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Creare animazioni con GeoGebra
Come animare un disegno
Con GeoGebra è possibile realizzare delle animazioni in vari modi. In generale è possibile muovere
direttamente un solo oggetto alla volta ma tutti quelli dipendenti da esso si muoveranno di conseguenza.
Inoltre se si attiva per uno o più oggetti la modalità Traccia On/Mostra Traccia, si potrà vedere la loro
traiettoria. Per cancellare le tracce: Ctrl + F.
Per muovere un oggetto si hanno le seguenti modalità:
a) Muovere direttamente col mouse nel foglio da disegno un oggetto, del tutto libero o in parte vincolato.
Si seleziona il modo Muovi, si clicca col mouse sull'oggetto da muovere e lo si trascina, tenendo premuto
il pulsante sinistro del mouse.
b) Selezionare prima, in modalità Muovi, l'oggetto da spostare o il valore da modificare in una delle due
finestre (algebra o geometria) e poi premendo sulla tastiera:
a) i pulsanti + o – per cambiare un valore o muovere un oggetto in parte vincolato come un punto
appartenente ad una curva
b) le frecce per muovere anche gli oggetti completamente liberi.
Per aumentare la velocità dell'animazione si tengono premuti anche i pulsanti Ctrl (aumenta di 10 volte il
valore dell'incremento) o Alt (aumenta di 100 volte). Il valore dell'incremento base si può riassegnare
nella finestra delle proprietà dell'oggetto mosso (normalmente è 0.1).
0) Punto mobile libero
Crea un nuovo punto A in un foglio di lavoro nuovo. Il punto A è completamente libero, può venir mosso
in tutte le direzioni. Lo puoi fare direttamente col mouse oppure clicca su A per selezionarlo e poi
spostalo utilizzando le quattro frecce della tastiera. Di quanto aumentano o diminuiscono le coordinate ad
ogni passo ? Cosa accade se si tiene premuto anche il pulsante Ctrl ? e con Alt ? I tasti + e – producono
un movimento ? Poi fai apparire la finestra Proprietà (clicca col pulsante destro sul punto e scegli la
voce Proprietà dal menù contestuale oppure clicca due volte sul punto) e modifica il valore
dell'incremento. Riprova a muovere il punto con le frecce e con i tasti Alt e Ctrl. Cosa ottieni ?
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1) Punto mobile su una circonferenza
Per ottenere un'animazione in cui un punto si muove su una circonferenza basta disegnare una
circonferenza (meglio con lo strumento
che richiede di creare sul foglio
da disegno il centro e di inserire, nella successiva finestra di dialogo, il valore del raggio) e inserire un
nuovo punto su di essa. Per muovere il punto si può usare il mouse oppure si clicca, in modalità Muovi,
sul punto da muovere per selezionarlo (si può fare anche nella finestra Algebra) e poi si premono i
pulsanti + o - oppure le frecce.
Si può fare anche in modo che il punto sulla circonferenza venga mosso da un altro punto mobile
appartenente ad una retta. Il procedimento è il seguente:
a) si crea una retta AB (conviene considerarne una orizzontale per avere più corsa entro la finestra);
b) si piazza un punto P sulla retta AB (P distinto da A e B, che definiscono la retta precedente);
c) si crea una circonferenza ad es. di centro C arbitrario e raggio 3;
d) si piazza un punto U sulla circonferenza; il punto U rimarrà fisso perché lo si utilizzerà come punto
d'origine degli archi;
e) con lo strumento
(si trova sotto il terzultimo gruppo di pulsanti)
si crea il punto mobile sulla circonferenza: si clicca prima su U poi sul centro della circonferenza C e,
nella finestra di dialogo che apparirà, si scrive la formula Distanza[P,A], se A è l'estremo sinistro della
retta; il punto che verrà creato in questo modo (D, nell'esempio) dipende dalla posizione di P.
Ora basta spostare P, direttamente col mouse o selezionandolo e poi premendo i tasti freccia o + / -, per
ottenere un punto, D, che si muove sulla circonferenza. Se si crea un altro punto, sempre con lo
strumento
, cliccando prima su U poi su C ma scrivendo questa volta
nella finestra di dialogo la formula 0.5*Distanza[P,A], si ottiene un punto E che viaggia alla metà della
velocità di D.
2) Modello tolemaico semplificato
Nel disegno saranno rappresentati: la Terra, il Sole (su una circonferenza di centro la Terra) e un pianeta
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esterno es. Marte (su una circonferenza con centro su una circonferenza che ha per centro la Terra). Il
pianeta quindi si muoverà su un epiciclo. Sarà rappresentata anche la sfera delle stelle fisse. In questo
modello non si considerano gli altri pianeti e si evitano eccentrici ed equanti. Inoltre, dal momento che
considereremo i moti annuali (mediamente da ovest verso est) e non i moti giornalieri (da est verso
ovest, dal nostro punto di vista terrestre), il Sole e il centro dell'epiciclo di Marte ruoteranno in senso
antiorario, immaginando di vedere il sistema dalla stella polare, mentre la sfera delle stelle fisse rimarrà
congelata. In altri termini si simuleranno i moti del sole e del pianeta rispetto allo sfondo delle stelle fisse
che era poi quanto osservavano gli astronomi.
In GeoGebra, dopo aver nascosto gli assi cartesiani (menù Visualizza>>Assi) creiamo all'inizio dei
parametri che utilizzeremo in seguito. Nel campo d'inserimento dei comandi scriviamo:
1) TS=5
(sarà la distanza Terra-Sole, l'unità astronomica)
2) TM=8
(la distanza media Terra-Marte, il raggio del deferente; non rispetta i rapporti reali, nel
sist. tolemaico i raggi delle sfere sono arbitrari)
3) a=2
(il raggio dell'epiciclo di Marte)
Con lo strumento
(è il secondo del gruppo circonferenze) creiamo due
circonferenze concentriche e il centro rinominiamolo Terra; stabiliamo i poi punti da cui misurare gli
angoli in questo modo:
4) circonferenza di centro arbitrario e raggio TS , da scrivere nella finestra; (sarà l'orbita del Sole)
5) rinomina il centro come Terra;
6) circonferenza di centro Terra e raggio TM;
(deferente di Marte)
Ora dobbiamo stabilire un punto iniziale da cui misurare gli spostamenti angolari sulle due circonferenze;
per ottenere dei punti con qualche sincronismo li piazziamo tutti sulla stessa retta (meglio: semiretta per
non avere ambuiguità sulle intersezioni):
7)
Semiretta per due punt (si trova sotto la retta per due punti)i: Terra e un
punto a caso
8) determina le intersezioni tra la retta ora tracciata e le due circonferenze; utilizza lo strumento
oppure quello specifico
9) Rinomina le due intersezioni U_1 (quella sulla circonferenza interna) e U_2 (quella sul deferente di
Marte).
Creiamo una linea del tempo ossia una retta (qui: semiretta) con un punto mobile la cui distanza da un
altro rappresenti il tempo trascorso:
10)Traccia una semiretta, possibilmente orizzontale, nella parte bassa della finestra; l'origine la rinomini
Z, l'altro punto lo nascondi;
11)Nuovo punto sulla semiretta, rinominalo MUOVI
12)crea una variabile che indicherà gli anni trascorsi: anni=distanza[MUOVI,Z]*0.1
[la moltiplicazione per 0.1 serve per avere un moto più fluido, meno a scatti.]
13)nascondi il punto Z
14)Con lo strumento
crea un punto sulla circonferenza più interna
che rappresenterà il Sole: clicca su U_1 poi su Terra; apparirà una finestra in cui inserire l'angolo; per
fare in modo che dopo 1 anno il punto che otterremo compia un giro completo, basta scrivere nella
casella: anni * 360° [il simbolo ° è necessario]; rinomina come Sole il punto creato; controlla se
muovendo il punto Muovi per 1 anno (vedi finestra Algebra) il Sole compie un giro completo;
15)Creiamo il centro dell'epiciclo di Marte: sempre con
si clicca su
U_2 e poi sulla Terra; nella finestra inserisci anni*180° [la metà del precedente valore per il Sole
perché Marte, rispetto alla terra che compie 1 giro all'anno attorno al Sole, impiega quasi 2 anni per
fare 1 giro attorno al Sole]; rinomina il punto M_1
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16)ora crea una circonferenza di centro M_1 e raggio a
17)dobbiamo creare un altro punto d'origine degli archi sull'epiciclo: traccia la parallela alla retta TerraU_1 passante per M_1 e metti un punto U_3 nell'intersezione tra la parallela e l'epiciclo;
18)con
clicca su U_3 e M_1, inserisci il valore anni*360° e rinomina
come Marte il punto così trovato. (in questo modo l'epiciclo è sincronizzato col Sole: Marte sul suo
epiciclo compie un giro in un anno).
Il disegno sarebbe completato però conviene nascondere gli elementi inutili: i punti U_1 – U_3, le rette
per la Terra e Marte, poi aggiungere la sfera delle stelle fisse e modificare l'aspetto degli oggetti (es.
ingrandendo Sole,Terra e Marte; usando i colori).
Abilitando la traccia di Marte si potrà osservare la formazione dei cappi; meglio ancora, se si disegna la
semiretta di origine Terra passante per Marte e la sua intersezione con il cielo delle stelle fisse, si
potranno evidenziare i moti retrogradi, in corrispondenza delle opposizioni.
Per complicare il modello si può introdurre un equante per Marte. Il punto equante è un punto rispetto a
cui il pianeta (o il centro del suo epiciclo) percorre angoli uguali in tempi uguali ma non coincide col
centro della sua sfera. Per farlo cancella dalla costruzione precedente il centro dell'epiciclo di Marte
(dovranno scomparire anche l'epiciclo di Marte e Marte stesso), crea poi un punto Eq vicino alla Terra e
una circonferenza di centro Eq e raggio arbitrario. Metti un punto S sulla circonferenza appena creata e
sempre con lo strumento
clicca su S, su Eq e scrivi come angolo la
formula precedente mente usata per Marte, anni*180° ; poi crea una semiretta di origine Eq passante
per il punto appena creato e trova l'intersezione della semiretta con il deferente di Marte. Il punto appena
creato sarà il centro dell'epiciclo di Marte che puoi costruire come prima.
Si può ulteriormente complicare il modello aggiungendo un eccentrico; in questo caso il deferente di
Marte non ha centro sulla Terra ma su un punto vicino.
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