Calcolo Scientifico A.A. 2012/2013

Calcolo Scientifico A.A. 2012/2013 - Progetto 1
Consegna entro
13 Novembre 2012
• Per l’integrazione numerica del problema ai valori iniziali y 0 (t) = f (t, y(t)),
y(t0 ) = y0 , si consieri il seguente metodo di approssimazione ad un passo
definito dall’iterazione (assegnata la suddivisione t0 < t1 < ... < tN = T ,
uniforme tn+1 = tn + h, con h passo costante)
µ
¶
h
h
yn+1 = yn + hf tn + , yn + f (tn , yn ) .
2
2
Svolgere i seguenti punti.
(1) Dare una interpretazione geometrica o in termini di formula di quadratura del metodo sopra esposto.
(2) Implementare in uno script MATLAB il metodo ora descritto con passo
costante h.
(3) Stimare l’ordine di convergenza del metodo attraverso l’approssimazione
di un problema di cui si conosce la soluzione esatta. ‘Valutare l’ordine
dell’errore locale (attraverso opportuni sviluppi in serie di Taylor) e
confrontare il risultato con gli esperimenti numerici (grafico dell’errore
globale in funzione del parametro h in scala logaritmica).
(4) Studiare l’assoluta stabilità del metodo attraverso il semplice problema
modello (λ ∈ C),
y 0 (t) = λy(t), y(0) = y0 .
• Un giovane microbiologo russo, Georgyi Frantsevitch Gause (1910-1986), nel
1932 decise di sperimentale la competizione interspecifica utilizzando semplici popolazioni di protozoi. In particolare, Gause osservò la crescita di
popolazioni di Paramecium aurelia e Paramecium caudatum: sia quando
ciascuna specie viene posta in coltura singola sia quando entrambe sono
poste in coltura mista avendo a disposizione il medesimo mezzo nutritivo.
La sperimentazione ha mostrato che:
(1) nel caso di colture singole sia P. caudatum sia P. aurelia hanno una
crescita approssimativamente logistica e tendono verso abbondanze rispettivamente di 64 e 105 individui.
(2) Sempre per singole colture, il tasso r intrinseco di crescita delle due
popolazioni (quindi il tasso per valori piccoli della numerosità della
popolazione) vale r = 0.794 per il P. caudatum e r = 1.124 per il
P. aurelia.
(3) Nel caso di coltura mista l’influenza reciproca può essere modelizzata
come nella dinamica di Lotka-Volterra: in questo caso però il conflitto
riduce il tasso di crescita di entrambe le popolazioni essendo causato
dalla competizione per la stessa fonte di cibo.
Si costruisca quindi un modello per gli esperimenti di Gause nel caso di
colture miste nella forma
(
Pc0 (t) = F (Pc , Pa )
Pa0 (t) = G(Pc , Pa )
,
dove, Pa (t) e Pc rappresentano, rispettivamente, la popolazione di P. caudatum
e P. aurelia; le funzioni F e G dovranno essere dedotte dalle ipotesi sopra
esposte (lasciando generici gli eventuali parametri non specificati). Si consiglia di scrivere la parte di dinamica logistica nel modo seguente, qui P (t)
è una generica popolazione,
rP (t)
µ
K − P (t)
K
¶
dove K è la capacità massima ed r il tasso intrinseco di crescita.
(1) Quanti punti di equilibrio possono esserci? Studiarne la stabilità locale.
(2) Cosa possiamo dedurre dall’analisi di stabilità?
(3) Attraverso la funzione MATLAB ode45 (o simili) costruire alcune traiettorie nello spazio delle fasi. Commentare i risultati ottenuti.
(4) Negli esperimenti di Gause, nel caso di coltura mista P. aurelia ha
ancora una crescita di tipo logistico, mentre P.caudatum, dopo un iniziale aumento comincia a declinare fino ad essere in pratica estinto.
Per quali valori dei coefficienti di competizione può avvenire questo?
Fornire degli esempi numerici.
(5) [Facoltativo.] Come si modifica il modello introducendo un fattore di
prelievo per le due popolazioni?