La Sezione Aurea nell`Architettura

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SAPIENZA UNIVERSITÀ DI ROMA LA SEZIONE AUREA NELL’ARCHITETTURA Appunti per il corso di Teorie e tecniche costruttive nel loro sviluppo storico
Alessandra Simi
La Sezione Aurea nell’Architettura Questi appunti sono l’elaborazione dei testi presentati in bibliografia e sono per uso interno alla Facoltà di Architettura
Valle Giulia, nell’ambito del corso di Teorie e tecniche costruttive nel loro sviluppo storico del prof. Giorgio Monti
2 La Sezione Aurea nell’Architettura Indice
1
2
3
INTRODUZIONE STORICA .......................................................................................... 5
1.1
La sezione aurea nella Grecia classica .................................................................... 6
1.2
La sezione aurea nel Rinascimento ......................................................................... 8
1.3
Luca Pacioli e la “Divina Proportione” ................................................................. 10
1.4
Il valore estetico della sezione aurea ..................................................................... 11
1.5
Il valore esoterico della sezione aurea................................................................... 13
IL NUMERO AUREO ................................................................................................... 17
2.1
Definizione ............................................................................................................ 17
2.2
Costruzione geometrica ......................................................................................... 18
2.3
Fibonacci e il numero aureo .................................................................................. 23
2.4
Il rettangolo aureo ................................................................................................. 28
LA SEZIONE AUREA NELLA STORIA DELL’ARCHITETTURA ......................... 33
3.1
La Grande Piramide di Cheope ............................................................................. 33
3.2
Il Tempio della Concordia..................................................................................... 40
3.2.1 La pianta del Tempio della Concordia ..................................................... 40
3.2.2
3.3
La facciata del Tempio della Concordia ................................................... 42
Il Partenone ........................................................................................................... 43
3.3.1
La facciata del Partenone ......................................................................... 43
3.3.2 La pianta del Partenone ............................................................................ 46
3.4
Il Pantheon a Roma ............................................................................................... 47
3.5
La Cattedrale di Notre Dame ................................................................................ 50
3.5.1
La facciata di Notre Dame ........................................................................ 50
3.5.2
Il fianco di Notre Dame ............................................................................. 52
3.6
La Cattedrale di Colonia ....................................................................................... 53
3.7
Il Duomo di Milano ............................................................................................... 55
3.8
Il portale di Castel del Monte ................................................................................ 56
3.9
L’architettura di Raffaello ..................................................................................... 57
3.10 Il Modulor di Le Corbusier ................................................................................... 67
4
CONCLUSIONE ............................................................................................................ 73
5
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI ................................................................................ 76
3 La Sezione Aurea nell’Architettura 4 La Sezione Aurea nell’Architettura 1
INTRODUZIONE STORICA
La storia della sezione aurea è antica di tre millenni: appartiene alla storia dei pensiero greco,
e perciò alle origini del nostro pensiero.
La sezione aurea, in matematica e in arte, è una proporzione geometrica basata su di un
rapporto specifico, nel quale la parte maggiore sta alla minore come l’intera sta alla parte
maggiore, come ampiamente spiegato al par. 2.1.
Questo numero, o questa proporzione geometrica definita anche “proporzione aurea”,
“numero aureo”, “rapporto aureo”, “sezione aurea”, “divina proporzione” sembra possa
rappresentare lo standard di riferimento per quanto riguarda la perfezione, la grazia e
l’armonia sia in architettura, scultura e pittura, sia nella stessa Natura.
Ha solitamente due significati, uno quantitativo ed uno estetico, perché pur essendo definita
matematicamente le viene attribuita la capacità, se applicata ad oggetti che colpiscono i sensi,
di renderli piacevolmente belli ed armoniosi.
Alcune delle più grandi menti matematiche di ogni tempo, da Pitagora ad Euclide nella Grecia
antica, passando nel Medioevo, per il matematico Leonardo da Pisa e nel Rinascimento per
l’astronomo Keplero, fino a protagonisti della scienza contemporanea come Roger Penrose,
hanno dedicato tempo e riflessione a questa proporzione ed alle sue proprietà. Ma la
proporzione aurea non ha affascinato solo i matematici. Biologi, artisti, musicisti, storici,
architetti, psicologi, medici, hanno studiato e discusso la sua inattesa presenza nelle diverse
discipline.
La proporzione aurea si può evidenziare in tutti i regni della natura, perciò questa sua
polivalenza la fa assurgere all’altezza di “archetipo”.
I greci, riferendosi alla divisione di un segmento in parti che stanno tra loro nel modo indicato
dalla proporzione del rapporto aureo, parlarono di sezione del segmento in media ed estrema
ragione. Questa terminologia originaria fu nel seguito abbreviata nel solo termine sezione, e
più tardi ancora, dopo Keplero, entrò in uso l’espressione sezione aurea. E’ di Keplero la
famosa frase: "La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la
sezione aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d’oro; il
secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello."
5 La Sezione Aurea nell’Architettura Ma il vero trionfo della sezione aurea nell’arte si ebbe nel Rinascimento quando rappresentò
per tutti gli artisti di quel periodo un canone di bellezza cui ispirasi per ogni composizione
artistica dall’architettura alla scultura, alla pittura. Più di tutti contribuì a questa concezione
l’opera di Luca Pacioli “La Divina Proportione”, stampata e diffusa in tutta Europa,
incentrata proprio sulla proporzione come chiave universale per penetrare i segreti della
bellezza ma anche della natura; al centro è collocato l’uomo, misura di ogni cosa, sospeso tra
un quadrato ed un cerchio nell’“Uomo Vitruviano”, il celebre disegno di Leonardo. E tra tutte
le possibili proporzioni, quella aurea sembra essere la vera ispiratrice della bellezza, quindi
del creato, quindi del Suo creatore, quindi Divina.
Riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole, la sezione aurea è stata utilizzata
come base per la composizione di elementi pittorici o architettonici. In realtà, vari esperimenti
suggeriscono che la percezione umana mostra una naturale preferenza per le proporzioni in
accordo con la sezione aurea, come si vedrà al par. 2.4; gli artisti tenderebbero quasi
inconsciamente a disporre gli elementi di una composizione in base a tali rapporti.
I Greci la utilizzarono ampiamente nella costruzione di molti templi e numerosi architetti
rinascimentali la utilizzarono nella realizzazione di giardini.
1.1
L A SEZIONE AUREA NELLA G RECIA CLASSICA
I resti degli antichi templi classici evocano ancora un senso di equilibrio, armonia e
perfezione, che ci incanta con il ritmo delle loro proporzioni. E’ il risultato di un’organica
concezione estetica che ispirò ogni espressione artistica della popolazione ellenica. Purtroppo,
nonostante la quantità notevole di opere pervenuteci, molte delle quali anche in ottime
condizioni, conosciamo molto poco della teoria estetica che si trova alla loro base, a causa
della mancanza di una chiara testimonianza grafica o letteraria.
E’ necessario allargare l’analisi al panorama culturale che si era venuto a creare in Grecia per
comprendere più chiaramente la nascita del concetto di ‘proporzione’: esso nacque nel
contesto della dottrina matematica, introdotta in Grecia da Pitagora di Samo quando, agli
albori della filosofia occidentale, la visione mitologica incontrava l’interpretazione razionale
nella ricerca del principio unico e universale all’origine del tutto.
6 La Sezione Aurea nell’Architettura La civiltà greca classica tentò di unificare tutte le arti e le scienze secondo rapporti armonici
inerenti all’universo; in ogni campo di studio ogni individuo aveva un posto unico nella
gerarchia di tutti gli individui. I rapporti gerarchici fra gli individui rispecchiavano i principi
matematici, e in particolare la proporzione divina.
Dallo studio delle leggi numeriche che regolavano l’armonia musicale la scuola pitagorica
scoprì alcuni principi morfologici di carattere generale, che divennero presto i principi
compositivi di ogni tipo di arte, sopra tutte quella che si occupava della costruzione degli
edifici sacri. E’ quanto ci suggerisce l’analisi proporzionale di opere come il Partenone di
Ictino (nel campo dell’architettura, come vedremo al par. 3.3), o il Diadumeno di Policleto
(che va ad inserirsi nell’ambito della scultura), correlate da una comune intenzione estetica, di
natura matematica.
Mediante l’analisi della tecnica progettuale e del significato estetico dell’edificio sacro, e
mediante la lettura del trattato di Vitruvio in chiave per così dire ‘pitagorica’, siamo in grado
di trovare chiare indicazioni sulla teoria delle proporzioni che caratterizzò l’architettura greca
fino al periodo ellenistico.
Gli antichi architetti dovevano realizzare la Simmetria (“accordo delle misure”) mediante il
ripetersi di certi rapporti proporzionali privilegiati, che avrebbero prodotto e caratterizzato
l’effetto di Eurytmia (“armonia”) tra le lunghezze, le superfici e i volumi dell’edificio, sia
nella sua interezza sia nelle sue singole parti. Le tecnica compositiva era quella dei tracciati
regolatori, delle raffinate costruzioni geometriche che partivano da una forma iniziale, il
quadrato, per individuare, con semplici proiezioni e ribaltamenti, tutte le linee principali
dell’edificio, nella pianta e negli alzati.
Il fine era sempre quello di conferire agli edifici l’idea di equilibrio e perfezione, di
raggiungere l’Armonia universale, intesa come “unificazione della molteplicità frammista e
messa in concordanza del discordante” (Filolao), ossia come perfetto equilibrio tra
l’opposizione dei principi.
E proprio in questo contesto viene a collocarsi il grande uso da parte degli antichi della
sezione aurea nei templi e, più in generale, nell’architettura.
7 La Sezione Aurea nell’Architettura Servendosi di riga e compasso, i geometri greci erano in grado di determinare la sezione aurea
di un segmento.
Nel Timeo Platone sostiene che i tre termini di una proporzione divina - il più grande (la linea
intera), quella di mezzo (il segmento più lungo) e la più piccola (il segmento più corto) - sono
“tutti di necessità gli stessi, e, poiché sono gli stessi, non sono che uno”.
In una progressione di divine proporzioni, ogni parte è un microcosmo, o modello minuscolo,
di tutto l’insieme.
Gli architetti e gli artisti greci facevano grande uso dei rettangoli aurei (v. par. 2.4). Se da un
rettangolo aureo si taglia poi un quadrato, anche il rettangolo che rimane è un rettangolo
aureo. Questi rettangoli aurei erano usati per disegnare la pianta del pavimento e della facciata
dei templi: ad esempio il Partenone, sull’Acropoli di Atene (v. par. 3.3).
Quando Vitruvio scrisse il “De Architectura”, un’opera in dieci volumi, tra il 25 e il 23 a.C.,
Augusto - a cui è dedicata l’opera - intraprendeva un grandioso programma di costruzioni
pubbliche a Roma e nell’impero. Essa costituisce una fonte essenziale per la conoscenza delle
tecniche edilizie e dei materiali da costruzione, degli edifici pubblici e privati, dell’urbanistica
e dell’agrimensura dei Romani. Attingendo dai trattati di Ermogene e altri architetti greci,
Vitruvio possedeva una concezione umanistica dell’architettura che, a suo parere, doveva
unire all’esperienza specialistica un’ampia cultura generale.
1.2
L A SEZIONE AUREA NEL R INASCIMENTO
Il proporzionamento armonico dell’architettura del Rinascimento è tutto orientato sul
principio generale dell’uso di piccoli numeri interi con i quali organizzare la distribuzione e la
disposizione delle varie parti dell’edificio.
Nella musica, disciplina inserita a pieno nel quadrivium delle arti (insieme a geometria,
aritmetica e astronomia) si trova conferma delle leggi che regolano il macrocosmo e il
microcosmo rivelate da Pitagora e da Platone.
Di qui nasce la convinzione che l’architetto non sia in nessun modo libero di applicare
all’edificio uno schema casuale di rapporti, ma che tali rapporti debbano conciliarsi con un
sistema di ordine superiore, le proporzioni devono esprimere l’ordine cosmico e la musica
8 La Sezione Aurea nell’Architettura diviene mezzo privilegiato per innalzare la disciplina architettonica al livello delle arti del
quadrivium.
Le proporzioni corrispondenti agli intervalli musicali vengono così trasposte nella
progettazione degli edifici divenendo la base di veri e propri reticoli modulari, così come
un’orchestra accorda gli strumenti sulla nota “la” per poi intonare, attraverso intervalli
armonici, accordi che suonano bene all’orecchio.
La sezione aurea suscitò grande interesse tra gli artisti e i matematici del rinascimento, tra cui
Leonardo da Vinci (1452-1519), Piero della Francesca (1416-1492) e Leon Battista Alberti
(1404-1472); era allora nota come “Divina Proporzione” e veniva considerata quasi la chiave
mistica dell’armonia nelle arti e nelle scienze. De divina proportione è anche il titolo del
trattato redatto dal matematico rinascimentale Luca Pacioli (1445-1517) e illustrato da
sessanta disegni di Leonardo da Vinci. Il trattato fu pubblicato nel 1509 ed ebbe notevole
influsso sugli artisti e sugli architetti del tempo, ma anche delle epoche successive.
Figura 1-1. Tracciati proporzionali del tempio Malatestiano a Rimini dell’Alberti.
Leon Battista Alberti fu il primo importante teorico dell’arte rinascimentale, nonché uno dei
primi a progettare edifici secondo i canoni di uno stile classico puro, fondato sullo studio
dell’antica architettura romana. Per quanto riguarda le sue opere, è bene sottolineare come
9 La Sezione Aurea nell’Architettura egli non parli mai nei suoi trattati del tipo di proporzionamento utilizzato, quasi volesse tenere
segreto il metodo con cui riusciva ad ottenere quell’aspetto di armonioso equilibrio. Tuttavia
indagini effettuate con diagrammi e rigorose riproduzioni hanno messo in evidenza che questa
sia la regola che domina la connessione di tutte le parti di molte sue costruzioni (es. il tempio
Malatestiano a Rimini, Figura 1-1).
1.3
L UCA P ACIOLI E LA “D IVINA P ROPORTIONE ”
Luca Pacioli (Figura 1-2) nacque nel 1445 in Toscana a Sansepolcro, città commerciale posta
al centro, nello spazio e nel tempo, del Rinascimento. Dal 1477 Fra Luca Pacioli cominciò a
viaggiare insegnando matematica in quasi tutte le Università italiane. Nel 1496 cominciò a
lavorare al secondo dei suoi più famosi lavori, la “Divina Proporzione”, e Leonardo in
persona gliene fornì le illustrazioni; penso che nessun altro matematico abbia più potuto
vantare una collaborazione più eccellente. Chiaramente l’interesse prevalente di Leonardo era
l’estetica e la sezione aurea soddisfaceva entrambi i punti di vista, matematico ed artistico.
Figura 1-2. Ritratto di Fra Luca Pacioli [Napoli – Museo di Capodimonte].
La divina proporzione era proprio il rapporto aureo senza il quale “…moltissime cose de
admiratione dignissime in philosophia, nè in alcun altra scientia mai a luce poteriono
pervenire.”. L’ammirazione che il Pacioli aveva per questa costruzione era tale da indurlo a
10 La Sezione Aurea nell’Architettura metterla in relazione con la Divinità come la quale è una e trina: “Commo Idio propriamente
non se po diffinire ne per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po
mai per numero intendibile asegnare, nè per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre
fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale”.
Al contrario di Leonardo che ottenne fama solo dopo la morte, Pacioli ebbe fama in vita,
come testimonia la sua carriera, forse meno dopo la morte.
Nel 1550 Giorgio Vasari scrisse una biografia di Piero della Francesca in cui accusava il
Pacioli di plagio per aver fatto propri lavori dell’artista sulla prospettiva sull’aritmetica e sulla
geometria. Quest’accusa appare però ingiustificata, sebbene il Pacioli facesse ampio uso del
lavoro degli altri nelle sue pubblicazioni, ma mai si accreditò alcun merito, specialmente nei
confronti del Maestro Piero, riconoscendo e specificando sempre le fonti di quanto scriveva.
A dispetto però dell’originalità, le opere del Pacioli contribuirono moltissimo allo sviluppo
della Matematica per la particolare influenza che ebbero per lungo tempo.
1.4
I L VALORE ESTETICO DELLA SEZIONE AUREA
Nel 1875 lo psicologo tedesco Fechner sottopose al giudizio di preferenza di più persone un
insieme di rettangoli (Figura 1-3), differenti per il diverso rapporto tra i lati, chiedendo poi di
indicare quale rettangolo avesse destato in loro una maggiore sensazione di armonia. Egli
osservò che le scelte degli interpellati si distribuivano attorno ad un particolare rettangolo, in
corrispondenza del quale emergeva un evidente massimo delle loro frequenze. Quel
particolare rettangolo era il cosiddetto rettangolo aureo (vd. par. 2.4).
Nella Figura 1-4 è riportato il grafico della distribuzione percentuale delle preferenze
registrate da Fechner.
I rettangoli del campione vi sono ordinati al crescere del rapporto tra i lati: dal rapporto 1 a 1,
al rapporto 2 a 1, cioè dal rettangolo con i lati uguali (quadrato) ai rettangolo con un lato
doppio dell’altro.
11 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 1-3. Insieme di rettangoli dell’esperimento di Fechner,
con tre rettangoli aurei (qui evidenziati a tratto più grosso).
Figura 1-4. Distribuzione delle preferenze estetiche sulle proporzioni di vari rettangoli, secondo Fechner.
Il maggior numero di preferenze si concentra attorno ai rettangoli aurei.
Si osserva che il rettangolo aureo, che occupa una posizione intermedia tra i rettangoli del
campione, presenta la più alta frequenza di scelte secondo un canone estetico.
L’esperienza di Fechner intendeva esaminare (e di fatto sanzionava) la credibilità di
un’opinione largamente diffusa tra pittori ed architetti (ed anche tra matematici) secondo cui
dall’osservazione del rettangolo aureo si traesse un senso di equilibrata armonia. Numerose
sono infatti le opere d’arte nelle quali si riscontrano le proporzioni del rettangolo aureo. La
facciata del Partenone è inscrivibile in un rettangolo aureo (Figura 1-5), e, almeno molto
prossime ad un rettangolo aureo, sono le facce dell’ottagonale battistero di Firenze (Figura
1-6).
12 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 1-5. Il rettangolo aureo che inscrive la
Figura 1-6. I rettangoli aurei delle facce del
facciata del Partenone.
battistero di Firenze.
Peraltro, Fechner studiò anche le proporzioni dei bracci delle croci nei cimiteri tedeschi e
rilevò la maggioranza di esse presentavano un rapporto in ragione del numero aureo (Figura
1-7).
Figura 1-7. Figure geometriche costruite con dimensioni in ragione del numero aureo.
1.5
I L VALORE ESOTERICO DELLA SEZIONE AUREA
I primi che ebbero occasione di riscontrare tra due segmenti quello stato di cose nel seguito
indicato con il termine “rapporto aureo” furono i Pitagorici: e ciò accadde in modi e in
circostanze che divennero subito leggenda. Questa leggenda ci è raccontata da Giamblico (IV
sec. d.C.) nella sua “De vita Pythagorica”. Giamblico narra del pitagorico Ippaso da
13 La Sezione Aurea nell’Architettura Metaponto, morto in mare come empio perché colpevole di aver rivelato agli indegni il
segreto della costruzione della sfera di dodici pentagoni. Ippaso provocò l’ira degli dei, e
meritò la sua sorte, anche per aver divulgato la dottrina degli irrazionali e degli
incommensurabili. Il racconto di Giamblico, accostando i due fatti (costruzione della sfera di
dodici pentagoni e dottrina degli irrazionali) allude ad un nesso tra essi. La sfera di dodici
pentagoni è il dodecaedro, cioè uno dei cinque poliedri regolari (Figura 1-8).
Figura 1-8. I cinque poliedri regolari dei Pitagorici.
Stando ad una testimonianza di Proclo (V secolo d.C.). tre dei poliedri regolari, e
precisamente il tetraedro, l’esaedro e il dodecaedro erano già noti ai Pitagorici. I rimanenti
due, l’oettaedro e l’icosaedro, furono scoperti più tardi da Teeteto. Il rinvenimento presso
Padova di un dodecaedro di steatite risalente ad epoca anteriore al IV secolo a.C. rende
verosimile la testimonianza di Proclo.
14 La Sezione Aurea nell’Architettura Alla faccia pentagonale del dodecaedro era associato il pentagramma stellato, o stella a cinque
punte (Figura 1-9), già elemento decorativo dell’arte babilonese e simbolo magico della loro
cosmologia. Il pentagramma stellato si ricava dal pentagono regolare tracciandone le
diagonali. I Pitagorici fecero proprio questo simbolo assieme al significato cosmico ad esso
attribuito; e questo non è che un esempio della vasta eredita di rituali, di atteggiamenti e di
conoscenze che essi derivarono dalla cultura babilonese.
Figura 1-9. Il pentagramma stellato ottenuto dalle diagonali del pentagono regolare.
La scuola pitagorica fiorisce proprio nel periodo in cui il pensiero magico del vicino oriente
prende a confrontarsi con le disponibilità alle argomentazioni razionali della nascente cultura
ellenica, e la sapienza sacra con le aspirazioni ad una scienza laica. Anche se la scuola
pitagorica non si affrancò mai dai modi degli originali rituali esoterici, né aspirò a dissolvere
la trama simbolica con cui la concezione sacra del mondo tesseva i rapporti tra le cose,
tuttavia essa diede impronta e vigore al processo evolutivo in atto.
Il pentagramma stellato, pur accettato come simbolo magico, divenne oggetto di analisi
geometrica. I Pitagorici presero a studiare quale rapporto ci fosse tra il lato della stella e il lato
del pentagono che serviva per costruirla. Loro convinzione era che, comunque fossero scelti
due segmenti, esistesse un loro sottomultiplo comune, cioè un segmento capace di dare
misure interne per entrambi i segmenti, che risultavano perciò commensurabili. Il rapporto tra
i due segmenti era uguale al rapporto delle rispettive misure, ed era perciò sicuramente un
numero razionale, perché rapporto di due numeri interi.
15 La Sezione Aurea nell’Architettura Più che una fondazione della geometria questa convinzione era per loro una teoria
dell’universo che li portava a comparare, in una successione di analogie strutturali organizzate
su rapporti numerici, le note emesse da uno strumento musicale e i ciclici moti dei Corpi
celesti. Sul loro conto Aristotele commenta (Metafisica: libro I, cap. V): “I cosiddetti
Pitagorici, avendo cominciato ad occuparsi di matematica ed essendo grandemente progrediti
in essa, furono condotti da questi loro studi ad assumere come principi delle cose esistenti
quelli di cui fanno uso le scienze matematiche ... Avendo poi riconosciuto che le proprietà e le
relazioni delle armonie musicali corrispondono a rapporti numerici e che in altri fenomeni
naturali si riscontrano analoghe corrispondenze coi numeri, furono tanto più indotti ad
ammettere che i numeri siano gli elementi di tutte le cose esistenti e che tutto il cielo sia
proporzione ed armonia.”
Intorno a Pitagora ed alla sua confraternita di iniziati esisteva un velo di segretezza,
comunque si tende ad attribuire all’uno ed all’altra alcune importanti scoperte matematiche
che includono il rapporto aureo e l’incommensurabilità.
Secondo il filosofo e storico Giamblico (Silloge delle dottrine pitagoriche, 300 d.C.) la
scoperta che il rapporto aureo è un numero irrazionale fu, nel contempo, la scoperta
dell’incommensurabilità. Tale scoperta fu fatta dal matematico greco Ippaso di Metaponto nel
V secolo a.C.
Non vi sono dubbi che sia stato Pitagora con i suoi discepoli a mescolare teoria dei numeri,
filosofia della vita e misticismo in una misura forse senza eguali. Pitagora sottolineò
l’importanza dell’acquisizione della conoscenza rispetto ad ogni altra attività, perché, come
avrebbe detto, “alla maggior parte degli uomini e delle donne non è data, né per nascita né coi
propri sforzi, la possibilità di diventare ricchi e potenti, mentre il sapere è alla portata di
chiunque”.
16 La Sezione Aurea nell’Architettura 2
2.1
IL NUMERO AUREO
D EFINIZIONE
Il rapporto tra la diagonale ed il lato di un pentagono regolare (Figura 2-1) è il numero
irrazionale:
ϕ=
5 +1
2
cui è dato per tradizione il nome di numero aureo.
Figura 2-1. Determinazione del numero aureo sul pentagono.
Esso deriva anche dal seguente problema (Figura 2-1): dividere un dato segmento AD in due
parti a e b, tali che l’intero segmento stia alla maggiore delle due parti come questa sta alla
minore. I segmenti a e b in cui la diagonale AD del pentagono è divisa dalla diagonale EC
stanno infatti nella relazione richiesta dal problema:
( a + b) : a = a : b
Per verificarlo basta osservare che i triangoli CAD e HCD sono isosceli e simili, e il triangolo
AHC è isoscele. La proporzione scritta si ricava dai triangoli simili CAD e HCD.
17 La Sezione Aurea nell’Architettura Il valore numerico di ϕ , comune ai due rapporti (a+b)/a e a/b, si ricava appunto dalla
proporzione precedente, scrivendola come:
( a + b) a
=
a
b
cioè:
a b a
+ =
a a b
ovvero:
1+
1
= ϕ ⇒ ϕ2 − ϕ − 1 = 0
ϕ
da cui si calcola ϕ . Un valore approssimato di ϕ è 1.618034.
Esistono due bellissime formule che forniscono esattamente il numero aureo, utilizzando solo
il più semplice dei numeri, l’1. Una è basata su una frazione continua infinita:
1
ϕ = 1+
1
1+
1
1+
1
1+
1+
1
1 + ...
mentre l’altra usa una serie infinita di radici:
ϕ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
2.2
C OSTRUZIONE GEOMETRICA
Il primo incontro con la Divina Proporzione in genere avviene in Geometria. La proposizione
11 del libro II degli Elementi di Euclide recita così: “Come dividere un segmento in modo che
il rettangolo che ha per lati l’intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato
che ha per lato la parte maggiore”, ovvero come trovare la Sezione Aurea di un segmento,
18 La Sezione Aurea nell’Architettura cioè la parte media proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente. La costruzione è
tra le più classiche della Geometria (Figura 2-2): dato il segmento AB tracciare il cerchio di
pari diametro e tangente ad esso in B, quindi la secante per A passante per il centro C del
cerchio. La parte esterna della secante (AE) è la sezione aurea del segmento, essendo la
tangente (AB) media proporzionale tra l’intera secante (AD) e la sua parte esterna (AE)
[Euclide L. III – P. 36], essendo ED = AB e per alcune proprietà delle proporzioni:
AD : AB = AB : AE
⇒ AS : AB = SB : AS
( AD − AB) : AB = ( AB − AE ) : AE ⇒
AB : AS = AS : SB
D
C
E
A
S
B
Figura 2-2. Determinazione geometrica della sezione aurea AS di un segmento AB.
Volendo invece trovare quel segmento di cui un dato segmento AB sia la Sezione Aurea, si
procede nel modo seguente (Figura 2-3):
•
trovare il punto medio M del segmento dato;
•
costruire il quadrato sul segmento dato; siano C e D gli altri due vetrici;
•
centrato in M tracciare il cerchio con raggio MC (= MD), che interseca in S il prolungamento di AB.
AS è il segmento cercato, di cui AB è la Sezione Aurea.
Infatti i triangoli CAS e SBD sono simili perché rettangoli e con gli angoli α ed α’uguali
(essendo uguali i loro complementari β e β’, angoli alla circonferenza che sottendono lo
stesso arco DS); quindi i cateti sono in proporzione:
19 La Sezione Aurea nell’Architettura AS : DB = CA : BS
AS : AB = AB : ( AS − AB)
D
C
α
E
β
β’
α’
A
M
B
S
Figura 2-3. Determinazione del segmento AS di cui AB è la sezione aurea.
Ma cos’ha di così importante questa sezione per meritarsi l’aggettivo “Aureo”? Lo
scopriremo attraverso le sue proprietà. Restando nella Geometria ne ricaviamo
immediatamente una: “Ogni segmento è sezione aurea della sua somma con la sua sezione
aurea”; ed in effetti questo è quanto sopra si è dimostrato. Ne segue che: “Tolta la sezione
aurea, la parte rimanente di un segmento è la sezione aurea della sezione aurea del
segmento”. E’ come se la sezione aurea si autorigenerasse per sottrazione o addizione.
Ma scopriamone altre caratteristiche. Sempre in Geometria una delle più importanti
caratteristiche della Sezione Aurea è la seguente: “Se in un triangolo isoscele la base è la
sezione aurea del lato allora l’angolo al vertice è un quinto dell’angolo piatto, ovvero la base
è il lato del decagono regolare inscritto nel cerchio che ha per raggio il lato”.
La dimostrazione è relativamente semplice (Figura 2-4): nel triangolo CAB isoscele sulla base
a, sezione aurea del lato b, si individui per costruzione il punto M sul lato AC tale che MB =
CB; il triangolo MBC è isoscele e simile al triangolo originario, quindi con i lati in
proporzione:
b : a = a : CM. Ma essendo a la sezione aurea di b sarà: b : a = a : (b-a), da cui per l’unicità
del quarto proporzionale sarà: CM = (b-a), da cui AM = a; quindi anche il triangolo AMB è
isoscele avendo AM = BM = a; gli angoli alla sua base sono pertanto uguali e l’angolo in M è
uguale a π − 2 ⋅ θ . Ne segue che γ = 2 ⋅ θ; quindi, essendo θ + 2 ⋅ γ = π, sarà θ + 4 ⋅ θ = π, cioè
20 La Sezione Aurea nell’Architettura 5 ⋅ θ = π quindi θ = π / 5; ma essendo π / 5 un decimo dell’angolo giro, ne discende che la
base del triangolo è il lato del decagono regolare inscritto nel cerchio che ha per raggio il lato.
Figura 2-4. Il decagono regolare ha il lato che è la sezione aurea del raggio del cerchio in cui è inscritto.
E’ vero anche l’inverso, cioè: “Se in un triangolo isoscele l’angolo al vertice è di π/5, allora
la base è la sezione aurea del lato”. Se infatti nel triangolo CAB isoscele sulla base a (Figura
2-5) l’angolo al vertice è di π / 5 , essendo la somma degli angoli interni pari a π ed essendo
gli angoli alla base uguali, questi saranno di 2 ⋅ π / 5 . Individuando per costruzione il punto M
sul lato AC tale che MB = CB, ne segue che il triangolo MBC è isoscele e simile al triangolo
originario quindi con i lati in proporzione:
AC : CB = CB : MC
Anche il triangolo BMA sarà isoscele avendo gli angoli alla base AB uguali; sarà quindi: MA
= MB = CB, e quindi: MC = (AC – MA) = (AC – CB), che sostituita nella proporzione
precedente verifica che la base CB è la sezione aurea del lato AC.
21 La Sezione Aurea nell’Architettura A
b
b
M
a
C
a
B
Figura 2-5. Il triangolo aureo.
Collegando alternativamente i vertici del decagono si ottiene il pentagono regolare inscritto
nel cerchio (Figura 2-6); tracciatone due diagonali dallo stesso vertice, essendo l’angolo alla
circonferenza metà di quello al centro di 2π/5, si ripropone con il lato opposto al vertice il
triangolo isoscele con angolo al vertice di π/5; ne segue che in un pentagono regolare il lato è
la sezione aurea della diagonale.
π/5
2π / 5
Figura 2-6. Le proprietà del pentagono inscritto nel cerchio.
Si può altresì dimostrare che le diagonali si intersecano secondo le loro sezioni auree. Per
questi motivi alla stella a cinque punte disegnata dalle diagonali di un pentagono venivano
riconosciuti poteri magici. Ricordiamo il Faust di Goethe: quando il dottor Faust volendosi
liberare del diavolo Mefistofele lo invita ad uscire, questi si rifiuta, poiché sulla porta è
appesa una stella a cinque punte, dicendo: “Non posso uscire; me lo impedisce un piccolo
ostacolo: il piede della strega sulla soglia”.
22 La Sezione Aurea nell’Architettura Ancora: in un diagramma cartesiano un retta di equazione: y = x + 1 rappresenta una crescita
lineare, cioè una crescita nella quale l’incremento si ottiene “sommando” a quanto raggiunto
sempre la stessa quantità.
Una crescita invece in cui l’incremento si ottiene moltiplicando quanto raggiunto per una
quantità a questo proporzionale si dice quadratica ed è rappre-sentato da una parabola di
equazione: y = x2.
I due diagrammi si incontrano in un punto P che determina con gli assi cartesiani un
rettangolo aureo, quasi a significare l’equilibrio tra una crescita lineare ed una crescita
quadratica.
4
3
Φ2
2
1
-3
-2
-1
0
1
Φ
2
3
Figura 2-7. Il rettangolo aureo come soluzione di un sistema di equazioni.
2.3
F IBONACCI E IL NUMERO AUREO
Leonardo Pisano, noto anche con il nome di Fibonacci, visse tra il XII il XIII secolo e fu uno
dei più grandi matematici del Medioevo (Figura 2-8). Dopo avere assimilato, durante
numerosi viaggi, le conoscenze matematiche del mondo arabo, pubblicò intorno al 1202 la
sua opera fondamentale, il Liber abaci, con cui si propose di diffondere nel mondo scientifico
occidentale le regole di calcolo note agli Arabi, ovvero il sistema decimale ad oggi in uso in
Europa. Nato in Italia e vissuto in Nord Africa, con i suoi numerosi viaggi a fianco del padre
ha avuto occasione di riconoscere i vantaggi offerti dai sistemi matematici localmente in uso.
23 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 2-8. Fibonacci e la sua statua a Pisa.
Nel Liber Abaci ("Il Libro dell’Abaco"), in cui Fibonacci espone i fondamenti di algebra e
matematica usati nei paesi arabi, un problema fornisce l’occasione per l’introduzione della
serie numerica che oggi porta il nome del matematico pisano e che si riscontra in numerosi
esempi in natura. Tra questi, l’approssimazione del Rapporto Aureo
Egli propose infatti il seguente problema.
Un contadino chiuse nella sua conigliera una coppia di conigli per avviare un allevamento. La
coppia prese a prolificare il secondo mese una nuova coppia di conigli. Nei mesi che
seguirono la coppia capostipite continuò a generare regolarmente una coppia al mese, e
altrettanto fece ciascuna delle coppie generate, ciascuna però a partire dal secondo mese dopo
la propria nascita.
Quante coppie di conigli popolarono la conigliera dopo il decimo mese se nel frattempo non
morì nessun coniglio?
24 La Sezione Aurea nell’Architettura Il popolamento della conigliera può essere descritto più chiaramente con un grafico (Figura
2-9). Ciascuna coppia di dischetti del grafo rappresenta una coppia di conigli. Le coppie
comprese nella striscia di un mese sono le coppie nate in quel mese.
Si capisce che durante il primo mese nella conigliera c’è una sola coppia, e così nel secondo
mese. Ma allo scadere del secondo mese nasce una nuova coppia, e le coppie sono così due.
Figura 2-9. Esemplificazione grafica del problema di Fibonacci,
che conduce alla definizione dell’omonima serie.
In ciascuno dei mesi successivi nella conigliera vi sono tante coppie quante quelle del mese
precedente, più le coppie nate in quello stesso mese, che sono tante quante le coppie già in
grado di prolificare, cioè con almeno due mesi di anzianità. Pertanto il numero delle coppie in
ciascun mese (successivo al secondo) è uguale alla somma dei numeri delle coppie dei due
mesi che lo precedono:
Cn+ 2 = Cn +1 + Cn
Possiamo proseguire il calcolo della successione numerica fino al mese che si vuole:
1 ; l ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ; …
Questa successione numerica è chiamata successione di Fibonacci.
Questa successione ha molte curiose proprietà; ne riportiamo alcune:
25 La Sezione Aurea nell’Architettura 1. Ogni due numeri ve n’è uno divisibile per due, ogni tre numeri ve n’è uno divisibile
per tre, ogni quattro numeri ve n’è uno divisibile per cinque, …, ogni n numeri vi è o
un numero primo o un numero divisibile per lo stesso numero primo.
2. Comunque si prendano due elementi, in posizione n-esima ed m-esima, il loro
Massimo Comune Divisore è un elemento della successione di posizione p, M.C.D. tra
n ed m.
3. Il quadrato di ogni elemento differisce di uno (alternativamente in più o in meno) dal
prodotto del precedente per il successivo.
4. Sommando alternativamente gli elementi della successione (uno sì ed uno no) il
risultato è sempre l’elemento successivo all’ultimo sommato.
ed altre ancora per le quali si rimanda alle numerose trattazioni specifiche sull’argomento.
Ma sopra tutte ha rilevanza la proprietà che segue, che mette in relazione la successione con il
Numero Aureo.
Quale relazione c’è tra la successione di Fibonacci e il Numero Aureo?
Osserviamo quest’altra successione di potenze di ϕ .
1 ; ϕ ; ϕ2 ; ϕ3 ; ϕ4 ; ϕ5 ; …
Il primo termine della successione è 1. Ciascuno degli altri termini si ottiene da quello che lo
precede moltiplicandolo per ϕ .
Se poi ricordiamo che, da una precedente equazione che:
ϕ2 − ϕ − 1 = 0
possiamo allora scrivere l’uguaglianza:
ϕ2 = ϕ + 1
che può essere resa più generale moltiplicando ambo i membri per ϕn , ottenendo:
26 La Sezione Aurea nell’Architettura ϕn + 2 = ϕn+1 + ϕn
Come nella successione di Fibonacci, anche nella successione delle potenze di ϕ , ciascun
termine (successivo al secondo) si ricava sommando due termini che lo precedono.
Ma c’è un’analogia più sconcertante.
Il rapporto tra un termine della successione delle potenze di ϕ e il termine che lo precede è
sempre lo stesso: è ϕ .
ϕn +1
ϕn
=ϕ
Il rapporto tra un termine della successione di Fibonacci e il termine che lo precede, cioè il
rapporto
C n+1
Cn
, non è ϕ , ma si avvicina progressivamente a ϕ , al crescere del valore di n:
lim
n→∞
C n+1
Cn
=ϕ
Questa proprietà si può verificare dalla seguente tabella, da cui si vede che il rapporto
converge molto rapidamente e dopo alcuni elementi approssima già ottimamente ϕ :
C
n +1
C n+1
Cn
1
-
1
1,00000000
2
2,00000000
3
1,50000000
5
1,66666667
8
1,60000000
13
1,62500000
21
1,61538462
34
1,61904762
55
1,61764706
89
1,61818182
144
1,61797753
27 La Sezione Aurea nell’Architettura 2.4
233
1,61805556
377
1,61802575
610
1,61803714
987
1,61803279
1597
1,61803445
2584
1,61803381
4181
1,61803406
6765
1,61803396
…
…
I L RETTANGOLO AUREO
Un rettangolo aureo è un qualsiasi rettangolo i cui lati stanno nel rapporto aureo.
Un rettangolo aureo può essere facilmente costruito a partire da un quadrato, come mostrato
in Figura 2-10.
Figura 2-10. Costruzione di un rettangolo aureo a partire da un quadrato
Sia AEFD questo quadrato. Dal punto A’, medio del lato DF, riportiamo sulla retta di DF il
segmento A’C, uguale ad AE. Si completa poi il rettangolo ABCD, che è il rettangolo aureo
avente il lato minore uguale al lato del quadrato. Il rettangolo EBCF è invece il rettangolo
aureo avente il suo lato maggiore uguale al lato del quadrato. Altri rettangoli aurei possono
ottenersi da quelli già costruiti, ingrandendoli o rimpicciolendoli con omotetie.
Ma il rettangolo aureo ha anche singolari proprietà generatrici di altri rettangoli aurei e di altre
figure. Eccone alcune:
1. Sottraendo da un rettangolo aureo il quadrato costruito sul suo lato minore, si ottiene
un altro rettangolo aureo (Figura 2-11).
28 La Sezione Aurea nell’Architettura 2. Sommando ad un rettangolo aureo il quadrato costruito sul suo lato maggiore si
ottiene un altro rettangolo aureo. Le due operazioni possono essere reiterate ottenendo
una successione di quadrati e di rettangoli aurei che circoscrivono una spirale (Figura
2-12, sinistra).
3. ABCD è un rettangolo aureo e AC è una sua diagonale (Figura 2-12, destra). Per il
punto C si conduca CA1 perpendicolare a CA (dalla parte del lato minore) sino ad
incontrare in A1 il prolungamento del lato AB. Il rettangolo CBA1D1 è anch’esso un
rettangolo aureo. L’operazione può essere reiterata: le diagonali dei rettangoli aurei
costruiti compongono una spirale quadrata; conducendo la perpendicolare CA1 dalla
parte del lato maggiore, si ottiene una spirale divergente.
Figura 2-11. Costruzione sequenziale di rettangoli aurei. Sottraendo ad un rettangolo aureo il quadrato
costruito sul lato minore, si ottiene un altro rettangolo aureo.
Figura 2-12. Spirali logaritmiche costruite sulla base di rettangoli aurei.
Si osservi che la proprietà 1 ha anche come conseguenza che le diagonali DB e EC dei due
rettangoli, tracciate come nella Figura 2-13, sono perpendicolari.
29 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 2-13. Proprietà delle diagonali di un rettangolo aureo.
Dalle proprietà enunciate si ricava quindi un procedimento costruttivo per rettangoli aurei, a
condizione però che sia già noto uno di essi. Le operazioni da farsi per costruire altri
rettangoli aurei sono quelle indicate nelle proprietà a cui si è fatto riferimento, e cioè sottrarre
dai rettangolo già noto il quadrato del suo lato minore, o sommare ad esso il quadrato del lato
maggiore. Le due operazioni possono essere reiterate quante volte si vuole, in una procedura
ricorsiva, e, da un nucleo germinativo iniziale (il rettangolo aureo originario) viene a
svilupparsi una successione di rettangoli aurei. Se si ha cura di sommare i quadrati seguendo
sempre uno stesso verso di rotazione attorno ai primo rettangolo, e di sottrarli seguendo
invece il verso opposto (Figura 2-14), la successione fiorirà, inesauribile nei due sensi, sia
dilatandosi (in rettangoli aurei arbitrariamente grandi) in modo da invadere l’intero piano
esterno al rettangolo originario, sia contraendosi (in rettangoli aurei arbitrariamente piccoli)
verso un ben determinato centro locale: il punto (unico) comune a tutti i rettangoli della
successione.
30 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 2-14. Successione di rettangoli aurei,
Figura 2-15. Un nautilus.
a formare una spirale aurea, o logaritmica.
31 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 2-16. La scala a volute a spirale aurea dell’abbazia benedettina di Melk (Austria).
Nella Figura 2-14 i centri dei quadrati, via via sommati o sottratti. sono stati congiunti,
nell’ordine in cui si sono succeduti, da una linea spirale che ci rimanda all’elegante voluta
della chiocciola dei nautilus, un mollusco dei mari tropicali (Figura 2-15). La spirale, detta
logaritmica, si ritrova anche in architettura, ad esempio nell’abbazia benedettina di Melk
(Austria), iniziata nell’XI secolo (Figura 2-16).
La spirale logaritmica è una delle curve più famose e fu probabilmente considerata già dagli
antichi egizi; lo fu certamente dagli antichi greci, ma occorre attendere il 17° secolo per una
prima rigorosa definizione ed un approfondito studio delle sue proprietà. La definizione più
ricca di fantasia è quella che la vuole “traiettoria di un punto che si muove su una semiretta
con velocità proporzionale alla distanza dall’origine, mentre la semiretta ruota
uniformemente intorno alla sua origine”; ricorda un po’ la definizione del logaritmo data dal
suo inventore Neper, e forse anche per questo è riferita come spirale logaritmica.
LA SEZIONE AUREA NELLA STORIA DELL’ARCHITETTURA
La sezione aurea aveva un ruolo preponderante nelle linee architettoniche egiziane greche e
gotiche; ciò è la conseguenza non solo della presenza in questi schemi di decagoni e di
pentagoni inscritti nella circonferenza di orientamento, o dell’impiego cosciente di volumi e
di proporzioni risultanti dall’iscrizione dell’icosaedro e del dodecaedro nella sfera. ma anche
del fatto che, durante l’epoca aurea dell’architettura greca, il corpo umano fu considerato
come il più perfetto esempio vivente di simmetria e di eurytmia, dovendo servire all’architetto
di ispirazione se non addirittura come modello per la composizione delle linee.
Lo stesso Vitruvio fa consistere la bellezza nella eurytmia e nella simmetria; egli insiste a
lungo a proposito, e quando tratterà delle colonne, comparerà le proporzioni della colonna
dorica (modulo di 6/1, fra l’altezza e il diametro medio) a quello del corpo maschile, quelle
delle colonne ioniche (modulo 8/1) evocheranno invece il corpo grazioso della donna. e
quello delle colonne corinzie i corpi slanciati delle vergini.
Questo punto di vista non è del resto che la trasposizione nel campo della forma geometrica
del concetto di corrispondenza fra il Macrocosmo (Universo) e il Microcosmo (l’uomo), del
quale il “Timeo” ci offre una versione metafisica (con anche un triplo gioco di corrispondenze
fra il corpo umano, l’anima umana e l’Anima del Mondo); la corrispondenza fra la forma del
tempio e l’universo si trova già menzionata in Egitto, ma l’idea di realizzarla, non prendendo
alla lettera quale modello intermedio il corpo umano, bensì il gioco sottilissimo di proporzioni
e di armonie che vi si svelano, sembra specificamente greco.
3.1
L A G RANDE P IRAMIDE DI C HEOPE
Storicamente le prime applicazioni del Rapporto Aureo risalgono agli antichi Egizi. Nella
stele del re Get, proveniente da Abido (antica capitale dell’Egitto nel periodo predinastico) ed
oggi al Louvre, si osserva al centro un rettangolo aureo, nella cui parte bassa il quadrato
costruito sul lato più corto, sezione aurea di quello più lungo, contiene la città mentre nella
parte rimanente, che per quanto visto sopra è ancora un rettangolo aureo, è riportato il
serpente simbolo del re. Il reperto risalirebbe alla prima dinastia, quindi a quasi 5000 anni fa.
33 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-1. La stele del Re Get. La proporzione aurea vi svolge un ruolo non secondario: sia nell’assetto di
Horus che nel rettangolo del Palazzo; il rettangolo in cui ondeggia il serpente è in rapporto aureo col
quadrato costituito dal palazzo: il re è la parte ‘aurea’ della terra regale.
Un esempio evidente di purissimo stile geometrico sono le piramidi egiziane. Gli architetti di
quel periodo riescono a costruire mediante blocchi uguali che assumono il valore di modulo.
La piramide di Cheope è la più grande del complesso di Gizah (XVII–XVI sec. a.C.) ed è alta
137 metri (Figura 3-2).
34 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-2. La Grande Piramide di Cheope.
L’imponenza e la bellezza della Grande Piramide rendono questo antico monumento uno dei
luoghi più insoliti di tutto il pianeta. Essa era costituita in origine da quasi due milioni e
mezzo di blocchi di pietra. Il peso medio di ogni blocco è di circa due tonnellate e mezzo. I
suoi lati sono perfettamente allineati in direzione nord-sud e est-ovest (l’errore
dell’allineamento è di solo 3’ e 6"). Il piano di appoggio è perfettamente orizzontale: l’angolo
sud-orientale è appena dodici millimetri più alto di quello nord-occidentale. Se a questi dati si
unisce il fatto che essa fu costruita verso il 2500 a.C., non si può che rimanere pieni di
meraviglia.
Nella Grande Piramide le proporzioni tra le dimensioni non sono casuali; oltre che rispondere
a canoni estetici, richiamano alcune tra le più importanti costanti della matematica.
Partiamo dalle misure (Figura 3-3):
•
il lato di base: b = 232 m.
•
l’altezza della faccia laterale: h’= 187 m.
•
lo spigolo: h” = 220 m.
35 La Sezione Aurea nell’Architettura che supponiamo note con un errore minore di +/- .5 m. Le incertezze sono d’obbligo in
considerazione della indisponibilità del rivestimento esterno che solo potrebbe fornire le
esatte dimensioni finali.
h”
h’
b
h’
h
α
b
d
h”
Figura 3-3. Le dimensioni della Grande Piramide.
Si possono quindi dedurre la diagonale di base d:
d = 2 ⋅ b = 1, 4142... ⋅ 232 = 328 m
e l’altezza h, deducibile da h’o da h”:
h = h′2 − (b 2) 2 = 34969 − 13456 = 21513 = 146, 7 m
o:
h = h′′2 − (d 2)2 = 48400 − 26896 = 21504 = 146, 6 m
36 La Sezione Aurea nell’Architettura Con l’imprecisione che deriva dai dati di partenza. Inoltre ogni faccia laterale forma con il
piano di base (orizzontale) un angolo α di circa 51° 50’; questo indicherebbe un valore
dell’altezza h di:
h = (b 2) ⋅ tan(51°50 ') = 116 ⋅1, 272... = 147,5 m
Una prima ipotesi è che il progettista, fissata la base b, abbia scelto l’altezza h tale che il
perimetro di base fosse uguale alla circonferenza che ha per raggio h (c = 2·h).
In questo modo l’altezza avrebbe un valore dato da:
4b = 2πh ⇒ h = 2
b 4b
=
= 1, 273... ⋅116 = 147, 7...
π π2
molto prossimo al valore stimato con le misure. Per spiegare la differenza spesso si porta a
giustificazione l’assunto secondo il quale gli antichi egizi assegnassero a π il valore 3,16.
Questa convinzione deriva dal fatto che nei pochissimi testi pervenutici in cui si trattava di
matematica, si indicava tale valore per π , senza considerare lo scopo di tali testi, che
probabilmente era o didattico (diretto ad allievi che oggi possiamo assimilare a studenti di
scuola media) o pratico, diretto ad esempio ad agrimensori. In entrambi i casi non era
conveniente per lo scopo del testo dare indicazioni molto precise sul valore della costante. E’
come se lo sviluppo della nostra civiltà venisse giudicata da un libro di scuola media. Molto
più probabilmente gli esperti egizi conoscevano molto bene il valore di π con molte cifre
significative; né altrimenti potrebbe essere per una tecnologia che ha prodotto capolavori che
ancora oggi stupiscono per la loro perfezione sia estetica che tecnica. Forse non era nota la
natura irrazionale della costante o qualche metodo per dedurne il valore teoricamente con la
precisione voluta, ma certamente tale valore poteva facilmente essere ricavato con almeno 4 o
5 cifre significative con accurate misurazioni di raggi e circonferenze.
Si ritiene pertanto che le differenze siano piuttosto dovute all’incertezza sui dati di partenza.
Una seconda ipotesi (Figura 3-4) vorrebbe che la metà del lato di base b/2 sia la sezione aurea
dell’altezza della faccia laterale h’. In questo modo l’altezza avrebbe un valore dato da:
b
b
⎛b⎞
h′ = ϕ ⇒ h = ⎜ ⎟ ⋅ (ϕ2 − 1) =
ϕ = 1, 272... ⋅116 = 147,5...
2
2
⎝2⎠
anch’esso molto prossimo al valore stimato con le misure e praticamente coincidente con il
valore ottenuto nella prima ipotesi. Questa seconda ipotesi appare la più plausibile per il
fascino che la sezione aurea ha sempre esercitato in architettura.
Figura 3-4. La piramide di Cheope. La lunghezza dello spigolo è ottenuta dalla semibase moltiplicata per
il numero aureo, mentre l’altezza è la radice quadrata di questo.
Ma balena una affascinante terza ipotesi, che cioè gli antichi egizi conoscessero entrambe le
costanti ed avessero scoperto la straordinaria coincidenza per la quale:
4
≈ ϕ
π
con una differenza minore dello 0.1% ed abbiano voluto immortalare nel monumento questa
scoperta.
Con riferimento alla Figura 3-5, si riporta di seguito una citazione da Ghyka riguardante
un’altra ipotesi di individuazione della sezione aurea nella geometria della Piramide.
“Sembra che le approssimazioni intere (in cubiti egiziani o multipli o semplici del cubito)
siano spesso state impiegate di preferenza alla sezione aurea rigorosamente. Queste
approssimazioni sono invariabilmente improntate ai termini della serie di Fibonacci. Il semitriangolo meridiano della Grande Piramide (triangolo rettangolo dove l’ipotenusa e il piccolo
lato sono a prima vista nel rapporto rigoroso della sezione aurea) sembra risultare, se lo si
38 La Sezione Aurea nell’Architettura chiama r (m 0,524) il cubito reale egiziano di una costruzione molto ingegnosa che parte da
A + C = 144 × 4r , allora C = 89 × 4r e A = 55 × 4r (55, 89 e 144 sono esattamente tre termini
consecutivi della serie di Fibonacci, e 144 è anche il quadrato di 12).
L’altezza h di questo triangolo rettangolo e della piramide (m 146,6) è approssimativamente
uguale a 70 × 4r , a causa della curiosa coincidenza 552 + 702 = 7925 e 892 = 7921 .
La lunghezza dei lati di base della piramide in seguito a questo sistema sarà teoricamente
2 A = 2 × 55 × 4 × 0,524 = 230,560 m .
Dunque le ultime misure precise effettuate sul luogo nel 1925 danno per la media dei quattro
lati di base (con uno scarto di 20 centimetri tra il più grande ed il più piccolo) il valore di m
230,634 (tavola XLIV, altra media data da Borcherolt: m 230,36).”
Figura 3-5. Individuazione della sezione aurea nella geometria della piramide, secondo Ghyka.
I L T EMPIO DELLA C ONCORDIA
3.2.1 La pianta del Tempio della Concordia
Il Tempio della Concordia ad Agrigento (Figura 3-6) è un altro esempio interessante di tale
sistema, poiché la sua lunghezza è rigorosamente uguale a quattro volte il lato del decagono
regolare inscritto in un circolo, il cui raggio fosse uguale alla larghezza della facciata. Questo
è affermato dal matematico Jules Tonnery, al cui giudizio l’archeologo e l’architetto Chipiez
avevano sottoposto i risultati della loro misurazione sul posto.
Con riferimento alla Figura 3-7, si riporta di seguito una citazione di Severini.
“L’analisi di questa pianta ci mostra che il punto di partenza è il quadrato. Si traccia quindi
una circonferenza il cui raggio sia uguale alla larghezza della facciata principale, che è la
metà del suddetto quadrato, e cioè a b. La ϕ di questo raggio (e cioè la maggiore) è la
distanza FA, uguale al lato del decagono inscritto nella circonferenza, il quale lato, portato
quattro volte sul lato del quadrato dà la lunghezza totale del tempio.
Figura 3-6. Il Tempio della Concordia nella Valle dei Templi di Agrigento.
40 La Sezione Aurea nell’Architettura E’ così costruito un rettangolo irrazionale (a b c d) al quale contribuirono il quadrato, il
circolo, il decagono, e la sezione aurea. Questa si trova ad ogni passo della costruzione. Infatti
intorno al punto A ci sono quattro quadrati, i cui lati in h, in L, e in F sono divisi secondo il
nostro rapporto. Se si volesse enunciare in cifre la lunghezza del tempio, si avrebbe una
progressione ascendente e discendente di 3:5:8 e 8:5:3.
La pianta del tempio consiste dunque in rettangoli della famiglia Sectio Aurea: 3 × 13 , 5 × 13 ,
8 × 13 e 8 ×13 , 5 ×13 m 3 × 13 .
La lunghezza del tempio consiste dunque in quattro rettangoli di uguale grandezza 8 ×13 . E le
diagonali di questi rettangoli sono uguali al lato del pentagono inscritto nella circonferenza.
E’ da notare inoltre che, se si traccia la diagonale dei quadrato (g e), e quella del pentagono
(m v), le due diagonali si tagliano in un punto che è la ϕ della diagonale e del lato intero del
quadrato.”
Figura 3-7. Individuazione della sezione aurea nella geometria della pianta del Tempio della Concordia.
Da questa breve analisi dei tracciati risulta che il Tempio della Concordia obbedisce ad un
sistema di simmetria relativo al quadrato e al pentagono, e che, secondo il metodo greco, altre
41 La Sezione Aurea nell’Architettura forme della geometria (come il triangolo la cui altezza è uguale alla base, il triangolo
equilatero, l’esagono, il decagono ecc...), entrano nel gioco di un’ammirevole poesia
costruttiva.
3.2.2 La facciata del Tempio della Concordia
“Questa facciata è in intima corrispondenza armonica col piano; la sua larghezza è compresa
fra i lati paralleli di un esagono inscritto nel circolo, lui stesso inscritto nel quadrato, il cui lato
è A’C’, costruito sulla larghezza totale del tempio. Se si costruisce un secondo quadrato, la
cui distanza fra i lati sia compresa fra i lati dell’esagono di cui abbiamo parlato, la metà della
diagonale di questo secondo quadrato interno, sarà ancora uguale all’altezza del tempio. La
distanza fra le assi delle colonne situate ai due estremi della facciata, è uguale è uguale alla
congiungente i punti medi dei lati opposti del pentagono inscritto, che passa inoltre dalla base
dei capitelli.
Quindi l’altezza dal suolo alla sommità del timpano è data dall’altezza di un triangolo
equilatero, costruito fra le due assi suddette delle colonne d’angolo. L’altezza totale, poi, dal
suolo alla cima della cornice, o cimasa, è data da uno spostamento verso l’alto del primo
quadrato, portando cioè la sua base dalla linea di terra, a quella che marca la base delle
colonne. Tutte le suddivisioni relative al fregio, all’architrave e al timpano sono determinate
dalla ϕ e indicate in Figura 3-8 dai numeri 6, 7, 8, 9. Quanto alle colonne, la loro altezza
totale dalla linea di terra all’abaco (compreso il capitello), è determinata dalla metà del lato
del secondo quadrato costruito, come abbiamo visto, fra i lati dell’esagono. Mentre la loro
altezza, dalla base, sopra i gradini, all’abaco (compreso il capitello) è data dalla minore presa
sulla larghezza della facciata, da una colonna all’altra (larghezza uguale cioè al lato del
secondo quadrato interno).”
42 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-8. Individuazione della sezione aurea nella geometria della facciata del Tempio della Concordia.
3.3
I L P ARTENONE
3.3.1 La facciata del Partenone
Il Partenone era un tempio dedicato alla dea Atena, protettrice della città, e fu costruito tra il
447 e il 438 a.C. (Figura 3-9) su progetto di Ictinio e Callicrate ed adornato dalle sculture di
Fidia. In omaggio a quest’ultimo, all’inizio del XX secolo il matematico americano Mark
Barr ha introdotto, per indicare il rapporto aureo, l’uso della lettera greca ϕ , proprio
dall’iniziale del grande scultore.
Le fronti, con otto colonne, misurano più di trenta metri; i lati, con diciassette, circa settanta;
le colonne superano i dieci metri di altezza e ne hanno quasi due di diametro alla base. Alle
stesse leggi del Tempio della Concordia, ma applicate in modo diverso, obbedisce la
costruzione del Partenone.
Dall’esame metrico-dimensionale si sono fatte interessanti scoperte in merito alle proporzioni:
l’altezza complessiva è la sezione aurea della larghezza della parte frontale; quindi la facciata
ha le dimensioni di un rettangolo aureo. Tale rapporto aureo si ripete più volte tra diversi
elementi del frontale, ad esempio, tra l’altezza complessiva e l’altezza cui si trova la
trabeazione (Figura 3-10).
43 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-9. Il Partenone con l’individuazione dei rettangoli aurei sulla facciata.
Figura 3-10. Individuazione di rapporti aurei sulla facciata del Partenone.
44 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-11. Individuazione della sezione aurea nella geometria della facciata del Partenone.
“La facciata del Tempio era costruita su due quadrati, uno stabilito sulla larghezza totale
della facciata, e l’altro sulla larghezza del colonnato. Nel Partenone, invece, un solo quadrato
regola la facciata, e questo è costruito sulla larghezza del colonnato.
Ritroviamo qui la ϕ come sistema d’armonia, ed infatti la distanza che passa dalla base (in
basso dei gradini) alla cima dei frontone, non compresa la “cimasa”, è la maggiore della ϕ
trovata sul lato interno del quadrato.
Se si divide questa maggiore secondo la ϕ , la minore ci dà la distanza fra la cima del frontone
(come sopra) e la base dell’architrave, dove tocca l’abaco delle colonne; l’altezza delle
colonne, da questo punto alla linea di terra, è data dalla maggiore della stessa ϕ . Se si divide
ancora la minore della stessa ϕ , secondo lo stesso rapporto, ancora questa seconda minore ci
darà l’altezza del fregio e dell’architrave insieme, mentre un’altra ϕ ci dà il punto di
separazione fra il fregio e l’architrave. E’ questa una progressione geometrica regolata da ϕ .
Se ora si inscrive un cerchio nel quadrato e se nel cerchio si inscrive un pentagono, si vede
che il lato di questo misura l’altezza totale della facciata, da terra alla cima della cimasa. Se si
45 La Sezione Aurea nell’Architettura inscrive un triangolo equilatero nel cerchio suddetto, si vede che la sua base marca la distanza
fra gli assi delle due estreme colonne della facciata. Questa stessa distanza la ritroveremo sul
piano orizzontale.”
Un rettangolo aureo lo si può anche riconoscere sull’architrave, fra due capitelli consecutivi,
come osservato in Figura 3-12.
Figura 3-12. Il rettangolo aureo sull’architrave fra due capitelli consecutivi.
3.3.2 La pianta del Partenone
Anche la pianta del Partenone (Figura 3-13) presenta numerosi rettangoli aurei, che sono stati
usati in maniera estesa nella suddivisione degli ambienti. La pianta del Partenone mostra che
il tempio fu costruito su un rettangolo
5 , ossia la cui lunghezza è
5 volte la larghezza.
46 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-13. La pianta del Partenone.
3.4
I L P ANTHEON A R OMA
Il Pantheon, di tutti gli edifici antichi esistenti a Roma, costituisce forse quello che ci è
pervenuto nelle migliori condizioni, proprio grazie alla sua fortunata trasformazione da
tempio pagano in chiesa cristiana.
La grandiosità delle dimensioni del Pantheon e l’armonia delle sue proporzioni
architettoniche hanno suscitato da sempre, sia tra gli studiosi, sia tra i profani, attenzioni del
tutto particolari (Figura 3-14).
È bene ricordare che la genialità costruttiva espressa dalla grande cupola emisferica del
Pantheon rappresenta un unico, nel suo genere, attraverso le diverse epoche storiche: anche
oggi, infatti, difficilmente saremmo in grado di realizzare, con i medesimi materiali e le stesse
dimensioni, una simile calotta sferica perfettamente iscritta in un corpo cilindrico.
Il Pantheon è un monumento singolare in quanto combina tipologicamente la cella rotonda a
cupola di tipo termale con il tradizionale pronao a timpano. L’altezza del tempio è uguale al
diametro, secondo la norma data da Vitruvio per gli ambienti delle terme simili; la volta è la
più grande fra quelle dell’antichità.
47 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-14. Pantheon. Sezione longitudinale. 1. pronao, 2. blocco intermedio; 3. rotonda.
Figura 3-15. Pantheon e basilica Neptuni. 1. Pantheon; 2. basilica Neptuni; 3. piazza.
48 La Sezione Aurea nell’Architettura Moltissime sono le valenze simboliche ricostruite dagli studiosi nel Pantheon: fra queste le
più singolari individuano nel tempio un’immagine complicata del cosmo pitagorico, dove le
leggi della geometria, dell’astronomia e della musica si mescolano tra di loro. La simbologia
era accentuata dalle proporzioni dell’aula circolare, nella quale altezza e diametro coincidono
come se al suo interno fosse inserita una sfera.
Nell’analisi di Wiener relativa al Pantheon (Figura 3-15), la base armonica direttiva è
costituita da un quadrato diviso secondo il rapporto ϕ , e un cerchio inscritto in esso (come
anche in Santo Stefano Rotondo). Dopo il quadrato e il pentagono qui ci appare l’importanza
del cerchio, che spesso fornì la chiave per ritrovare i segreti delle costruzioni antiche e della
loro unità.
Con riferimento alla Figura 3-16, si riporta di seguito una citazione di Ghyka.
“La distanza tra il cerchio inscritto e quello esterno è data dalla piccola ϕ trovata sulla minore
ϕ dell’intero lato del quadrato; tutto il resto è regolato secondo lo stesso rapporto”.
Figura 3-16. La pianta del Pantheon di Roma.
L A C ATTEDRALE DI NOTRE D AME
Giova ora gettare uno sguardo sulla architettura del Medio Evo. Poiché come è provato da
numerosi documenti, dall’architettura egiziana a quella del Medioevo e del Rinascimento, le
basi geometriche e numeriche sono, con svariate applicazione e pochissime varianti, sempre
le stesse.
In tutte le cattedrali gotiche sparse nel mondo vedremo sempre basare le costruzioni sul
quadrato, sul cerchio e sul pentagono, coniugando l’una con l’altra, la simmetria razionale con
quella irrazionale. E’ impossibile non dedurre dunque che esiste una diretta connessione fra i
sistemi greci e romani e quelli gotici; del resto, la presenza della Sectio Aurea ne è una
indiscutibile prova.
La Cattedrale di Parigi (Figura 3-17), dagli studi di Jean Viollet Le Duc, il grande architetto,
archeologo, storico francese dell’architettura, restauratore di Notre Dame di Parigi e di altre
importanti chiese, mostra delle sorprendenti presenze di geometrie improntate alla sezione
aurea, sia sulla facciata sia sul fianco.
Figura 3-17. La Cattedrale Notre Dame di Parigi.
3.5.1 La facciata di Notre Dame
Sulla facciata di Notre Dame è possibile individuare la posizione di alcuni elementi costitutivi
in relazione alle proporzioni della sezione aurea (Figura 3-18).
50 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-18. Segmenti aurei individuati sulla facciata di Notre Dame.
Con riferimento alla Figura 3-19, si riporta di seguito una citazione tratta da Viollet Le Duc.
“Un sommario esame della costruzione di Notre Dame ci rivela subito che il punto di partenza
è, come sempre, il quadrato, le diagonali e le divisioni del quadrato che conducono, come
abbiamo visto parlando della costruzione dei rettangoli armonici, al famoso triangolo isoscele,
il cui angolo alla base è di 63° e 26’, e la base è uguale all’altezza, triangolo della famiglia
della Sectio Aurea.
Secondo le misure prese sul posto, il piano orizzontale della cattedrale si misura, nella sua
larghezza interna, in m 36, mentre la sua lunghezza, anche interna, è di m 108, il che
corrisponde a tre quadrati di 36 m di lato. La larghezza della facciata principale è di 42 metri.
Se si prende come lato di un quadrato questa larghezza e si riporta sulla lunghezza del piano,
abbiamo ancora tre quadrati e cioè 126 metri. Un’analisi del taglio trasversale rivela che
anch’esso si inscrive in un quadrato, e che le divisioni principali sono determinate dall’angolo
di 63° e 26’ relativo al noto triangolo la cui base è uguale all’altezza e che ritroveremo in tutta
la costruzione.”
51 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-19. La facciata della Cattedrale di Notre Dame.
3.5.2 Il fianco di Notre Dame
“Quanto alla facciata principale, il tracciato esaminato ne dà chiaramente il principio.
Stabilita su A B la linea di base, al di sopra dello zoccolo stabilite in H I le assi delle torri
(linee D E e F G) la sommità di un triangolo equilatero, la cui base è H I, ci dà il centro della
circonferenza che determina il quadrato K L M N. Tracciando le diagonali delle due metà di
questo quadrato, diagonali a 63° e 26’, partendo dai centro sulla base della facciata, queste
diagonali vanno ai punti N e M. da cui, riflesse verso l’altezza, e prolungate al di sopra del
secondo quadrato, taglieranno in G e in E le assi delle torri, e daranno l’intero rettangolo K L
Q R nel quale s’inscrive l’intera facciata.
Questo rettangolo è composto di due quadrati e mezzo, le cui diagonali a 63° e 26’,
determinano i diversi triangoli della famiglia ϕ che regolano tutta la costruzione.
52 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-20. Il fianco della Cattedrale di Notre Dame.
Se però si prende come raggio la metà della larghezza della facciata principale per tracciare il
cerchio interno e il conseguente quadrato, si vede allora che questo secondo quadrato entra tre
volte nella altezza totale, esattamente come nel piano orizzontale, che, come vedemmo,
misura 42 metri, e così corrispondono esattamente l’altezza e la lunghezza.
Facciamo osservare che il lato superiore di questo secondo quadrato ci dà la balaustrata della
chiesa, e, un’altra metà dello stesso quadrato, dà il parapetto delle torri che restarono a questa
altezza, e malgrado ciò, a causa del sistema armonico generale, danno un senso di perfetto
equilibrio.
Se si divide secondo la ϕ il lato del secondo quadrato, troviamo il centro della finestra
circolare centrale, ed anche le tre porte sono in ogni parte proporzionate secondo lo stesso
rapporto.
Infine gettando uno sguardo sulla facciata laterale, troviamo ancora due quadrati e ancora il
famoso triangolo la cui base è uguale all’altezza.”
3.6
L A C ATTEDRALE DI COLONIA
53 La Sezione Aurea nell’Architettura “Identici principi sono stati ritrovati nella magnifica Cattedrale di Colonia. Da un esame
rapidissimo della figura, risulta subito che la facciata è anche composta sul quadrato, sul
cerchio e sul noto triangolo la cui base è uguale all’altezza. Interviene in questa costruzione
anche il triangolo isoscele la cui base è costituita da
2 , e cioè dalla diagonale del quadrato.
Questi due triangoli, insieme al triangolo equilatero, sono di uso frequente nell’architettura
romana, bizantina e gotica, soprattutto in questa le cui dominanti sono verticali.”
Nella Cattedrale di Colonia si trova inoltre il rapporto ϕ con tale frequenza, che l’archeologo
Lund la considera, fra tutte le cattedrali del Medio Evo, come la più apparentata al Partenone.
La sua facciata si inscrive in due quadrati e mezzo.
Dall’altra parte, la costruzione di questa cattedrale, pur riposando sugli stessi principi di Notre
Dame di Parigi, non è assolutamente una copia; delle innovazioni furono tentate e, sembra,
non tutte felici.
Figura 3-21. La facciata della Cattedrale di Colonia.
I L D UOMO DI M ILANO
Una parentela strutturale è ormai innegabile in tutta l’architettura, e si dovrebbe comprendere
come una tale identità nei mezzi non abbia affatto impedito una diversità negli stili.
Un’ultima prova dello spirito geometrico e matematico che regolava le costruzioni del
Medioevo, è nelle discussioni e deliberazioni del Comitato di costruzione del Duomo di
Milano. Alla fine del secolo XIV furono convocati vari esperti a Milano perché si
esprimessero sulle proporzioni da dare al nuovo Duomo e i pareri si divisero in due correnti: i
francesi sostenevano che si dovessero impiegare dei cerchi, i tedeschi preferivano i triangoli.
Con riferimento alla Figura 3-22, si riporta di seguito una citazione di Ghyka.
“La cattedrale fu costruita sui principi “ad quadratum”, la pianta essendo formata da due
quadrati e dalle loro suddivisioni; però, al momento di definire l’altezza dell’edificio,
sopraggiunse il timore che l’altezza imposta dal quadrato e dal suo noto triangolo, la cui
altezza è uguale alla base, fosse troppo grande. La deliberazione del comitato fu per
l’adozione di una altezza relativa al triangolo equilatero.”
Figura 3-22. Studi per la facciata del Duomo di Milano.
55 La Sezione Aurea nell’Architettura Il Vitruvio edito dal Cesariano nel 1521 reca infatti un’incisione del Duomo con la legenda
che spiega come il proporzionamento fosse fatto, infine, alla maniera tedesca, mediante
rettangoli equilateri.
3.8
I L PORTALE DI C ASTEL DEL M ONTE
Il disegno del portale di Castel del Monte (Figura 3-23), esempio di architettura gotica in
Puglia, fatto costruire da Federico II di Svevia nel 1240, scaturisce dal pentagono stellato e
dalla sua scomposizione secondo il numero d’oro, 1.618, le sue potenze e le sue radici.
Figura 3-23. Il pentagono e il pentagramma identificati sul portale di Castel del Monte.
Esso ha dei punti salienti che coincidono con i vertici di un pentagono. Per ottenere ciò è
necessario che concorrano più elementi con particolari dimensioni come: la distanza delle due
colonne, l’angolo del timpano, l’altezza del vertice del timpano; solo con le condizioni
suddette è possibile tracciare un pentagono e dunque si può pensare che questo sia stato
voluto. A confermare questa ipotesi concorrono molte altre combinazioni geometriche e
planetarie che si trovano nel Castel del Monte. Per es. i solstizi e gli equinozi sono segnalati
dall’ombra del tetto sui punti salienti; nel perimetro esterno si possono inscrivere rettangoli il
56 La Sezione Aurea nell’Architettura cui rapporto dei lati è “aureo”, i punti dove il sole sorge e tramonta ai solstizi formano un
rettangolo in proporzione aurea (questo avviene solo alla latitudine dove è situato il castello).
Il rapporto tra gli elementi, sempre di 1.6, fa sì che ci sia una giusta proporzione, per esempio,
tra la larghezza e l’altezza delle aperture o tra un cerchio di pietre e l’altro. Questo fa sì che
stando dentro al monumento ci si senta a proprio agio e non si avverta minimamente
l’incombenza della struttura, come ci si potrebbe aspettare, data la mole delle pietre che lo
compongono.
3.9
L’ ARCHITETTURA DI RAFFAELLO
Con il Rinascimento la teoria delle proporzioni cessò di essere una prassi costruttiva propria
degli architetti. Si tornò a stabilire un diretto rapporto fra tecnica e natura, fra uomo
(microcosmo) e universo (macrocosmo), e soprattutto si tornò a fondare sulle proporzioni il
concetto stesso di bello.
In architettura l’Alberti raccomanda nove figure geometriche per le chiese, tutte a pianta
centrale, cioè inscrivibili in un cerchio, considerato la forma più perfetta: una preferenza che
caratterizza l’architettura del Rinascimento fino a Bramante e Raffaello.
La ricerca delle proporzioni auree nell’opera di Raffaello riesce ancora più puntuale e
stringente in campo architettonico. Malgrado l’esiguo numero delle opere sicure, l’indagine
apre il discorso a significative considerazioni e si configura come univoca e producente.
I risultati appaiono addirittura esemplari per quanto riguarda i prospetti che hanno rivelato
studiate e chiare intelaiature proporzionali, leggibili nei rapporti generali dell’opera, nelle
altezze dei diversi piani ed infine nella spaziatura e forma delle aperture.
In sostanza, in Raffaello l’espressione architettonica lascia scoprire in ogni prospetto
l’esistenza di una intelaiatura di supporto costituita da un ordito – determinato dagli assi
verticali – e da una trama – precisata nelle linee architettoniche orizzontali – scelti in modo da
fissare uno schema compositivo che è spesso possibile evidenziare tracciando linee oblique di
collegamento nei modi essenziali, il cui parallelismo assicura la scelta di una particolare
intelaiatura su cui si innestarono le qualificazioni architettoniche fornite dalle diverse
membrature e gli episodi formali.
57 La Sezione Aurea nell’Architettura Il Palazzo Pandolfini di Firenze (Figura 3-24) – iniziato intorno al 1515 – prospetta su via San
Gallo con due volumi di altezza diversa. La parte più corposa dell’edificio ha una propria
unità esteriore attestata dai bugnati angolari: il rapporto tra la lunghezza e l’altezza di tutta la
facciata – misurata sotto lo sporgente cornicione – si trova uguale a
2.
Figura 3-24. Composte sequenze proporzionate imprimono pacati ritmi di serena bellezza ai Palazzo
Pandolfini di Firenze. (Sulla base del Rilievo della Soprintendenza dei Beni Culturali e Ambientali di
Firenze).
Due sono i piani dell’edificio esibiti con identica altezza e divisi da una fascia di marcapiano
che lega anche il corpo di fabbrica più basso.
Le finestre furono spaziate con una misura modulare che regola pure l’altezza del loro tipico
collegamento al piano superiore. Qui il vano delle finestre fu proporzionato nel rapporto di 3 a
2 e le diagonali così tracciate incontrano la trama orizzontale in punti coincidenti con i
tracciati degli assi verticali.
Le riposate proporzioni ora emerse convengono al solenne aspetto dell’edificio: sono valori
semplici, consoni alla tradizione fiorentina e poggiati sull’essenzialità delle superfici, come
aveva insegnato il Brunelleschi.
In questo pacato prospetto potrebbero essere riscontrate altre connessioni proporzionali nelle
finestre terrene, nel portone bugnato e nei riquadri del finestrato superiore, ma non si ritiene
scendere a dettagli ulteriori, anche perché l’edificio – realizzato molto lentamente – presenta
58 La Sezione Aurea nell’Architettura qualche leggera inesattezza metrica, spiegabile con esigenze prospettiche nel corpo basso. Le
proporzioni riscontrate hanno tuttavia chiarito che il progetto fu redatto in braccia fiorentine.
Assai diverso e soprattutto ricco di fecondi spunti, è lo schema proporzionale rintracciato nel
distrutto Palazzo Branconio in Borgo (Figura 3-25), architettato da Raffaello negli ultimissimi
anni di vita. Lì per la prima volta furono abbandonate le classiche norme sulla
sovrapposizione dei piani digradanti in altezza ed anche le isolate soluzioni con l’ultimo piano
più alto degli altri, che piaceranno invece a Michelangelo.
Figura 3-25. Schema proporzionale nella facciata del distrutto Palazzo Branconio in Borgo.
Sulla scorta dei già raccolti documenti grafici sul palazzo – e specialmente della sezione
conservata alla Biblioteca Nazionale di Firenze – si è potuto giungere ad una sicura
ricostruzione grafica del singolarissimo prospetto raffaellesco. Era diviso da sporgenti cornici
in tre fasce orizzontali: quella mediana, più alta delle altre, comprendeva due piani. Le
proporzioni erano studiate in modo che l’altezza del pian terreno era la media delle due zone
59 La Sezione Aurea nell’Architettura sovrapposte, le quali a loro volta erano ripartite come 2 a 1. Tutta la facciata rispondeva al
rapporto di 1,2 tra lunghezza ed altezza.
Uno spartito rivoluzionario che in pari tempo risponde, se non alle regole tradizionali, ai
valori elementari che abbiamo già constatato prediletti da Raffaello: e lascia ampio campo per
lo svolgersi della nuova decorazione a stucco che avrà tanto successo in seguito.
E’ meraviglioso notare come Raffaello abbia qui inteso, più che a Palazzo Pandolfini,
imbrigliare la fantasia decorativa con un ardito proporzionamento, disciplinato però con
logica coerenza, come è attestato dalle linee diagonali che offrono la visione di un riassuntivo
collegamento fra gli elementi architettonici, offrendo così la migliore conferma alla
ricostruzione grafica finalmente operata.
Raggiunto l’esatto schema organico della perduta opera, dobbiamo compiacerci del suo
equilibrato avvincente aspetto. Una suprema eleganza – che vediamo esser stata anche
procedurale – dove l’incrementata zona mediana non ha riverberato sul prospetto problemi
compositivi che non siano stati risolti con i consueti rapporti proporzionali: anche il cortile ha
la pianta rapportata come 3 a 2. Riconosciamo le stesse chiavi usate per il Pandolfini, ma ora
il supporto proporzionale è divenuto veramente nuovo ed originale ed è servito a fini del tutto
diversi.
Raffaello ha consegnato al Manierismo le proporzioni musicali di esito brunelleschiano, in
una gamma meno ampia e rinnovandone lo spirito con un inedito accostamento. Pur non
uscendo dal repertorio della tradizione proporzionale, ha comunque indicato la geniale
possibilità di una trasgressione che devierà subito su altri binari le ricerche architettoniche dei
suoi allievi.
60 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-26. Raffronto fra gli schemi proporzionali formali dell’edificio di fondo dello “Sposalizio della
Vergine” e della Chiesa di Sant’Eligio degli Orefici.
Dall’analisi dei prospetti passiamo ad indagare la spazialità interna delle sue preziose
architetture, mettendo anzitutto a confronto la Cappella Chigi in Santa Maria del Popolo con
il Sant’Eligio degli Orefici (Figura 3-26): a pianta ottagona l’una e cruciforme l’altro. A parte
la diversità dei due tradizionali impianti, appare del tutto differenziata la loro espressione
architettonica, anche perché il progetto per la Cappella Chigi deve risalire all’età di Giulio II,
mentre il Sant’Eligio esprime il rinnovato clima culturale del tempo di Leone X.
La ricerca proporzionale deve investire i volumi aerei definiti nella terza dimensione. Data la
specularità dei due edifici rispetto ai piani ortogonali, si deve far affidamento alle linee
diagonali determinanti campi murari o congiungenti punti significativi, come cornici e
paraste; riportate sui piani settori verticali, tali diagonali vengono a chiarire la prassi
compositiva interna dei due edifici sacri. Per il Sant’Eligio è stato appositamente predisposto
ed utilizzato un grafico di sezione che, per la prima volta, ricostruisce il progetto raffaellesco
ne!la formulazione originaria dei pilastri e della cupola; e si è potuto inoltre appurare che
l’impianto fu stranamente progettato in braccia fiorentine.
Dal paragone risulta con sorpresa l’apparente similitudine dei proporzionamenti, discendenti
da una prassi stabilita da tempo e che verrà rinnovata solo da Michelangelo; ma i
fondamentali rapporti sono ricercati nel Sant’Eligio con altri valori, oppure e più spesso, si
61 La Sezione Aurea nell’Architettura attribuirono gli stessi valori a situazioni e punti diversi, però sempre perseguendo l’intento
sostanziale di imprimere maggiore snellezza all’opera più tarda.
Così la cornice d’imposta del tamburo della cupola – che nella Cappella Chigi si trova alta
rispetto al piancito nel rapporto 1,3 – in Sant’Eligio sale a
3 , cioè circa 1,73, con il
conseguente incremento nell’altezza degli arconi (Figura 3-27). Ma sono soprattutto le svelte
proporzioni delle paraste a caratterizzare, in modo del tutto nuovo, l’interno del Sant’Eligio:
anche per l’assenza delle basi e per la tanto contratta trabeazione risultano lunghe ben undici
volte la loro larghezza.
Figura 3-27. Spaccato del Sant’Eligio – riportato all’architettura del Sanzio, secondo i rilievi quotati del
Cinquecento (Uffizi A 635 e A 1888 v ) – con l’indicazione degli schemi proporzionali che imprimono
snellezza solo alla metà inferiore della chiesa.
Fu così raggiunta l’accentuata verticalità della chiesa, paradossalmente ottenuta malgrado il
notevole abbassamento del tamburo originale rispetto a quello della Cappella chigiana. Lo
slancio proporzionale si perde però nella zona della cupola, senza determinare raccorciati
effetti visivi, perché fu lasciata senza decorazioni come un bianco cielo. Con tali opposti
accorgimenti si conclude la volumetria dell’insieme e rientra nei tradizionali rapporti globali
dell’intera fabbrica: nella visione interna il rapporto fondamentale vien difatti riportato
all’equazione illusiva tra altezza e larghezza totale dell’invaso mentre i volumi emergenti
meglio concordano nel panorama urbano. Tuttavia la partizione orizzontale del prospetto
62 La Sezione Aurea nell’Architettura doveva anticipare il divario nei proporzionamenti interni con modalità certo originali ed oggi
difficili a precisarsi.
L’evidenziato contrappunto proporzionale si rivela genialmente ricco di spunti per il futuro,
ma privo di contraddizioni verso il passato.
All’importante novità di un incremento localizzato delle proporzioni che fu assai producente
in seguito, fa riscontro un’altra curiosità. mentre nella Cappella Chigi non sono individuabili i
rapporti regolati dal numero d’oro, questi si possono invece riconoscere nel Sant’Eligio come
determinanti le proporzioni fra i piedritti dei quattro arconi ed in quelli dell’abside, tutta
impreziosita da affreschi.
Tra le due differenziate architetture a pianta centrale che oltre al mutato clima artistico, danno
la misura della prodigiosa evoluzione raffaellesca verso nuove proporzionate soluzioni
formali, va collocata la Loggia di Villa Madama (Figura 3-28), magistralmente innestata dal
Sanzio in un contesto predisposto da Giuliano da Sangallo e che si configura come la più
maestosa architettura interna del Maestro. Iniziata certo dopo il 1517, è soprattutto notevole
per il suo proporzionamento: ricalca infatti la tipologia sperimentata dalla scuola bramantesca
nella Villa Colonna di Genazzano, ma sono le proporzioni a trasfigurarne gli aspetti in una
visione allo stesso tempo pacata ed esaltante.
Le tre campate si aprono liberamente verso la terrazza a giardino con altrettanti arconi
rapportati alla
3 , come le arcate dipinte nella Cacciata di Eliodoro (Figura 3-29) e
diversamente da quelle sangallesche che prospettano sullo stesso grande terrazzo. Il
medesimo valore regola pure l’altezza della cupola centrale, mentre nelle altre due cellule –
coperte con volte a crociera – si attua il rapporto di
2 , sistema proporzionale ideato da
Raffaello si distacca dalle precedenti acerbità laziali e ben conviene quale supporto al ricco
apparato decorativo della Loggia.
E non va certo taciuto che l’aulica spazialità interna propria della Loggia, è fondata sul suo
semplice proporzionamento generale. Tenendo conto delle tre grandi nicchie aggiunte e
facendo riferimento all’ampiezza unitaria di tutti gli arconi, si desume che le proporzioni della
pianta sono basate su elementari rapporti: la lunghezza totale raggiunge cinque volte la luce di
tali archi, mentre è doppia quella dei bracci trasversali.
63 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-28. I due rapporti irrazionali introdotti a Villa Madama nella splendida loggia del Sanzio che
nobilita tutto il complesso, già iniziato da Giuliano da Sangallo e rimasto incompiuto.
Figura 3-29. Con “La cacciata di Eliodoro” (1514) l’arte di Raffaello compie una svolta. tentando nuove
esperienze non solo in campo luministico e nel dinamismo delle composizioni, ma pure nelle ricerche e
nelle forme architettoniche. Il plasticismo di un edificio risolto come serie di cupole su colonne è qui
equilibrato da più snelle proporzioni che vediamo raggiungere il rapporto di √3= 1,73 fra altezza e
larghezza. E lo stesso rapporto anima la metà inferiore della chiesa di S. Eligio - di poco più tarda atteggiata a un nuovo voluto verticalismo, impersonato dalle contratte membrature dello schematico
ordine architettonico.
64 La Sezione Aurea nell’Architettura L’aggiornata interpretazione, anzi la riforma semplificatrice compiuta da Raffaello negli
ordini architettonici destinati all’interno degli edifici – che ha avuto pure a Villa Madama
particolare espressione – non contraddice il suo studio e la continuata applicazione delle
ordinanze tradizionali, che nella Cappella Chigi raggiungono il più elevato livello ed un
insuperabile diapason.
Attraverso le sue architetture dipinte si potrebbe meglio precisare l’attenzione rivolta dal
Sanzio al proporzionamento delle diverse parti classicamente concepite. Senza entrare in
dettagli e in merito ai vari ordini, si può dire che in generale Raffaello si è premurato di
alleggerire il sostanziale rapporto tra l’altezza complessiva della colonna e la trabeazione
sovrastante: a differenza dei suoi contemporanei, egli è incline a snellirlo rispettandone la
suddivisione classica, oppure a metterlo decisamente in crisi, per rifondare la tettonica
dell’ordine, senza scendere a compromessi.
Notevoli e indicative sono le modalità compositive dell’ordine nelle sequenze ritmiche di
paraste abbinate che egli adotta nelle Scuderie della Farnesina e nella Loggetta del Bibbiena
sul Cortile del Maresciallo in Vaticano (Figura 3-30). Nella ripresa di questo tema egli si
dichiara nuovamente allievo del Bramante.
Delle Stalle Chigi rimane solo parte della facciata verso la Lungara, cui era sovrapposto un
altro piano di ordine corinzio. Il prospetto laterizio era caratterizzato da fini paraste,
raggruppate due a due con semplice modularità: le coppie di lesene – intervallate con zone di
compatta cortina percorse solo da un’ampia riquadratura – stabiliscono un’alternanza con gli
spazi intermedi nel rapporto 1 a 2.
Nella Loggetta del Bibbiena – di modeste dimensioni – il ritmo delle paraste binate si trova
connesso al loro sviluppo verticale ò accentuato dalle lesene risaltate nella trabeazione –
mediante un modulo complessivo che regola anche le altezze. Gli intervalli fra le paraste
binate e gli spazi intermedi con piccole finestre arcuate sono nel rapporto 2 a l .
65 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-30. La “travata ritmica” nelle semplificate interpretazioni proporzionali di Raffaello:
a sinistra le scuderie Chigi, a destra la Loggetta del Bibbiena.
È significativo notare che, in ambedue i casi, Raffaello svolge il motivo della travata ritmica
caro al Bramante, senza ripetere le proporzioni che il maestro – sulla scia dell’Alberti – aveva
solennemente precisato con il numero d’oro sul Palazzo della Cancelleria e nel Cortile del
Belvedere. Anche in questi casi emerge perciò l’atteggiamento del Sanzio verso la sezione
aurea, da lui applicata solo per accentuare la sacralità dei soggetti.
Nel completare l’inedita e rapida indagine sulle proporzioni di Raffaello, si deve pure
accennare ad una inconsueta forma di volta che ha specifica incidenza nel proporzionamento
degli ambienti interni: è certamente frutto di ricerche geometriche del tempo ed il Sanzio ha
voluto applicarla fra i primi.
Si tratta di una particolare forma di copertura voltata a “botte” o “a padiglione”, adottata in
luogo di quelle a tutto sesto e preferita per la sua minore “monta”. Riconoscendo la nuova
curva, che servì a tracciare le sezioni verticali e a predisporre le centine in alcuni edifici
raffaelleschi, la si può identificare con la figura geometrica della “cicloide” definita come
percorso compiuto da un punto situato su un cerchio che rotoli, senza strisciare, lungo una
retta. Oltre alla limpida scattante bellezza, tale linea curva si raccomanda per il preciso
rapporto tra l’altezza cui giunge in sommità e la sua ampiezza, che è minore di un terzo e
precisamente quello fra circonferenza e diametro (l : 3,14).
In tal modo doveva essere conformata la grande volta delle Scuderie Chigi, a giudicare da un
antico rilievo quotato; e così si riscontra nella Loggetta del Bibbiena. dove l’elegante curva
66 La Sezione Aurea nell’Architettura conclude l’ambiente interno – squisitamente decorato anche sulla volta, articolata da lunette in
corrispondenza dei finestroni – e ne viene a proporzionare l’altezza in
2 . Va anche rilevato
che la Loggia della villa Lante sul Gianicolo, architettata da Giulio Romano, replica ben
presto ed esalta la stessa soluzione geometrica che, riconosciuta in Raffaello, può forse
vantare più antiche origini e certo più illustri e remote applicazioni.
3.10 I L M ODULOR DI L E CORBUSIER
La sezione aurea si è spinta nelle sue applicazioni fino alle costruzioni del nostro tempo. Le
Corbusier praticò tracciati regolatori sin dalla sua prima attività architettonica, e moltissimi
sono gli schemi distributivi basati sulla divisione aurea di un rettangolo, applicati ad esempio
nella famosa Villa de Monzie/Stain di Garches (Francia) del 1927 (Figura 3-31).
Figura 3-31. La Villa de Monzie/Stein a Garches (Francia) di Le Corbusier (1927).
67 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-32. I moduli riconoscibili sulla facciata nord di Villa Stein (x=1,25 m; y=1,00 m).
Ma la formulazione del Modulor tra il 1942 e la pubblicazione del primo libro sul sistema del
1949 (e negli ampliamenti dati nel Modulor 2, 1955) va molto oltre le prime applicazioni di
moduli proporzionali: la scala Modulor (Figura 3-33) si distingue in due serie di divisioni per
sezione aurea riferite all’altezza ideale dell’uomo eretto (m 1.829) e col braccio levato (m
2.26); Le Corbusier fornisce come esempio una tavola di rettangoli ricavati col Modulor e una
serie di combinazioni di tali rettangoli col quadrato e tra loro, come esempi di distribuzioni
armoniche attuabili in architettura e in urbanistica e tra l’altro disegna una serie di 54 quadrati
ottenuti mediante la composizione di rettangoli dedotti dal Modulor (Ragghianti).
68 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-33. La scala Modulor di Le Corbusier.
“Il Modulor è uno strumento di misura nato dalla statura umana e dalla matematica. Un uomo
con il braccio alzato fornisce nei punti determinanti dell’occupazione dello spazio, il piede, il
plesso solare, la testa, l’estremità delle dita, essendo il braccio alzato, tre intervalli che
generano una sere di sezioni auree dette di Fibonacci (Figura 3-34). D’altra parte, la
matematica offre la variazione più semplice e nello stesso tempo più significativa di un
valore: il semplice, il doppio, le due sezioni auree.” (da Le Corbusier: Il Modulor).
Figura 3-34. Il Modulor di Le Corbusier.
69 La Sezione Aurea nell’Architettura Nella Figura 3-35 è possibile confrontare il Modulor descritto da Le Corbusier nel passo
precedente, con la sua applicazione ai rettangoli aurei della villa di Garches.
Figura 3-35. Il Modulor di Le Corbusier (sinistra) con i relativi rettangoli aurei,
a confronto con la facciata nord della Villa di Garches (destra).
Figura 3-36. L’uomo di Vitruvio.
E’ inoltre evidente la similitudine concettuale fra il Modulor e l’uomo vitruviano di Leonardo,
del 1490 (Figura 3-36).
70 La Sezione Aurea nell’Architettura Le Corbusier vedeva questo problema come “gioco” (Figura 3-37): “Si prende ad esempio un
quadrato e ci si diverte a suddividerlo secondo le misure del Modulor. Questo gioco è senza
limite. Ci si potrebbe anche divertire a giudicare quali sono le combinazioni soddisfacenti,
persino le più belle.”
Inoltre, commenta sui rettangoli ricavati con questo metodo (Figura 3-38): “Raggruppiamo
questi elementi così diversi: la gamma delle combinazioni possibili è molto ricca. Le prime
ottenute, così come quelle che seguiranno, saranno eccellenti perché tutte sono fatte da
elementi armonizzati. L’ingegnosità, il gusto ne faranno uso nel modo migliore per operare i
raggruppamenti capaci di soddisfare tutte le sensibilità, tutte le fantasie o tutti i bisogni
puramente razionali. La dimostrazione sommaria del “Modulor” è fatta. Il “Modulor” regola
le lunghezze, le superfici, i volumi. Mantiene dappertutto la scala umana, prestandosi ad una
infinità di combinazioni, assicura l’unità nella diversità, beneficio inestimabile, miracolo di
numeri.”
Figura 3-37. Il “gioco” dei rettangoli basati sul Modulor di Le Corbusier.
71 La Sezione Aurea nell’Architettura Figura 3-38. Rettangoli ricavati con il Modulor.
CONCLUSIONE
L’importanza storica della sezione aurea trae origine dalle circostanze descritte, e cioè:
l’essere stata associata ad una figura dotata di significati simbolici in un rituale esoterico, e
l’essere stata occasione di confutazione del principio fondazionale dei pensiero geometrico
della scuola pitagorica. Ma, mentre con la scoperta di una coppia di segmenti
incommensurabili la sezione avviò il processo di evoluzione razionale della geometria,
paradossalmente (ma comprensibilmente) essa rafforzò ed ampliò il suo valore simbolico
divenendo canone di riferimento nella pratica dell’arte. La fortuna estetica del rapporto aureo
non fu quindi una scelta intenzionale di qualcosa che fosse semplicemente piacevole a
vedersi, ma il casuale e fortunato incontro dei rituale magico, del rigore razionale e
dell’armonica bellezza.
Platone non parla mai nei suoi dialoghi della sezione aurea; parla invece dei poliedri regolari e
su queste figure geometriche sviluppa la sua teoria degli elementi naturali. In questa teoria,
esposta nei Timeo, le strutture fisiche e le modalità di interazione degli elementi naturali sono
riferite alle configurazioni dei poliedri regolari e alle analogie geometriche esistenti tra essi. Il
fuoco, l’aria e l’acqua, cioè quegli elementi che Platone ritiene trasmutabili l’uno nell’altro,
sono riferiti rispettivamente al tetraedro, all’ottaedro e all’icosaedro, che sono i poliedri a
facce triangolari.
Figura 4-1. Scomponibilità modulare delle superfici dei poliedri secondo Platone.
La terra, che può mescolarsi agli altri elementi ma non trasformarsi in essi, è invece riferita
all’esaedro che ha facce quadrate. Platone evidenzia inoltre una sorta di scomponibilità
modulare delle superfici dei poliedri e da essa ricava i rapporti quantitativi con cui avvengono
le trasformazioni. Nel caso dei poliedri riferiti agli elementi naturali il modulo è sempre un
73 La Sezione Aurea nell’Architettura triangolo rettangolo avente i lati commensurabili in lunghezza o almeno in potenza, e
precisamente avente l’ipotenusa doppia di un cateto se la faccia del poliedro è triangolare,
avente i cateti uguali se la faccia è quadrata (Figura 4-1).
Nei dodecaedro, invece, accade che i triangoli in cui può essere scomposta la faccia
pentagonale hanno i lati incommensurabili sia in lunghezza che in potenza. Non è perciò
possibile alcuna trasformazione di quel poliedro in qualcuno degli altri, né una sua qualche
collocazione in quell’area dell’universo ove ha sede la realtà fisica, e in cui, con le
trasformazioni degli elementi, hanno luogo i fenomeni naturali, la vita, la morte e l’azione
dell’uomo sulla natura. La sfera del dodici pentagoni che custodisce nella sua faccia il magico
rapporto aureo, affrancata dalla materialità, conserva intatti gli attributi conferitigli dalla
sapienza sacra e ritrova il suo luogo nella intangibile tessitura del cosmo. La ricchezza delle
argomentazioni con cui Platone, per garantirne la plausibilità, ha proposto la sua teoria si
esaurisce, nel caso del dodecaedro, in una sola affermazione che ha la lapidaria incisività delle
scritture esoteriche: “dio se ne servì per disegnare l’universo”.
Mezzo secolo separa la stesura del Timeo da quella degli Elementi di Euclide in cui non ha
più posto il mito, né l’immaginazione soggettiva. Completamente laicizzata, la sezione aurea
è catturata dal meccanismo deduttivo dell’edificio assiomatico, ma, pur se incastonata nella
sequenza delle implicazioni oggettive, vi riveste un ruolo singolare. Ad essa Euclide fa più
volte riferimento in una successione di proposizioni distribuite lungo l’intera opera come un
filo conduttore che guida al tema del XIII libro, l’ultimo degli Elementi. Quel tema è appunto
la costruzione dei poliedri regolari lo scopo finale degli Elementi di Euclide e interpretava
questi come la premessa geometrica offerta in omaggio ed a sostegno della teoria platonica
dell’universo. Tale interpretazione degli Elementi è facilmente confutabile da un’analisi
attenta dell’opera e del contesto culturale nel quale essa fu realizzata.
In verità la costruzione del rapporto aureo non presenta particolari difficoltà tecniche: è
tuttavia scarsamente immediata ed è condizionata dal fatto che il rapporto tra i lati del
rettangolo non è razionale. La scelta intenzionale del rettangolo aureo in opere d’arte per
ragioni di preferibilità percettiva non sembra perciò verosimile, tanto più che rettangoli capaci
di stimolare sensazioni dello stesso genere di quelle prodotte dal rettangolo aureo possono
essere scelti, senza complicate premesse geometriche, entro quell’area di preferibilità
evidenziata dall’esperienza di Fechner. Un rettangolo 8x5 è otticamente indistinguibile da un
74 La Sezione Aurea nell’Architettura rettangolo aureo: esso ha però i lati in un rapporto razionale e non presenta alcuna
complicazione costruttiva. Si deve allora pensare che le ragioni della fortuna storica e della
fortuna estetica dei rapporto aureo siano da cercarsi nell’area di quei fatti culturali e simbolici,
tesi tra mito e ragione, capaci di far da tramite tra percezione ed arte.
Esorcizzato il pericolo di rimanerne catturati, possiamo rivivere l’incanto antico della magica
sezione, riproporci l’aspirazione del pensiero greco al possesso, attraverso la geometria, di
una verità trascendente: θεός γεωμετρεϊ.
Ovvero: “La sezione aurea è una dimostrazione meravigliosa del fatto che l’uomo creatore e
la natura si servono degli stessi strumenti nel creare le forme, per arrivare alla bellezza.” (S.
Groenman , Utrecht, 1969).
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d’Oro. A cura di P. Pacini, ed. Marchi e Bertolli, Firenze (1972).
76

La Sezione Aurea nell`Architettura

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