lotteria con costo 1000 dove vi
è il 50% di probabilità di ricavare 500 e il 50% di probabilità di ricavare 2000, allo stesso
modo riterrà che vale la pena partecipare ad una lotteria con costo 10000 dove vi è il 50% di
probabilità di ricavare 9500 e il 50% di probabilità di ricavare 11000.
r(x) = 1/(x + c) ⇒U(x) = a + b log(x + c)
r(x) = (1 - α)/(x + c) con 0 <α < 1 ⇒U(x) = a + b(1/α)(x+c)α
r(x) decrescente in x implica che l’avversione al rischio del DM diminuisce con la maggiore
disponibilità del capitale. Equivalentemente
•
Il DM diventa meno sensibile a possibili variazioni del proprio capitale finale. Il DM è tanto
meno disponibile a pagare un premio di rischio per evitare tali variazioni tanto più piccole
sono le variazioni rispetto al capitale.
•
Esempio, il DM potrebbe ritenere che non vale la pena partecipare ad una lotteria con costo
1000 dove vi è il 50% di probabilità di ricavare 500 e il 50% di probabilità di ricavare 2000,
ma che valga la pena partecipare ad una lotteria con costo 10000 dove vi è il 50% di
probabilità di ricavare 9500 e il 50% di probabilità di ricavare 11000.
Si noti che non vale lo stesso ragionamento per valori in proporzione, e.g., costo 10000, premi
5000 e 20000.
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28
Esempio di stima empirica della curva di utilità
Il management della ACME, che si vuole mantenere coerente con le decisioni
A, B, C e D, prese nel passato, deve decidere se accettare l’investimento E.
Investimento
richiesto
Ricavo atteso
in caso di
successo
Probabilità a
priori di
successo
Investimento
effettuato o
rifiutato
A
100
200
60%
effettuato
B
150
250
70%
rifiutato
C
120
300
85%
effettuato
D
40
70
60%
rifiutato
E
90
150
75%
da decidere
Nell’ipotesi che il denaro se non investito produca guadagno nullo si può
affermare che
Valore
monetario
Stima
U(0)
Correttezza
stima
Valore con
utilità 0
Valore con
utilità 100
A
0
60%
sovrastima
-100
100
B
0
70%
sottostima
-150
100
C
0
85%
sovrastima
-120
180
D
0
60%
sottostima
-40
30
Se il denaro potesse essere investito anche in altro modo nella colonna
valore monetario si dovrebbe inserire il guadagno prodotto
dall’investimento alternativo
29
30
Nell’ipotesi ragionevole che si possa usare una r(x) = r per tutti gli investimenti deve
valere che
Investimento C: U(0) ≤0.60U(180) + 0.40 U(-120)
e-0r ≥ 0.85 e-180r+ 0.15 e120r
Investimento A: U(0) ≤0.60U(100) + 0.40 U(-100)
a-b
e-0r
≤0.60(a - b
e-100r)
e-0r ≥ 0.60 e-100r+ 0.40 e100r
+ 0.40(a - b
0 ≤r ≤0.0153
Investimento D: U(0) ≥ 0.60U(40) + 0.40 U(-30)
e100r)
e-0r ≤0.70 e-40r+ 0.30 e30r
(*)
risolvendo numericamente la disequazione (*) si ottiene che per ogni 0 ≤ r ≤ 0.0040,
dove 0.0040 è il valore massimo di r per cui la (*) è vera, l’utilità di 0 è minore
dell’utilità della lotteria corrispondente e che quindi l’investimento A viene eseguito.
Investimento B: U(0) ≥ 0.70U(100) + 0.30 U(-150)
e-0r ≤0.70 e-100r+ 0.30 e150r
r ≥ 0.0033
Dai risultati ottenuti per i diversi investimenti si deduce che 0.0035 ≤r ≤0.0040
Investimento E: si calcola U(0)= 0.75U(60) + 0.25 U(-90) per r≠0, ottenendo r=0,0090
da cui si deduce che per 0.0035 ≤ r ≤0.0040 si ha U(0) ≤0.75U(60) + 0.25 U(-90).
(**)
risolvendo numericamente la disequazione (**) si ottiene che per ogni r ≥ 0.0035, dove
La scelta di effettuare l’investimento E sarebbe quindi coerente con le decisioni
passate.
0.0035 è il valore minimo di r per cui la (**) è vera, l’utilità di 0 è maggiore dell’utilità
della lotteria corrispondente e che quindi l’investimento B non viene eseguito
31
32
Esempio di stima empirica della curva di utilità
Alberi decisionali
• Formalizzano le decisioni in condizioni di rischio in base al criterio del
valore (utilità) attesa (Ipotesi: i payoff esprimono l’utilità del DM)
• Mettono in evidenza le conseguenze delle decisioni
• Utili per studiare processi decisionali a stadi (sequenza di decisioni)
Si stimi il valore di r per una funzione di utilità U(x) = a - b e-rx sapendo
che il DM ritiene β la CME di una lotteria i cui premi sono distribuiti
normalmente con media µ e deviazione standard σ.
Deve valere
e
− rβ
1
=
2π σ
+∞
∫e
−
( x− µ )2
2σ 2
• Elementi:
e − rx dx
nodi di decisione: scelta tra alternative
−∞
nodi evento: si verifica uno tra più stati della natura
da cui
e − rβ = e
− rµ + r
2σ 2
2
1
2π σ
2 2
+∞ ( x − ( µ − rσ ))
−
2σ 2
∫e
dx ⇔ r =
−∞
nodi terminali: foglie dell’albero con associati i valori di guadagno
(utilità) determinato dalla catena di decisioni ed eventi
2( µ − β )
σ2
33
Alberi decisionali
Alberi decisionali
• Esempio
• Esempi
eventi
A1
conseguenze
p1
se Acme attende la concorrenza potrebbe precederla annunciando il
proprio prodotto rubandole fette di mercato
...
Am
la ditta Acme vuole introdurre un nuovo prodotto non completamente
testato sul mercato
il prodotto se introdotto troppo in anticipo potrebbe non soddisfare i
clienti perché presenta ancora difetti
cm1
...
punto di
decisione
34
la decisione si sviluppa su T=3 periodi (e.g., mesi)
pn
sono stati stimanti per t=1,...,T:
– rt profitto se Acme immette il prodotto prima della concorrenza
– gt profitto se Acme immette il prodotto insieme alla concorrenza
alternative
– ht profitto se Acme immette il prodotto dopo la concorrenza
supponiamo che rt > gt > ht (anche se per t=1 potrebbe non valere)
35
36
Alberi decisionali
Alberi decisionali
• Esempio
• Esempio
pt la probabilità (soggettiva stimata) che la concorrenza annunci il
prodotto sul mercato nel periodo t
Si calcola il EV e lo si associa ad ogni nodo evento
Si calcola il massimo EV tra i nodi evento e lo si associa al nodo
decisione
Acme ha deciso di immettere il prodotto comunque se la concorrenza
annuncia il proprio
annuncio
annuncio
p1
EVimm
g1
imm.
immissione
1-p1
f1
r1
p1
g1
1-p1
r1
EVimm=p1g1+(1-p1)r1
EVnon imm=p1h1
non annuncio
non annuncio
non
immissione
p1
h1
1-p1
0
p1
h1
EVnon imm 1-p1
0
non
imm.
f1=max [EVimm, EVnon imm]
37
Alberi decisionali
Alberi decisionali
• Esempio: T=3 periodi e per t=3 si stima che la concorrenza annuncerà
• Esempio
certamente
annuncio
EVimm
imm.
f1
p1
g1
1-p1
r1
Si procede a ritroso dallo stadio 3 (backward come per la P.D.)
p3
non annuncio
non
imm.
p1
p2
g2
1-p2
r2
imm.
g3
EVi3 = p3 g3
EVni3 =p3 h3
h1
imm.
EVnon imm 1-p1
p2
f2
38
non
imm.
f3
p3
h2
non imm.
h3
p3 = 1
f3= max [EVi3, EVni3 ]= g3
p3
f3
p3
g3
imm.
1-p2
non
imm.
h3
39
40
Alberi decisionali
Alberi decisionali
• Esempio
• Esempio
Per t=2
Per t=1
p2
imm.
f2
non
imm.
g2
1-p2
r2
p2
h2
EVi2 = p2 g2 + (1- p2 )r2
EVni
2
imm.
= p2 h2 + (1- p2 )f3 = p2 h2 + (1- p2 )g3
f1
non
imm.
g1
1-p1
r1
p1
h1
EVi1 = p1 g1 + (1- p1 )r1
EVni2 = p1 h1 + (1- p1 )f2
f1= max [EVi1, EVni1 ]
1-p1
f2= max [EVi2, EVni2 ]
1-p2
p1
f2
f3
41
Alberi decisionali
Il valore atteso della perdita di opportunità (Expected Opportunity Loss, EOL)
• Esempio: caso numerico
1 ⋅ 90 (imm .)
f 3 = max 
1 ⋅ 80 ( non imm .)
42
• Considera la perdita rispetto il massimo guadagno possibile
h1=40
g1=50
r1=60
p1=0,2
h2=75
g2=80
r2=100
p2=0,4
h3=80
g3=90
Lij = Vjmax – Vij
p3=1
dove
Vjmax = maxi Vij
n
EOLi = ∑ p(S j )Lij
0,4 ⋅ 80 + 0,6 ⋅100 = 92 (imm.)
f 2 = max
0,4 ⋅ 75 + 0,6 ⋅ 90 = 84 (non imm.)
j =1
EOL* = min EOLi
i
0,2 ⋅ 50 + 0,8 ⋅ 60 = 58 (imm.)
f1 = max
0,2 ⋅ 40 + 0,8 ⋅ 92 = 81,6 (non imm.)
43
44
• Esempio
• Due osservazioni:
Vij
ann.
non ann.
Lij
ann.
non ann.
p=0,4
1-p=0,6
p=0,4
1-p=0,6
imm.
g1=50
r1=60
imm.
0
0
non imm.
h1=40
0
non imm.
10
60
EV* = max [0,4⋅ 50+0,6⋅ 60;
0,4⋅ 40]
Il criterio del massimo EV e del minimo EOL forniscono sempre la
medesima soluzione
Nell’esempio il problema decisionale era di semplice soluzione perché
l’alternativa “immettere” era dominante!
Nella DA le alternative dominate possono essere escluse
EOL*
= min [0; 0,4⋅ 10+0,6 ⋅ 60]
Definizione
= 0 (imm.)
Ai è dominata se esiste una Ak, k≠i, tale che Vij ≤V kj ∀j e vale Vij<Vkj per
= 56 (imm.)
almeno un j
45
46
Esempio: la scelta se prendere o meno l’ombrello
piove (p=0,4)
Il valore atteso della informazione perfetta (Expected Value of Perfect
Information, EVPI)
5
ombrello
• L’informazione perfetta è quella che permetta al DM di scegliere
l’alternativa più conveniente in funzione dello stato di natura che si
verifica
EV=0,8
non
ombrello
• Normalmente una decisione viene presa a priori, i.e., prima che accadano
gli eventi che influenzeranno le conclusioni
Decisione senza informazione perfetta
-2
non piove
(p= 0,6)
piove
-10
non piove
7
5
non ombrello
-10
piove (p=0,4)
EVPI =6,2
• Essendo disponibile l’informazione perfetta è come se la decisione venisse
presa a posteriori, i.e., a valle dell’occorrenza degli eventi casuali.
ombrello
Decisione con informazione perfetta
ombrello
non piove
(p= 0,6)
non ombrello
-2
7
Per stabilire il valore dell’informazione perfetta è necessario stabilire a
priori tutti gli eventi mutuamente esclusivi che si possono realizzare in
natura e che influenzerebbero la decisione. In questo caso piove/non piove.
47
48
Information, EVPI)
Information, EVPI)
• Sfruttando l’informazione perfetta ottengo il massimo guadagno (utilità)
possibile
• Il valore atteso con l’informazione perfetta (EVPI, Expected Value with
Perfect Information) rispetto agli stati di natura Sj risulta essere:
EV
PI
=
• Quanto sarà disposta a pagare l’Acme una spia industriale che le vendesse
l’informazione su ciò che farà la concorrenza?
90
f 3 = 1 ⋅ max 
80
n
∑
j =1
p ( S j )V
max
j
80
100
f 2 = 0 , 4 ⋅ max  + 0 , 6 ⋅ max 
= 92
 75
90
 50
 60
f 1 = 0 , 2 ⋅ max 
+ 0 , 8 ⋅ max 
= 83 , 6
 40
 92
• Quanto vale l’informazione perfetta (quanto al massimo sarei disposto a
pagarla)?
EVPI = EV PI − EV
EVPI = EV PI − EV = 83 , 6 − 81 , 6 = 2
Nell’esempio EVPI = 6,2 - 0,8 = 5,4
49
50
Your company is considering whether it should tender for two contracts (MS1 and MS2) on offer from a government
department for the supply of certain components. The company has three options:
tender for MS1 only; or
tender for MS2 only; or
tender for both MS1 and MS2.
If tenders are to be submitted the company will incur additional costs. These costs will have to be entirely recouped from the
contract price. The risk, of course, is that if a tender is unsuccessful the company will have made a loss.
The cost of tendering for contract MS1 only is £50,000. The component supply cost if the tender is successful would be
£18,000.
The cost of tendering for contract MS2 only is £14,000. The component supply cost if the tender is successful would be
£12,000.
The cost of tendering for both contract MS1 and contract MS2 is £55,000. The component supply cost if the tender is successful
would be £24,000.
For each contract, possible tender prices have been determined. In addition, subjective assessments have been made of the
probability of getting the contract with a particular tender price as shown below. Note here that the company can only submit
one tender and cannot, for example, submit two tenders (at different prices) for the same contract.
Option Possible Probability tender of getting prices (£)
Contract MS1 only
130,000
0.20
115,000
0.85
MS2 only
70,000
0.15
65,000
0.80
60,000
0.95
MS1 and MS2
190,000
0.05
140,000
0.65
In the event that the company tenders for both MS1 and MS2 it will either win both contracts (at the price shown above) or no
contract at all.
Esempio:
Si consideri il problema proposto dal prof. Beasley in
http://mscmga.ms.ic.ac.uk/jeb/or/decmore.html e riportato nel lucido
seguente. In particolare:
• Si determini la decisione ottima in base all’EV.
• Si determini inoltre la decisione ottima in presenza di informazione
perfetta e quindi si calcoli il valore EVPI.
51
52
EV = -27,60
TP = 130
0,20
62
0,80
-50
EV = 32,45
MS1
Determinazione
decisione ottima sulla
base di probabilità
soggettive.
0,85
47
TP = 115
EV = 32,45
0,15
-50
EV = -5,30
0,15
44
0,85
EV = 28,40
0,80
TP = 65
-14
0,20
-14
TP = Tender Price
0,95
34
0,05
-14
EV = Expected
Monetary Value
0,05
111
0,95
-55
0,65
61
0,35
-55
TP = 70
EV = 32,45
EV = 31,60
MS2
TP = 60
EV = 31,60
MS1 & 2
EV = -46,70
TP = 190
EV = 20,40
TP = 140
EV = 20,40
Passi da eseguire per il calcolo a ritroso dell’EVPI:
Si calcolano gli EVPI associati alle decisioni di secondo livello (le offerte da
proporre avendo scelto di partecipare ad un tender specifico)
Al primo livello si sceglie il massimo degli EVPI di secondo livello.
39
53
54
Passi da eseguire per il calcolo di EVPI seconda decisione avendo scelto di
partecipare al tender MS1:
Definizione della matrice di payoff:
• alternative: prezzi dei tender
TP = 130,
TP = 115,
TP = 0;
• stati della natura (eventi mutuamente esclusivi che influenzano le conclusioni
della decisione): disponibilità del cliente ad accettare un TP, i.e.,
disponibilità ad accettare un TP=130,
disponibilità ad accettare un TP=115, ma non un TP=130,
disponibilità ad accettare solo TP <115.
Ovviamente se il cliente è disposto ad accettare un dato TP si può offrire tale
TP o un TP di valore minore con la certezza di vincere il tender.
Matrice dei payoff
cliente accetta
TP=130 o
minore
cliente accetta
TP=115 o
minore, ma non
TP=130
cliente accetta
solo TP<115,
ma non
TP=115
TP = 130
62
-50
-50
TP = 115
47
47
-50
TP = 0*
-50
-50
-50
L’alternativa TP=0 è dominata e quindi non verrà più considerata (né è
riportata nell’albero decisionale).
In rosso le scelte ottime in caso di informazione perfetta disponibile.
55
56
Calcolo delle probabilità di realizzazione di uno degli stati della
natura (continuazione)
Calcolo delle probabilità di realizzazione di uno degli stati della
natura (eventi futuri):
• Il cliente accetta TP=130 (o minore) con probabilità p130=0,20,
infatti la probabilità a priori di vincere il tender offrendo un
TP=130 appare, dai dati del problema, essere uguale a 0,20
• Il cliente accetta solo TP<115, ma non TP=115 o maggiori con
probabilità p0=0,15, infatti la probabilità a priori di perdere il
tender offrendo un TP=115 appare essere uguale a 0,15
• Il cliente accetta TP=115 o minore, ma non TP=130, con
probabilità p115=0,65. Dai dati del problema si evince infatti che
la probabilità a priori di vincere il tender offrendo un TP=115
appare essere uguale a 0,80. In tale situazione però si deve anche
comprendere il caso in cui il cliente avrebbe accettato un
TP=130, che però non gli è stato proposto. La probabilità è
quindi ottenuta come segue p115= 0,80 – 0,20
probabilità che il
cliente rifiuti un
TP=130, ma
accetti un TP=115
funzione di distribuzione
della probabilità che il
cliente accetti un’offerta
di valore x
probabilità che il cliente
accetti un TP=130
probabilità che il
cliente rifiuti un
TP=115
0,15
0,65
115
0,20
130
valore offerta
NB: l’area sottesa dalla curva tra 115 e infinito (uguale a 0,85) indica la probabilità che il cliente accetti un TP=115
57
58
Seconda decisione, avendo scelto di partecipare al tender MS1, in
assenza di informazione perfetta.
EV = -27,60
TP = 130
EV = 32,45
MS1
TP = 115
EV = 32,45
0,20
62
0,80
-50
0,85
47
0,15
-50
Analisi a ritroso del nuovo albero:
• Se fosse noto che il cliente è disposto ad accettare un TP=130
certamente si proporrebbe tale valore per il TP
• Se fosse noto che il cliente è disposto ad accettare un TP=115,
ma non un TP=130, certamente si proporrebbe il TP=115
• Se fosse noto che il cliente non è disposto ad accettare nemmeno
un TP=115 si perderebbero in ogni caso le 50K£ già investite
Seconda decisione, avendo scelto di partecipare al tender MS1, in
presenza di informazione perfetta.
62
TP = 130
TP = 115
0,20
EVpi = 35,45
0,65
MS1
0,15
47
TP = 130
-50
TP = 115
TP = 130
47
TP = 115
-50
-50
59
60
Calcolo del valore dell’informazione perfetta:
quando si calcola il valore dell’informazione perfetta, non si conosce ancora
il contenuto dell’informazione (ovvero quale stato di natura si realizzerà),
però si suppone che al momento della decisione tale informazione sarà
disponibile e che quindi sarà scelta l’alternativa migliore.
Nell’esempio si osserva che:
• Con p130=0,20, al momento della decisione, sarà noto che il cliente sarà
disponibile ad accettare un TP=130 e quindi si offrirà un TP=130
• Con p115=0,65, al momento della decisione, sarà noto che il cliente sarà
disponibile ad accettare un TP=115, ma non un TP=130, e quindi si
offrirà un TP=115
• Con p0=0,15, al momento della decisione, sarà noto che il cliente non
sarà disponibile ad accettare nemmeno un TP=115, e Con p130=0,65, al
momento della decisione, sarà noto che il cliente sarà disponibile ad
accettare un TP=115, ma non un TP=130, e quindi si offrirà un TP=115
sapendo che si perderà comunque il tender
Successive riduzioni dell’albero ottenuto con l’informazione perfetta,
supposto che la prima decisione sia di partecipare al tender MS1.
62
0,20
0,65
47
MS1
0,15
-50
35,45
MS1
61
62
TP = 130
47
TP = 115
-50
TP = 115
44
TP = 70
0,65
39
TP = 65
0,15
34
TP = 60
-14
TP = 60
111
TP = 190
61
TP = 140
-55
TP = 140
0,20
0,65
EVpi = 35,45
0,15
MS1
EV = 36,35
EVpi = 36,35
0,15
MS2
0,05
MS1 & 2
0,05
0,60
EVpi = 22,90
62
Albero decisionale che
si ottiene applicando i
ragionamenti precedenti
ai vari tender, avendo
già scelto la seconda
decisione ottima una
volta nota
l’informazione perfetta.
Fino a questo momento si è supposto di potere accedere all’informazione
perfetta solo dopo avere preso la decisione. Ci si è rivolti al “consulente” solo
per decidere l’offerta da compiere.
Si può invece supporre di accedere all’informazione perfetta anche prima di
prendere la prima decisione. Ci si rivolge al “consulente” per decidere il
tender a cui partecipare e l’offerta da compiere.
Si devono analizzare tutti gli stati di natura mutualmente esclusivi che si
possono realizzare e stabilire per ognuno di essi la decisione ottima da
compiere e la probabilità che si realizzi.
0,35
63
64
Stati di natura che si possono realizzare (decisioni conseguenti).
Il cliente (la natura) può essere disponibile a:
1. accettare offerta 130 per MS1, accettare offerta 70 per MS2, accettare offerta 190 per
MS1&2 (si sceglie quindi di partecipare al tender MS1&2 con offerta 190 profitto 111)
2. accettare offerta 130 per MS1, accettare offerta 70 per MS2, accettare offerta 140 ma
non 190 per MS1&2 (si sceglie quindi di partecipare al tender MS1 con offerta 130
profitto 62)
3. accettare offerta 130 per MS1, accettare offerta 70 per MS2, non accettare nemmeno
offerta 140 per MS1&2 (si sceglie quindi di partecipare al tender MS1 con offerta 130
profitto 62)
4. accettare offerta 130 per MS1, accettare offerta 65 ma non 70 per MS2, accettare
offerta 190 per MS1&2 (si sceglie quindi di partecipare al tender MS1 con offerta 130
profitto 62)
5. .........
.... .......
36. non accettare nemmeno offerta 115 per MS1, non accettare nemmeno offerta 65 per
MS2, non accettare nemmeno offerta 140 per MS1&2 (si sceglie quindi di non
partecipare ad alcun tender con profitto 0)
Non sempre è possibile calcolare probabilità dei diversi stati di natura
realizzabili sulla base delle informazioni inizialmente disponibili a meno di
non fare ipotesi che a volte possono risultare discutibili.
Si considerino ad esempio il seguenti stati:
• disponibilità del cliente ad accettare offerta 130 per MS1, accettare
offerta 70 per MS2, accettare offerta 190 per MS1&2.
Se si ritengono le decisioni del cliente indipendenti tra loro, la
probabilità dello stato è p1= 0.20 • 0.15 • 0.05 = 0.0015
• disponibilità del cliente ad accettare offerta 130 per MS1, accettare
offerta 70 per MS2, accettare offerta 140 ma non 190 per MS1&2.
Se si ritengono le decisioni del cliente indipendenti tra loro, la
probabilità dello stato è p2= 0.20 • 0.15 • 0.60 = 0.018.
In questo caso questo l’ipotesi di indipendenza delle decisioni è
discutibile in quanto è strano che il cliente sia disposto a pagare 200 per
i due tender separati, ma non a pagare 190 per il tender MS1&2.
65
66
Le probabilità dei diversi stati dovrebbero essere valutate caso per caso in base
alle informazioni sulla natura (ad esempio si può supporre che il cliente sia
razionale).
In particolare la probabilità di uno stato di natura caratterizzato dalla
realizzazione di tre eventi, e.g., A, B e C, dovrebbe essere calcolato in base alle
probabilità condizionate, come ad esempio
P(ABC) = P(C)P(B|C)P(A|BC),
non in base alla formula P(ABC) = P(C)P(B)P(A).
In dati disponibili e le ipotesi sulla razionalità del cliente però non sono
sempre sufficienti a determinare, nemmeno utilizzando Bayes, le probabilità
condizionate richieste.
Il valore atteso della informazione campionaria (Expected Value of Sample
Information, EVSI)
• L’informazione perfetta non è disponibile
• Se EVPI è non trascurabile si può valutare l’opportunità di acquisire
informazione su quali alternative scegliere
• Indagine di mercato (I): IEi = l’indagine ha esito Ei
• Si valuta (sulla base di analoghe indagini passate) la probabilità che
l’informazione acquisita suggerisca una alternativa quando si verifica uno
certo stato
Supposto di essere riusciti a calcolare le probabilità dei diversi stati e il valore
della decisione ottima in ognuno degli stati si può poi calcolare il valore EVpi e
quindi EVPI.
⇒p(IEi | Sj)
67
68
piove (p=0,4)
Il valore atteso della informazione campionaria (continua)
5
ombrello
• Normalmente una decisione viene presa a priori, i.e., prima che accadano
gli eventi che influenzeranno le conclusioni
EV=0,8
non
ombrello
• Con l’informazione campionaria la decisione avviene a valle di
un’indagine campionaria, dai cui risultati (casuali) si possono prevedere
con maggiore precisione gli eventi (stati di natura) che accadranno.
-2
non piove
(p= 0,6)
piove
-10
non piove
7
Decisione senza
informazione
campionaria
piove
previsioni
pioggia
non
ombrello
EVSI
Decisione con
informazione
campionaria
5
ombrello
previsioni
no pioggia
non piove
-2
piove
-10
non piove
7
piove
5
ombrello
non
ombrello
non piove
-2
piove
-10
non piove
7
69
70
• Probabilità a priori degli stati di natura P(Sj):
P(piove) = 0.4
P(non piove) = 0.6
Le probabilità a priori P(Sj) possono, e.g., essere dedotte dal rapporto tra il numero
di giornate piovose e il numero delle giornate totali del mese che si sono verificate
nello stesso periodo di osservazione negli anni precedenti
• Probabilità condizionate P(IEi| Sj):
P(previsione pioggia|piove) = 0.9
P(previsione pioggia|non piove) = 0.2
P(previsione no pioggia|piove) = 0.1
P(previsione no pioggia|non piove) = 0.8
Le probabilità condizionate P(IEi| Sj) possono anche esse dedursi facilmente, e.g.,
verificando quante volte nel passato le previsioni (esiti indagine) erano state corrette
Le difficoltà nella valutazione del EVSI consistono nel determinare:
Le probabilità a priori P(IEi) che si verifichi un determinato esito IEi
dall’indagine campionaria
Le probabilità condizionate P(Sj|IEi) che accada l’evento Sj, i.e., che si
realizzi lo stato Sj, dato che l’indagine campionaria ha dato esito IEi, i.e.,
P(Sj|IEi) sono le probabilità degli stati della natura condizionate agli esiti
dell’indagine (a posteriori)
Dai dati storici è però facile dedurre le probabilità a priori degli stati di
natura P(Sj) e le probabilità a posteriori P(IEi| Sj) del realizzarsi di un esito
IEi dato che si verifica lo stato Sj
Dall’applicazione del teorema di Bayes è poi possibile dedurre le
probabilità desiderate
71
72
piove, 0.75
Applicando Bayes si ottiene:
• Probabilità a priori degli esiti dell’indagine P(IEi) = Σj P(IEi| Sj) P(Sj):
ombrello
non piove, 0.25
EVSI=3.25
• P(previsione pioggia) = 0.9 • 0.4 + 0.2 • 0.6 = 0,48
• P(previsione no pioggia) = 0.1 • 0.4 + 0.8 • 0.6 = 0,52
non
ombrello
previsioni
pioggia, 0.48
• Probabilità condizionate P(Sj|IEi) = P(IEi| Sj) P(Sj)/P(IEi)
• P(piove| previsione pioggia) = 0.9 • 0.4 / 0.48 = 0.75
• P(piove| previsione no pioggia) = 0.1 • 0.4 / 0.52 = 0.08
• P(non piove| previsione pioggia) = 0.2 • 0.6 / 0.48 = 0.25
• P(non piove| previsione no pioggia) = 0.8 • 0.6 / 0.52 = 0.92
EVSI=4.52
previsioni no
pioggia, 0.52
-2
0.75
-10
0.25
7
0.08
5
0.92
-2
0.08
-10
0.92
7
EVSI = 4.52 – 0.80 = 3.72
SIE = EVSI/EVPI = 0.69
ombrello
EVSI=5.69
5
non
ombrello
73
74
Information, EVSI) – Riassunto formale
Information, EVSI)
• Si devono valutare
p(IEi) le prob. a priori degli esiti dell’indagine
• EVSI (valore monetario atteso con informazione campionaria) si valuta
aggiornando le probabilità a priori degli stati della natura in base agli esiti
p(Sj | IEh) le prob. degli stati condizionate agli esiti dell’indagine (a
dell’indagine IEi
m
EVSI = ∑ p( IEi ) ⋅ EVSIi
i =1
posteriori)
n
EV SI i = ∑ p ( S j IE i ) ⋅ Vij
• Probabilità Totale
j =1
m
p ( IEi ) = ∑ p ( IEi S j ) ⋅ p ( S j )
i =1
• Teorema di Bayes
dove EVSIi è il valore atteso della migliore decisione che si può prendere a
p ( S j IE i ) =
valle dell’esito IEi e Vij è il valore della migliore decisione che si può
prendere a valle dell’esito IEi e della realizzazione dello stato Sj
p ( IE i S j ) ⋅ p ( S j )
p ( IE i )
75
76
Information, EVSI)
• Si ottiene
Information, EVSI)
m

 n
EV SI = ∑ p ( IE i ) ⋅  ∑ p ( S j IE i ) ⋅ Vij 
i =1

 j =1
• Il valore atteso dell’informazione campionaria
EVSI = EVSI - EV
m
 n p ( IE i S j ) ⋅ p ( S j ) ⋅ Vij 
= ∑ p ( IE i ) ⋅  ∑
=
p ( IE i )
i =1
 j =1

m
• Efficienza dell’informazione campionaria (Sample Information Efficiency,
SIE)
n
= ∑ ∑ p ( IE i S j ) ⋅ p ( S j ) ⋅ Vij
SIE = EVSI/EVPI
i =1 j =1
0 ≤SIE ≤1
77
Un esercizio
•
78
Un esercizio
Valutare 4 tipi di innovazione tecnologica di un prodotto a fronte di 3
possibili scenari futuri della domanda, le cui probabilità a priori sono
• Valutare l’opportunità di eseguire o meno un test sul possibile scenario di
mercato avendo informazioni storiche sulla probabilità degli esiti del test
dati gli stati della natura
pbassa = 0,1 pmedia = 0,5 palta = 0,4.
Guadagni (utilità)
Decisioni\Domanda
Bassa
Media
Alta
A
200
350
600
B
250
350
540
Test Mercato\Domanda
Bassa
Media
Alta
C
300
375
490
Favorevole
0.2
0.4
0.7
D
300
350
470
Invariato
0.2
0.3
0.2
Sfavorevole
0.6
0.3
0.1
p(Th/Sj)
79
80
D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza
Criterio MAXIMIN
• Atteggiamento pessimista del DM: massimizza il payoff nel caso più
sfavorevole
Non sono disponibili le informazioni sulla probabilità degli stati futuri della
natura
f(v) = maxi minj Vij
Criteri decisionali f(V):
• MAXIMIN
• Problemi:
• MAXIMAX
Scarso uso dell’informazione disponibile
• Hurwicz
Miopia (incapacità di valutare un compromesso)
• Laplace (equiprobabilità)
81
82
Criterio di Hurwicz
Criterio MAXIMAX
• Un compromesso tra MAXIMIN e MAXIMAX espresso da un parametro α
(MAXIMAX) 0 ≤ α ≤ 1 (MAXIMIN)
• Atteggiamento ottimista del DM: massimizza il payoff nel caso più
favorevole
f(v) = maxi maxj Vij
f(v) = maxi (α minj Vij + (1- α) maxj Vij)
• Problemi:
Gli stessi del MAXIMIN
83
84
Criterio di Laplace (equiprobabilità)
Esempio
• Si considerano equiprobabili gli stati della natura e si sceglie secondo il
massimo valore atteso
• Il problema della selezione della tecnologia
Guadagni (utilità)
• si pone
p(Sj) = 1/n ∀j
Decisioni\Domanda
Bassa
Media
Alta
A
200
350
600
• si sceglie
f(V) = maxi ∑j p(Sj)Vij
B
250
350
540
C
300
375
490
D
300
350
470
• D è dominata da C !!!
85
86
Analisi di sensitività – Break Even Point
Esempio
• Il problema della selezione della tecnologia (si scelga, ad esempio, α = 0.4
per algoritmo di Hurwicz)
• Nel caso di 2 eventi si può analizzare l’andamento della decisione in
funzione della probabilità
Ad esempio
Guadagni (utilità)
Dec.\Dom.
Bassa
Media
Alta
MAXIMIN
MAXIMAX
α=0.4
A
200
350
600
200
600
440
383
B
250
350
540
250
540
424
380
C
300
375
490
300
490
414
388
Stati della Natura
Equip
Decisioni
S1 (p)
S2 (1-p)
A1
V11
V12
A2
V21
V22
A3
V31
V32
A4
V41
V42
EV(Ai) = pVi1 + (1-p)Vi2
87
88
Analisi di sensitività – Break Even Point
• Graficamente
EV(Ai) = pVi1 + (1-p)Vi2
V22
V12
Break Even
Point
A2
A1
A4
Obiettivi Multipli
V41
V11
V21
V42
V31
V32
p
0
1
89
90
Obiettivi Multipli
Esempio di riferimento
I problemi reali, soprattutto in presenza di più decisori, presentano spesso
criteri di valutazione delle soluzioni (obiettivi) multipli;
Si consideri il seguente problema di programmazione lineare con due obiettivi
spesso tali criteri sono discordi non è quindi possibile agire in modo che
possano essere tutti soddisfatti al meglio;
max z = 5x1 + 6x2 +3x3
max w = 10x2
2x1 + 4x2 + x3 ≤15
3x1 + 2x2 + 2x3 ≤23
x1 + 3x2 + x3 ≤ 18
xi ≥ 0
diversi approcci sono possibili per superare tale difficoltà:
• combinazione pesata degli obiettivi,
• approccio lessicografico (o disgiuntivo)
• approccio congiuntivo,
• approccio della marca ideale.
la soluzione determinata dovrà comunque essere Pareto ottima.
91
92
Esempio di riferimento
Combinazione pesata degli obiettivi
Se si ottimizzano separatamente i due obiettivi con il simplesso si ottiene
max z = 5x1 + 6x2 +3x3
2x1 + 4x2 + x3 ≤15
z* = 38
w= 0
3x1 + 2x2 + 2x3 ≤23
x1 + 3x2 + x3 ≤ 18
xi ≥ 0
Per ottenere un’unica soluzione si può usare la combinazione pesata degli
obiettivi quando è possibile quantificare (ad esempio monetizzando)
l’importanza relativa dei diversi obiettivi.
E.g., si supponga che ottimizzare l’obiettivo z sia due volte più importante
che ottimizzare w. Si giunge a
max w = 10x2
2x1 + 4x2 + x3 ≤15
3x1 + 2x2 + 2x3 ≤23
z= 22,5
w* = 37,5
x1 + 3x2 + x3 ≤ 18
xi ≥ 0
alle due soluzioni corrispondono ovviamente diversi valori delle xi e quindi
non può essere presa una decisione che soddisfi entrambe gli obiettivi, bisogna
giungere ad un compromesso e scegliere uno dei punti della frontiera di
Pareto.
max 2(5x1 + 6x2 +3x3) + 1(10x2)
2x1 + 4x2 + x3 ≤15
3x1 + 2x2 + 2x3 ≤23
x1 + 3x2 + x3 ≤ 18
xi ≥ 0
z* = 38
w= 11,66
In questo caso z non è diminuito rispetto all’ottimo, ma in generale ciò
potrebbe avvenire.
93
94
Approccio congiuntivo
Approccio lessicografico
Per ottenere un’unica soluzione si può usare l’approccio congiuntivo quando è
possibile stabilire una soglia minima di soddisfacimento che deve essere
rispettata da tutti gli obiettivi.
In pratica tutti gli obiettivi vengono trasformati in vincoli.
E.g., si supponga che sia z che w debbano valere almeno 25. Si può poi
ottimizzare rispetto ad uno qualunque o ad una combinazione degli obiettivi,
giungendo, e.g., a
Per ottenere un’unica soluzione si può usare l’approccio lessicografico
quando è possibile stabilire una precisa gerarchia di dominanze tra gli
obiettivi.
E.g., si supponga che ottimizzare l’obiettivo z sia più importante che
ottimizzare w, se però ci sono soluzioni equivalenti si scelgono quelle che
ottimizzano w.
Si ottimizza quindi prima rispetto a z e si ottiene z* = 38, quindi si impone
che tale condizione sia rispettata e si ottimizza rispetto a w, giungendo a
max 10x2
2x1 + 4x2 + x3 ≤15
3x1 + 2x2 + 2x3 ≤23
x1 + 3x2 + x3 ≤ 18
5x1 + 6x2 +3x3 = 38
xi ≥ 0
z* = 38
max 5x1 + 6x2 +3x3
2x1 + 4x2 + x3 ≤15
3x1 + 2x2 + 2x3 ≤23
z = 30
w= 25
x1 + 3x2 + x3 ≤ 18
5x1 + 6x2 +3x3 ≥ 25
10 x2 ≥ 25
xi ≥ 0
In questo caso obiettivi sono diventati vincoli, col rilassamento lagrangiano
vincoli diventano obiettivi.
w= 11,66
95
96
Approccio della marca ideale
Obiettivi Multipli: esempio grafico I
Per ottenere un’unica soluzione si può usare l’approccio della marca ideale
quando è possibile stabilire i valori ideali da cui ci si vuole allontanare il
meno possibile.
E.g., i valori ottimi per il problema sono z*= 38 che w*= 37,5. Si può
quindi minimizzare una norma giungendo a
min ||38 – (5x1 + 6x2 +3x3)|| + ||37,5 – 10x2||
2x1 + 4x2 + x3 ≤15
3x1 + 2x2 + 2x3 ≤23
z = 26,6
x1 + 3x2 + x3 ≤ 18
xi ≥ 0
Si consideri il seguente problema
max z = x1 + 3x2
max w = 3x1 + x2
-x1 + x2 ≤4
x1 + x2 ≤8
2x1 + x2 ≤12
x1 ≤5
4
xi ≥ 0
w= 30,6
(2,6), soluzione ottima per z
(5,2), soluzione
ottima per w
Se la norma scelta è quella 1, l’approccio equivale a quello della
combinazione pesata degli obiettivi. Se la norma è infinito si giunge
all’approccio lessicografico. Di solito si usa il quadrato della norma 2 (i
risultati indicati sono riferiti a tale caso)
5
97
Obiettivi Multipli: esempio grafico I
4
Obiettivi Multipli: esempio grafico II
Si consideri il seguente problema
max z = x1 + x2
max w = 3x1 + x2
-x1 + x2 ≤4
x1 + x2 ≤8
2x1 + x2 ≤12
x1 ≤5
4
xi ≥ 0
faccette (2,6) - (4,4) e
(4,4) - (5,2), soluzioni
pareto ottime
soluzione ottima
per 1/2 ≤a ≤1
5
combinazione conica (o, come in
questo caso, convesso) delle
funzioni obiettivo
max a( x1 + 3x2) + b(3x1 + x2)
e.g., con a, b ≥ 0, a + b = 1
4
98
faccetta (2,6) - (4,4), soluzioni
ottime per z, z* = 8
soluzione ottima
per 1/6 ≤a ≤ 1/2
(5,2), soluzione
ottima per w, w* =
17
soluzione ottima
per 0 ≤a ≤1/6
5
5
99
100
faccetta (2,6) - (4,4),
soluzioni ottime per z
4
(4,4), soluzione
lessicografica,
considerando prima la
funzione obiettivo z
faccetta (4,4) - (5,2),
soluzioni pareto ottime
(5,2), soluzione
lessicografica,
considerando prima la
funzione obiettivo w
5
5
(5,2), soluzione ottima per
funzione obiettivo w
5
101
102
Esercizi
1. Valutare per punti la propria funzione di utilità tra gli 0 e i 10000 EUR.
2. Si stimi il valore di r per una funzione di utilità U(x) = a - b e-rx sapendo
che il DM ritiene β la CME di una lotteria i cui premi sono distribuiti
uniformemente tra γ e δ.
insieme soluzioni per cui z = 7.5
(4.5,3), soluzione congiuntiva, imponendo che il
valore dell’obiettivo z sia almeno 7.5 e
massimizzando l’obiettivo w
3. I dati storici di una azienda indicano che nel passato recente sono stati
effettuati gli seguenti investimenti riportati in tabella. Stimare la funzione
di utilità del management aziendale con una funzione esponenziale a-be-rx
5
capitale
investito
A
soluzione di distanza
quadratica minima
rispetto alla marca
ideale A
0
198
261
299
1194
2499
1502
5
valore finale
probabilità
investimento valore finale
successo
se non vi è
se vi è
investimento successo
successo
0
0
0
0,28
2000
0
0,53
1300
0
0,72
1000
0
0,86
3000
0
0,95
5000
0
0,99
2500
0
103
104
Esercizi
3. Dato un capitale di 100 EUR si possono possono effettuare due tipi di
“investimento”. Il primo investimento ha una probabilità di successo di 0,5 e, nel
caso ciò accada, vi sarà un ritorno di 220 EUR, altrimenti si perde tutto. Il secondo
investimento richiede di spezzare il capitale in due tranche da 50 EUR. Entrambe
le tranche, ma in modo indipendente, sono investite in attività che hanno
probabilità di successo di 0,5 e, nel caso ciò accada, hanno un ritorno di 110 EUR,
altrimenti hanno ritorno nullo.
Supponendo di essere obbligati a scegliere uno dei due tipi di investimento
indicare quale si preferirebbe, nel caso in cui si sia avversi al rischio e nel caso in
cui si sia propensi al rischio.
Alla luce dei risultati ottenuti argomentare sul perché conviene diversificare il
rischio nel caso si debba investire in attività in cui non si abbia il controllo sulle
probabilità di successo. Viceversa argomentare sul quali debbano essere le
condizioni che spingano una azienda a concentrarsi sul suo core business o
viceversa diversificarsi. Nel secondo caso indicare inoltre quando all’azienda
conviene diversificarsi orizzontalmente e quando conviene diversificarsi
verticalmente. Presentare degli esempi numerici.
4. Svolgere gli esercizi proposti dal prof. Beasley alla pagina
http://mscmga.ms.ic.ac.uk/jeb/or/decmore.html. Per determinare la scelta ottima
utilizzare EV, ROI e la funzione di utilità determinata nell’esercizio 2.
Commentare gli eventuali risultati discordi.
105

Teoria delle Decisioni

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