2. principio di similitudine 2.1 similitudine geometrica

Marco Ferrando - Appunti del corso Architettura Navale 1: Principio di similitudine
2. PRINCIPIO DI SIMILITUDINE
Nello studio della resistenza e della propulsione delle imbarcazioni si fà largo uso
della similitudine in quanto consente, con determinati accorgimenti ed entro determinate
approssimazioni, di studiare il comportamento di carene in vera grandezza facendo
esperienze di laboratorio su modelli in scala.
Esistono quattro tipi di similitudine:
similitudine geometrica
similitudine cinematica
similitudine statica
similitudine dinamica.
2.1 SIMILITUDINE GEOMETRICA
Due corpi si dicono geometricamente simili se è possibile stabilire una
corrispondenza biunivoca tra elementi del primo e del secondo e se, per qualunque coppia
di punti corrispondenti (omologhi) dell'uno e dell'altro, le distanze fra essi sono in rapporto
costante; detto rapporto prende il nome di rapporto di similitudine geometrica ed è indicato
con -. Il rapporto tra aree omologhe di corpi geometricamente simili sarà evidentemente
-# , mentre il rapporto tra volumi corrispondenti sarà -$ .
Questo tipo si similitudine, già studiato nel corso di Disegno Navale, è alla base
della rappresentazione in scala; il rapporto di scala, infatti, altro non è che un rapporto di
similitudine.
Carene geometricamente simili vengono anche denominate GEOSIMS utilizzando
la denominazione proposta da E. V. Telfer tratta dall'abbreviazione delle parole inglesi
"GEOmetrically SIMilar bodieS".
similitudine geometrica Ê parametro
-
2.2 SIMILITUDINE CINEMATICA
Affinché esista la similitudine cinematica è necessario che i punti omologhi di
corpi geometricamente simili percorrano traiettorie anch'esse geometricamente simili e che
i tempi impiegati da punti omologhi nel percorrere traiettorie omologhe stiano nel rapporto
costante 7 .
Come si vede, perché possa esistere la similitudine cinematica è necessario che
esista la similitudine geometrica; in altre parole l'esistenza della similitudine cinematica
implica l'esistenza di quella geometrica.
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pag. 2.1
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La similitudine cinematica introduce un ulteriore vincolo, quello sui tempi; pertanto
essendo definiti spazi e tempi restano vincolate anche le velocità e le accelerazioni;
indicando con a, v, t, l rispettivamente accelerazioni, velocità, tempi e spazi relativi ad un
corpo e con gli stessi simboli muniti di apice le corrispondenti grandezze relative ad un
secondo corpo, avremo:
similitudine geometrica
lw
l
œ-
[2.1]
similitudine cinematica
tw
t
œ7
[2.2]
da cui, ricordando che
vœ
l
t
l
t#
aœ
si ottiene
vw
v
per le velocità
aw
a
per le accelerazioni
lw
tw
=
=
lw
tw #
t
l
=
7
[2.3]
t#
l
=
7#
[2.4]
similitudine cinematica Ê parametri
-
7
indipendenti
2.3 SIMILITUDINE STATICA
Se su punti omologhi di corpi geometricamente simili agiscono forze aventi
direzioni omologhe e versi omologhi e le cui intensità siano nel rapporto costante : si ha la
cosiddetta similitudine statica; anche per questa similitudine è necessario il presupposto
dell' esistenza della similitudine geometrica.
similitudine statica Ê parametri
: indipendenti
-
2.4 SIMILITUDINE DINAMICA
Se coesistono le tre similitudini sopra descritte si ha la similitudine dinamica. In
questa similitudine i parametri sono tre, -, :, 7 , ma essi non sono indipendenti tra loro
essendo legati dall'equazione che esprime il primo principio di Newton; infatti, indicando
con f le forze, con a le accelerazioni, con m le masse (prodotto di densità 3 per volumi f),
si può scrivere:
: =
fw
f
=
mw aw
ma
=
3w fw aw
3fa
=
3w
3
-$
7#
=
3w
3
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-%
7#
[2.5]
pag. 2.2
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Consideriamo ora il numero di Newton, indicato con Ne, che è il rapporto tra una
forza ed il prodotto di densità per lunghezza per velocità al quadrato:
f
3 l# v#
Ne œ
con la solita convenzione sugli apici potremo scrivere:
fw
New œ
3w lw #
vw #
ma, utilizzando le definizioni dei parametri della similitudine, potremo scrivere anche:
New
=
fw
3w lw #
vw #
=
:f
3w -# l#
-#
7#
3
3
v#
= ”
:
3w
3
-%
7#
•
f
3 l# v#
= Ne
dal momento che la quantità fra parentesi quadra vale 1 per l'eq. [2.5]; si può quindi
concludere che i numeri di Newton relativi a corpi in similitudine dinamica sono eguali.
similitudine dinamica Ê parametri
-
7
: equazione := 33
w
-%
7#
2.5 SIMILITUDINE DI FROUDE
Come si è visto i tre parametri della similitudine dinamica sono legati tra loro da
una sola equazione; restano, quindi, due gradi di libertà, ovvero abbiamo la possibilità di
scegliere arbitrariamente due di essi mentre il terzo rimane determinato dovendo essere
verificata l'equazione anzidetta.
Ipotizziamo di introdurre una ulteriore equazione che contenga parametri della
similitudine, ad esempio la:
7σ
g
gw
[2.6]
-
ove con g e gw si sono indicate le accelerazioni di gravità relative a due corpi in similitudine
dinamica. Questa ulteriore equazione rappresenta un vincolo supplementare ed elimina uno
dei gradi di libertà; in questo modo, fissando ad esempio -, restano determinati 7 e : dalle
due equazioni.
L'equazione [2.6] può essere riscritta nel modo seguente:
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pag. 2.3
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7
σ
gw
g
-
e, ricordando che per l'eq. [2.3] il rapporto tra - e 7 rappresenta il rapporto tra le velocità di
due corpi in similitudine geometrica tra loro, si può ricavare:
vw
v
σ
gw
g
[2.7]
-
Si può quindi osservare che, procedendo in questo modo, le velocità di due corpi,
soggetti a questo tipo particolare di similitudine dinamica, risultano vincolate
dall'equazione [2.7]; quest'ultima può essere riscritta nella forma:
vw
v
σ
gw
g
lw
l
ed anche nel modo seguente:
vw
È gw lw
œ
v
Ègl
Il rapporto tra una velocità e la radice quadrata del prodotto di una lunghezza per
l'accelerazione di gravità prende il nome di numero di Froude e si indica con Fn,
dall'inglese Froude number, pertanto l'equazione precedente può essere riscritta nella
forma:
Fnw œ
vw
È gw lw
œ
v
Ègl
œ Fn
Il particolare tipo di similitudine dinamica, che soddisfi le equazioni [2.5] ed [2.6] e
che mantenga invariato il numero di Froude, prende il nome di similitudine di Froude.
È interessante notare che il numero di Froude è una grandezza adimensionale che
contiene la velocità; per questo motivo esso è stato adottato dalla comunità idrodinamica
internazionale per esprimere in forma adimensionale la velocità di una carena. A questo
scopo si utilizza come grandezza lineare la lunghezza al galleggiamento della carena o, per
usi particolari, la radice cubica del volume di carena; è anche possibile, sempre per usi
particolari, utilizzare altre dimensioni della nave, a patto che siano introdotte nel numero di
Froude con un opportuno esponente in modo tale che la grandezza risulti di dimensione
lineare.
Dovendo condurre delle esperienze su modelli di carena è necessario distinguere tra
le grandezze relative alla nave in vera grandezza e quelle relative al modello in scala. Si è
quindi convenuto di indicare con il pedice s le grandezze relative alla nave (ship) e con il
pedice m quelle relative al modello (model).
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pag. 2.4
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Realizzando la similitudine di Froude, il rapporto tra le forze in gioco si potrà
scrivere, nel modo seguente:
f=
f7
-%
7#
3=
37
œ:œ
ma per l'equazione [2.6] questa relazione diviene:
f=
f7
-%
7#
3=
37
œ:œ
œ
3= g=
37 g7
-$
Le densità dell'acqua e le accelerazioni di gravità per la nave e per il modello non
sono rigorosamente eguali, ma poco differenti, quindi i loro prodotti, che danno i pesi
specifici dell'acqua # , saranno anch'essi circa eguali. Sostituendo poi, nell'equazione
precedente, a -$ il rapporto tra i volumi di carena f e ricordando che il prodotto # f è
eguale al dislocamento ? si ottiene:
f=
f7
œ
?=
?7
da cui si ricava che il rapporto tra le forze agenti sulla nave e sul modello, operando in
similitudine di Froude, è pari a quello dei corrispondenti dislocamenti.
similitudine di Froude Ê parametri
-
7
: equazioni := 33
w
-%
7#
7σ
g
gw
-
2.6 SIMILITUDINE DI REYNOLDS
Consideriamo ora una similitudine dinamica caratterizzata dall'equazione [2.5] e
dalla relazione seguente:
7 œ -#
/
/w
[2.8]
ove con / si è indicata la viscosità cinematica del fluido.
Le velocità dei corpi che obbediscono a questo tipo si similitudine saranno nel
rapporto:
vw
v
œ
7
œ-
" /w
/
[2.9]
œ-
$ /w#
/#
[2.10]
mentre le accelerazioni saranno legate dalla:
aw
a
œ
7#
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pag. 2.5
Marco Ferrando - Appunti del corso Architettura Navale 1: Principio di similitudine
Il rapporto : tra le forze risulta determinato dalla equazione [2.5] e vale:
:œ
fw
f
3w
3
œ
#
/w
/#
[2.11]
resta così dimostrato che, utilizzando questo tipo di similitudine, le forze in gioco sono
indipendenti dal rapporto di scala; se la sperimentazione su modello viene condotta
utilizzando lo stesso fluido, a parità quindi di densità e viscosità, le forze relative al
modello sono eguali a quelle in vera grandezza.
L'equazione [2.9], che lega le velocità dei corpi in similitudine, può essere riscritta,
utilizzando l'equazione [2.8], nella forma seguente:
vw
v
œ
7
vw lw
/w
œ
/w
/
l
lw
œ
vl
/
Il rapporto tra il prodotto di una velocità per una lunghezza e la viscosità cinematica
prende il nome di numero di Reynolds e si indica con Rn dall'inglese Reynolds number,
pertanto l'equazione precedente potrà essere riscritta nella forma seguente:
Rnw œ
vw lw
/w
œ
vl
/
œ Rn
Il particolare tipo di similitudine dinamica, che soddisfi le equazioni [2.5] ed [2.8] e
che mantenga invariato il numero di Reynolds, prende il nome di similitudine di
Reynolds.
similitudine di Reynolds Ê parametri
-
: equazioni
7
:= 33
w
-%
7#
7 œ -#
/
/w
2.7 CONSIDERAZIONI FINALI
Se pensassimo di realizzare contemporaneamente le similitudini di Reynolds e di
Froude introdurremmo tre equazioni che legano le tre incognite, annullando tutti i gradi di
libertà; in altre parole non potremmo neppure scegliere la scala del modello. Infatti dalle
dalle equazioni:
7σ
g
gw
-
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pag. 2.6
Marco Ferrando - Appunti del corso Architettura Navale 1: Principio di similitudine
7 œ -#
si ricava:
É
g
gw
-œ’
/
/w
- œ -#
/w
/
É
g
gw
/
/w
“
#
$
che, nel caso in cui / w ¶ / e gw ¶ g, conduce ad ottenere - ¶ 1.
Si può osservare quindi che è impossibile condurre una sperimentazione su un
modello osservando contemporaneamente la similitudine di Reynolds e quella di Froude, in
quanto il rapporto di scala dovrebbe essere pari all'unità.
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pag. 2.7