METODI MODERNI PER LA QUADRATURA DELLA PARABOLA

METODI MODERNI PER LA QUADRATURA DELLA PARABOLA
“Le scoperte matematiche, piccole o grandi che siano, non nascono mai da una
generazione spontanea. Presuppongono sempre un terreno seminato con una
conoscenza preliminare e ben dissodato dalla fatica, sia conscia che inconscia”
Jules Henri Poincaré
L’area del segmento parabolico viene calcolata da Archimede sia
utilizzando il metodo di esaustione sia combinando insieme
ragionamenti meccanici, infinitesimali e geometrici; questi due
metodi si presentano come i precursori della moderna analisi
infinitesimale e del calcolo integrale.
Infatti nella Quadratura della parabola Archimede trova l’area di
un segmento parabolico “riempiendo” la figura con triangoli sempre
più piccoli. Nella Proposizione 23, Archimede, avendo intuito che
la somma delle aree dei triangoli costruiti sui vari segmenti
parabolici tendeva, all’aumentare del loro numero, all’area del
segmento parabolico stesso, determina, anche se in un caso
particolare, la somma di un “numero infinito” di termini, ossia la
somma dei termini di quella che modernamente chiamiamo
progressione geometrica di ragione ¼. Archimede aveva già
dimostrato, nel suo Metodo, che l’area del segmento parabolico era pari a 4/3 dell’area del
triangolo in esso inscritto, avente la stessa base e la stessa altezza; è quindi possibile che
si sia accorto che fermandosi ad un punto della progressione geometrica così costruita, la
somma dei termini successivi all’area A del primo triangolo inscritto nel segmento
parabolico fosse pari a 1/3 di A; per cui l’area totale, risultava pari a:
Possiamo innanzi tutto generalizzare quanto fatto da Archimede nella Proposizione 23 con
le grandezze A, B, C, D, E e dimostrare che la somma di n Aree in progressione
geometrica di ragione ¼ (A, A/4, A/16, A/64….) a cui venga sommato 1/3 dell’ultimo
termine considerato è pari a 4/3 di A, utilizzando il metodo d’induzione:
- Dimostriamo che tale relazione è vera per n=1:
- Supposto che la proposizione sia vera per n-1, cioè che sia:
( )
( )
vogliamo allora dimostrare che è vera per n. Calcoliamo quindi tale somma per n:
( )
[
[
( )
( )
]
( )
( )
]
( )
( )
( )
( )
[
( )
( )
[
]
]
( )
( )
Poi nella Proposizione 24, Archimede dimostra che l’area del segmento parabolico è pari a
4/3 dell’area A del triangolo inscritto, avente la stessa base e la stessa altezza, utilizzando
il metodo di esaustione.
Modernamente possiamo calcolare l’area del segmento parabolico sfruttando, anziché il
metodo di esaustione, le nostre conoscenze sulle progressioni geometriche. Calcoliamo la
somma Sn dei primi n termini della progressione data dalle aree dei vari triangoli inscritti;
facendo il limite di tale somma, per n che tende a infinito, troveremo l’area del segmento
parabolico:
 1  1  2  1 3

1
1
1
Sn  A  A 
A
A  .....  A  A        ........
4 4 4

4
16
64


n
1
1  
n
1
1  1 
4

Sn  A  A 
 A  A1    
1
4
3   4  
1
4
n

1   1  
1
4


lim S n  lim  A  A1       A  A  A
n
n
3   4   
3
3



Ricordiamo che all’interno del Metodo Archimede aveva pensato ogni figura composta o
riempita da tutti i suoi elementi, gli “indivisibili”, a cui poi aveva attribuito un “peso reale”,
considerando quindi linee e piani paralleli come “fili” e “lastre pesanti” dal cui equilibrio
aveva dedotto la stessa area. Questo metodo si presenta come il precursore della teoria
degli “indivisibili” sviluppata in seguito da Cavalieri, che si basa proprio sull’idea che una
figura piana convessa sia formata da tante corde, intercettate su di essa da un fascio di
rette parallele; in seguito ciascuna di tali corde è pensata come un rettangolo avente per
base la corda stessa e un'altezza piccolissima (sono gli indivisibili di area). Cavalieri
calcola quindi l’area di una figura come somma di un “numero sufficientemente grande” di
indivisibili.
Gli indivisibili di area di Cavalieri possiamo pensarli, con il moderno linguaggio dell’analisi,
come delle figure piane geometriche di spessore infinitesimo la cui area, calcolata come
l’area del rettangolo di base f(x) e altezza dx, è rappresentato dal moderno prodotto f(x)dx.
L’analisi infinitesimale, iniziata da Archimede e Cavalieri, è stata portata avanti nel 1600
da Newton e Leibniz e poi nei secoli successivi da grandi matematici come Bernulli,
Eulero, D’Alambert e Lagrange, e poi nel 1800 da Cauchy e Riemann.
Vediamo come calcolare l’area del segmento parabolico con i moderni metodi dell’analisi,
che si basa proprio sull’idea di “riempire” la figura con dei rettangoli. Consideriamo una
funzione y=f(x) di grafico , continua in un intervallo [a; b], in cui f(x)>0. Chiamiamo
trapezoide T la parte di piano delimitata dal grafico , dall’asse x e dalle rette x=a e x=b, di
cui vogliamo determinare l’area A.
Dividiamo l’intervallo [a; b] in un numero n “sufficientemente” grande di parti uguali, di
ampiezza
e indichiamo con mi e Mi rispettivamente il minimo e il massimo
assunto dalla funzione in ciascuno di tali intervalli (osserviamo che essendo la funzione
continua in un intervallo chiuso e limitato [a; b] e quindi anche in ciascuno di tali intervalli,
per il Teorema di Weierstrass ammette in essi massimo e minimo assoluti).
Costruiamo quindi il plurirettangolo inscritto nel trapezoide: esso è formato da n rettangoli
che hanno come base
e altezza
essendo xi l’ascissa del punto di minimo mi.
La sua area, che approssimerà per difetto l’area A del trapezoide, è data da:
∑
∑
Costruiamo poi il plurirettangolo circoscritto al trapezoide: esso è formato da n rettangoli
che hanno come base
e altezza
essendo x’i l’ascissa del punto di massimo
Mi. La sua area, che approssimerà per eccesso l’area A del trapezoide, è data da:
∑
∑
Risulta:
Riconosciamo in tali rettangoli le “lastre piane” di Archimede o gli “indivisibili di area” di
Cavalieri.
Aumentando il numero n degli intervalli e quindi considerando rettangoli di base
sempre più piccola, l’area del plurirettangolo inscritto aumenta e quello del plurirettangolo
circoscritto diminuisce, approssimando sempre meglio l’area A del trapezoide. Si possono
così costruire due successioni i cui termini generali sono, rispettivamente, An e A’n; esse
sono, rispettivamente, crescenti e decrescenti e superiormente e inferiormente limitate da
A. Le due successioni convergono “per n che tende a infinito”, ad un valore comune che è
l’area del trapezoide:
∑
∑
∫
In particolare vogliamo verificare con il moderno calcolo integrale che l’area del segmento
parabolico è pari a 4/3 dell’area del triangolo in esso inscritto.
Con riferimento alla figura, consideriamo la parabola di equazione
e calcoliamo
l’area del segmento parabolico delimitato dall’arco BOB’ di curva e dalla corda BB’. Sia
y=k la retta passante per B e B’ (ipotizziamo che a e k siano numeri reali positivi).
Determiniamo le coordinate dei punti B e B’ d’intersezione tra la retta e la parabola:
{
(√
( √
)
)
Calcoliamo l’area del segmento parabolico:
√
√
∫
∫
√
√
(
)|
√ (
)
√
Calcoliamo l’area del triangolo BOB’ inscritto nel segmento parabolico:
√
E’ evidente che
√