Untitled - Enrico Rubiola
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II ENRICO RUBIOLA LABORATORIO DI MISURE ELETTRONICHE CLUT Classe LATEX: clut-modificato-rubiola.cls ©1993 C.L.U.T. Editrice Proprietà letteraria riservata Stampato in Italia da Stampato in Italia da STAMPATRE-Torino Copyright C.L.U.T. - Torino - 1993 Edizioni C.L.U.T. - Torino Corso Duca degli Abruzzi, 24 - 10129 Torino Tel. 011 564 79 80 – Fax 011 54 21 92 RIPRODUZIONE TOTALE O PARZIALE VIETATA V Introduzione Questo testo è stato pensato principalmente per offrire agli studenti del Politecnico di Torino un supporto didattico per le esercitazioni di laboratorio dei corsi di Misure Elettroniche. Il metodo didattico utilizzato è di tipo un po’ particolare: si è fatto uso di brevi seminari introduttivi, uno per ciascuna esercitazione; confidando anche nella buona volontà degli studenti, si è basata la parte più pratica sull’auto-apprendimento, guidato dal personale docente e non docente e facilitato da una traccia di lavoro lasciata a disposizione in laboratorio. Questo metodo è stato imposto dal rapporto numerico tra studenti e docenti, tale da limitare l’efficacia dell’opera di assistenza ai laboratori, da parte del personale coinvolto, pur con tutta la buona volontà. Per dare un’idea dei problemi che si sono dovuti affrontare, si consideri che i corsi di Misure Elettroniche per Ingegneria Elettronica hanno la durata di un semestre, e che negli ultimi due anni accademici la presenza media degli allievi in laboratorio è stata di circa 300 unità per ciascuna delle sei esercitazioni pratiche della durata di quattro ore; quindi circa 7000 ore-uomo per ogni anno, a turni, in un locale attrezzato con sedici banchi da lavoro e condiviso con altri corsi di analoghe dimensioni. In questo manuale vengono proposte sei esercitazioni pratiche, accompagnate dalle necessarie basi teoriche. Operando nelle condizioni sopra descritte, si è dovuto rinunciare all’uso di apparati particolari e costosi, limitandosi alla strumentazione di base, che può essere condivisa con altri corsi. Con queste premesse, gli esperimenti sono stati sviluppati sulla comprensione dei principi della misurazione, sui circuiti e sulla valutazione dell’incertezza di misura. A fianco dello scopo primario — un servizio per gli studenti di ingegneria a Torino — si spera che questo testo sia utile per altri corsi, ivi compresi quelli di Diploma Universitario, in fase di attuazione in tutt’Italia, e per gli Istituti Tecnici di Elettronica, Telecomunicazioni e materie affini, almeno come spunto per i Docenti. Nei capitoli 1 e 2 si richiamano i concetti fondamentali della teoria degli errori — indispensabili alla comprensione delle esperienze proposte — con un taglio schiettamente VI pratico, rimandando per approfondimenti al testo di A. De Marchi e L. Lo Presti, in corso di stampa presso questo stesso Editore. I capitoli dal 3 al 8 presentano le basi teoriche delle esperienze proposte, propedeutiche agli esperimenti. Si è tentato, pur resistendo alla tentazione della completezza, di fornire materiale di studio più ampio e generale di quanto fosse strettamente indispensabile all’esecuzione degli esperimenti. La trattazione dell’oscilloscopio è stata esclusa da questa seconda parte in quanto coperta dai manuali degli specifici strumenti e da altri testi. I capitoli dal 9 al 13, che propongono le sei esperienze pratiche, fanno implicito riferimento ai precedenti. Volutamente scritti in stile spiccio e colloquiale, devono essere intesi come “istruzioni dell’ultimo minuto” piuttosto che come un testo di studio. Si tratta sostanzialmente dello stesso materiale che, redatto in fascicoli, è lasciato in laboratorio a disposizione degli studenti del Politecnico di Torino. I riferimenti a specifici apparati commerciali, contenuti in questi capitoli, hanno il solo scopo di agevolare il lavoro degli allievi. Nelle prime appendici sono riportate informazioni di carattere pratico comuni a più di una esperienza. L’ultima appendice contiene indicazioni sulla scelta degli strumenti e sulla reperibilità di alcuni materiali particolari. Queste notizie devono essere intese come un aiuto per replicare le esercitazioni al di fuori del contesto nel quale esse sono nate. Si veda comunque il capitolo delle appendici a pagina 105 e seguenti. I puristi perdonino qualche inesattezza, dovuta alle esigenze pragmatiche che hanno ispirato la stesura di questo libro. Ad esempio, sono stati usati termini quali “digitale”, in luogo di “numerale” ufficialmente adottato dall’UNI; si è talvolta usata la parola “misura”, risultato della misurazione, come abbreviazione di “misurazione”; si è fatto uso di termini quali “valore vero” ed “errore sistematico”; ed altro, sempre allo scopo di rendere il discorso più immediato. Ringrazio il prof. Umberto Pisani, direttore del laboratorio didattico interdisciplinare del Politecnico di Torino, per la disponibilità dimostrata mentre stavo tentando di riorganizzare le esercitazioni trattate in questo volume; il sig. Francesco Albanese, tecnico del suddetto laboratorio, per lo spirito di collaborazione e per le le capacità organizzative, entrambe assai al di là dei suoi compiti istituzionali, che hanno consentito la sperimentazione di questo metodo didattico con un numero di studenti impossibile da gestire altrimenti; il prof. Andrea De Marchi, docente di questo Politecnico, per avermi dato la spinta emotiva necessaria alla stesura del libro. Un ringraziamento particolare va al prof. Sigfrido Leschiutta. Torino, 8 settembre 1993. Indice Introduzione V 1 Incertezze ed errori 1.1 Tipi di incertezze ed errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Incertezza di tipo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Incertezza di tipo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Errore sistematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Errore di consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Incertezze degli strumenti più comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Multimetro analogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Multimetro digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Oscilloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Contatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3 4 4 4 4 4 5 6 6 2 Misure indirette 2.1 Contributi di errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Regole di somma degli errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Incertezze di tipo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Errori sistematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Notazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Casi particolari ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 11 11 11 12 12 12 3 Voltmetri per tensione alternata 3.1 Voltmetro a vero valore efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Voltmetro a valore medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Costante strumentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Voltmetro a valore di picco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 20 20 22 23 VII Indice VIII 3.3.1 Resistenza di ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Costante strumentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 25 4 Alimentatori stabilizzati 4.1 Misure di resistenza in continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Risoluzione della misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Resistenza dei contatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Deriva termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Misure di impedenza in regime alternato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Incertezze di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Misure in commutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 32 34 36 37 39 41 5 Voltmetri a doppia rampa 5.1 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Reiezione dei disturbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Esempi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 43 44 48 49 6 Voltmetri a conversione tensione/frequenza 6.1 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Reiezione dei disturbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 51 53 54 7 Ponte bolometrico 7.1 Calcolo della potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Bolometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Incertezze ed errori sistematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Amperometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Voltmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Ponte a sostituzione in bassa frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 57 60 60 60 61 63 8 Misure alla risonanza 8.1 Risonatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Q-metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Misure di capacità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Misure di induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Misure di impedenza con inserzione in parallelo . . . . . . . . . . . 8.2.4 Misure di impedenza con inserzione in serie . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Altri schemi di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Esempi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 65 69 71 71 71 72 72 72 9 Esercitazione di uso dell’oscilloscopio 75 10 Esercitazione di misure di tensione alternata 10.1 Conversioni e incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Duty cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Limiti di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 81 82 82 3.4 Indice IX 10.4 Varie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 11 Esercitazione di misure su alimentatore stabilizzato 11.1 Resistenza interna dell’alimentatore triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Impedenza dell’alimentatore singolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Misura di resistenza in commutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 85 87 89 12 Esercitazione di misure di tensione continua 12.1 Montaggio del voltmetro a doppia integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Esperienze sul voltmetro a doppia integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Montaggio del voltmetro a conversione V/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Esperienze sul voltmetro a conversione V/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 91 94 96 96 13 Esercitazione di misure sui risonatori 101 13.1 Risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 13.2 Misure di fattore di merito, induttanze e capacità . . . . . . . . . . . . . . . . 102 13.3 Misure amperometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Appendici 105 A 1 Generatore di segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 A 2 Sonda voltmetrica di picco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 A 3 Resistenze, condensatori ecc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 A 4 Strumenti e materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 X Capitolo 1 Incertezze ed errori 1.1 Tipi di incertezze ed errori Il risultato della misurazione di una quantità x si scrive di solito come xv = xb ± δx (1.1) dove xv rappresenta il valore (convenzionalmente) vero della quantità x, xb la migliore stima che si è potuta ottenere con la misurazione (b sta per “best”, parola inglese che significa “il migliore”), e δx l’incertezza di misura. L’insieme definito da xb ± δx rappresenta l’intervallo che contiene xv ad un dato livello di confidenza, cioè con una certa probabilità. Le incertezze δx espresse secondo la (1.1) si dicono assolute. La quantità δx ha le stesse dimensioni fisiche e la stessa unità di misura di x. Una forma alternativa per esprimere l’incertezza è ¶ µ δx (1.2) xv = xb 1 ± xb In questa notazione la quantità δx/xb prende il nome di incertezza relativa ed è adimensionata. L’incertezza relativa è solitamente preferita all’incertezza assoluta perché dà un’idea più immediata della “qualità” della misura. Può essere espressa come numero puro, come percentuale, in permille, in ppm (parti per milione), e talvolta, particolarmente negli ambienti della chimica, in ppb (parti per bilione, facendo riferimento al bilione americano, che vale 109 ). Quando si tratta di potenza, tensione o corrente, l’incertezza relativa può anche essere espressa in dB. Tra le forme indicate per esprimere l’incertezza relativa, è da preferire la notazione scientifica; si scriva, ad esempio, 3.5·10−5 , evitando 35 ppm oppure 0.0035%. Se la misura non è il rapporto tra la grandezza ed una opportuna unità di misura, il concetto di incertezza relativa è privo di senso. Per convenzione, l’incertezza assoluta δx e l’incertezza relativa δx/xb sono sempre indicate come valori positivi; questo porta ad un’incoerenza di segno — peraltro irrilevante — tra la (1.1) e la (1.2) quando xb < 0. 1 2 1 – Incertezze ed errori Nel rappresentare l’incertezza non si devono usare più cifre significative di quante se ne conoscono realmente; in pratica, al massimo due. Espressioni corrette sono, ad esempio, 3.5·10−5 per l’incertezza relativa e 35 µV per l’incertezza assoluta; si evitino assolutamente espressioni come 3.5012·10−5 oppure 35.012 µV. Esempio 1.1 La tensione di un campione, nominalmente 7.15 V, è nota entro ±300 µV. L’incertezza assoluta è, ovviamente, 300 µV. L’incertezza relativa è δV /V = (300 µV)/(7.15 V) ≈ 4.2·10−5 , che può essere espressa anche come 42 ppm o −87.5 dB. 1.1.1 Incertezza di tipo A Processi di rumore casuali danno luogo alle incertezze di tipo A. Le caratteristiche essenziali delle incertezze di questo tipo sono: . è possibile una caratterizzazione statistica, . note le caratteristiche statistiche, è possibile individuare un processo di stima volto ad eliminare — o a ridurre — l’effetto di queste incertezze sull’incertezza complessiva della misura, . la stima del valore vero può, in generale, essere migliorata aumentando il numero delle misure. In una visione semplificata, le incertezze di tipo A si manifestano come fluttuazioni casuali delle misure, sostanzialmente analoghe al rumore a valore medio nullo — non necessariamente gaussiano bianco — della teoria delle comunicazioni. Decidere se la fluttuazione della lettura di uno strumento è realmente casuale a valore medio nullo può essere un problema non banale, specialmente nei casi in cui si hanno pochi dati sperimentali. Le incertezze di tipo A sono ben descritte dalla radice quadrata della loro varianza, indicata con la lettera σ e chiamata anche deviazione standard. Spesso nella comunità degli ingegneri si fa riferimento all’intervallo di ampiezza ±3σ; questo intervallo, in presenza di distribuzione gaussiana del rumore, contiene il valore vero con il 99.7% di probabilità. 1.1.2 Incertezza di tipo B Viene chiamata incertezza di tipo B, o sistematica, una incertezza che non può essere ridotta con metodi statistici, quali ad esempio l’operazione di media. L’incertezza di tipo B è quindi ciò che rimane dell’incertezza dopo l’analisi dei dati sperimentali. In molti strumenti non particolarmente raffinati dal punto di vista metrologico — come ad esempio gli oscilloscopi ed i tester — l’“errore” dichiarato dal costruttore è di questo tipo. Esempio 1.2 Un costruttore di tester analogici dichiara che il suo modello X è di classe 1 quando esso è stato calibrato da non più di un anno e viene usato ad una temperatura ambiente tra 20◦ C e 24◦ C. §1.1 – Tipi di incertezze ed errori 3 Durante un pomeriggio di lavoro in un ambiente climatizzato ci si accorge che la tensione di un campione ideale, misurata con il tester X, ha sempre esattamente lo stesso valore. La statistica non può quindi essere di alcuna utilità. Ad un’analisi più approfondita, ci si accorge che l’“errore” del tester è dovuto all’effetto combinato di: 1) tolleranze costruttive dei componenti elettrici e meccanici, 2) variazioni dei valori dei componenti elettrici e meccanici dovute alla temperatura ambiente, tra 20◦ C e 24◦ C, 3) non linearità della lettura in funzione della tensione di ingresso, dovuta alla costante elastica della molla, 4) isteresi meccanica, 5) invecchiamento dello strumento dopo l’ultima taratura. Tutte queste cause producono un errore costante per varie ragioni: la temperatura resta la stessa, la nonlinearità si applica allo stesso valore di tensione, la durata dell’esperimento è trascurabile rispetto al tempo di invecchiamento dello strumento, ecc. Gli effetti riportati nell’esempio hanno carattere di sistematicità, che li rende in certo modo ripetibili; ma la loro entità non è conosciuta. Per questo l’incertezza di tipo B si differenzia in modo sostanziale dall’errore sistematico definito al prossimo paragrafo. 1.1.3 Errore sistematico In molti casi pratici la misura risulta “falsata” o, in termine più appropriato, polarizzata1 di una quantità nota, chiamata errore sistematico. Per gli strumenti, che misurano il valore di una grandezza fisica, e per i campioni, che realizzano una grandezza fisica di valore noto, l’errore sistematico — qui indicato con il simbolo e — può essere rappresentato con convenzioni di segno diverse ( xl − xv = (valore letto) − (valore vero) per la lettura (1.3) e = xv − xn = (valore vero) − (valore nominale) per un campione Per rendere univoche le formule del calcolo differenziale, usate nel prossimo capitolo, è opportuno definire δx come ( xl − xv = (valore letto) − (valore vero) per uno strumento δx = (1.4) xn − xv = (valore nominale) - (valore vero) per un campione Ad evitare equivoci, si tenga presente che la (1.3) è la definizione generale dell’errore sistematico, comunemente adottata nei testi. La (1.4) è stata introdotta qui al solo scopo di evitare cambiamenti di segno dipendenti dalla circostanza, come sarà chiarito nel prossimo capitolo. Analogamente a quanto detto a proposito di incertezze, si parla di errore assoluto δx e di errore relativo δx/xl o δx/xn La correzione apportata a xl (o xn ) prende il nome di correzione sistematica. Nella realtà l’errore sistematico è conosciuto a meno di un’incertezza, detta incertezza residua, che è prevalentemente di tipo B in un sistema “ben costruito”. 1 Il termine “polarizzazione”, infelice in italiano, è la traduzione letterale di “bias”, di uso comune nei testi anglosassoni. 4 1 – Incertezze ed errori Alcuni Autori rifiutano di considerare l’errore sistematico perché, una volta rimosso, non concorre a definire l’incertezza di misura. Al di là di considerazioni filosofiche, qui si ritiene che lo sperimentatore non possa fare a meno di questo concetto per svolgere i calcoli. 1.1.4 Errore di consumo Prende il nome di errore di consumo un caso particolare dell’errore sistematico nel quale lo strumento — tipicamente un voltmetro, un amperometro od un oscilloscopio — perturba il circuito sotto misura. Se le impedenze del circuito e dello strumento sono note, l’errore di consumo si calcola in modo ovvio con le leggi dell’elettrotecnica. 1.1.5 Risoluzione La risoluzione è la minima variazione del misurando che si può osservare con un sistema di misura. Osservare l’esistenza della variazione non implica necessariamente di poterne determinare l’entità. Il concetto di risoluzione comprende tutti i fenomeni che limitano la possibilità di distinguere due valori vicini del misurando, e in particolare la quantizzazione degli strumenti digitali (±1 sulla cifra meno significativa), il minimo spostamento della lancetta percettibile su una scala analogica, lo spessore della traccia sullo schermo di uno strumento a tubo catodico (oscilloscopio, analizzatore di spettro, . . . ), gli eventuali fenomeni di isteresi e il rumore della misura. 1.1.6 Errore Il termine errore — non accompagnato da attributi quali “sistematico” — non ha un significato preciso nella scienza delle misure. Qui lo si usa come sinonimo di “perturbazione” nello studio della propagazione degli errori, quando non si vuole scendere nel dettaglio specificando il tipo di incertezza o l’errore sistematico. 1.2 Incertezze degli strumenti più comuni 1.2.1 Multimetro analogico L’incertezza è di tipo B e viene dichiarata dal costruttore come percentuale del fondo scala. I termini classe dello strumento, o errore di classe vanno intesi come sinonimi dell’incertezza in percento del fondo scala. Dal dato di incertezza e dal valore di fondo scala si ottiene l’incertezza assoluta della misura (non ci si lasci quindi trarre in inganno dalla parola “percentuale”), che è la stessa in qualsiasi punto della scala. L’incertezza è sempre associata ad un valore o ad un intervallo della temperatura ambiente, fuori dal quale vi sono errori addizionali. Un contributo significativo è dato dalla variazione termica della resistenza dell’avvolgimento in rame della bobina mobile (la resistività del rame ha un coefficiente termico di +3.4·10−3 /◦ C). In alcuni strumenti si trovano indicazioni relative a più campi di temperatura; si raccomanda l’uso del buonsenso prima di considerare il caso peggiore. Per le portate in alternata l’incertezza è solitamente riferita a 50–60 Hz. Per altre frequenze vi è un’incertezza addizionale, dipendente sia dalla frequenza sia dalla portata, che talvolta è espressa in dB. L’uso del condensatore in serie (possibile solo nelle portate voltmetriche) comporta un ulteriore incremento dell’incertezza. §1.2 – Incertezze degli strumenti più comuni 5 La classe di uno strumento analogico è solitamente compresa tra 0.5 e 3. Per lo stesso apparato, si riscontrano valori un po’ più alti nelle portate amperometriche rispetto a quelle voltmetriche, e nelle portate in alternata rispetto a quelle in continua. La risoluzione solitamente non è specificata, ma può essere ricavata dalla definizione generale. Una variazione compresa tra 0.2 mm e 1 mm può generalmente essere apprezzata, secondo le dimensioni della lancetta e la presenza o meno dello specchio sulla scala. Ove vi sia il dubbio che l’isteresi meccanica concorra alla risoluzione, si muova lo strumento e si verifichi se la lancetta ritorna nella stessa posizione. Esempio 1.3 Uno voltmetro di classe 2 ha incertezza di 60 mV nella portata 3 Vfs (2 × 3 Vfs /100 = 60 mV), di 200 mV nella portata 10 Vfs , e cosı̀ via. 1.2.2 Multimetro digitale L’incertezza è di tipo B e viene espressa in forma binomiale come δx = a xl + b xfs (1.5) dove i pedici l e fs indicano rispettivamente lettura e fondo scala; δx è un’incertezza assoluta, anche se a e b sono spesso dati in percentuale. Normalmente si ha a > b. L’incertezza è normalmente associata ad un valore o ad un intervallo della temperatura ambiente, fuori dal quale vi sono errori addizionali. Per le portate in alternata l’incertezza è solitamente riferita a 50–60 Hz. Per altre frequenze vi è un’incertezza addizionale, dipendente sia dalla frequenza sia dalla portata. Per lo stesso apparato, si riscontrano valori un po’ più alti nelle portate amperometriche rispetto a quelle voltmetriche, e nelle portate in alternata rispetto a quelle in continua. In alcuni strumenti di pregio, si trovano specificati più valori di incertezza in funzione del tempo trascorso dall’ultima taratura; il peggioramento è dovuto all’invecchiamento del campione di tensione, e, in subordine, dei partitori resistivi che determinano le portate. Se si vogliono confrontare misure prese in un intervallo di tempo breve rispetto all’invecchiamento dello strumento, probabilmente la situazione è assai migliore che nella misura singola perché il comportamento dello strumento può essere costante; solo la conoscenza dell’interno dello strumento può fornire indicazioni sicure. La risoluzione, salvo diversamente specificato, è di una unità sulla cifra meno significativa del display. Esempio 1.4 Un voltmetro ha incertezza 0.05% Vl + 0.02% Vfs e viene usato con la portata 10 Vfs . Misurando una tensione di 8 V, l’incertezza assoluta è δV = 5·10−4 ×8 V+2·10−4 × 10 V = 6 mV; l’incertezza relativa è δV /V = 6 mV/8 V = 7.5·10−4 . Esempio 1.5 Un voltmetro ha incertezza 3·10−6 Vl + 1·10−6 Vfs ad una settimana dalla taratura, e 1·10−5 Vl + 3·10−6 Vfs ad un anno, ed è stato tarato 10 mesi fa. In una singola misura di tensione, l’incertezza è 1·10−5 Vl + 3·10−6 Vfs . Si è ora interessati al rapporto tra due tensioni, misurate ad un paio di giorni di distanza e con la stessa portata. Se è lecito supporre che l’invecchiamento abbia alterato 6 1 – Incertezze ed errori il partitore di ingresso e il campione di tensione, ma non la linearità dello strumento, nel calcolo del rapporto è lecito utilizzare il valore di incertezza 3·10−6 Vl + 1·10−6 Vfs specificato per una settimana. 1.2.3 Oscilloscopio L’incertezza di misura della tensione è dovuta al guadagno del canale verticale e alla linearità di deflessione del tubo. Tale incertezza è di tipo B, e viene specificata come percentuale dell’ampiezza dell’intera scala (normalmente 8 divisioni); la si può trattare come l’errore di classe dei multimetri analogici. Valori tipici sono tra 1% e 3%. Ad alte frequenze vi è un’incertezza addizionale, dovuta alla variazione di guadagno sia dell’amplificatore verticale, sia del tubo catodico. Negli apparati dotati di cursori per la lettura digitale della tensione, l’incertezza può essere data in forma binomiale, come per i multimetri digitali. Raramente è migliore dell’1% per un segnale che occupi l’intero schermo. Se la traccia è localmente orizzontale e ben nitida, l’incertezza dichiarata può comprendere anche l’incertezza di lettura. In altri casi l’incertezza addizionale di lettura può essere ricavata dallo spessore e dall’inclinazione della traccia con procedimento geometrico elementare. La risoluzione, normalmente non specificata, è sostanzialmente determinata dallo spessore della traccia sullo schermo. Per le misure di tempo valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per le tensioni. L’incertezza è dovuta alla linearità della rampa orizzontale e della deflessione del tubo, ed è riferita all’ampiezza dello schermo (di solito 10 divisioni). Per uno stesso strumento, normalmente si ritrova la stessa percentuale incontrata nelle misure di tensione. La lettura è agevole se la traccia è ben verticale e attraversa la metà schermo; altrimenti si può ricavare l’incertezza addizionale di lettura con procedimento geometrico. Si osservi che, volendo misurare l’istante del passaggio per lo zero di un segnale, normalmente è possibile aumentare la pendenza della traccia aumentando il guadagno del canale verticale. 1.2.4 Contatori Il contatore è basato sul conteggio di un numero intero di impulsi in un tempo di riferimento. Nel contatore di frequenza gli impulsi sono i periodi del segnale incognito, mentre il tempo di riferimento è ricavato dall’oscillatore campione interno allo strumento. Nei contatori di periodo i ruoli risultano scambiati: il tempo di riferimento è il periodo del segnale incognito — o l’intervallo di tempo incognito — durante il quale si contano i cicli della frequenza campione. Si indichino con fx la frequenza incognita, con Tx il periodo o l’intervallo di tempo incognito, e con fc la frequenza campione. Le incertezze di misura dovute all’oscillatore sono δfc δfx = fx fc per le misure di frequenza (1.6) δTx δfc = Tx fc per le misure singole di periodo e di intervallo di tempo (1.7) §1.2 – Incertezze degli strumenti più comuni 7 Per gli errori sistematici, adottando la convenzione (1.4) si deve cambiare segno al secondo membro della (1.7); se si preferisce la convenzione usuale (1.3) e se si identifica δx con e = xv − xn , si deve invece cambiare segno al secondo membro della (1.6). Indicando con τ il tempo di riferimento per le sole misure di frequenza, le incertezze di quantizzazione sono 1 τ 1 = fc δfx = per le misure di frequenza (1.8) δTx per le misure singole di periodo e di intervallo di tempo (1.9) per le misure di periodo e di intervallo di tempo mediate su n eventi (1.10) δTx = 1 n fc In alcuni contatori automatici la lettura della frequenza è sempre ricavata dalla misura del periodo medio. Il numero di eventi viene impostato indirettamente sul pannello frontale indicando il tempo τn nominale della misura; all’interno del contatore la durata τv vera della misura è data dal minimo multiplo di Tx maggiore di τn . L’incertezza di quantizzazione è fx (1.11) δfx = τv fc Si osservi che in molti casi si ha τn ÀTx , cosa che rende irrilevante la distinzione tra τn e τv ai fini dell’incertezza di quantizzazione. L’incertezza dell’oscillatore interno è tra alcune unità in 10−6 per strumenti economici, fino a 10−7 − 10−8 ; per precisioni migliori si ricorre ad un campione esterno. La frequenza fc è solitamente di 10 o 100 MHz. 8 Capitolo 2 Misure indirette Succede assai spesso che una grandezza Q sia difficile da misurare direttamente, e che si debba ricorrere alla misurazione di altre grandezze Xi attraverso le quali la grandezza Q possa essere calcolata in base ad una legge fisica nota. In questo capitolo si vuole analizzare la propagazione degli errori dalle misurazioni delle Xi a Q. Un esempio tipico di misurazione indiretta è la determinazione del valore di una resistenza con il metodo volt-amperometrico, che consiste nel calcolare la resistenza come rapporto tra tensione e corrente, a loro volta misurate con un voltmetro ed un amperometro. La misurazione per via indiretta è schematizzata in figura 2.1. Per semplicità si è considerata un’unica sorgente di errore in ogni misura diretta, che include anche le incertezze intrinseche del misurando. errore ? - misurazione grandezza X1 valore x1 valore x1 errore δx1 - errore misurando ? - misurazione grandezza Xi valore xi valore xi errore δxi - legge fisica valore q errore δq errore ? - misurazione grandezza Xn valore xn valore xn errore δxn Figura 2.1 - Schema di principio della misurazione indiretta. La determinazione dell’errore di Q comporta due passaggi logici: 9 - 10 2 – Misure indirette 1. individuare, per ciascuna delle Xi presa separatamente, il contributo di errore a Q; 2. combinare i singoli contributi per ottenere l’errore complessivo di Q. Il primo passo si fa con l’analisi differenziale, nella quale l’errore di ciascuna misura diretta è sostituito da una perturbazione deterministica. Il secondo passo comporta di sommare gli errori con le opportune regole, eventualmente ricorrendo alla statistica. 2.1 Contributi di errore La grandezza misurata in modo indiretto può essere interpretata come una funzione Q delle n variabili Xi ; queste ultime sono le grandezze misurate direttamente. In questo capitolo si adotterà la convenzione di indicare con lettere maiuscole le grandezze, e con le corrispondenti lettere minuscole i loro valori; facendo uso delle derivate, esse si intenderanno sempre calcolate nel punto Q = q0 , nel quale ciascuna grandezza Xi assume il corrispondente valore xi . Nell’intorno del punto Q = q0 la funzione Q può essere sviluppata in serie di Taylor troncata al primo ordine n X ∂Q Q = q0 + dXi (2.1) ∂X i i=1 Il differenziale dQ = Q − q0 è dato dalla somma dei differenziali parziali dQi = ∂Q dXi ∂Xi (2.2) La (2.1) e la (2.2) valgono anche per incrementi finiti. Sostituendo il differenziale dXi con l’incremento δxi , la (2.2) dà l’incremento δqi = ∂Q δxi ∂Xi (2.3) Per arrivare alla (2.3) sono state fatte implicitamente alcune assunzioni che verranno discusse nel seguito. Le variabili Xi devono essere indipendenti, cioè nessuna di esse può essere funzione di una o più altre. La funzione Q deve essere continua e derivabile, con derivate finite. I termini del secondo ordine di δq 1 ∂2Q (δxi )2 2 ∂Xi2 e 1 ∂2Q δxi δxj 2 ∂Xi ∂Xj e quelli di ordine superiore devono essere trascurabili, altrimenti non è lecito troncare lo sviluppo di Taylor al primo termine. In particolare, la presenza di una derivata nulla — massimo, minimo, flesso a tangente orizzontale, sella . . . — deve destare sospetti. Fortunatamente nella maggioranza dei casi pratici tali condizioni sono soddisfatte e non vi è quindi necessità di considerare lo sviluppo di Taylor completo. Le eventuali eccezioni si incontreranno in casi unidimensionali. §2.2 – Regole di somma degli errori 11 2.2 Regole di somma degli errori Si assegnerà di volta in volta ai δxi il significato di incertezze di tipo A (rumore), incertezze di tipo B (sistematiche) ed errori sistematici, e si osserveranno le conseguenze sulla misura di Q. Nel seguito si assumerà che sia lecito troncare lo sviluppo di Taylor di Q al termine lineare, e che le Xi siano indipendenti. E’ inoltre necessario che le incertezze siano statisticamente indipendenti. 2.2.1 Rumore Gli errori δxi assumono qui il significato di deviazione standard σ di una distribuzione statistica a valore medio nullo. Sotto le ipotesi di linearità e di indipendenza statistica, i corrispondenti δqi hanno anch’essi il significato di deviazione standard. In accordo con le consuete regole della statistica, la deviazione standard δq è data da v u n uX δq = t (δqi )2 (2.4) i=1 Questa relazione vale — ovviamente — anche se si attribuisce a δq, δqi e δxi il significato di 2σ, 3σ ecc. 2.2.2 Incertezze di tipo B Affermare che al valore xi è associata un’incertezza δxi di tipo B è come dire che la grandezza Xi può assumere qualsiasi valore tra xi − δxi e xi + δxi . In un sistema a molte variabili si può assegnare ai singoli intervalli di incertezza un significato statistico, ammettendo implicitamente che sia improbabile che tutti gli errori “congiurino” nella stessa direzione. Secondo questa interpretazione, peraltro adottata per convenzione in molti laboratori, è lecita la somma dei contributi di incertezza in senso statistico v u n uX (δqi )2 (2.5) δq = t i=1 In un’interpretazione più rigida, che verrà seguita negli esempi ed esperienze di laboratorio, si considera il caso peggiore δq = n X | δqi | (2.6) i=1 La scelta di utilizzare l’interpretazione rigida è giustificata da una considerazione di carattere pragmatico. In questa sede vengono trattati sistemi con poche variabili, delle quali una è solitamente dominante ai fini della valutazione dell’incertezza; in siffatti sistemi, la (2.5) e la (2.6) danno risultati simili, con differenze che possono non giustificare un approfondimento del problema. In sistemi più complicati — non 12 2 – Misure indirette trattati in questo manuale — vi possono essere numerose variabili che danno contributi di incertezza dello stesso ordine di grandezza; in questi sistemi la differenza tra i risultati calcolati con la (2.5) e la (2.6) diventa rilevante. Per esercizio, si confrontino i risultati calcolati con le due definizioni per due sistemi, nei quali i contributi di incertezza δqi sono: 100, 8, 2 per il primo caso; 10, 7, 9.5, 12, 10.5, 9, 11.5, 10, 11, 9.5 per il secondo. 2.2.3 Errori sistematici L’errore sistematico è equivalente alla perturbazione deterministica usata per il calcolo dei contributi di errore. Quindi gli errori sistematici si sommano δq = n X δqi (2.7) i=1 A differenza dei casi precedenti, nei quali l’incertezza è data sempre con valore positivo, qui è necessaria una particolare attenzione al segno per poter correggere la lettura. Definendo l’incremento δx come ( xl − xv = e per uno strumento δx = (2.8) xn − xv = −e per un campione lo sviluppo di Taylor dà il risultato δq = ∂Q δx ∂X (2.9) con il segno corretto — con la convenzione degli strumenti δq = e = ql − qv — senza la necessità di distinguere se l’errore sistematico è dovuto ad un campione o alla lettura di uno strumento. La figura 2.2 esemplifica la propagazione dell’errore sistematico per il caso unidimensionale. 2.2.4 Notazione Non volendo rinunciare ad usare numeri progressivi per le tensioni, le correnti ecc. (esempio V1 , V2 , . . . , I1 , I2 , . . . ), la notazione δqi per i contributi di errore risulta ambigua: ad un valore del pedice i può infatti corrispondere più di una grandezza. In questi casi si metterà δqi tra parentesi, con la perturbazione δxi a pedice. Ad esempio, in un sistema dove la potenza P è determinata da due letture di tensione V1 e V2 e da una resistenza R1 , si scriveranno i contributi di errore assoluti e relativi come ¶ µ ¶ µ ¶ µ δP δP δP (δP )δV1 (δP )δV2 (δP )δR1 P δV1 P δV2 P δR1 2.3 Casi particolari ed esempi Le tabelle di pagina 16 e 17 riportano un riepilogo delle regole di somma e della propagazione degli errori per alcuni casi particolari di uso frequente, evidenziando le formule che di solito sono più convenienti. §2.3 – A B x è la lettura di uno strumento x è il valore di un campione 6 ql qv 13 Casi particolari ed esempi 6 ql 6 δq qv e- 6 δq ¾e δx xv Figura 2.2 xl δx - xv xn - Propagazione dell’errore nel caso unidimensionale. Vale comunque la pena focalizzare l’attenzione su questi casi particolari, osservandone le proprietà attraverso regole mnemoniche (da non prendersi alla lettera!) ed esempi. Regola 2.1 Moltiplicando per una costante, si conserva l’errore relativo. Esempio 2.1 Misurando un segnale sinusoidale con un voltmetro che ha incertezza relativa 5·10−3 , si legge 12 V. Determinare il valore di picco e la sua incertezza. −3 Il valore efficace è noto √ √ con incertezza δVrms = 5·10 × 12 V = 60 mV. Vrms . Di conseguenza il valore picco è Vp = 2 × 12 V ' La relazione è Vp = 2√ 17 V, con incertezza δVp = 2 δVrms ' 85 mV. L’incertezza relativa è ancora δVp /Vp = 5·10−3 . Regola 2.2 Nel prodotto e nel rapporto si sommano gli errori relativi (nel rapporto si sottraggono gli errori sistematici relativi). Esempio 2.2 Si misura il valore di una resistenza utilizzando un voltmetro ed un am- perometro. La lettura della tensione è V = 12 V, con una fluttuazione di 20 mVrms ; la lettura della corrente è I = 420 mA, con una fluttuazione di 1.5 mArms . La relazione è R = V /I. Le incertezze, per come sono state espresse, sono di tipo A. 14 2 – Misure indirette Le incertezze relative sono 20 mV δV = ' 1.7·10−3 V 12 V δI 1.5 mA = ' 3.6·10−3 I 420 mA L’incertezza relativa della resistenza è quindi sµ ¶2 µ ¶2 δR δV δI = + ' 4·10−3 R V I Regola 2.3 Nel prodotto di potenze si sommano gli errori relativi, ciascuno moltiplicato per l’esponente. Esempio 2.3 Si vuole determinare la potenza dissipata da un resistore conoscendo la tensione ed il valore di resistenza. La lettura della tensione è V = 12 V, con un errore sistematico di +20 mV. La resistenza è di 22 W nominali, con un errore sistematico di +50 mΩ. La relazione è P = V 2 /R. Osservando che V è la lettura di uno strumento ed R ha il ruolo di un campione, si ha +20 mV δV = ' +1.7·10−3 V 12 V δR −50 mΩ = ' −2.3·10−3 R 22 Ω L’errore sistematico relativo della potenza è δP δV δR = 2 − ' +5.7·10−3 P V R Regola 2.4 Nella somma e nella differenza gli errori assoluti si sommano (gli errori sistematici si sottraggono nella differenza). Esempio 2.4 Si connettono in serie due resistori, R1 = 1 kΩ con incertezza del 5% e R2 = 2.2 kΩ con incertezza del 2%, per ottenere R = 3.2 kΩ. Valutare l’incertezza. §2.3 – Casi particolari ed esempi 15 L’incertezza assoluta è δR = δR1 + δR2 = 0.05 × 1000 Ω + 0.02 × 2200 Ω = 94 Ω Regola 2.5 Se si dispone di un buon campione, la somma può essere utile per ridurre l’incertezza relativa dovuta ad uno strumento. Esempio 2.5 Si vuole misurare una tensione V di circa 10.24 V con incertezza relativa migliore di 10−4 . Si dispone di un voltmetro con incertezza relativa di 10−3 e di un campione di tensione da 10 V con incertezza relativa di 10−5 . Connettendo il voltmetro in serie al campione, la tensione incognita è data dalla somma della lettura del voltmetro (V1 = 0.24 V) e della tensione del campione (V2 = 10 V). Le incertezze assolute sono allora δV1 = 10−3 × 0.24 V = 240 µV δV2 = 10−5 × 10 V = 100 µV L’incertezza di misura della tensione incognita V è δV = δV1 + δV2 = 340 µV L’incertezza relativa è 340 µV δV = ' 3.3·10−5 V 10.24 µV Regola 2.6 Le misure ottenute per differenza “amplificano” le incertezze relative degli strumenti. Esempio 2.6 Si vuole misurare la caduta di tensione V dei fili che collegano una lam- padina ad una batteria da 12 V. Poiché la batteria e la lampadina sono distanti, si decide di misurare separatamente le tensioni sulla batteria e sulla lampadina con due voltmetri che hanno incertezza relativa di 10−3 , e di ricavare la caduta di tensione per differenza. Ai capi della batteria si legge V1 = 12 V, con incertezza assoluta di 12 mV; ai capi della lampadina si legge V2 = 11.8 V, con incertezza assoluta di 12 mV. La caduta di tensione è V = V1 − V2 = 200 mV con incertezza assoluta δV = δV1 + δV2 = 24 mV. L’incertezza relativa della misura è 24 mV δV = = 0.12 V 200 mV 16 2 – Misure indirette Riepilogo delle regole di somma degli errori Incertezza di tipo A Err./incert. assoluti v u n uX δq = t (δqi )2 Incertezza di tipo B (interpretazione statistica) v u n uX δq = t (δqi )2 Situazione i=1 Incertezza di tipo B (nel caso peggiore) Errore sistematico i=1 δq = n X | δqi | i=1 δq = n X i=1 Tabella 2.1 δqi Err./incert. relativi v u n µ ¶ uX δqi 2 δq t = | q0 | q0 i=1 v u n µ ¶ uX δqi 2 δq = t | q0 | q0 i=1 ¯ n ¯ X ¯ δqi ¯ δq ¯ ¯ = ¯ q0 ¯ | q0 | i=1 n X δq δqi = q0 q0 i=1 §2.3 – 17 Casi particolari ed esempi Riepilogo della propagazione degli errori I riquadri in grassetto evidenziano le formule solitamente più convenienti Situazione Errori assoluti caso generale Q = Q (X1 , . . .) moltiplic. per costante Q = aX prodotto Q = X1 ·X2 rapporto elevamento a potenza prodotto di potenze Q= X1 X2 Q = Xα Q= Y i differenza Q = X1 − X2 X δq1 = x2 δx1 ai X i i Q= δx δq = q0 x δq1 = δx1 x2 δq2 = x1 δx2 δq2 = δq1 δx1 = q0 x1 −x1 δx2 δq1 δx1 = 2 x2 q0 x1 δqi = Y δq1 = δx1 X1 − X2 X3 − X4 δq2 δx2 =− q0 x2 δxi δqi = αi q0 xi α xj j αi xαi −1 δxi δq1 = δx1 δq2 δx2 = q0 x2 δx δq =α q0 x δq = αxα−1 δx δq2 = δx2 δq1 /q0 = δx1 /(x1 + x2 ) δq2 /q0 = δx2 /(x1 + x2 ) δq2 = −δx2 δq1 /q0 = δx1 /(x1 − x2 ) δq2 /q0 = δx2 /(x2 − x1 ) δqi = ai δxi 1 δx1 x3 − x4 1 δq2 = − δx2 x3 − x4 x1 − x2 δq3 = − δx3 (x3 − x4 )2 x1 − x2 δx4 δq4 = (x3 − x4 )2 δq1 = pendenza di una retta δqi 1 ∂Q = δxi q0 q0 ∂Xi j6=i Q = X1 + X2 Q= ∂Q δxi ∂Xi δq = aδx Xiαi somma sommatoria δqi = Errori relativi Tabella 2.2 δqi ai δxi =P q0 j aj xj δq1 q0 δq2 q0 δq3 q0 δq4 q0 1 x1 − x2 −1 = x1 − x2 −1 = x3 − x4 1 = x3 − x4 = δx1 δx2 δx3 δx4 18 Capitolo 3 Voltmetri per tensione alternata 3.1 Voltmetro a vero valore ecace L’attributo “vero” viene solitamente aggiunto per distinguere questo tipo di strumenti dagli altri voltmetri, che forniscono la lettura in valore efficace solo per segnali sinusoidali. La misura del segnale vx (t) è mediata in opportuno tempo τ s Z 1 Vrms = v 2 (t) dt (3.1) τ τ x Il valore efficace è legato alla potenza media, nel tempo τ , che il segnale vx (t) dissipa su una resistenza unitaria. Su questo significato fisico è basato lo schema di principio di figura 3.1. La resistenza R1 , dissipando una potenza proporzionale al quadrato del amplificatore 6 in stadio di ingresso - R1 ⇒ q ¶³ ¡ µvoltm. ¡ dc µ´ ¡ sensore di ⇐ R2 differenza di temperatura q Figura 3.1 Schema di principio del voltmetro a valore efficace con bilanciamento termico. valore efficace del segnale di ingresso, si scalda. Il sensore di differenza di temperatura produce un segnale di errore che, opportunamente amplificato, scalda R2 fino al raggiungimento dell’equilibrio termico. Se i due resistori sono elettricamente e termicamente uguali, all’equilibrio la tensione continua presente su R2 è uguale al valore 19 20 3 – Voltmetri per tensione alternata efficace della tensione su R1 . Il tempo di misura è dato dalla costante di tempo termica del sistema. Il sensore di differenza di temperatura può essere realizzato con due termocoppie le cui giunzioni siano accoppiate ciascuna ad un resistore. Un’alternativa è costituita da uno stadio differenziale classico con due transistori accoppiati di emettitore: la tensione tra i collettori si sbilancia proporzionalmente alla differenza di temperatura delle due giunzioni base-emettitore. Un altro schema interessante, basato sulle proprietà degli amplificatori logaritmici ed esponenziali, è ben descritto da S. Franco1 . 3.1.1 Risposta in frequenza La definizione generale del valore efficace di un segnale periodico è data dalla (3.1) per un tempo di misura τ uguale al periodo T del segnale. Va osservato che se τ ÀT , allora definizione generale e misura di fatto coincidono. A frequenze basse, dove questa ipotesi non è più valida, si ha una fluttuazione della misura, e conseguentemente della lettura. Per molti apparati commerciali il limite inferiore, sotto il quale compaiono incertezze addizionali in funzione della frequenza, è orientativamente tra 10 e 30 Hz. Inoltre sull’ingresso è solitamente presente un condensatore che blocca la componente continua del segnale. Alle alte frequenze una limitazione importante è data all’amplificatore di ingresso, che deve avere larga banda e alta impedenza per consentire il passaggio delle armoniche del segnale e per contenere l’errore di consumo. Ammettendo ad esempio che l’impedenza di ingresso dello strumento sia di 10 MW, con in parallelo una capacità parassita di 50 pF (compresi i cavi di collegamento), alla frequenza di 320 Hz l’impedenza di ingresso è ridotta a 7.1 MW con fase 45◦ , e a 32 kHz è di 100 kW quasi perfettamente reattiva. In molti strumenti commerciali oltre alcuni kilohertz, o al più decine di kilohertz, compaiono incertezze addizionali in funzione della frequenza e del contenuto armonico del segnale. In linea di principio lo schema di figura 3.1 si presta anche a realizzazioni per alte frequenze, fino in microonda, perché è facile realizzare un adattamento di impedenza tra l’ingresso ed il resistore R1 . Questo è possibile a prezzo di una bassa impedenza di ingresso, tipicamente 50 W. In questo caso lo strumento non è più un voltmetro, il cui scopo è di misurare una tensione perturbando al minimo il circuito in esame, ma più propriamente un wattmetro, adatto a misurare la potenza disponibile della sorgente. 3.2 Voltmetro a valore medio La grandezza misurata è il valore medio del segnale raddrizzato. A rigore, la denominazione “a valore medio del modulo” sarebbe più corretta, ma viene solitamente evitata in quanto troppo pesante. La figura 3.2 rappresenta lo schema di principio per uno strumento analogico a onda intera. L’operazione di media è affidata all’inerzia meccanica della lancetta del microamperometro in continua che misura il segnale raddrizzato dal ponte di diodi. 1 S. Franco, Design with operational amplifiers and analog integrated circuits, McGraw-Hill, Singapore, 1988. §3.2 – commutazione di portata VAC q OUT q COM q q R4 ³ 1q ³ q ³ q R3 q R1 Figura 3.2 R2 21 Voltmetro a valore medio q q q c c # # q # # c c ¶³ µ microamp. ¡ ¡ dc µ´ ¡ q # # c c q q c c # # q Schema di principio del voltmetro analogico ad onda intera. La commutazione di portata avviene cambiando la resistenza posta in serie all’ingresso (R1 . . . R4 nello schema). Essendo l’assorbimento del microamperometro a fondo scala indipendente dalla portata, la resistenza di ingresso del voltmetro è proporzionale al fondo scala. Sui manuali generalmente si trova la sensibilità2 , espressa in W/V, che moltiplicata per la tensione di fondo scala dà la resistenza interna dello strumento. Dimensionalmente, la sensibilità è l’inverso della corrente assorbita a fondo scala. Valori tra 5 kW/V e 20 kW/V sono da considerarsi tipici. Ad esempio, uno strumento con sensibilità di 5 kW/V nella portata 50 V ha una resistenza interna di 250 kW. La presenza dei diodi comporta una non linearità della scala, dovuta alla tensione diretta delle giunzioni. Per questa ragione è usuale la presenza di una scala rossa per le tensioni alternate, a fianco di quella nera delle tensioni continue. Poiché la non linearità è più evidente alla portata più bassa, nella quale il fondo scala è confrontabile con la tensione diretta dei diodi, in molti strumenti si trovano due scale rosse, una per la portata minima e una per tutte le altre. Nell’uso normale, i puntali sono collegati agli ingressi vac e com (figura 3.2). Per misurazioni su circuiti elettronici, può essere conveniente isolare la componente continua del segnale; in questo caso i puntali saranno collegati ai morsetti vac e out3 . Il valore del condensatore rappresenta un compromesso tra le necessità di non attenuare il segnale alle frequenze più basse e di evitare effetti induttivi alle frequenze più alte della banda passante. Per questo le incertezze addizionali dovute alla frequenza possono essere specificate separatamente per i due ingressi com e out. Una degradazione della precisione alla frequenza di rete, 50 Hz, dovuta al condensatore è usuale. Il limite alle alte frequenze è determinato dalle capacità parassite interne, e quindi 2 Il termine sensibilità in questa accezione è improprio. Il suo significato generale in metrologia è quello del minimo valore del misurando rilevabile da uno strumento. Lo si è comunque voluto mantenere perché è di largo uso nei manuali degli strumenti. 3 La scelta del termine “out” o “output” è infelice in quanto fa pensare che il corrispondente morsetto sia un’uscita del voltmetro. La ragione di tale termine è che questo morsetto viene solitamente utilizzato per misurare la tensione d’uscita di un circuito elettronico, quando si voglia eliminare la componente continua. 22 3 – Voltmetri per tensione alternata dipende dalla resistenza che determina la portata. Valori tipici sono tra 100 kHz e 1 MHz per la portata più bassa (da 1 a 3 Vfs), fino a 1–10 kHz per la portata più alta (500–1000 Vfs). Uno schema alternativo è quello del voltmetro a semionda, rappresentato in figura 3.3. Si noti la presenza del secondo diodo (D2 ), in serie al resistore R5 (di valore uguale alla resistenza interna del microamperometro), necessario per avere assorbimenti di corrente simmetrici nelle due semionde. Senza D2 e R5 , il condensatore si caricherebbe al valore di picco del segnale, impedendo il passaggio di corrente nel microamperometro. Questo schema, rispetto al precedente, presenta il vantaggio di una migliore linearità commutazione di portata VAC q OUT q COM q q R4 ³ 1q ³ q ³ q R3 q R1 R2 q q q # # c c D2 R5 q q c c # # D1 ¶³ µ ¡ ¡ µ´ ¡ microamp. dc q Figura 3.3 Schema di principio del voltmetro analogico a semionda. della scala perché vi è un solo diodo in serie al microamperometro. Per contro, l’uso di una sola semionda causa maggiori errori con segnali distorti se si usa il valore medio per stimare il valore efficace. 3.2.1 Costante strumentale Nelle misure in regime alternato il valore efficace ha un ruolo privilegiato. Infatti le due leggi fondamentali dell’elettrotecnica, che consentono il calcolo della potenza (P = V I) e della resistenza (R = V /I) in regime continuo, possono essere immediatamente estese ai circuiti puramente resistivi in regime alternato purché la tensione e la corrente siano espresse in valore efficace. Ovvie considerazioni di praticità hanno quindi originato una convenzione, seguita da tutti i costruttori di strumenti, in base alla quale i voltmetri forniscono la lettura in valore efficace. Nella maggioranza dei casi pratici i segnali da misurare sono sinusoidali, eventualmente distorti. All’interno del voltmetro è allora inserita una costante strumentale k che, per segnali sinusoidali, converte la misura del valore medio in lettura del valore efficace. Va da sè che la conversione è basata sul rapporto tra valore medio ed il valore efficace della sinusoide, e dà risultati “sbagliati” con altre forme d’onda. Si indichi con VL la lettura dello strumento e con Vm il valore medio del segnale raddrizzato. Quindi VL = k V m (3.2) §3.3 – 23 Voltmetro a valore di picco √ Per un segnale sinusoidale v(t) = Vp sin(2πt/T ) il valore efficace è Vrms = Vp / 2, mentre il valore medio del modulo è µ ¶ Z T Z T /2 2 2π 1 2Vp | v(t) | dt = sin Vm = t dt = (3.3) T 0 T 0 T π Imponendo nella (3.2) VL = Vrms e inserendo l’espressione del valore medio (3.3), si ricava il valore della costante strumentale k = 2 π √ 2 ' 1.1107 (3.4) Per un raddrizzatore a semionda, con lo stesso procedimento si trova Vm = Vp /π e π k = √ ' 2.2214 2 (3.5) Al fine di evitare equivoci, si ribadisce il fatto che la lettura è sempre data dalla (3.2), e coincide con il valore efficace se il segnale è sinusoidale. Con altre forme d’onda, l’unica informazione data dallo strumento è VL = kVm . 3.3 Voltmetro a valore di picco Il voltmetro a valore di picco può essere realizzato secondo gli schemi di di figura 3.4. La configurazione B è preferibile perché ha il condensatore in serie che isola la componente continua del segnale. Per comprendere lo schema B, si osservi che le due A: schema con diodo in serie B: schema con condensatore in serie Vd 6 Vin c c # # Vc - q q ¶³ ¡ µ voltmetro ¡ dc µ´ ¡ 6 Vc q 6 Vin Vd 6 \ ¿ \¿ ¶³ µ voltmetro ¡ ¡ dc µ´ ¡ q Figura 3.4 Schemi di principio dei voltmetri a valore di picco. A: schema con diodo in serie. B: schema con condensatore in serie. configurazioni della figura sono identiche, salvo la diversa posizione del voltmetro in continua. La figura 3.5 presenta le forme d’onda significative del circuito a regime e per segnale d’ingresso sinusoidale. Il diodo, in conduzione solo durante i picchi del segnale di ingresso, carica il condensatore; per la rimanente parte del tempo, il condensatore si scarica lentamente sulla resistenza interna del voltmetro in continua. Dalle forme d’onda all’ingresso e ai capi del condensatore si ricava per differenza la forma d’onda 24 3 – Voltmetri per tensione alternata Vin 6 t - Id 6 t - Vc 6 t - Vd 6 t valore medio dc Figura 3.5 in serie. Forme d’onda significative del voltmetro a valore di picco con condensatore Vd presente sul diodo. Il voltmetro in continua, sensibile al valore medio, misura la tensione di picco del segnale di ingresso. Il principale pregio del voltmetro di figura 3.4B è la possibilità di ottenere alte impedenze di ingresso ad alte frequenze, fino in microonda, montando l’intero rivelatore di picco nella sonda. Per contro, la rivelazione di picco può dare misure assai falsate con segnali distorti o in presenza di rumore. Va però osservato che questo tipo di strumenti è utile ad alte frequenze, dove i segnali sono solitamente a banda stretta e, visti nel dominio del tempo, sono assai simili alla sinusoide. Connettendo al posto del voltmetro dc della figura 3.4B un altro voltmetro di picco come quello di figura 3.4A (con il diodo invertito), si realizza un voltmetro sensibile al valore picco-picco. 3.3.1 Resistenza di ingresso Essendo il circuito di figura 3.4B non lineare, è improprio parlare di resistenza di ingresso. Si calcolerà quindi il valore della resistenza equivalente di ingresso, con un criterio energetico e per segnale sinusoidale. Sia P 0 la potenza media dissipata dalla resistenza equivalente di ingresso Req . Per un segnale sinusoidale vx (t) = Vp sin(2πf t), si ha P0 = 1 Vp2 2 Req (3.6) §3.4 – Esempi di calcolo 25 Il segnale ai capi del voltmetro in continua (figura 3.5), che vale vd (t) = Vp (1 + sin(2πf t)), produce sulla resistenza Rdc interna al voltmetro in continua una dissipazione media Z 1 3 Vp2 P 00 = vd2 (t) dt = (3.7) T Rdc T 2 Rdc Poiché la causa principale di dissipazione è proprio Rdc , è lecito assumere P 0 = P 00 . Confrontando le (3.6) e (3.7), si ricava Req = 1 Rdc 3 (3.8) Si osservi che un voltmetro in continua, realizzato con opportuni amplificatori, può avere resistenza di ingresso oltre 1 GW; in realizzazioni particolarmente curate, le capacità parassite del rivelatore di picco possono essere dell’ordine dei picofarad. 3.3.2 Costante strumentale Per convenzione, i voltmetri a valore di picco forniscono l’indicazione del valore efficace nel caso di segnale sinusoidale. Ripercorrendo il ragionamento fatto per i voltmetri a valore medio, la (3.2) diventa VL = kVp . Imponendo VL = Vrms si trova 1 k = √ ' 0.707 2 (3.9) Si ricordi che la costante strumentale consente la lettura del valore efficace se il segnale è sinusoidale; altrimenti la lettura è kVp . 3.4 Esempi di calcolo Esempio 3.1 Calcolare l’errore sistematico che si commette tentando di misurare il valore efficace di un segnale a dente di sega con un voltmetro a valore medio. Essendo segnale a dente di sega privo di componente continua, si può evitare di distinguere se il voltmetro ha o meno il condensatore in serie. Per la simmetria del segnale, ci si aspetta che il risultato sia lo stesso per il voltmetro a onda intera e per quello a semionda. Con un’opportuna definizione dell’origine dell’asse dei tempi, il periodo T del segnale è descritto da vx (t) = 2Vp t/T per −T /2 < t < T /2. Il valore medio del segnale raddrizzato è Vm = Vp /2; Il valore letto è Vl = π V √ p 2 2 2 Il valore vero Vv della misura è il valore efficace s Z s Z 1 T /2 2 1 T /2 Vp2 2 Vp Vrms = v (t) dt = 4 2 t dt = √ T −T /2 T −T /2 T 3 26 3 – Voltmetri per tensione alternata L’errore sistematico relativo è √ δV Vl − Vv Vl − Vrms Vrms 4 2 Vp √ ' −4·10−2 = = = 1− = 1− Vl Vl Vl Vl πVp 3 Esempio 3.2 Si misura un segnale ad onda triangolare di ampiezza di picco Vp con un voltmetro a valore di picco che ha fondo scala 30 V e classe 2. La lettura è 18 V. Calcolare il valore efficace e la sua incertezza. √ Indicando con Vl la lettura, il valore di picco è Vp = 2 Vl . Con procedimento √ analogo a quello dell’esempio precedente, si trova valore efficace Vrms = Vp / 3. Quindi √ 2 Vrms = √ Vl ' 14.7 V 3 Con riferimento alla tabella di pagina 17, questo è il caso della moltiplicazione per una costante, nel quale si conserva l’incertezza relativa. Dai dati del problema, si ha δVl = 0.02 × Vfs = 0.02 × 30 V = 600 mV e δVl /Vl = (600 mV)/(18 V) ' 3.3·10−2 . L’incertezza relativa della misura è allora δVl δVrms = ' 3.3·10−2 Vrms Vl Esempio 3.3 Dato un segnale ad onda rettangolare con duty cycle α e di ampiezza compresa tra ±Vp , calcolare la lettura di un voltmetro a valore medio a onda intera. Normalizzando la variabile tempo in modo che il periodo sia unitario, il segnale vx (t), è definito da ½ +Vp per 0 ≤ t < α vx (t) = −Vp per α ≤ t ≤ 1 √ Il valore medio del segnale vx (t) raddrizzato è ovviamente Vp ; la lettura è πVp /2 2, indipendentemente da α. La situazione cambia se si utilizza un voltmetro con condensatore in serie. La componente continua del segnale è Z 1 vx (t) dt = (2α − 1) Vp Vdc = T T A valle del condensatore, il segnale è vx0 (t) = vx (t) − Vdc . Quindi ½ 2 (1 − α) Vp per 0 ≤ t < α vx0 (t) = −2 α Vp per α ≤ t ≤ 1 Il valore medio del segnale vx0 (t) raddrizzato è Z 1 | vx (t) | dt = 4 α (1 − α) Vp Vm0 = T T §3.4 – 27 Esempi di calcolo e la lettura dello strumento è √ π Vl0 = √ 4α (1 − α) Vp = π 2 α (1 − α) Vp 2 2 La lettura, in funzione di α e normalizzata per Vp = 1 V, è rappresentata nel grafico di figura 3.6. 6 π/2√2 ' 1.11 1 Vl α - 0 0 0.5 1 Figura 3.6 Lettura del voltmetro a valore medio con condensatore in serie per un segnale rettangolare con duty cycle α, normalizzata rispetto al valore di picco. Esempio 3.4 Si ha a disposizione un voltmetro a vero valore efficace ideale con fondo scala 10 V e incertezza 5·10−4 Vfs + 10−3 Vletto . Misurando un segnale periodico vx (t) il cui periodo T è definito da ( 16πt Vp sin per 0 ≤ t < T /8 vx (t) = T 0 per T /8 ≤ t < T si legge 6 V. Determinare Vp e l’incertezza della misura. Il valore efficace del segnale è s s µ ¶ Z Z 16πt Vp 1 T 2 1 T /8 2 vx (t) dt = Vp sin2 dt = Vrms = T 0 T 0 T 4 Essendo la lettura Vrms = 6 V, si ricava Vp = 24 V. Tornando alla tabella di pagina 17, questo è ancora il caso della moltiplicazione per una costante, nel quale si conserva l’incertezza relativa. Dai dati del problema, l’incertezza assoluta di Vrms è δVrms = 5·10−4 × 10 V + 10−3 × 6 V = 11 mV 28 3 – Voltmetri per tensione alternata L’incertezza relativa è δVp δVrms 11 mV = = ' 1.8·10−3 Vp Vrms 6V Costanti strumentali dei voltmetri ac Tipo di voltmetro Costante strumentale valore efficace 1 valore medio (onda intera) π √ ' 1.1107 valore medio (semionda) π √ 2 ' 2.2214 valore di picco 1 √ 2 ' 0.7071 valore picco-picco 1 √ ' 0.3536 2 2 2 2 §3.4 – 29 Esempi di calcolo Parametri delle forme d’onda più usuali forma d’onda valore efficace valore medio sinusoidale 1 √ V0 2 2 V0 π triangolare V √0 3 1 V0 2 quadra V0 V0 Valore di picco V0 30 Capitolo 4 Alimentatori stabilizzati 4.1 Misure di resistenza in continua Un alimentatore stabilizzato può essere rappresentato come un generatore ideale di tensione con una resistenza Ro in serie, ed un limitatore di corrente. Il piano tensionecorrente tipico è rappresentato in figura 4.1. Figura 4.1 Caratteristica V /I tipica di un alimentatore. La protezione può essere una delle due raffigurate. La parte superiore del grafico ha un’inclinazione negativa, corrispondente ad una resistenza interna positiva con la convenzione dei generatori. Alla corrente massima interviene una protezione a limitazione o di tipo foldback (traducendo dall’inglese, “piegata all’indietro”). Le figure 4.2 e 4.3 riportano lo schema di principio proposto per la misura e il corrispondente piano tensione-corrente. Con riferimento alla figura 4.3, il valore della resistenza interna è dato da Ro = V1 − V2 I2 − I1 31 (4.1) 32 4 – Alimentatori stabilizzati Figura 4.2 Schema di principio della misura di resistenza interna dell’alimentatore stabilizzato. Figura 4.3 Misura di resistenza interna dell’alimentatore stabilizzato. dove V1 e V2 sono le tensioni di uscita dell’alimentatore con le correnti di carico I1 e I2 . La corrente I1 può essere zero se non vi sono ragioni di sospettare nonlinearità dell’alimentatore a basse correnti. C’è vantaggio ad usare un alto valore della corrente I2 perché si ha maggiore caduta di tensione V1 − V2 , e quindi migliore risoluzione della misura; ma I2 deve essere ragionevolmente inferiore alla corrente massima erogabile Imax , alla quale la resistenza interna dell’alimentatore non è più definita. Per una buona riuscita dell’esperimento si devono affrontare i problemi sperimentali dei seguenti paragrafi. 4.1.1 Risoluzione della misura Per la propagazione degli errori la (4.1) corrisponde al caso tipico “pendenza di una retta” della tabella a pagina 17. Ammettiamo per il momento di misurare le tensioni V1 e V2 direttamente ai morsetti dell’alimentatore, escludendo quindi l’alimentatore di riferimento di figura 4.2. Indicando con δV1 , δV2 , δI1 , δI2 le risoluzioni delle letture e prendendo i risultati con segno positivo, i contributi alla risoluzione della misura sono §4.1 – Misure di resistenza in continua µ µ µ µ δRo Ro δRo Ro δRo Ro δRo Ro ¶ = δV1 V1 − V2 (4.2) = δV2 V1 − V2 (4.3) = δI1 I2 − I1 (4.4) = δI2 I2 − I1 (4.5) δV1 ¶ δV2 ¶ δI1 ¶ δI2 33 Se l’alimentatore è “ben stabilizzato”, si ha una piccola caduta di tensione V1 − V2 per una grande escursione di corrente I2 − I1 . I contributi di risoluzione (4.2) e (4.3) sono dominanti rispetto a quelli dati dalle (4.4) e (4.5). La situazione migliora se si connette il voltmetro come in figura 4.2, con l’alimentatore di riferimento in opposizione all’alimentatore in prova; le tensioni misurate dal voltmetro sono V10 e V20 (figura 4.3). Se l’alimentatore di riferimento è stabile per la durata della misurazione, si ha V1 − V2 = V10 − V20 . La risoluzione del voltmetro dipende dal fondo scala utilizzato. Scegliendo allora Vr in modo che V10 e V20 possano essere misurate con la portata minima del voltmetro, si ottengono risoluzioni δV10 e δV20 , di minore entità rispetto alle corrispondenti δV1 e δV2 . La risoluzione della misura, sempre nel peggiore dei casi, è data da δRo δV 0 δI1 δV 0 δI2 = 0 1 0+ 0 2 0+ + Ro V1 − V2 V1 − V2 I2 − I1 I2 − I1 (4.6) Esempio 4.1 Si vuole misurare la resistenza interna di un alimentatore stabilizzato da 24 V, 10 A nominali, utilizzando un voltmetro digitale a 4 cifre con fondo scala 1 V, 10 V, 100 V, 1000 V, ed un amperometro digitale a 3 cifre con fondo scala 10 A. Si decide di usare I1 = 0 A e I2 = 8 A. Collegando il voltmetro direttamente ai capi dell’alimentatore, si legge V1 = 24.07 V e V2 = 24.02 V. La resistenza interna è Ro = (V1 − V2 )/(I2 − I1 ) = (50 mV)/(8 A) = 6.25 mΩ. La risoluzione del voltmetro è la stessa in entrambe le misure, δV1 = δV2 = δV = 10 mV, e dà alla risoluzione della misura due contributi uguali, ciascuno dei quali vale ¶ µ δV 10 mV δRo = = = 0.2 Ro δV V2 − V1 50 mV Poiché la prima misurazione è fatta a circuito aperto, la risoluzione è δI1 = 0 A. Per la seconda misurazione, la risoluzione è δI2 = δI = 10 mA. Il contributo di risoluzione dell’amperometro è quindi 34 4 µ δRo Ro – ¶ = δI Alimentatori stabilizzati δI 10 mA = 1.25·10−3 = I2 − I1 8A Come si vede dai risultati, i contributi dominanti di risoluzione sono dati dal voltmetro. Si colleghi ora un secondo alimentatore in opposizione all’alimentatore in prova ed in serie al voltmetro, come in figura 4.2. Se l’alimentatore di riferimento è regolato in modo che entrambe le tensioni possano essere lette nella portata 1 Vfs , la risoluzione del voltmetro è δV 0 = 100 µV. I due contributi di risoluzione del voltmetro sono allora µ ¶ δRo δV 0 100 µV = 0 = = 2·10−3 Ro δV 0 V1 − V20 50 mV con un miglioramento per un fattore 100 rispetto alla situazione precedente, nella quale non si faceva uso dell’alimentatore di riferimento. 4.1.2 Resistenza dei contatti La resistenza dei contatti ai morsetti di uscita può essere dello stesso ordine di grandezza, se non maggiore, della resistenza interna di un alimentatore. Ad esempio, un tipico alimentatore da laboratorio, regolabile fino a 20 V e con corrente massima di 1–3 A, può avere resistenza interna dell’ordine di alcuni milliohm. Per i soliti cavetti da laboratorio con banane del diametro di 4 mm, un contatto banana / boccola ha una resistenza tipica di 1–10 mW. Si osservi che una resistenza di contatto non è nè stabile nè ripetibile. La resistenza varia aprendo il contatto e ripristinandolo, o anche solo muovendo il cavetto. Si vuole allora misurare la resistenza interna dell’alimentatore in modo indipendente dalle resistenze dei contatti. Lo schema di figura 4.4 propone un banco di misura a quattro fili con le resistenze di contatto indicate esplicitamente; per chiarezza, l’alimentatore di riferimento è stato omesso. In una configurazione corretta (figura 4.4A), il voltmetro misura la tensione sui 00 0 e Rc2 della maglia voltmetrica morsetti dell’alimentatore. Le resistenze di contatto Rc2 sono percorse dalla sola corrente del voltmetro, idealmente nulla, e non causano errori di misura. In una configurazione errata (figura 4.4B), il voltmetro misura la tensione a valle 0 00 della maglia amperometrica, che sono percorse daldelle resistenze di contatto Rc1 e Rc1 la corrente di carico. In questa configurazione è impossibile distinguere tra la resistenza interna dell’alimentatore e le resistenze di contatto. Il risultato della misurazione è 0 00 Ro + Rc1 + Rc1 . La figura 4.5 presenta in termini più pratici alcune possibili configurazioni di collegamento alla boccola di un alimentatore con cavetti a banana e a forchetta, evidenziando due degli errori più comuni. §4.1 – Misure di resistenza in continua Figura 4.4 Schema semplificato della misura di resistenza a quattro fili. Sono evidenziate le resistenze dei contatti. Figura 4.5 Collegamenti ad una boccola di uscita dell’alimentatore. 35 36 4 – Alimentatori stabilizzati 4.1.3 Deriva termica L’alimentatore in prova, per effetto della variazione di carico da I1 a I2 , può essere soggetto a deriva termica. Il fenomeno è particolarmente evidente negli stabilizzatori integrati, dove il riferimento di tensione e il transistore di regolazione sono termicamente accoppiati. La figura 4.6 rappresenta le caratteristiche tensione-corrente di un alimentatore per tre temperature diverse. Figura 4.6 Errori di misura dovuti alla deriva termica dell’alimentatore. Per conoscere la resistenza interna si deve misurare V1 e V2 sulla stessa retta, corrispondente alla stessa temperatura. In pratica, la misura a vuoto dà V1a rilevata alla temperatura Ta ; connettendo il carico, l’alimentatore comincia a scaldarsi e raggiunge la temperatura Tb all’istante in cui si legge la tensione V2b . Una precauzione elementare consiste nell’eseguire rapidamente la misurazione, cercando di collegare il carico per il minimo tempo necessario a leggere tensione e corrente. Questa precauzione di per sè non è sufficiente in quanto non dà alcuna evidenza sperimentale del fenomeno della deriva e non indica se essa è rilevante ai fini della misurazione. Sempre con riferimento alla figura 4.6, si suggerisce il seguente procedimento sperimentale. 1. Lasciare l’alimentatore acceso, a vuoto, per qualche minuto mentre si predispone il banco di misura. 2. Misurare V1a ; l’alimentatore, all’istante della misura, avrà la temperatura Ta . 3. Collegare il carico. Agendo con rapidità, misurare I2 e V2b (all’istante della misura, l’alimentatore ha raggiunto la temperatura Tb ); rimuovere subito il carico, in modo che l’alimentatore si scaldi il meno possibile. 4. Misurare V1c ; all’istante della misura, l’alimentatore sarà alla temperatura Tc . Il procedimento non richiede di misurare le temperature, ma solo di ragionare sulla dinamica dell’esperimento. Se l’alimentatore è freddo, la costante di tempo di raffreddamento è assai più lenta di quella di riscaldamento; di conseguenza Tb 'Tc . La §4.2 – Misure di impedenza in regime alternato 37 differenza V1a − V1c dà allora un’idea dell’errore dovuto al surriscaldamento dell’apparato in prova. Se | V1a − V1c | ¿ | V1a − V2b |, la misura è “buona”, nel senso che la deriva termica non è causa di incertezza significativa. Un metodo migliore prevede l’uso di un commutatore elettronico che inserisce e disinserisce il carico, mentre un calcolatore acquisisce i valori di tensione e corrente. Nei casi normali il tempo necessario a misurare tensione e corrente con risoluzioni adeguate è trascurabile rispetto alle costanti di tempo termiche del sistema. 4.2 Misure di impedenza in regime alternato Il circuito interno all’alimentatore risulta costituito di un riferimento di tensione, di un amplificatore di errore e di un amplificatore di potenza. L’anello di reazione è responsabile della stabilizzazione della tensione di uscita. Poli e zeri dell’anello fanno sı̀ che l’alimentatore presenti una impedenza d’uscita complessa Zo , della quale si vuole misurare il modulo. Si osservi che Zo è definita solo per le variazioni di corrente attorno ad un punto di lavoro; è quindi necessaria una polarizzazione in continua. Inoltre la corrente non deve cambiare segno nè superare il valore di intervento della protezione. Lo schema della misura, con il corrispondente grafico tensione-corrente, è riportato in figura 4.7. Figura 4.7 Misura dell’impedenza di uscita dell’alimentatore stabilizzato. La corrente di polarizzazione è Idc = Imax /2 per la massima dinamica; questo valore non è strettamente vincolante. La corrente alternata deve essere tale che il valore istantaneo della corrente totale non √ Imax . Le condizioni per √ cambi segno e non superi il valore efficace sono Iac < Idc / 2 e Iac < (Imax − Idc )/ 2. Sotto queste condizioni, 38 4 – Alimentatori stabilizzati ad uno stimolo di corrente sinusoidale Iac l’alimentatore risponde con una variazione sinusoidale Vac di tensione. Il modulo dell’impedenza è dato da | Zo | = | Vac | | Iac | (4.7) Figura 4.8 Schema per la misurazione del modulo dell’impedenza interna dell’alimentatore stabilizzato. Per eseguire un esperimento si suggerisce lo schema di figura 4.8. Nello schema si osservi quanto segue. . Il resistore RL , in serie all’amperometro, costituisce il carico in continua responsabile della corrente Idc di polarizzazione. . Il diodo è stato inserito in serie all’alimentatore per evitare che un valore eccessivo di Iac , dovuto ad errori accidentali, possa danneggiare l’alimentatore invertendo la corrente. Se il banco di misura funziona correttamente, il diodo è sempre in conduzione. . L’amplificatore, per funzionare correttamente, ha bisogno di una adeguata resistenza di carico, 8 W per molti apparati. Il carico è costituito da Rac in serie a Rt . . Il resistore Rt , unitamente al voltmetro in alternata, ha lo scopo di misurare la corrente Iac . . L’alimentatore stabilizzato ha “piccole” variazioni di tensione in funzione del carico. Questo significa che |Zo |¿RL e |Zo |¿Rac . Di conseguenza Rdc e il circuito composto dall’amplificatore e dalla sua resistenza di carico Rac si comportano §4.2 . . . . – Misure di impedenza in regime alternato 39 sostanzialmente come generatori di corrente, in accordo con lo schema di figura 4.7. Il condensatore ha lo scopo di evitare che la tensione continua dell’alimentatore si presenti all’uscita dell’amplificatore. Deve essere di valore tale da comportarsi come un cortocircuito per l’alternata, ed ovviamente come un circuito aperto per la continua. La tensione alternata ai capi dell’alimentatore viene misurata con l’oscilloscopio. È opportuno che il canale verticale sia accoppiato in ac. Il segnale di misura Vac può essere assai debole, al limite della sensibilità dell’oscilloscopio, e sovrapposto al ripple1 di rete. L’uso del trigger esterno è quindi assai utile per osservare una traccia stabile. Gli oscilloscopi e i generatori di segnali hanno quasi sempre la massa collegata alla terra dell’impianto elettrico, come evidenziato con linee tratteggiate; l’amplificatore ha la massa dell’ingresso collegata alla massa dell’uscita. Le masse risultano quindi collegate tra loro. Questo fatto va tenuto presente se si vogliono provare disposizioni sperimentali diverse. Ad esempio è impossibile misurare la tensione su Rt o su Rac senza causare cortocircuiti2 . Se si vuole misurare l’impedenza a frequenze audio, orientativamente tra 20 Hz e 20 kHz, è possibile usare un comune amplificatore a bassa frequenza per impianti stereofonici o strumenti musicali. Per piccole correnti, l’amplificatore e il resistore Rac possono essere omessi: un buon generatore di segnali può erogare anche 100 mA. 4.2.1 Incertezze di misura All’uscita dell’alimentatore si ripropone il problema dei morsetti voltmetrici e amperometrici, come descritto in figura 4.4. Lo stesso vale per il resistore di riferimento Rt . Il valore della resistenza Rac è ininfluente in quanto si misura la corrente che l’attraversa. Si devono comunque rispettare eventuali vincoli per il corretto funzionamento dell’amplificatore. Per la stessa ragione, anche il valore del condensatore non entra nel bilancio degli errori. La capacità deve comunque essere sufficientemente alta da permettere all’amplificatore di erogare la corrente voluta. Il valore della corrente Idc non entra nella misura. Ci si deve però assicurare che l’alimentatore sia polarizzato correttamente. La resistenza differenziale del diodo è fuori dalla maglia voltmetrica di misura, quindi non causa errori3 . La corrente Iac si ripartisce tra l’alimentatore e RL in proporzione alle conduttanze 1/Zo e 1/RL . Se l’alimentatore è stabilizzato, l’impedenza interna Zo è piccola rispetto alla resistenza di carico RL ; di conseguenza si può trascurare la parte di Iac che scorre in RL . 1 Il ripple dell’alimentatore è l’ondulazione della tensione di uscita proveniente dal raddrizzatore e non perfettamente soppressa dai circuiti elettronici di stabilizzazione. 2 In realtà una possibilità c’è, anche se più complicata. Consiste nell’utilizzare i due canali dell’oscilloscopio in modo differenziale. 3 Questo è vero in prima approssimazione. Ad un’analisi più fine — che va oltre i nostri scopi — si osserva che la resistenza differenziale varia con la corrente, causando distorsione del segnale. L’oscilloscopio e il voltmetro (connesso in parallelo a Rt ), usati per stimare il valore efficace della tensione e della corrente, hanno diverse sensibilità alla distorsione: ne consegue un errore di misura. 40 4 – Alimentatori stabilizzati Con l’oscilloscopio è conveniente leggere il valore picco-picco Vpp della √tensione alternata, con incertezza assoluta δVpp . La tensione efficace è Vac = Vpp /(2 2), con incertezza relativa δVac /Vac = δVpp /Vpp . La corrente Iac è misurata con un voltmetro a valore efficace collegato ai capi di Rt , 0 0 . La resistenza Rt ha incertezza assocon incertezza assoluta δVac sul quale si legge Vac 0 0 luta δRt . La relazione (4.7), sostituendo Iac = Vac /Rt , diventa | Zo | = | (Vac Rt )/Vac |. L’incertezza relativa, nel caso peggiore, è ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ δZo ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ δVac ¯ + ¯ δVac ¯ + ¯ δRt ¯ (4.8) ¯ Zo ¯ ¯ Vac ¯ ¯ V 0 ¯ ¯ Rt ¯ ac Esempio 4.2 Si vuole misurare alla frequenza di 1 kHz il modulo dell’impedenza dell’alimentatore dell’esempio 4.1. Progettare il banco di misura basando i calcoli sulle seguenti assunzioni: 1) l’impedenza interna dell’alimentatore è 8 mΩ, 2) l’oscilloscopio ha incertezza del 3% dell’intera scala, 3) Rt è da 1 Ω, all’1%, 4) il voltmetro in alternata ha fondo scala 5 V e classe 1. L’alimentatore può erogare Imax = 10 A. Si sceglie una corrente di polarizzazione Idc = Imax /2 = 5 A. La resistenza di carico è RL = Vdc /(Imax /2) = 4.8 Ω, arrotondata 2 al valore normalizzato 4.7 W. La potenza dissipata da RL è Pdc = Vdc /RL ' 123 W. Con il valore normalizzato di RL , la corrente di polarizzazione è Idc = Vdc /RL ' 5.1 A. La dinamica è quindi 4.9 Apicco. Per tenere un ragionevole margine dalla saturazione, si sceglie una corrente di picco di 4 A, alla quale corrisponde Iac ' 2.8 Arms . Utilizzando un amplificatore audio, progettato per un’impedenza di uscita di 8 Ω, si può scegliere Rac = 6.8 Ω, valore normalizzato. La potenza richiesta all’amplificatore è 2 Pac = (Rt + Rac ) Iac ' 62.4 W. Si cercherà allora un amplificatore da 80–100 W, la cui potenza possa essere regolata. Il condensatore può essere considerato un cortocircuito se la sua reattanza è XC = 1/(2πf C) ¿ Rt + Rac . Con f = 1 kHz, deve essere C À 20 µF. Dai dati del problema, l’incertezza relativa di Rt è δRt /Rt = 1·10−2 . Con Iac = 0 2.8 A e Rt = 1 Ω la lettura attesa del voltmetro è Vac ' 2.8 V. L’incertezza assoluta δV 0 = 50 mV è data dalla classe e dal fondo scala del voltmetro. L’incertezza relativa 0 0 è δVac /Vac = (50 mV)/(2.8 V) ' 1.8·10−2 . Ad Iac = 2.8 A corrisponde una corrente picco-picco di 8 A. Con un’impedenza dell’alimentatore | Zo | = 8 mΩ, la lettura attesa dell’oscilloscopio è di 64 mVpp . Si deve quindi usare la scala 10 mV/div, che ha escursione di 80 mV (8 divisioni). L’incertezza assoluta è allora 2.4 mV. Nel passaggio da tensione picco-picco a tensione efficace si conserva l’incertezza relativa, che risulta δVac /Vac = δVpp /Vpp = (2.4 mV)/(64 mV) ' 3.8·10−2 . Applicando la (4.8), l’incertezza attesa della misura di impedenza, nel caso peggiore, è ¯ ¯ δZo ¯ ¯ Zo ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ δVac ¯ ¯ Vac ¯ ¯ 0 ¯ ¯ δVac ¯+¯ ¯ ¯ V0 ac ¯ ¯ ¯ ¯ δRt ¯+¯ ¯ ¯ Rt ¯ ¯ ¯ ' 3.8·10−2 + 1.8·10−2 + 1·10−2 = 6.6·10−2 ¯ §4.3 – Misure in commutazione 41 4.3 Misure in commutazione L’alimentatore ha all’interno un circuito di reazione basato su un anello di reazione nel quale ciascuno stadio ha una propria dinamica. Cambiando rapidamente la corrente di carico, in alcuni alimentatori il segnale di errore può essere tale da saturare momentaneamente uno o più stadi intermedi; la risposta dell’alimentatore presenta un transitorio dovuto alla saturazione, di entità assai maggiore del transitorio in regime lineare. La grandezza associata a questo fenomeno prende il nome di tempo di riassetto (“recovery time” in inglese), definito come il tempo che l’alimentatore impiega a riportare la tensione d’uscita entro una fascia di semiampiezza ∆V centrata attorno alla tensione media (figura 4.9). Figura 4.9 Comportamento dell’alimentatore stabilizzato al transitorio di corrente. La figura 4.10 riporta lo schema proposto per la misurazione. Il transistore, pilotato da un generatore ad onda quadra, opera in saturazione/interdizione, in modo che la corrente di carico sia determinata dalla sola RL . L’oscilloscopio deve essere usato con il canale verticale accoppiato in ac e il trigger esterno ricavato dal generatore di segnali. Nell’effettuare la misurazione si tenga presente quanto segue. . Non con tutti gli alimentatori è possibile evidenziare il fenomeno. . All’uscita dell’alimentatore si ripresenta il problema della misurazione a 4 fili. . Ci si deve accertare che il transitorio osservato non sia dovuto ai cavi di collegamento. Allo scopo, si provi a variarne la disposizione e la lunghezza. Volendo fare una stima approssimativa, un filo di lunghezza l presenta un’induttanza L = µo l ed una capacità C = ε0 l; µ0 = 4π10−7 H/m ' 1.257 µH/m è la permeabilità magnetica del vuoto, ε0 ' 8.85 pF/m è la costante dielettrica del vuoto. 42 4 Figura 4.10 – Alimentatori stabilizzati Banco di misura del tempo di riassetto. Lo schema di figura 4.10 consente anche la misurazione della resistenza interna dell’alimentatore, osservando all’oscilloscopio la differenza tra la tensione a vuoto e la tensione sotto carico a transitorio esaurito. La corrente può essere stimata dai parametri del circuito (tensione dell’alimentatore e resistenza di carico), ed eventualmente misurando la tensione di saturazione del transistore con l’oscilloscopio. In alternativa, si può ricavare la corrente dalla lettura di un amperometro connesso in serie a RL e dal duty cycle. Capitolo 5 Voltmetri a doppia rampa 5.1 Principio di funzionamento La figura 5.1 riporta lo schema a blocchi del voltmetro a doppia rampa, detto anche a doppia integrazione. Il circuito di ingresso comprende amplificatori e attenuatori per ottenere l’impedenza di ingresso desiderata e per il cambio di portata, ed eventuali filtri. Nel seguito ci si occuperà esclusivamente della tensione Vx presente all’uscita di questo stadio. Figura 5.1 Schema di principio del voltmetro a doppia rampa. La misurazione ha inizio con l’integratore scarico (Vi = 0) e l’uscita del monostabile che commuta da 0 a 1. Il ciclo della misura si svolge in due fasi. Durante la prima fase il commutatore è in posizione 1; la tensione all’uscita dell’integratore è 43 44 5 – Voltmetri a doppia rampa 1 Vi = − RC Z Vx dt (5.1) Questa prima parte del ciclo ha durata fissa T1 , determinata dal monostabile, a sua volta legato all’oscillatore a quarzo. Il valore finale della tensione sull’integratore, per Vx costante, è Vi0 = − 1 T1 Vx RC (5.2) Al termine del tempo T1 , il commutatore va in posizione 0. Nella seconda fase la tensione all’uscita dell’integratore è Z 1 Vr dt (5.3) Vi = Vi0 − RC Il ciclo termina quando il comparatore rivela la condizione Vi = 0. La seconda fase ha durata T2 , funzione di Vx . La condizione Vi = 0 al termine della seconda fase implica − 1 1 T 1 Vx − T2 Vr = 0 RC RC (5.4) da cui si ricava Vx = − T2 Vr T1 (5.5) Il contatore misura il rapporto T2 /T1 e dà la lettura in tensione. Si osservi che Vx e Vr devono avere segni opposti per consentire all’integratore di scaricarsi. Per misurare tensioni positive e negative il voltmetro deve avere due riferimenti di tensione, o meglio due tensioni di segno opposto ricavate da un unico riferimento; al termine della prima fase, si usa il riferimento che ha lo stesso segno di Vi0 per scaricare l’integratore. La figura 5.2 riporta le forme d’onda all’uscita dell’integratore e del monostabile per diversi valori negativi di Vx . 5.2 Incertezze Resistenza e condensatore Nei passaggi che portano alla (5.5), i valori di R e C scompaiono. Di conseguenza R e C non entrano nel bilancio delle incertezze di misura. In sede di progetto R e C non possono essere scelti in modo completamente arbitrario. Si devono rispettare i vincoli determinati dalla dinamica di uscita dell’integratore e dalle tensioni e correnti di offset. Resistenza e condensatore possono avere fluttuazioni o derive, causando incertezze o errori di misura. In questo si devono riscrivere la (5.1) e la (5.3) con R e C dentro il segno di integrale, e procedere nei calcoli. §5.2 – 45 Incertezze Figura 5.2 Forme d’onda significative del voltmetro a doppia rampa, per Vx < 0 e Vr > 0. Riferimento di tensione Dalla (5.5), si ricava l’errore di lettura δVx δVr = Vx Vr (5.6) Per gli errori sistematici, nell’attribuzione del segno di δVr si tenga presente che Vr ha il ruolo di un campione. Oscillatore a quarzo L’oscillatore a quarzo che determina la lettura del contatore è lo stesso usato per generare T1 . Entrambi T1 e T2 sono multipli interi del periodo Tc del riferimento di frequenza. La (5.5) può essere riscritta come Vx = − N2 Tc Vr N1 Tc (5.7) dove N1 è il modulo di divisione interno al monostabile e N2 è il conteggio interno al contatore. La lettura è indipendente da Tc , e quindi dalla frequenza dell’oscillatore, purché essa resti costante. La precisione dell’oscillatore è comunque importante, ma per altre ragioni legate all’immunità al rumore. Ben diverso è il caso delle fluttuazioni di frequenza dell’oscillatore. Siano δT1 e δT2 gli errori di T1 e T2 conseguenti alle variazioni di frequenza. Dalle regole di propagazione degli errori si ha δT2 δT1 δVx = − Vx T2 T1 (5.8) Per tempi di misura ragionevoli, dell’ordine di alcuni secondi al massimo, le incertezze δT1 e δT2 possono essere fluttuazioni casuali. Volendo una descrizione probabilistica, 46 5 – Voltmetri a doppia rampa si ricordi che il rumore della misura è dato dalla statistica di (δT1 /T1 ) − (δT2 /T2 ), e non da (δT2 /T2 ) e (δT1 /T1 ) presi separatamente. Poiché la stabilità di frequenza è più facile da ottenere rispetto alle altre stabilità rilevanti ai fini della misurazione, in un buon progetto le fluttuazioni dell’oscillatore hanno effetti trascurabili. Risoluzione Dalla (5.7), la lettura del voltmetro è Vx = − N2 Vr N1 (5.9) L’incertezza di quantizzazione (±1) si presenta solo nella determinazione di N2 , che è il contenuto del registro del contatore di frequenza. La quantizzazione determina allora un’incertezza di lettura δVx = (1/N1 )Vr , che è più conveniente riscrivere come δVx = Tc Vr T1 (5.10) In uno strumento di buona qualità la risoluzione è però limitata dal rumore dei circuiti analogici — qui non trattato — piuttosto che non dalla quantizzazione. Commutatore Il modello statico semplificato di un commutatore in tecnologia mos è rappresentato in figura 5.3. Figura 5.3 Modello semplificato di un commutatore mos. R1 e R2 rappresentano le resistenze di canale per i due interruttori, in generale non uguali. Sui data sheet dei componenti questa informazione viene presentata in modo un po’ diverso, come resistenza nominale e asimmetria dei canali. Per tener conto dell’asimmetria, si deve mettere R1 + R in luogo di R nella (5.1) e R2 + R in luogo di R nella (5.3). Considerando l’asimmetria un’incertezza sistematica di valore δR = |R1 − R2 |, e assumendo che R1 'R2 ¿R, si trova un’incertezza δR δVx = Vx R (5.11) §5.2 – Incertezze 47 Il generatore di corrente, il cui valore è la corrente di leakage dell’interruttore, è da considerarsi in parallelo (quindi sommato) alla corrente di offset dell’operazionale integratore. Oset dell'integratore La corrente Ios e la tensione Vos di offset dell’amplificatore operazionale possono essere conglobate in un unico generatore di tensione V̌os = Vos + RIos in serie all’ingresso; qui R assume il significato della resistenza equivalente vista dall’ingresso dell’integratore, dovuta anche a componenti non indicati nello schema di principio di figura 5.1. Nell’intervallo T1 la tensione V̌os è in serie a Vx . L’integratore si carica ad una tensione V10 = −(Vx − V̌os )T1 /(RC). Nell’intervallo T2 l’offset è in serie a Vr . L’integratore si scarica con pendenza −(Vr − V̌os )/(RC) fino a zero. L’errore di lettura è quindi µ ¶ T2 δVx = 1 + V̌os (5.12) T1 Nella realtà, dopo le opportune compensazioni, V̌os è un’incertezza sistematica. L’incertezza dovuta all’offset può essere eliminata modificando l’integratore come in figura 5.4. Figura 5.4 Integratore con compensazione dell’offset. Il ciclo della misurazione si svolge in tre fasi. La prima (S1 chiuso, S2 , S3 e S4 aperti, per una durata T1 ) e la seconda (S2 chiuso, S1 , S3 e S4 aperti, per una durata T2 ) sono identiche a quelle delle figure 5.1 e 5.2. Nella terza fase (S3 e S4 chiusi, S1 e S2 aperti), il condensatore Cz si carica a −Vos , azzerando la tensione di uscita dell’integratore. A regime, Cz mantiene la memoria dell’offset annullandone l’effetto sulla misura. Oset del comparatore Come già per l’integratore, corrente Ios e tensione Vos di offset sono conglobate in un unico generatore di tensione V̌os = Vos + RIos in serie all’ingresso del comparatore. Il comparatore fa terminare il ciclo quando la tensione all’uscita dell’integratore è V̌os . All’inizio del ciclo successivo, l’uscita dell’integratore ha ancora la stessa tensione. 48 5 – Voltmetri a doppia rampa Il risultato è quello di aumentare la tensione di uscita dell’integratore di un valore V̌os , costante per tutto il ciclo; nella figura 5.2, l’asse dei tempi risulterebbe traslato in basso di una quantità V̌os . Il rapporto T2 /T1 non viene alterato; di conseguenza l’offset del comparatore non causa errori di misura. 5.3 Reiezione dei disturbi Per analizzare l’effetto dei disturbi si rappresenta il segnale di ingresso come vx (t) = v x + ṽx (t) (5.13) dove v x è la componente continua e ṽx (t) rappresenta le componenti alternate a valor medio nullo. Con un tempo di integrazione infinito la lettura del voltmetro è v x . L’effetto di un tempo di integrazione T1 finito è un errore di misura Z 1 δVx = ṽx (t) dt (5.14) T1 T1 L’operazione di media (5.14) nel dominio delle trasformate di Fourier è equivalente ad un filtro passa basso, la cui funzione di trasferimento è H(f ) = sin(πf T1 ) πf T1 (5.15) Le caratteristiche salienti di H(f ) sono: . la frequenza di taglio a –3 dB è f0 ' 0.442/T1 , . per f = k/T1 , con k intero positivo, H(f ) = 0, . in scala bilogaritmica, l’inviluppo dell’attenuazione fuori banda ha pendenza di 20 dB/decade. Il caso più interessante è rappresentato dal disturbo sinusoidale alla frequenza fac = 1/Tac della rete di alimentazione √ ṽx (t) = Ap sin(2πfac t) = Arms 2 sin(2πfac t) (5.16) Si ammetta che il disturbo abbia fase casuale θ rispetto all’inizio del ciclo di misura. Rappresentando T1 come T1 = nTac + δT1 , dove n è un intero, l’errore causato dal disturbo è δVx = 1 T1 Z nTac Ap sin(2πfac t + θ) dt + 0 1 T1 Z nTac +δT1 Ap sin(2πfac t + θ) dt (5.17) nTac L’integrale di sinistra della (5.17) si annulla perché è calcolato su un numero intero di periodi; l’errore è quindi dato dall’integrale di destra. §5.4 – Esempi di calcolo 49 Per ottenere, almeno idealmente, una completa reiezione dei disturbi di rete il voltmetro deve avere T1 = nTac . Nel caso peggiore, θ = 0 e δT1 = (1/2)Tac , l’errore è δVx = Tac Ap π T1 (5.18) Se si ammette che la condizione T1 = nTac sia soddisfatta a meno di un errore δT1 ¿ Tac /2π, si può trovare una descrizione statistica dell’incertezza di misura. La (5.17), indicando con ∆Vx l’errore per evitare confusione, diventa Z δT1 1 ∆Vx = Ap sin(2πfac t + θ) dt (5.19) T1 0 Per δT1 ¿Tac /2π, si ha sin(2πfac t + θ) ' sin θ, e quindi ∆Vx = δT1 Ap sin θ T1 (5.20) L’incertezza δVx della misura (1σ) si ottiene calcolando la deviazione standard di ∆Vx rispetto alla variabile casuale θ, uniformemente distribuita tra 0 e 2π; l’errore δT1 è legato all’errore di frequenza del quarzo da (δT1 /T1 ) = (−δfc /fc ). Di conseguenza l’incertezza della misura è ¯ ¯ ¯ δfc ¯ ¯ Arms ¯ δVx = ¯ (5.21) fc ¯ Il ragionamento può anche essere capovolto, trovando δT1 dall’incertezza della frequenza di rete e ammettendo che la frequenza fc del quarzo assuma il proprio valore nominale. Si osservi che, con gli adattamenti del caso, la reiezione dei disturbi è una proprietà generale del processo di integrazione, e che essa si manifesta in tutti gli esperimenti che comportano di integrare la misura di una grandezza in un opportuno tempo. 5.4 Esempi di calcolo Esempio 5.1 Si vuole realizzare un voltmetro a doppia rampa come quello di figura 5.1, con fondo scala 10 V e tempo di integrazione T1 = 100 ms. Si ha a disposizione un riferimento da 10 V e un amplificatore operazionale OP77G (offset tipico: Vos = 20 µV e Ios = 100 pA). Progettare R e C per un offset ragionevolmente vicino al minimo possibile. In condizioni “normali” il miglior funzionamento dell’operazionale si ha con una dinamica di ±10 V e con un’alimentazione di 15 V. Quindi si desidera |Vi0 | = 10 V con Vx = 10 V (fondo scala). Questa condizione implica RC = 100 ms. Per avere un condensatore di capacità ragionevole è opportuno avere un alto valore di R. Tuttavia, per contenere l’offset, il valore della resistenza deve essere inferiore a quello al quale contributi di tensione e corrente si uguagliano: Vos = Rmax Ios . Con i dati dell’operazionale si ha Rmax = 200 kΩ. Scegliendo R = 100 kΩ, con T1 = 100 ms si ha C = 1 µF. 50 5 – Voltmetri a doppia rampa Con R = 100 kΩ, si ha V̌os = Vos + R Ios = 30 µV. Utilizzando la (5.12), si ha un’incertezza δVx compresa tra 30 µV, per Vx = 0 e T2 = 0, e 60 µV, per Vx = 10 V e T2 = 100 ms. Esempio 5.2 Con il circuito dell’esempio precedente, per leggere la tensione si usa un contatore con frequenza di clock fc = 10 MHz. Calcolare l’incertezza di quantizzazione. La (5.10) è immediatamente utilizzabile, con Tc = 1/fc = 100 ns. Quindi l’incertezza di quantizzazione è δVx = Tc 100 ns Vr = × 10 V = 10 µV T1 100 ms Si osservi che l’incertezza di quantizzazione è minore dell’incertezza dovuta all’offset calcolata nell’esempio precedente. Esempio 5.3 Il voltmetro dell’esempio 5.1 misura una tensione Vx = 6.3 V, alla quale è sovrapposto un disturbo ṽx (t) ad onda quadra che ha frequenza fac attorno a 100 Hz e ampiezza di 50 dB inferiore a Vx . Calcolare l’incertezza dovuta al disturbo nel caso peggiore. Per l’onda quadra i valori efficace e di picco coincidono; il disturbo, 50 dB inferiore a 6.3 V, ha ampiezza di picco Ap ' 20 mV. Il caso peggiore si ha quando T1 contiene esattamente un numero dispari 2n±1 di semiperiodi del periodo Tac = 1/fac del disturbo. Nell’intorno di 100 Hz, questo si verifica per n = T1 /Tac = 10. Il semiperiodo del disturbo ha allora durata Tac /2 ' T1 /2n ' 5 ms. Con ragionamento analogo a quello che ha portato alla (5.17), l’incertezza risulta δVx = 1 T1 Z ṽx (t) dt = Tac /2 1 T1 Z Ap dt = Tac /2 (5 ms) × (20 mV) = 1 mV 100 ms L’incertezza relativa è δVx /Vx = (1 mV)/(6.3 V) ' 1.6·10−4 . Confrontando questo risultato con l’ampiezza del disturbo, nelle condizioni proposte il processo di integrazione comporta una reiezione di 26 dB del disturbo. Capitolo 6 Voltmetri a conversione tensione/frequenza 6.1 Principio di funzionamento La figura 6.1 riporta lo schema a blocchi del voltmetro a conversione tensione/frequenza, detto anche a semplice integrazione. Il circuito di ingresso comprende amplificatori e attenuatori per ottenere l’impedenza di ingresso desiderata e per il cambio di portata, ed eventuali filtri. Nel seguito ci si occuperà esclusivamente della tensione Vx presente all’uscita di questo stadio. La figura 6.2 indica le forme d’onda alle uscite dell’integratore e del monostabile, per tensioni di ingresso negative. Figura 6.1 Schema di principio del voltmetro a conversione tensione/frequenza. Esaurito il transitorio iniziale, l’impulso del monostabile parte quando il comparatore rivela la condizione Vi = Vi0 e ha durata fissa T2 . L’integratore si scarica dalla tensione Vi0 alla tensione Vi00 secondo l’equazione ¶ Z µ 1 Vx Vr 00 Vi = − + dt + Vi0 (6.1) C T2 R1 R2 51 52 6 – Voltmetri a conversione tensione/frequenza Figura 6.2 Forme d’onda alle uscite del comparatore e del monostabile per il voltmetro a conversione tensione / frequenza di figura 6.1. Errata corrige: le pendenze indicate in figura sono sbagliate. Le pendenze sono −Vx /R1 C (ascendente) e −Vx /R1 C − Vr /R2 C (discendente). Terminato l’impulso, l’integratore si ricarica con legge Z Vx 1 dt + Vi00 Vi = − C R1 (6.2) fino al raggiungere Vi = Vi0 , dove il comparatore fa ripartire il ciclo. Lo schema richiede che Vx e Vr abbiano segni opposti. La combinazione delle (6.1) e (6.2), sviluppando gli integrali per Vx e Vr costanti, porta a µ ¶ 1 Vx T1 Vx T2 Vr T2 − + + = 0 (6.3) C R1 R1 R2 Con le sostituzioni T = T1 + T2 e f = 1/T si trova Vx = − R1 T2 Vr f R2 (6.4) Quest’ultima formula dà la lettura di Vx in funzione della frequenza f misurata dal contatore. Nei convertitori integrati, che hanno l’uscita in frequenza e quindi necessitano di un contatore esterno, è usuale che venga specificata la costante strumentale k (dimensioni Hz/V), che fa riferimento alla relazione f = kVx . Nella (6.4) si osservi che T2 Vr /R2 è la carica elettrica totale che il monostabile fornisce all’integratore durante ogni impulso; poiché tale carica è uguale alla carica fornita dalla sorgente Vx nell’intero periodo T , i convertitori di questo tipo sono detti a bilanciamento di carica. Con tecniche integrate, sostituendo il monostabile e R2 con una pompa di carica, si possono raggiungere incertezze dell’ordine di 10−5 del fondo §6.2 – Incertezze 53 scala con frequenze di 1–2 MHzfs. 6.2 Incertezze Condensatore e resistenze Nei passaggi che portano alla (6.4), il valore di C scompare; di conseguenza C non entra nel bilancio delle incertezze di misura. In sede di progetto C non è arbitrario. I vincoli da rispettare, che coinvolgono anche le resistenze R1 e R2 , sono legati alla dinamica e alla velocità dell’operazionale integratore, e all’offset. Gli errori delle resistenze R1 e R2 causano errori di misura µ ¶ δVx δR1 = (6.5) Vx δR1 R1 µ δVx Vx ¶ = − δR2 δR2 R2 (6.6) È conveniente che R1 e R2 siano del tipo a film su unico supporto, quindi accoppiate in temperatura e con lo stesso coefficiente termico. In questo caso la deriva termica dipende solo dalla differenza residua tra i due coefficienti di temperatura. Resistenze e condensatore possono avere fluttuazioni o derive, causando errori o incertezze di misura. In questo si devono riscrivere la (6.1) e la (6.2) con R e C dentro il segno di integrale, e procedere nei calcoli. Monostabile Dalla (6.4), gli errori dovuti al monostabile causano errori ¶ µ δVr δVx = Vx δVr Vr µ δVx Vx ¶ = δT2 δT2 T2 (6.7) (6.8) Comparatore e riferimento di tensione La tensione di riferimento Vi0 si cancella nei passaggi che portano alla (6.4). Pertanto un errore di Vi0 non entra nel bilancio delle incertezze, almeno finché l’errore è piccolo rispetto alla dinamica dell’integratore, e quindi tale da non alterare il funzionamento del circuito e l’effetto degli offset. L’offset del comparatore è in serie a Vi0 . Oset dell'integratore Analogamente a quanto fatto per il voltmetro a doppia integrazione, corrente Ios e tensione Vos di offset dell’operazionale possono essere conglobate in un unico generatore di tensione V̌os = Vos + RIos in serie all’ingresso. Per offset costante, (6.4) diventa 54 6 – Voltmetri a conversione tensione/frequenza Vx − V̌os = − R1 T2 (Vr − V̌os ) f R2 (6.9) L’errore di misura è quindi µ δVx = 1+ R1 T2 f R2 ¶ V̌os Ricavando dalla (6.4) R1 T2 f /R2 = −Vx /Vr , l’errore può essere riscritto come µ ¶ Vx δVx = 1 − V̌os Vr (6.10) (6.11) Nella realtà, dopo le opportune compensazioni, l’offset ha conseguenze che spesso risultano di entità inferiore alle incertezze dovute al comportamento dinamico dell’amplificatore operazionale (qui non considerato) e all’impulso di tensione del monostabile. Non c’è quindi convenienza a tentare soluzioni di autoazzeramento come nel voltmetro a doppia integrazione. Contatore di frequenza Un errore di lettura δf del contatore causa un errore di lettura del voltmetro dato da δf δVx = Vx f (6.12) La (6.12) è direttamente applicabile per l’incertezza relativa della frequenza fc dell’oscillatore interno al frequenzimetro che misura f perchè (δf /f ) = (δfc /fc ). Un contatore di frequenza (non un contatore che ricava la frequenza dal periodo) con un tempo di misura τ ha incertezza di quantizzazione δf = 1/τ . In questo caso dalla (6.4), si ricava la risoluzione δVx = R1 T2 |Vr | R2 τ (6.13) 6.3 Reiezione dei disturbi Il convertitore tensione/frequenza in pratica funziona bene quando è “veloce”; le frequenze tipiche sono tra 100 kHz e alcuni megahertz a fondo scala. L’azione filtrante che deriva dall’integrazione sul singolo ciclo di durata T è di scarsa utilità; a maggior ragione perché T dipende da Vx , rendendo impossibile la reiezione dei disturbi di rete. L’azione filtrante in realtà esiste, ma è di origine diversa. Le fluttuazioni di Vx hanno l’effetto di una modulazione di frequenza all’uscita del convertitore. Si assumerà che le fluttuazioni siano di piccola entità rispetto al valore medio di Vx e lente rispetto alla frequenza di uscita del convertitore, in modo che per la modulazione valga il modello della sola portante che si sposta in frequenza seguendo il segnale modulante, con le bande laterali collassate nella portante. §6.3 – Reiezione dei disturbi 55 Il contatore misura la frequenza mediata sul tempo di gate τ , che contiene molti cicli del convertitore tensione/frequenza. L’integratore integra Vx sia durante T1 sia durante T2 ; trascurando i transitori delle commutazioni, Vx è integrata per l’intero ciclo di durata T . Poiché i cicli sono contigui — senza tempi morti tra l’uno e l’altro — si conclude che la (6.4) vale anche per la frequenza media f e la tensione media V x . In conclusione, si possono ancora applicare i ragionamenti fatti per il voltmetro a doppia rampa, ricordando che in questo caso il tempo di integrazione è τ in luogo di T1 . 56 Capitolo 7 Ponte bolometrico L’elemento sensibile, denominato bolometro, ha il comportamento di un resistore il cui valore dipende dalla temperatura, e quindi dalla potenza dissipata. Nelle misure di potenza non si sfrutta tanto la funzione di dipendenza della resistenza dalla temperatura, quanto il fatto che tale dipendenza esiste, e quindi il bolometro assume il valore nominale di resistenza solo ad una specificata potenza. Il metodo di misura è del tipo a sostituzione, nel quale si mantiene costante la potenza totale dissipata dal bolometro, sia in presenza sia in assenza della potenza da misurare, determinando quindi la potenza incognita per differenza. Per garantire che la potenza totale dissipata assuma il valore nominale si misura il valore di resistenza inserendo il bolometro in un ponte di Wheatstone. 7.1 Calcolo della potenza Figura 7.1 Schema di principio del ponte bolometrico. La figura 7.1 riporta lo schema di principio del ponte bolometrico. applicando le regole elementari dell’elettrotecnica, si trova 57 Dal circuito, 58 7 µ Vd = – Ponte bolometrico R1 R3 − R1 + R2 R3 + R4 ¶ Va (7.1) Si analizzerà un caso particolare, nel quale le quattro resistenze del ponte sono nominalmente uguali. Allora le tre resistenze fisse sono R2 = R3 = R4 = R e il bolometro assume il valore R1 = R (1 + α), dove α è la variazione relativa di resistenza dovuta alla temperatura. La (7.1) diventa quindi Vd = α Va 4 (7.2) Quando la potenza totale dissipata dal bolometro assume il valore nominale, si ha α = 0, R1 = R, e Vd = 0; il ponte è all’equilibrio. La corrente di alimentazione I misurata dall’amperometro si ripartisce a metà tra R2 e R4 . Essendo il ponte all’equilibrio, la corrente che attraversa il voltmetro è nulla. Il bolometro è attraversato dalla corrente I/2 e dissipa una potenza P = RI 2 /4. Sempre con il ponte all’equilibrio, in assenza di radiofrequenza si misura un valore di corrente I1 . La potenza dissipata dal bolometro è dovuta alla sola alimentazione, e vale P1 = R I12 /4. Inserendo ora la potenza incognita Prf e riportando il ponte all’equilibrio, si misura sull’amperometro una corrente I2 . La potenza in continua dissipata dal bolometro è P2 = R I22 /4. Ammettendo che Prf rimanga tutta nel bolometro, per effetto di opportuni filtri non indicati nello schema, la dissipazione totale nel bolometro è P2 +Prf . La dissipazione totale di potenza nei due casi, con e senza Prf , è la stessa. Questo è garantito dal fatto che il ponte è all’equilibrio in entrambi i casi: ad uguale resistenza corrisponde uguale temperatura, e quindi uguale potenza totale. Questo permette di calcolare la potenza a radiofrequenza Prf = P1 − P2 . Sostituendo le espressioni di P1 e P2 si trova Prf = R I12 − I22 4 (7.3) Procedimento di misura L’operazione di misurazione, che discende direttamente dal calcolo della potenza, viene fatta in tre fasi: 1. senza inserire Prf , si bilancia il ponte agendo sull’alimentazione; In questa situazione la lettura del voltmetro è 0 V, mentre sull’amperometro si legge I1 ; 2. si inserisce il segnale a radiofrequenza e si riduce la tensione di alimentazione del ponte fino a quando il ponte si riequilibra. La lettura del voltmetro è ancora 0 V, mentre quella dell’amperometro è I2 ; 3. valendosi della relazione (7.3), si calcola Prf . Nella pratica, è conveniente ridurre l’alimentazione del ponte prima di inserire Prf per evitare di sovraccaricare il bolometro. §7.1 – Calcolo della potenza 59 Dinamica di ingresso Poiché la resistenza del bolometro dipende dalla potenza dissipata totale, è possibile ottenere l’adattamento di impedenza all’ingresso a radiofrequenza solo ad una ben determinata potenza, che è la potenza nominale P1 del bolometro. Questa è anche la massima Prf che può essere misurata. In pratica la dinamica risulta un po’ inferiore. Se Prf si avvicina a P1 , l’equilibrio del ponte si raggiunge con una piccola P2 . Questo comporta di ridurre troppo Va passando dalla misura a vuoto alla misura con Prf , rendendo difficile rilevare l’equilibrio. Se ad esempio Prf = 0.9 P1 , si ha P2 = 0.1 P1 , il che comporta di ridurre Va a circa un terzo del valore iniziale; con una Prf ancora maggiore, Va si annulla rapidamente. Tensione dierenziale La tensione differenziale sul ponte ha, in funzione della tensione di alimentazione, una caratteristica del tipo qualitativamente indicato in figura 7.2. Il comportamento, al crescere della tensione di alimentazione, si giustifica come segue. Figura 7.2 Tensione differenziale del ponte bolometrico al variare della tensione di alimentazione. . Nella regione I il bolometro rimane sostanzialmente “freddo”, quindi presenta una resistenza inferiore a quella nominale (α < 0). Il ponte è quindi squilibrato e la tensione differenziale è negativa, proporzionale alla tensione di alimentazione. . Nella regione II il bolometro è ancora freddo (α < 0), ma si avvicina alla temperatura nominale. L’effetto termico (proporzionale a Va2 ) contrasta l’effetto elettrico dato dall’equazione (7.2); la combinazione dei due porta il ponte verso l’equilibrio. . Nella regione III il bolometro è scaldato eccessivamente, e assume un valore di resistenza più alto di quello nominale. Gli effetti termico ed elettrico contribuiscono a squilibrare il ponte nella stessa direzione. Il ponte è all’equilibrio anche per Va = 0 V. Questa condizione tuttavia è assolutamente priva di utilità pratica. 60 7 – Ponte bolometrico 7.2 Bolometro Il bolometro sfrutta la caratteristica dei metalli di aumentare la propria resistenza con il crescere della temperatura. L’elemento sensibile assume quindi la forma di un filamento metallico al quale viene fatta dissipare sia la potenza in continua sia la potenza incognita. La figura 7.3 propone due realizzazioni alternative. In entrambi i casi, almeno nella gamma di frequenze per cui il bolometro è progettato, gli induttori sono cortocircuiti per la continua e circuiti aperti per la radiofrequenza; viceversa i condensatori sono circuiti aperti per la continua e cortocircuiti per la radiofrequenza. Cosı̀ la radiofrequenza è confinata sui resistori, mentre la continua di alimentazione non interessa il circuito di ingresso. Figura 7.3 Schemi di principio dei montaggi bolometrici. Nello schema di destra si usano due elementi resistivi uguali R10 e R100 , in serie per la corrente continua, e in parallelo per il segnale a radiofrequenza. L’impedenza d’ingresso è Zrf = (1/2)R10 . La resistenza in continua, che ha il ruolo di R1 nello schema di figura 7.1, è 2R10 . A parità di Zrf e di potenza, lo schema di destra richiede una tensione continua maggiore per un fattore 2 rispetto all’altro schema, con il vantaggio di rendere più sensibile la rivelazione di zero del ponte. I bolometri per radiofrequenza hanno solitamente la potenza nominale compresa tra alcuni milliwatt e alcune decine di milliwatt; per potenze superiori, si devono utilizzare attenuatori calibrati. I metodi qui esposti si basano su effetti termici, e pertanto si prestano a misurazioni di potenza in tutto lo spettro elettromagnetico, fino a frequenze ottiche, con trasduttori realizzati opportunamente. 7.3 Incertezze ed errori sistematici 7.3.1 Amperometro Differenziando la (7.3) rispetto a I1 e I2 si trovano i contributi di errore dell’amperometro §7.3 – 61 Incertezze ed errori sistematici 1 R I1 δI1 2 1 = − R I2 δI2 2 (δPrf )δI1 = (7.4) (δPrf )δI2 (7.5) Assegnando a δI1 e δI2 il ruolo di incertezze di tipo B, tipiche dell’amperometro, nel caso peggiore si ha δPrf = 1 R (I1 δI1 + I2 δI2 ) 2 (7.6) Se l’amperometro è di tipo analogico, caratterizzato dalla stessa incertezza assoluta in tutta la scala (δI1 = δI2 = δI), la (7.6) diventa δPrf = 1 R (I1 + I2 ) δI 2 (7.7) Gli stessi ragionamenti valgono assegnando a δI il ruolo di risoluzione. Esempio 7.1 Si sta misurando una Prf incognita con un ponte bolometrico costituito da tre resistori da 200 Ω e un bolometro; quest’ultimo ha resistenza di 200 Ω quando dissipa la potenza nominale di 20 mW. Le due letture dell’amperometro, che ha classe 1.5 e fondo scala 20 mA, sono I1 = 20 mA e I2 = 12 mA. Calcolare Prf e l’incertezza relativa. La potenza si calcola direttamente applicando la (7.3) Prf = R (20 mA)2 − (12 mA)2 I12 − I22 = 200 Ω × = 12.8 mW 4 4 La classe dell’amperometro si traduce in un’incertezza assoluta δI = 300 µA, uguale per le due misure di corrente. Si può quindi applicare la (7.7) δPrf = 1 1 R (I1 + I2 ) δI = × 200 Ω × (20 mA + 12 mA) × 300 µA = 960 µW 2 2 L’incertezza relativa è δPrf /Prf = (960 µW)/(12.8 mW) = 7.5·10−2 . 7.3.2 Voltmetro Attorno alla potenza nominale del bolometro, e quindi all’equilibrio del ponte, si definiscono le sensibilità assoluta S, con dimensioni W/W, e la sensibilità relativa s, con dimensioni W−1 S = ∂R ∂P s = 1 ∂R R ∂P (7.8) 62 7 – Ponte bolometrico La variazione relativa α di resistenza del bolometro è legata all’errore di misura della potenza da α = s δP = (S/R)δP . Volendo considerare gli effetti di un errore δVd del voltmetro, la (7.2) diventa δVd = (1/4) α Va . Sostituendo l’espressione di α, si trova δVd = 1 S Va δP 4 R (7.9) Ricavando δP da quest’ultima relazione, con la sostituzione Va = RI, si ottiene δP = 4 δVd SI (7.10) La misurazione della potenza comporta di equilibrare il ponte due volte, a vuoto e con la radiofrequenza. Poiché il voltmetro è usato per rivelare Vd = 0, è ragionevole che la risoluzione δVd sia la stessa in entrambi i casi. Di conseguenza la (7.10) interviene nella determinazione sia di P1 sia di P2 . Assegnando a δVd il significato di risoluzione del voltmetro, e considerando il caso peggiore, si trova il contributo del voltmetro alla risoluzione di misura della potenza δPrf = 4 4 δVd + δVd SI1 SI2 (7.11) Se la risoluzione è data da fluttuazioni delle letture, due contributi delle misure di equilibrio si sommano in senso statistico. Assegnando a δVd il ruolo di errore sistematico, e ricordando che Prf è stata ottenuta come P1 − P2 , si trova l’errore sistematico della misura µ ¶ 4 1 1 δPrf = − δVd (7.12) S I1 I2 Questo risultato non deve sorprendere. Infatti, anche se l’errore di tensione è lo stesso nelle due misure di equilibrio, la sensibilità del ponte è diversa nei due casi perché, inserendo la radiofrequenza, si è ridotta la tensione di alimentazione. Se si conosce solo il valore massimo di δVd , che comunque resta costante, l’errore espresso dalla (7.12) assume il significato di incertezza sistematica. Esempio 7.2 Con i dati dell’esempio 7.1, la sensibilità del bolometro è S = 4.7 kΩ/W; il voltmetro presenta fluttuazioni di 2 mVrms . Calcolare l’incertezza relativa della misura. I contributi di incertezza, calcolati con la (7.10), sono δP1 = 4 4 δVd = × 2 mV ' 85 µW SI1 4700 Ω/W × 20 mA δP2 = 4 4 δVd = × 2 mV ' 142 µW SI2 4700 Ω/W × 12 mA Essendo le fluttuazioni espresse in valore rms, i relativi contributi devono essere sommati in senso statistico §7.4 – Ponte a sostituzione in bassa frequenza δPrf = p 63 (δP1 )2 + (δP2 )2 ' 165 µW L’incertezza relativa è δPrf /Prf = (165 µW)/(12.8 mW) ' 1.3·10−2 . Esempio 7.3 Con i dati degli esempi 7.1 e 7.2, il voltmetro presenta un errore sistematico δVd = +10 mV. Calcolare l’errore sistematico relativo della misura. Applicando direttamente la (7.11), si ha δP1 = 4 4 δVd = × 10 mV ' 425 µW SI1 4700 Ω/W × 20 mA δP2 = 4 4 δVd = × 10 mV ' 709 µW SI2 4700 Ω/W × 12 mA δPrf = δP1 − δP2 ' −284 µW L’errore sistematico relativo è δPrf /Prf = (−284 µW)/(12.8 mW) ' −2.2·10−2 . Altre cause di errore o incertezza Per problemi di adattamento di impedenza, al bolometro non arriva tutta la potenza disponibile della sorgente. Normalmente si conosce la perdita di potenza, o il rapporto di onde stazionarie, che permettono di correggere la misura. In questo passaggio c’è un’incertezza residua. 7.4 Ponte a sostituzione in bassa frequenza Il principio della sostituzione della potenza per riequilibrare il ponte bolometrico può essere applicato anche con un’alimentazione mista, in continua e in bassa frequenza, come in figura 7.4. Il generatore di corrente alternata eroga un segnale a bassa frequenza, dell’ordine delle centinaia di hertz, che nel bolometro si comporta come una corrente continua. Il condensatore e l’induttore sono rispettivamente un cortocircuito ed un circuito aperto per il segnale a bassa frequenza. Il funzionamento e le modalità d’uso sono del tutto analoghe a quelle del ponte alimentato in continua. La differenza principale sta nel fatto che per equilibrare il ponte si agisce unicamente sull’ampiezza del segnale a bassa frequenza. Indicando con I1 e I2 i valori efficaci della corrente di bassa frequenza, il bolometro 2 /4 in assenza di radiofrequenza e P2 + Prf con la radiofredissipa P1 = RI12 /4 + RIdc 2 /4. Uguagliando le potenze dissipate nei quenza inserita, essendo P2 = RI22 /4 + RIdc due casi, e sotto l’ipotesi che Idc sia la stessa, si trova ancora Prf = R I12 − I22 4 (7.13) Lo schema a sostituzione in bassa frequenza presenta, rispetto a quello di figura 7.1, almeno due vantaggi qui descritti. 64 7 – Ponte bolometrico Figura 7.4 Schema di principio del ponte bolometrico con riequilibrio in bassa frequenza. . La rivelazione dell’equilibrio, fatta con un voltmetro in alternata, è virtualmente immune da problemi legati all’offset, e pertanto più sensibile della rivelazione in continua. . Scegliendo opportunamente il valore della corrente continua, il ponte può essere fatto lavorare solo nelle regioni II e III del grafico di figura 7.2, dove la pendenza non cambia segno. Con un rivelatore sincrono, che dà anche il segno, la tensione differenziale può essere facilmente utilizzata per controllare la corrente di alimentazione, realizzando un ponte ad equilibrio automatico. Capitolo 8 Misure alla risonanza 8.1 Risonatori Il risonatore ideale è costituito da un induttore L e da un condensatore C che si scambiano l’energia. In un risonatore reale vi sono delle perdite di potenza dovute all’induttore, al condensatore e ad un eventuale resistore esterno. E’ d’uso conglobare tutte le cause di perdita in un unico resistore in serie o in parallelo (figura 8.1), supponendo che questo sia di valore costante. Quest’ultima ipotesi non corrisponde alla realtà in generale, ma è lecita in questo caso perché l’interesse è focalizzato sulla risonanza, in un ristretto intervallo di frequenza. Figura 8.1 Risonatore parallelo e risonatore serie. L’impedenza del risonatore è Z = R + jX = |Z| ejϕ . Nel seguito si useranno inoltre le definizioni: . frequenza e pulsazione di risonanza f0 = 1 √ 2π L C ω0 = √ 65 1 LC (8.1) 66 8 – Misure alla risonanza . resistenza caratteristica Rc del risonatore che, omettendo i pedici p e s, vale r 1 L = ω0 L = (8.2) Rc = C ω0 C . dissonanza χ ω ω0 f f0 ω − ω = f − f 0 0 χ = 2 (ω − ω0 ) 2 ∆ω 2 ∆f = = ω0 ω0 f0 . fattore di merito Q Rp Rp = ω0 Cp Rp = ω0 Lp Rc Q = 1 Rc ω L 0 s = = Rs ω0 Cs Rs Rs in generale (8.3) per ω ' ω0 per il risonatore parallelo (8.4) per il risonatore serie . una variabile α, legata allo scarto di frequenza α = Qχ (8.5) L’impedenza può essere rappresentata (figura 8.2) come |Zp | = √ Rp 1 + α2 ϕp = − arctan α (8.6) (8.7) per il risonatore parallelo, e |Zs | = Rs p 1 + α2 ϕs = arctan α (8.8) (8.9) per il risonatore serie. Alla frequenza di risonanza si verifica che: . la reattanza, e quindi la suscettanza, del condensatore e dell’induttore sono uguali in modulo e opposte in segno; sono quindi rappresentabili come fasori antiparalleli; . il modulo dell’impedenza ha un massimo per il risonatore parallelo e un minimo per il risonatore serie; §8.1 – 67 Risonatori Figura 8.2 Modulo e fase dell’impedenza di due risonatori con Q = 10. A sinistra: risonatore parallelo. A destra: risonatore serie. . la fase si annulla, quindi l’impedenza e l’ammettenza sono puramente reali; . il risonatore può essere assimilato ad un resistore che dissipa l’intera potenza fornita dal generatore. Il valore è Rp per il risonatore parallelo, Rs per il risonatore serie. Nell’intorno della frequenza di risonanza, può talvolta essere conveniente ricorrere ai modelli misti serie/parallelo di figura 8.3, validi orientativamente per Q > 10 in quanto contengono errori dell’ordine di 1/Q2 . Tra un risonatore serie ed uno parallelo, con la stessa frequenza di risonanza e con le stesse perdite, nell’intorno della frequenza di risonanza valgono le relazioni di equivalenza riportate nella tabella 8.1. Se Q è determinato dalle perdite di più di un componente, ciascuno dei quali ha fattore di merito Qi , si ha X 1 1 = Q Qi i Al fattore di merito Q si possono assegnare i seguenti significati: (8.10) 68 8 – Misure alla risonanza Figura 8.3 Modelli misti del risonatore per Q≥10. Per i modelli con due resistori vale Rs0 + Rs00 = Rs e 1/Rp0 + 1/Rp00 = 1/Rp . . fattore di sovratensione o di sovracorrente corrente in L o C per il risonatore parallelo corrente in Rp Q = tensione su L o C per il risonatore serie tensione su Rs . fattore di sovrapotenza Q = potenza reattiva potenza attiva . larghezza di banda. Con riferimento alla figura 8.2, la banda B, per la quale il modulo dell’impedenza o dell’ammettenza si attenua di 3 dB e la fase si discosta da zero di ±45◦ , è legata a Q da Q = f0 B (8.11) . tempo di smorzamento. Sempre con riferimento alla figura 8.4, la risposta all’impulso del risonatore risulta attenuata di 1 neper (–1 np corrisopnde ad un fattore 1/e in scala lineare) rispetto al valore iniziale dopo un tempo τ nel quale l’oscillazione compie Q/π cicli di periodo T0 = 1/f0 ; essendo τ = Q T0 /π, si ha Q = π τ f0 (8.12) §8.2 – 69 Q-metro Conversioni tra modelli serie e parallelo del risonatore Uso Formule generali Rs = Per trovare i parametri serie Formule per Q > 10 Rp 1 + Q2 Rs ' Rs ' Rp Xs = Xp Q2 1 + Q2 Xs ' Xp Xs ' Xp Q2 Ls = Lp Q2 1 + Q2 Ls ' Lp Ls ' Lp Q 2 Cs = Cp 1 + Q2 Q2 Cs ' Cp Rp = Rs (1 + Q2 ) Per trovare i parametri parallelo Rp Q2 Formule per Q < 0.1 Rp ' Rs Q2 Cs ' Cp Q2 Rp ' Rs Xp = Xs 1 + Q2 Q2 Xp ' Xs Xp ' Xs Q2 Lp = Ls 1 + Q2 Q2 Lp ' Ls Lp ' Ls Q2 Cp = Cs Q2 1 + Q2 Cp ' Cs Cp ' Cs Q 2 Tabella 8.1 8.2 Q-metro Il Q-metro è uno strumento per radiofrequenza — usato tipicamente fino ad alcune centinaia di megahertz — che consente di misurare il fattore di merito, induttanze, capacità e reattanze in genere, sfruttando il fenomeno della risonanza serie. Lo schema è riportato in figura 8.5. L’oscillatore sinusoidale, regolabile in frequenza e in ampiezza, è caricato da un resistore R ¿ Rg ; in pratica R può essere realizzato con una pastiglia di carbonio con 70 8 Figura 8.4 – Misure alla risonanza Risposta normalizzata del risonatore all’impulso. Figura 8.5 Schema di principio del Q-metro. valore di resistenza di 10–100 mW, di piccole dimensioni in modo che non presenti induttanza apprezzabile. L’insieme partitore/oscillatore può essere rappresentato come un generatore (quasi) ideale di tensione. A questo proposito si deve osservare che in pratica, a causa delle capacità parassite del circuito, il generatore di tensione rappresenta una scelta obbligata, mentre un generatore di corrente sarebbe improponibile; è principalmente per questa ragione che non si utilizza la risonanza parallelo. La possibilità di regolare la frequenza in una vasta gamma assume un’importanza particolare perché i modelli dei componenti a radiofrequenza sono validi solo entro un certo intervallo di frequenza. Si consideri ad esempio un tipico induttore. Alle frequenze più basse, le perdite di potenza sono determinate essenzialmente dalla resistenza del rame, che è in serie a L; per R e L costanti, dalla (8.4) risulta Q∝f . A frequenze più alte, la dissipazione è dovuta all’effetto pelle, e comporta una riduzione di Q con l’aumentare della frequenza. Ne risulta che Q presenta un massimo ad una data frequenza. Inoltre esiste un effetto di autorisonanza dell’induttore sulla capacità parassita interspire. La combinazione di questi fenomeni, difficile da valutare per via teorica, normalmente richiede una misurazione alla frequenza di impiego del dispositivo. Il condensatore Cv ha una scala graduata che tiene conto anche delle capacità parassite. §8.2 – Q-metro 71 L’amperometro, del tipo a termocoppia, misura la corrente a radiofrequenza, e quindi la tensione su R, che ha valore noto. Il voltmetro è del tipo a valore di picco. Questo tipo di strumento è preferibile rispetto ad altri per l’alta impedenza e la bassa capacità di ingresso, e perché risulta più adatto alle frequenze in gioco; d’altronde, trattando esclusivamente segnali sinusoidali, altri tipi di voltmetri non presenterebbero alcun vantaggio. Nell’uso normale, si regola la corrente erogata dal generatore in modo che essa assuma il valore nominale per lo strumento; questa regolazione in generale è necessaria se la potenza di uscita del generatore varia con la frequenza. Poi, alla risonanza, si legge direttamente Q su un’apposita scala del voltmetro. La (8.10) può essere utilizzata per calcolare il Q del componente sotto misura, rimuovendo le limitazioni del Q-metro e dell’eventuale induttore esterno di riferimento. Rilevare il valore di f o di Cv alla risonanza cercando il massimo della lettura del voltmetro è di scarsa utilità perché l’ampiezza ha un massimo, con derivata nulla rispetto alla grandezza da misurare. Risulta pertanto più conveniente alterare la sintonia del circuito e leggere f o Cv come media tra i valori rilevati con la lettura del voltmetro 3 dB inferiore alla massima. Questo metodo è detto a forchetta. 8.2.1 Misure di capacità Si inserisce un induttore stabile e di valore adeguato ai morsetti “coil”, e si regola Cv per portare il circuito alla risonanza alla frequenza desiderata; si legge un valore di capacità Cv = C1 . Poi si inserisce il condensatore incognito ai morsetti “cap” e, agendo sui Cv (senza cambiare la frequenza), si riporta il circuito alla risonanza; si legge Cv = C2 . La capacità incognita è data da Cp = C1 − C2 (8.13) La massima capacità misurabile è limitata dall’escursione di Cv . 8.2.2 Misure di induttanza Si inserisce l’induttore ai morsetti “coil” e si regola Cv per portare il circuito alla risonanza alla frequenza desiderata; letto il valore di capacità, l’induttanza incognita è data da L = 1 ω2 C (8.14) Il campo di induttanze misurabili è limitato dall’escursione di Cv . 8.2.3 Misure di impedenza con inserzione in parallelo Questa modalità di uso è adatta alla misurazione di impedenze di valore “alto”, ivi comprese le induttanze troppo grandi per poter essere misurate con l’inserzione in serie. Si inserisce un induttore campione, quindi di valore noto e stabile, ai morsetti “coil”, e si regola Cv per portare il circuito alla risonanza alla frequenza desiderata senza l’impedenza incognita Zx ; si leggono i valori Cv = C1 e Q = Q1 . Poi si inserisce Zx ai 72 8 – Misure alla risonanza morsetti “cap” e, agendo su Cv (senza cambiare la frequenza), si riporta il circuito alla risonanza; si leggono i valori Cv = C2 e Q = Q2 . I parametri parallelo di Zx possono essere calcolati con le formule della tabella 8.2, colonna di sinistra, ed eventualmente convertiti in parametri serie utilizzando le formule della tabella 8.1. 8.2.4 Misure di impedenza con inserzione in serie Questa modalità di uso è adatta alla misurazione di impedenze di valore “basso”, ivi comprese le capacità troppo grandi per poter essere misurate con l’inserzione in parallelo. Si inserisce Zx in serie ad un induttore campione ai morsetti “coil”. Si cortocircuita Zx e si regola Cv per portare il circuito alla risonanza alla frequenza desiderata; si leggono i valori Cv = C1 e Q = Q1 . Poi si apre il cortocircuito su Zx e, agendo sui Cv (senza cambiare la frequenza), si riporta il circuito alla risonanza; si leggono i valori Cv = C2 e Q = Q2 . I parametri serie di Zx possono essere calcolati con le formule della tabella 8.2, colonna di destra, ed eventualmente convertiti in parametri parallelo utilizzando le formule della tabella 8.1. La pratica di cortocircuitare Zx è utile per non alterare la posizione dei componenti, cosa che potrebbe causare errori dovuti alle variazioni di capacità parassite. Se il voltmetro è del tipo con condensatore in serie, è necessario che Zx lasci passare la corrente continua; eventualmente si aggiunga in parallelo a Zx un induttore che presenti impedenza virtualmente infinita nelle condizioni della misura. 8.3 Altri schemi di misura L’idea di abbattere la resistenza dell’oscillatore con un partitore resistivo è utilizzabile anche per realizzare un banco di misura con strumenti separati (generatore di segnali e voltmetro o oscilloscopio) con uno schema del tutto simile a quello di figura 8.5. Un altro schema utile è quello di figura 8.6. R1 e R2 provvedono all’adattamento di impedenza verso il generatore, e ad abbattere l’impedenza di quest’ultimo; se R1 ¿R2 e R2 'Rg , il generatore risulta comunque adattato, indipendentemente dal valore di Zx . R3 e R4 assolvono un compito analogo verso il voltmetro vettoriale. Per R1 ¿R2 e R3 ¿R4 , il risonatore vede R1 + R3 . Per non alterare significativamente il Q del risonatore, deve essere R1 + R3 ¿ Rs . Questo schema consente anche la misura di fase, che alla risonanza ha la massima derivata rispetto alle variazioni di frequenza (figura 8.2). In una versione semplificata, è possibile usare un oscilloscopio in luogo del voltmetro vettoriale. Per risonatori ad alto Q, quindi a banda stretta, è necessario sostituire il generatore di segnali con un sintetizzatore per avere la necessaria risoluzione e stabilità di frequenza. 8.4 Esempi di calcolo Esempio 8.1 Si sta usando un Q-metro per misurare un condensatore di piccola ca- pacità Cx (quindi con inserzione in parallelo) alla frequenza di 20 MHz, con un induttore campione da 0.5 µH inserito ai morsetti coil. Senza Cx alla risonanza si legge C1 = 127 pF; con Cx si legge C2 = 79 pF. Sapendo che la scala del condensatore variabile ha risoluzione di 0.5 pF, calcolare Cx e la risoluzione della misura. §8.4 – 73 Esempi di calcolo Formule di calcolo dell’impedenza Inserzione in parallelo Q= Q1 Q2 |C2 − C1 | C1 (Q1 − Q2 ) Rp = Q1 Q2 ω C1 (Q1 − Q2 ) Inserzione in serie Q= Q1 Q2 |C1 − C2 | |C1 Q1 − C2 Q2 | C1 Q1 − Q2 C Rs = 2 ω C1 Q1 Q2 Xp = 1 ω (C2 − C1 ) Xs = C1 − C2 ω C 1 C2 Lp = 1 ω 2 (C2 − C1 ) Ls = C1 − C2 ω 2 C1 C2 Cs = C1 C2 C2 − C1 Cp = C1 − C2 C2 − C1 > 0 ⇒ reattanza induttiva C2 − C1 < 0 ⇒ reattanza capacitiva C2 − C1 > 0 ⇒ reattanza capacitiva C2 − C1 < 0 ⇒ reattanza induttiva Q1 e C1 sono rilevati alla risonanza senza l’impedenza incognita Q2 e C2 sono rilevati alla risonanza con l’impedenza incognita Tabella 8.2 Dalla tabella a pagina 73 si trova Cx = C1 − C2 . Quindi Cx = (127 pF) − (79 pF) = 48 pF. La risoluzione della misura è δCx = δC1 +δC2 = 2×(0.5 pF) = 1 pF. La risoluzione relativa è δCx /Cx = (1 pF)/(48 pF) ' 0.02. 74 8 Figura 8.6 – Misure alla risonanza Schema di misura dei parametri serie di un risonatore. Capitolo 9 Esercitazione di uso dell'oscilloscopio Alcune delle esperienze proposte sono banali, nel senso che richiedono una elementare dimestichezza con i comandi dell’oscilloscopio, che però non tutti hanno. Altre richiedono di familiarizzare con alcune modalià di uso meno frequente. Altre ancora comportano di abbandonare — almeno momentaneamente — la superficialità con cui molti sperimentatori, anche esperti, usano l’oscilloscopio. Lo scopo è comunque di costringere lo sperimentatore a provare, almeno una volta, “tutti” i comandi dell’oscilloscopio. Come sorgente si utilizza il generatore di segnali (appendice A 1). Le forme d’onda sono contrassegnate con una lettera ed un numero, indicando con la lettera l’uscita del generatore e con il numero la forma d’onda. Ad esempio B4 significa: forma d’onda n. 4 all’uscita B. In alcuni casi, chiaramente specificati, si usa un generatore di funzioni. Traccia Utilizzare il segnale A0. Mettere il canale di ingresso in posizione gnd, in modo da visualizzare solo una linea orizzontale, e centrare la traccia rispetto allo schermo. Riportare l’ingresso in posizione accoppiamento (ac). Regolare l’oscilloscopio per visualizzare una sola traccia, in modo che un periodo del segnale occupi la maggior parte possibile dello schermo, sia in orizzontale sia in verticale (senza scalibrare gli assi). Ampiezza Utilizzare il segnale A0. Misurare l’ampiezza del segnale; usare anche i cursori se disponibili. Valutare l’incertezza assoluta e relativa della misura. La misurazione dell’ampiezza picco-picco è più agevole e precisa rispetto a quella dell’ampiezza di picco. Perché? Verificare l’effetto del comando uncal sul canale Y1, e riportare lo strumento in posizione normale, con il canale calibrato. Periodo e frequenza Utilizzare il segnale A0. Misurare la frequenza del segnale dalla durata del periodo. Usare anche i cursori se disponibili. 75 76 9 – Esercitazione di uso dell’oscilloscopio Sovraccaricando il canale di ingresso dell’oscilloscopio la traccia esce dallo schermo, ma gli attraversamenti per lo zero sono più ripidi, e quindi meglio identificabili. La traccia è ancora centrata verticalmente? Valutare l’incertezza assoluta relativa della misura di periodo, e riportarla sulla misura di frequenza. Nelle misure di tempo l’incertezza è definita in modo analogo a quello visto per l’ampiezza. Provare l’effetto del comando uncal sulla base dei tempi principale (A). Perché non è più possibile misurare la frequenza? Al termine, riportare il guadagno in posizione tale da visualizzare l’intero segnale, e la base tempi in posizione normale. Scale e risoluzione Quale è la risoluzione, in tempo e in ampiezza, dell’oscilloscopio regolato come al paragrafo Traccia? Quali sono i guadagni del canale verticale e le velocità di scansione massimi e minimi dello strumento disponibile? Duty cycle Utilizzare il segnale B4 e misurare il duty cycle del segnale. Poichè si deve misurare un rapporto di tempi e non un tempo singolo, può essere conveniente scalibrare la base dei tempi in modo che il segnale occupi l’intera estensione orizzontale dello schermo. Di quanti quadretti si sposta verticalmente la traccia, e in che direzione, passando dall’accoppiamento dc all’accoppiamento ac? Calcolare prima di verificare. Trigger Utilizzare il segnale A4 collegato al canale Y1 dell’oscilloscopio. Verificare che la sorgente di trigger sia il canale Y1. Provare l’effetto dei comandi slope e level del trigger. dell’oscilloscopio. Predisporre ora la sorgente di trigger sul canale Y2. Perché non si riesce a tenere ferma la traccia agendo sul livello e sulla pendenza del trigger? Osservare la differenza di comportamento dell’oscilloscopio quando il trigger è in modo auto e norm usando come sorgente sia il canale Y1 sia il canale Y2, provando anche a regolare il livello trigger per soglie eccessivamente alte o basse rispetto al segnale. Giustificare il comportamento dell’oscilloscopio. Su molti oscilloscopi ci sono i comandi hf-rej, lf-rej, tv-v, tv-h e fix. A che cosa servono? Provarne l’effetto, anche in combinazione con la regolazione del livello di trigger. Doppia traccia Collegare l’uscita A canale Y1 dell’oscilloscopio e l’uscita B al canale Y2. Predisporre il generatore per la forma d’onda 0. Regolare l’oscilloscopio in modo da visualizzare entrambi i segnali sganciando la base dei tempi sullo zero crescente del segnale Y1. Che differenza c’è tra il modo chop e il modo alt di visualizzare le due tracce? Quale dei due può essere “scomodo” con scansioni lente (es. 20 ms/div o più)? Che cosa fa il comando vert (talvolta chiamato norm) della sorgente di trigger? Agisce allo stesso modo in chop e alternate? 9 – Esercitazione di uso dell’oscilloscopio 77 Fase (1) Collegare l’uscita A del generatore di segnali al canale Y1 dell’oscilloscopio e l’uscita B al canale Y2, e predisporre il generatore per la forma d’onda 0. Misurare lo sfasamento tra i segnali convertendo in gradi il ritardo tra le due tracce. Anche in questo caso la misura può essere più agevole se si sovraccaricano i canali di ingresso dell’oscilloscopio. Ai fini della precisione della misura, è vantaggioso fare l’operazione in due tempi, misurando il periodo ed il ritardo con velocità di scansione diverse? Fase (2) La misurazione dello sfasamento può essere più agevole se si scalibra la base dei tempi in modo da far occupare all’intero periodo del segnale esattamente 8 divisioni orizzontali dello schermo (ogni divisione rappresenta 45◦ ); in alternativa, è possibile regolare la base tempi in modo che il periodo occupi l’intero schermo, ottenendo una precisione un po’ migliore, a discapito della comodità di lettura. Provare, con gli stessi segnali usati al paragrafo precedente. È buona regola lasciare sempre la base dei tempi in posizione normale (calibrata) al termine delle operazioni. Ciò evita errori grossolani, dovuti a semplice disattenzione. Fase (3) Se si disponesse di un oscilloscopio con un solo canale, per misurare lo sfasamento si dovrebbe ricorrere al trigger esterno. Collegare il riferimento (uscita A del generatore) all’ingresso trigger esterno (su molti oscilloscopi è il canale Y3) e il segnale (uscita B del generatore) al canale Y1 dell’oscilloscopio, usando le forme d’onda 0. Regolare il trigger per slope + e level 0 V, e misurare lo sfasamento. Suggerimenti per regolare a 0 V la soglia di trigger: (i) mandare il riferimento a Y1, regolare la soglia, poi riportare il riferimento all’ingresso per trigger esterno; in alternativa, (ii) probabilmente il trigger ha il comando fix. Fase (4) L’equazione dell’ellisse, in forma parametrica, può essere scritta come x(t) = a sin (ωt) y(t) = b sin (ωt + ϕ) Collegare l’uscita A del generatore all’asse x (solitamente canale Y1) e l’uscita B all’asse y (solitamente Y2); predisporre il generatore per la forma d’onda 0 e l’oscilloscopio in modo X-Y. Misurare lo sfasamento ϕ. Il modo più ovvio consiste nel leggere il valore di x quando y = 0, o viceversa secondo la convenienza. Si ricordi di leggere i segnali più ampi possibile sullo schermo, a vantaggio della precisione. Se vi fosse una graduazione diagonale sullo schermo, ci sarebbe qualche vantaggio nel leggere la lunghezza dei due assi dell’ellisse? 78 9 – Esercitazione di uso dell’oscilloscopio Rapporto di frequenze 1:2 Collegare il canale Y1 dell’oscilloscopio all’uscita A del generatore e il canale Y2 all’uscita B, predisponendo il generatore per la coppia di forme d’onda 1. Se il trigger è sul canale Y2, possono comparire ambiguità di sincronizzazione (più probabilmente se la doppia traccia è attivata in modo chop, piuttosto che alt). Perché? Per evidenziare il fenomeno dell’ambiguità, può essere utile regolare la base tempi in modo che vi siano più oscillazioni del segnale nello schermo. Si osservi che l’unica soluzione sicura consiste nel sincronizzare la base tempi sul segnale a frequenza più lenta. Che cosa succede usando l’oscilloscopio in modo X-Y, e perché? Rapporto di frequenze 2:3 Con la stessa configurazione del paragrafo precedente, si passi alla coppia di forme d’onda 2. In questo caso può non essere sufficiente sincronizzare la base tempi sul segnale a frequenza più bassa (perché le due frequenze non sono una multipla intera dell’altra), però è utile. Per sincronizzare correttamente l’oscilloscopio si deve probabilmente ricorrere al comando holdoff. Che cosa succede usando l’oscilloscopio in modo X-Y, e perché? Disturbo Utilizzare il segnale A6 del generatore collegato al canale Y1 dell’oscilloscopio. Il periodo del segnale è costituito da due impulsi rettangolari, su uno dei quali è presente un disturbo. Regolare l’oscilloscopio in modo da far partire la traccia sul fronte di salita che precede il disturbo. Con l’obbiettivo di espandere il disturbo sullo schermo in modo da poterlo osservare al meglio, vi può essere qualche vantaggio nello scegliere opportunamente l’accoppiamento ac o dc del canale di ingresso? Misurare ampiezza, durata e posizione del disturbo senza ricorrere alla doppia base tempi. Valutare l’incertezza della misura di durata del disturbo. Doppia base tempi Procedere come al paragrafo precedente, usando la doppia base tempi per espandere quanto possibile il disturbo. Con le stesse ipotesi, valutare l’incertezza relativa della misura di durata del disturbo. La doppia base tempi può funzionare in modo triggered o run after delay. Quale è il modo migliore per questa misurazione? Misura di intervallo di tempo con la doppia base tempi Collegare l’uscita A del generatore di segnali al canale Y1 dell’oscilloscopio e l’uscita B al canale Y2 e predisporre il generatore per la forma d’onda 6. Sganciare la base dei tempi sul fronte di salita più ampio del segnale Y1 e misurare l’intervallo fra tale fronte e il primo zero decrescente del segnale Y2. Sovraccaricare l’asse Y2 e usare la doppia base tempi per espandere la zona di interesse del segnale. Calcolare il ritardo come somma del ritardo letto sullo schermo e del ritardo della seconda base tempi rispetto alla prima. 9 – Esercitazione di uso dell’oscilloscopio 79 Tempo di salita (1) Collegare l’uscita trigger (talvolta chiamata sync) del generatore di funzioni (Wavetek, Global, o altro strumento disponibile) al canale Y1 dell’oscilloscopio, e predisporre il generatore per una frequenza di circa 100 kHz. Misurare il tempo di salita del segnale. Scalibrando il guadagno dell’oscilloscopio e regolando la posizione verticale, è possibile far coincidere i tratti orizzontali del gradino con i riferimenti 0% e 100%, presenti sullo schermo della maggior parte degli oscilloscopi. Adattamento di impedenza Nella misura suggerita al paragrafo precedente vi è disadattamento di impedenza tra il cavo coassiale e l’oscilloscopio. Infatti generatore e cavo hanno un’impedenza di 50 Ω, mentre l’oscilloscopio ha un’impedenza di ingresso di 1 MΩ. Il disadattamento di impedenza causa riflessioni intervallate del doppio della lunghezza elettrica del cavo, corrispondenti al percorso di andata e ritorno. Queste ultime si manifestano come irregolarità del tratto orizzontale dell’onda quadra, subito dopo il fronte di salita, simili ad “overshoot”. Si vuole verificare se le irregolarità osservate sullo schermo sono da attribuirsi ad un overshoot del generatore, o se sono la “firma” del disadattamento di impedenza. Si calcoli il ritardo della riflessione rispetto al fronte di salita, stimando la lunghezza del cavo e conoscendo il fattore di velocità (0.66 per il cavo RG-58); lo si confronti con il valore rilevato sullo schermo. Si provi anche a cambiare la lunghezza del cavo coassiale. Si verifichi l’effetto di una terminazione resistiva da 50 Ω collegata in parallelo all’ingresso dell’oscilloscopio. Tempo di salita (2) Sempre nelle stesse condizioni sperimentali, e con la terminazione resistiva collegata in parallelo all’ingresso dell’oscilloscopio, misurare il tempo di salita del segnale. Applicare la correzione basata sulla formula t2v = t2s + t2o dove tv è il tempo di salita visualizzato, ts è il tempo di salita del segnale, to il tempo di salita dell’oscilloscopio, ricavato dalla frequenza massima B dello strumento con la consueta formula B to ' 0.35. Visti i risultati del calcolo, la correzione è necessaria? Tempo di salita (3) Su molti oscilloscopi è possibile ridurre la banda passante, aumentando conseguentemente il tempo di salita. Solitamente il comando è etichettato BW e riduce la banda a 20 MHz. Se il comando è disponibile, procedere come al punto precedente, ma usando la banda passante ridotta. Confrontare l’entità della correzione con quella ottenuta con la banda passante massima. Tempo di salita (4) Un’incertezza sulla banda dell’oscilloscopio si riflette sulla correzione da applicare al tempo di salita visualizzato, e quindi sulla precisione della misura. 80 9 – Esercitazione di uso dell’oscilloscopio Calcolare le incertezze relative delle misure dei tempi di salita viste ai punti precedenti ammettendo che la banda dell’oscilloscopio sia nota con incertezza del 5%. Banda passante Un amplificatore ha la banda passante piatta tra due frequenze di taglio, f1 inferiore e f2 superiore, dovute a poli semplici. Tale amplificatore ha una risposta all’onda quadra simile al segnale B7 del generatore. Determinare le due frequenze di taglio. Capitolo 10 Esercitazione di misure di tensione alternata In questa ed in altre esperienze di laboratorio si fa riferimento alla compatibilità delle misure. Una misura, con l’incertezza ad essa associata, definisce un insieme di valori possibili del misurando. Due misure sono compatibili se gli insiemi ad esse associati hanno almeno un elemento (valore del misurando) in comune. Si considerino ad esempio due voltmetri che, con lo stesso segnale, diano letture di 9.9 V±0.1 V e di 10.2 V±0.2 V; In questo caso limite le misure sono compatibili perchè esiste un valore (10 V) che appartiene ad entrambe le fasce di incertezza. Come sorgente si utilizza il generatore di segnali (appendice A 1). Le forme d’onda sono contrassegnate con una lettera ed un numero, indicando con la lettera l’uscita del generatore e con il numero la forma d’onda. Ad esempio B4 significa: forma d’onda n. 4 all’uscita B. In alcuni casi, chiaramente specificati, si usa un generatore di funzioni. Come suggerimento pratico, è conveniente lasciare l’oscilloscopio sempre collegato al generatore di segnali mentre si fanno le misurazioni con i voltmetri. Usare le transizioni BNC a “T” e a “I” collegate assieme come nodo di ripartizione del segnale proveniente dal generatore verso l’oscilloscopio e verso il voltmetro. Per ovvie ragioni legate alla precisione della misura, con l’oscilloscopio si dovrà leggere l’ampiezza picco-picco. 10.1 Conversioni e incertezze Onda sinusoidale Misurare la tensione del segnale A0 con i tre voltmetri (valore efficace, medio e di picco) e con l’oscilloscopio; convertire in valore efficace la lettura di quest’ultimo. Associare alle letture l’incertezza. Riportare le misure su un grafico e verificare la compatibilità. Onda triangolare Misurare la tensione del segnale A3 con i tre voltmetri (valore efficace, medio e di picco) e con l’oscilloscopio. Convertire tutte le letture in tensione efficace e calcolare le incertezze. Riportare le misure su un grafico e verificare la compatibilità. 81 82 10 – Esercitazione di misure di tensione alternata Onda quadra Misurare la tensione del segnale B3 con i tre voltmetri (valore efficace, medio e di picco) e con l’oscilloscopio. Convertire tutte le letture in tensione efficace e calcolare le incertezze. Riportare le misure su un grafico e verificare la compatibilità. Forme d'onda arbitrarie Misurare la tensione del segnale A8 con i tre voltmetri (valore efficace, medio e di picco) e con l’oscilloscopio. Convertire tutte le letture in tensione di picco e calcolare le incertezze. Riportare le misure su un grafico e verificare la compatibilità. 10.2 Duty cycle Per l’onda rettangolare il duty cycle è definito come rapporto tra la durata della sola parte positiva e l’intero periodo del segnale. Per l’onda triangolare, esso è definito come rapporto tra la durata della parte con pendenza positiva e il periodo del segnale. Voltmetro in continua Misurare con l’oscilloscopio (accoppiato in continua) l’ampiezza e i duty cycle del segnale B4. Calcolare la lettura attesa del voltmetro in continua, che è il valore medio del segnale (attenzione: il voltmetro in continua all’interno non ha il raddrizzatore). Misurare con il voltmetro digitale e verificare il risultato. Voltmetro a valore medio Misurare il segnale B4 con il voltmetro a valore medio in alternata, senza il condensatore in serie (attenzione: il voltmetro è a una o due semionde?). Giustificare con i calcoli la differenza tra le letture del voltmetro e dell’oscilloscopio. Voltmetro a valore ecace Misurare il segnale B4 con il voltmetro a valore efficace, con il condensatore in serie. Giustificare con i calcoli la differenza tra le letture del voltmetro e dell’oscilloscopio. Onda triangolare Con procedimenti analoghi a quelli suggeriti ai punti precedenti, è possibile misurare il duty cycle di un’onda triangolare asimmetrica A4? Perché? 10.3 Limiti di funzionamento Per misurare le risposte in frequenza si utilizzi come sorgente il generatore di funzioni, servendosi dell’oscilloscopio per verificare che l’ampiezza del segnale resti costante. Si §10.4 – Varie 83 può infatti supporre che la lettura dell’oscilloscopio, che ha una banda considerevolmente più larga di quella dei voltmetri disponibili, non dipenda dalla frequenza. Effettuando una misurazione di variazioni, il limite dell’oscilloscopio è dato dalla risoluzione piuttosto che dalla precisione. Nel tracciare i grafici si proceda rapidamente, annotando un solo valore nel campo di frequenze dove la lettura è evidentemente costante. Trattandosi di voltmetri, cercare le frequenze a –3 dB — come per i doppi bipoli — ha poco senso; il fenomeno da osservare è invece l’errore che compare ai limiti della banda, limitando le misure alle frequenze per le quali la variazione della lettura raggiunge orientativamente il 10–15%, cosa che rende scarsamente utilizzabile lo strumento. Risposta in frequenza del voltmetro a valore medio Tracciare il grafico degli errori sistematici dipendenti dalla frequenza per il voltmetro a valore medio, portata 10 V. Utilizzare un segnale di ampiezza adeguata al fondo scala. In molti strumenti analogici la risposta in frequenza dipende dalla portata. Perché? Risposta in frequenza del voltmetro a valore ecace Tracciare il grafico degli errori sistematici dipendenti dalla frequenza per il voltmetro a valore efficace, portata 10 V fondo scala. Risposta in frequenza del voltmetro di picco Tracciare il grafico degli errori sistematici dipendenti dalla frequenza per la sonda voltmetrica di picco. Utilizzare un segnale di ampiezza 1 Vrms. Perché il voltmetro di picco è limitato alle basse frequenze? Pensando allo schema della sonda (pagina 108), che cosa si perderebbe, e perché, se si volesse estendere il campo di funzionamento verso le basse frequenze? Nonlinearità del voltmetro di picco Tracciare il grafico degli errori sistematici dipendenti dall’ampiezza per la sonda voltmetrica di picco. Utilizzare un segnale sinusoidale a 1 kHz, di ampiezza tra 0.2 e 5 Veff , servendosi del voltmetro a valore medio come riferimento. Pensando allo schema della sonda (pagina 108), quale componente è il principale responsabile della nonlinearità riscontrata? 10.4 Varie Sinusoide raddrizzata Il segnale A0 è una sinusoide. Il segnale A5 è la stessa sinusoide, ma raddrizzata. Misurare il segnale A0 con il voltmetro a valore efficace e il segnale A5 con il multimetro digitale in continua, che è a valore medio. Che relazione c’è tra le due letture? Si tenga presente che nei due casi il segnale ha la stessa frequenza ed è prodotto con lo stesso convertitore analogico/digitale, quindi ha le stesse ampiezze istantanee, a meno del segno. 84 10 – Esercitazione di misure di tensione alternata Onda intera o semionda? Il modo più ovvio per verificare se il voltmetro a valore medio senza condensatore in serie è del tipo a onda intera o a semionda consiste nel misurare due volte una tensione continua, invertendo i puntali. Se in una delle due posizioni la lancetta resta ferma sullo zero lo strumento è a semionda, altrimenti è a onda intera. È possibile arrivare alla soluzione con una sola lettura, quindi senza invertire i puntali? Come? Segnale a scala Misurare la tensione del segnale B8 con il voltmetro a valore efficace. Confrontarla con la misura del valore efficace ottenuta da calcoli basati sulla lettura dell’oscilloscopio. Ripetere l’esperienza con il voltmetro a valore medio (attenzione alla costante strumentale). Resistenza di ingresso Quanto vale la resistenza di ingresso del voltmetro a valore medio per le portate di fondo scala 2 V (ICE), 3 V (Simpson), 4 V (ICE) e 10 V (ICE e Simpson)? Simboli Nei voltmetri analogici ai bordi del quadrante si trovano alcuni simboli: u o ⊥ e una stella a cinque punte, talvolta con un numero al centro. Cosa significano? Capitolo 11 Esercitazione di misure su alimentatore stabilizzato Cautele da adottare Le esperienze proposte comportano di dover maneggiare potenze elettriche rilevanti (fino a decine di watt) che presentano rischi di danno agli strumenti. In particolare si ricordi che: . i multimetri, quando sono usati come amperometri, si danneggiano con facilità se sovraccaricati, . i resistori di carico si bruciano se sovraccaricati, . il condensatori elettrolitici hanno una polarità obbligata, . lo stadio d’uscita degli amplificatori non deve essere messo in cortocircuito, né ricevere una tensione continua, . in molti strumenti la massa è collegata alla terra dell’impianto elettrico di alimentazione; tramite le masse degli strumenti, collegate assieme attraverso la terra, è possibile fare cortocircuiti. 11.1 Resistenza interna dell'alimentatore triplo Philips PE 1542 Usare una delle sezioni a tensione regolabile come alimentatore in prova, l’altra come alimentatore di riferimento. Regolare l’alimentatore in prova per una tensione di 14– 15 V e per la massima corrente erogabile. Utilizzare come carico R1 = 16.5 W (due resistori da 33 W in parallelo). Topward TPS 4000 Usare la sezione a tensione fissa (5 V) come alimentatore in prova e una delle sezioni a tensione variabile come alimentatore di riferimento. Utilizzare come carico R1 = 6.8 W. Per entrambi gli alimentatori Dei due multimetri disponibili, quello analogico deve essere usato come amperometro mentre quello digitale, che è più preciso e ha migliore risoluzione, come voltmetro. 85 86 11 – Esercitazione di misure su alimentatore stabilizzato Perché? Nello schema di figura 11.1 viene utilizzato un alimentatore di riferimento. A che cosa serve, come deve essere regolato, e a quali ipotesi deve soddisfare per svolgere la sua funzione? Tracciare la caratteristica dell’alimentatore sul piano V-I indicando i punti di lavoro e le grandezze misurate. + q R1 alim. in prova − m µ ¡ ¡ A q m ¡ µ ¡ V + alim. di riferim. − Figura 11.1 Schema della misura della resistenza interna di un alimentatore stabilizzato. Incertezza e risoluzione Valutare l’incertezza, assoluta e relativa, della misura di resistenza assumendo come ipotesi semplificativa che le uniche cause siano il voltmetro e l’amperometro. Calcolare la risoluzione della misura di resistenza procedendo in modo analogo. Per l’amperometro analogico, in mancanza di specifiche si può adottare come valore convenzionale della risoluzione metà dell’incertezza. Per il voltmetro digitale notiamo che in questo esperimento la risoluzione è probabilmente limitata dalla fluttuazione della lettura piuttosto che dalla quantizzazione. Ci si deve pertanto riferire al valore della fluttuazione. La tolleranza dei resistori usati come carico interviene o meno nell’incertezza della misura? Se si, in che modo? Si tenti una stima dell’incertezza considerando il sistema nella sua globalità. Quesiti Se si ignorasse il problema delle resistenze di contatto (e la relativa soluzione), ammettendo che la resistenza di ogni contatto sia di 10 mW e che le resistenze dei cavi siano trascurabili, quale errore si commetterebbe nella valutazione della resistenza interna dell’alimentatore? Nella realtà, si tratterebbe di errori sistematici o di incertezze? Se si disponesse solo di un voltmetro con resistenza interna di 10 W (strumenti simili probabilmente esistono solo nella fantasia) quale sarebbe l’errore sistematico, assoluto e relativo, di misura della resistenza interna dell’alimentatore dovuto al consumo del voltmetro? Come si può rendere minimo tale errore di consumo? Resistenze di contatto Si modifichi il circuito della misura precedente in modo da sbagliare (appositamente!) i collegamenti voltmetrici e amperometrici, introducendo cosı̀ su entrambi i morsetti §11.2 – 87 Impedenza dell’alimentatore singolo dell’alimentatore in prova degli errori dovuti alle resistenze di contatto. Si confronti la misura con quella ottenuta con il circuito montato correttamente. Con il materiale per l’esperienza, si misuri la resistenza di contatto tra una boccola dell’alimentatore e una banana. Suggerimento: si può usare l’alimentatore come generatore di corrente, sfruttando la protezione. Valutare l’incertezza della misura. Alcuni alimentatori — più probabilmente quelli progettati per basse tensioni e alte correnti — presentano 4 morsetti, due di potenza e due detti sense; questi ultimi sono usati per misurare la tensione realmente presente ai capi del carico. Si giustifichi questo tipo di soluzione alla luce delle esperienze fatte. 11.2 Impedenza dell'alimentatore singolo In questa parte dell’esperienza è necessario utilizzare come alimentatore in prova un apparato con impedenza interna sufficiente a consentire le misure con un oscilloscopio. Misurare il modulo dell’impedenza interna dell’alimentatore singolo (Roland PS 1325 o Vega BIG 2030) seguendo lo schema indicato in figura 11.2, tenendo presente che tale alimentatore ha una tensione nominale di 12–13 V, e una corrente massima erogabile di 1 A. La misura sarà fatta a 100 Hz, 1 kHz e 10 kHz, cominciando da 1 kHz. Prima di montare il circuito, si progetti la misura disegnando il punto di lavoro dinamico sul piano V /I e calcolando i valori (di picco ed efficaci) delle tensioni e delle correnti in gioco (esclusa, ovviamente, la tensione alternata presente ai capi dell’alimentatore). R1 può essere scelta tra 16.5, 28 e 120 W. Iac - + q q q C R1 IB alim. in prova − ? m ¡ µ ¡ A q q 1W R2 q 6.8 W R3 m ¡ µ ¡ V usc. amplif. di potenza massa ingr. 6 q Y massa oscilloscopio ¾ trigger ext. generatore segnali Figura 11.2 Schema di principio per la misurazione del modulo dell’impedenza interna di un alimentatore stabilizzato. Amplicatore Marantz PM 230 Usare il canale sinistro (Left) e collegare il generatore di segnali all’ingresso CD. Predisporre l’amplificatore, agendo su un apposito comando presente sul pannello frontale, 88 11 – Esercitazione di misure su alimentatore stabilizzato per l’ingresso CD. Escludere i filtri “loudness” ecc., e regolare i controlli di tono a metà corsa. Dei due morsetti di uscita, il nero è la massa, il rosso è il segnale. Attenzione alla regolazione della potenza: l’amplificatore può erogare 60 W su 8 W, eccessivi per la misura e sufficienti a provocare danni. Con tutti i comandi al centro (inclusi il volume e il bilanciamento) si ottiene la massima potenza con circa 650 mVrms all’ingresso CD. Amplicatore Thema GT 15 Usare l’ingresso “low” e l’uscita “H. Phone”. Regolare i controlli di tono a metà corsa. L’amplificatore ha due controlli di volume in cascata (“gain” e “master”) che devono essere regolati in modo opportuno per evitare saturazioni degli stadi intermedi del circuito. Si raccomanda di controllare il segnale d’uscita con l’oscilloscopio. Regolando il gain a metà corsa e il master a 9/10 si ottiene la massima potenza (12 W su 8 W) con 140 mVrms all’ingresso low. Montaggio del circuito È opportuno usare i contatti a forchetta per i circuiti di potenza in alternata e in continua, collegando l’oscilloscopio all’alimentatore con un cavo BNC/banane. Il circuito deve essere montato e regolato correttamente. Per evitare errori che, date le potenze in gioco, potrebbero rivelarsi pericolosi per alcuni componenti o strumenti, si raccomanda la procedura qui descritta. 1. Montare il solo circuito in continua, composto dall’alimentatore in prova, il diodo di protezione, il resistore di carico e l’amperometro. Accertarsi che tutto funzioni, quindi che correnti e tensioni siano quelle desiderate. 2. A parte, montare il solo circuito in alternata composto dal generatore di segnali, dall’amplificatore e dal carico (6.8 + 1 W, con il resistore da 1 W collegato sul lato di massa dell’uscita dell’amplificatore). 3. Prima di alimentare l’amplificatore controllare la frequenza (1 kHz) ed il livello d’uscita del generatore di segnali, regolare il controllo di volume dell’amplificatore al minimo. Poi accendere l’amplificatore. Regolare il volume dell’amplificatore e il livello d’uscita del generatore di segnali in modo da ottenere la corrente desiderata. Valendosi dell’oscilloscopio collegato in parallelo al resistore da 1 W (attenzione alle masse!) accertarsi che non vi siano saturazioni. 4. Staccare il resistore da 1 W dalla massa dell’amplificatore e collegarlo, tramite il condensatore elettrolitico, all’alimentatore. Collegare la massa dell’amplificatore all’alimentatore. A questo punto il circuito è pronto e necessita solo di una regolazione più fine per ottenere la corrente alternata desiderata. Cambiando frequenza sarà sufficiente ritoccare la regolazione della corrente alternata. Quesiti In linea di principio la separazione dei circuiti voltmetrici ed amperometrici per eliminare gli errori dovuti alle resistenze di contatto dovrebe essere applicata sia sull’al- §11.3 – Misura di resistenza in commutazione 89 imentatore sia sul resistore tarato da 1 W. In quale dei due punti del circuito è più importante, e perché? Ammettendo che le resistenze di ogni contatto siano di 10 mW, valutare gli errori in entrambi i casi. Il diodo di protezione, posto in serie all’alimentatore, causa errori? Perché? La corrente alternata prodotta dall’amplificatore si ripartisce tra l’alimentatore ed il circuito in continua. Questo provoca errori di misura dell’impedenza? Se si, di quale entità? 11.3 Misura di resistenza in commutazione Misurare la resistenza interna dell’alimentatore singolo (Roland PS 1325 o Vega BIG 2030) seguendo lo schema indicato in figura 11.3. Usare inizialmente una frequenza di commutazione dell’ordine del centinaio di Hertz (onda quadra). + q R1 22 W alim. in prova − ª q q Y massa oscilloscopio 2.2 kW R2 generat. onda quadra ¾ trigger ext. Figura 11.3 Schema di principio per la misurazione della resistenza interna e del tempo di riassetto di un alimentatore stabilizzato. Il transistore deve lavorare in commutazione (saturato o interdetto). All’oscilloscopio, accoppiato in ac, si vede la differenza tra le tensioni a vuoto e sotto carico. Se il transistore non lavora in commutazione, la corrente non è più determinata dal resistore di collettore, ed il transistore si surriscalda. Per prima cosa è quindi necessario regolare il generatore di funzioni (ampiezza e offset) in modo da pilotare opportunamente il transistore. Si verifichino i punti di lavoro controllando la forma d’onda ed i livelli di tensione sul collettore con l’oscilloscopio. Suggerimento: quando il transistore è saturato, la corrente di collettore dipende solo dal carico ed è indipendente dalla corrente di base, almeno per piccole variazioni; quando è interdetto, la tensione di collettore è uguale alla tensione di alimentazione. Osservando la forma d’onda sull’alimentatore, probabilmente è necessario usare il trigger esterno, ricavato preferibilmente da un’apposita uscita sul generatore di segnali o, in mancanza, dal collettore del transistore. 90 11 – Esercitazione di misure su alimentatore stabilizzato Incertezza e risoluzione Considerando l’incertezza dell’oscilloscopio e dei componenti del circuito interruttore, e facendo ragionevoli ipotesi su eventuali parametri mancanti, si valuti l’incertezza e la risoluzione della misura di resistenza interna. Quesiti Tentare un confronto con il metodo inizialmente proposto, nel quale il carico viene commutato manualmente. Poiché i dati non sono direttamente confrontabili in quanto si riferiscono ad alimentatori diversi, ci si limiti a confrontare i metodi. In particolare si consideri l’incertezza della misura e la stabilità. Alcuni alimentatori sono caratterizzati da una bassa resistenza interna ed una bassa stabilità della tensione di uscita rispetto alla temperatura. Ad esempio, i regolatori di tensione integrati della serie 78xx hanno una resistenza interna tipica di 5 mW e un coefficiente di temperatura di 1.1 mV/◦ C; il transistore regolatore di tensione è termicamente accoppiato con il riferimento di tensione e causa variazioni di tensione in funzione della corrente di carico. Se si dovesse misurare la resistenza di uno di tali dispositivi, quale dei due metodi si dovrebbe adottare, e perché? Con lo schema proposto, è possibile ridurre l’incertezza valendosi di un amperometro in continua (multimetro analogico)? Capitolo 12 Esercitazione di misure di tensione continua Questa esercitazione prevede di realizzare e provare due voltmetri per tensione continua, uno a doppia integrazione e uno a conversione tensione/frequenza. Gli schemi (figure 12.2 e 12.3) sono stati pensati in funzione della massima semplicità; perciò risultano diversi da quelli di “veri” strumenti di misura, pur conservandone i principi. Per la stessa ragione, la lettura della tensione è fatta su un contatore o su un oscilloscopio. Istruzioni generali per i montaggi Nella figura 12.1 è riportato uno schema di massima del montaggio su basetta per esperimenti. Se si hanno a disposizione due sezioni della basetta, si usi la sezione superiore per il circuito, e la sezione inferiore per i punti di test, portando i collegamenti man mano che si rendono necessari. Ciò sveltisce le operazioni di collegamento dell’oscilloscopio e del contatore, senza spostare cavi coassiali. I due bracci di alimentazione, ±15 V, devono essere stabilizzati rispetto a massa ciascuno con un condensatore da 100 nF. Ogni volta che si fa una modifica al circuito è opportuno spegnere l’alimentatore. Attenzione. Il NE555 e il REF01 si danneggiano facilmente in caso di collegamenti errati verso una tensione negativa rispetto a massa. L’interruttore mos SW06 può sopportare correnti massime di 30 mA; con collegamenti errati o cortocircuiti verso le alimentazioni tale limite si supera facilmente, con la conseguenza di distruggere il componente. 12.1 Montaggio del voltmetro a doppia integrazione Lo schema completo del voltmetro è riportato nella figura 12.2. Per portare rapidamente a termine la realizzazione è opportuno procedere a passi, montando e collaudando i blocchi dello schema prima di collegarli tra loro. Si suggerisce la procedura seguente. 1. Collegare le alimentazioni alla basetta e regolare l’alimentatore per ±15 V. 91 92 12 m h – Esercitazione di misure di tensione continua m h +15 m h m h m h A B C D E F G H I J qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq SW06 q q q q q q q q q q qREF01 q q q q q q q q q q q qLM747 q q q q q q q q q q NE555 qqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq GND –15 qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq ¶³ qm Z µ´ Z ¶³ Y qm Y µ´ GND ¶³ qm X µ´ X A B C D E F G H I J qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq Figura 12.1 Schema di massima dei montaggi. 2. Inserire i circuiti integrati, collegare e verificare le alimentazioni. 3. Montare il partitore della tensione incognita (R1, R2, C1). Verificare che la tensione sul punto A possa essere regolata tra 0 e –9.5 V circa agendo su R2. 4. Montare il generatore di tensione di riferimento REF01 (attenzione: i cortocircuiti verso il negativo dell’alimentazione possono danneggiare il REF01). Verificare che la tensione sul pin 6 sia 10 V. 5. Montare il circuito del commutatore (SW06, R8, R9), collegato ai due circuiti precedenti; R8 e R9 hanno lo scopo di proteggere il SW06. Collegando manualmente i pin di controllo (8 e 9) ad un livello logico 0 (0 V) e 1 (+15 V), all’uscita (pin 6 e 11) si deve trovare rispettivamente la tensione di riferimento e la tensione incognita. 6. Montare l’integratore (LM747, R3, R4, C2), adottando provvisoriamente un valore di 100 nF per C2, e collegarlo all’uscita del commutatore. Agendo manualmente sul commutatore come spiegato al punto precedente, sull’uscita dell’integratore (punto C) si deve osservare, con l’oscilloscopio, una rampa di pendenza opportuna. Al termine della verifica sostituire C2 con un condensatore da 10 nF (valore definitivo). 7. Montare il comparatore (LM747, R5, R6, D1). Prima di collegarlo all’uscita dell’integratore, verificarne il funzionamento con una tensione positiva o negativa sull’ingresso. §12.1 – Montaggio del voltmetro a doppia integrazione Figura 12.2 Schema del voltmetro a doppia integrazione. 93 94 12 – Esercitazione di misure di tensione continua 8. Montare e verificare il monostabile con il diodo e il resistore che ne proteggono l’ingresso (attenzione: il NE555 si rompe se ai suoi pin è applicata una tensione negativa rispetto a massa). Nella verifica, si può sostituire temporaneamente C3 con altro di valore maggiore (100 nF) ed osservare l’impulso di uscita con l’oscilloscopio. 9. Chiudere l’anello di reazione collegando l’uscita del monostabile all’ingresso di controllo del commutatore. 12.2 Esperienze sul voltmetro a doppia integrazione Osservazione del funzionamento Collegare i due canali dell’oscilloscopio all’uscita dell’integratore punto C e all’uscita del monostabile punto F. Sganciare la base tempi con quest’ultimo segnale, sul fronte con pendenza positiva. Osservare qualitativamente il corretto funzionamento del circuito al variare della tensione di ingresso. Risoluzione La misura della tensione si ricava con il contatore collegato all’uscita del monostabile. Si misurano le durate di “1” e “0” in modo start-stop, cambiando le pendenze del trigger del contatore (su molti strumenti c’è un comando — etichettato com — che consente di mettere in parallelo gli ingressi). La tensione Vx, presente sul punto A, si ricava dal rapporto tra le durate di “1” e “0”, e dal valore della tensione di riferimento Vr . Quale è la risoluzione del voltmetro realizzato? Si ricordi che la risoluzione comprende la quantizzazione e il rumore della misura, che in questo caso probabilmente è dominante. Diagramma di taratura Per ricavare la lettura del voltmetro a doppia integrazione è opportuno utilizzare il valore della tensione di riferimento misurato con un voltmetro digitale in luogo del valore nominale di 10 V. Si confronti la misura di Vx (punto A), ricavata dalla letture del contatore, con la lettura del voltmetro digitale; quest’ultima è qui considerata come il valore vero. Si ricavi l’errore assoluto per 3–5 valori equispaziati di Vx e si tracci il grafico. Nel grafico sono riconoscibili errori di pendenza e offset? Costante di tempo dell'integratore Un errore nella costante di tempo dell’integratore interviene o meno nella misura di tensione? Verificare qualitativamente con l’oscilloscopio, provando ad alterare prima il resistore (inserire un resistore da 8.2 MW in parallelo a R3), poi il condensatore (inserire un condensatore da 1 nF in parallelo a C2). Oset dell'integratore In che modo l’offset dell’integratore contribuisce all’errore della misura di tensione? L’errore dipende o meno dalla tensione incognita Vx? §12.2 – Esperienze sul voltmetro a doppia integrazione 95 La verifica sperimentale può essere fatta imponendo una tensione sul punto B tramite un resistore verso il positivo dell’alimentazione. Una verifica qualitativa può essere fatta con l’oscilloscopio, con un offset di circa 1 V (resistore da 15 kW). Per una verifica più accurata, fatta con il contatore, è opportuno un offset inferiore, 100 mV, ottenuto con un resistore da 150 kW. Oset del comparatore In che modo l’offset del comparatore contribuisce all’errore della misura di tensione? L’errore dipende o meno dalla tensione Vx? La verifica sperimentale può essere fatta in modo qualitativo e quantitativo come descritto al punto precedente, imponendo l’offset nel punto D del circuito. Durata del tempo di integrazione La tensione incognita viene integrata per un tempo T1 determinato dal monostabile. Per il NE555, nello schema proposto si ha T1 = 1.1 × R7 × C3, con T1 in secondi, R7 in ohm e C3 in farad. Un errore sulla durata di T1 ha come conseguenza un errore di misura della tensione? Si verifichi con le procedure già viste, collegando un condensatore da 1 nF in parallelo a C3. Tensione di riferimento Quale è la conseguenza di un errore della tensione di riferimento sulla misura della tensione Vx? La verifica sperimentale può essere fatta agendo sull’ingresso trim del REF01 (punto I). Se l’ingresso trim è collegato a massa la tensione d’uscita sale, se invece è collegato all’uscita dello stesso REF01 (punto G) la tensione scende. Reiezione dei disturbi Perchè, e sotto quali ipotesi, il voltmetro a integrazione è “insensibile” alle componenti alternate sovrapposte alla tensione continua da misurare? Come deve essere progettato un voltmetro per la minima sensibilità ai disturbi causati dalla rete di alimentazione (50 Hz e multipli)? Pensando allo schema proposto, dove sarebbe più ragionevole intervenire? Si verifichino qualitativamente gli effetti di un disturbo costituito da una tensione alternata sovrapposta a Vx, limitandosi a cercare i punti di massimo e minimo relativi della sensibilità, procedendo come segue. 1. Regolare Vx circa a metà dell’escursione. 2. Togliere C1 dalla basetta (attenuerebbe eccessivamente il disturbo). 3. Regolare il generatore di segnali per una tensione di 6 Vpp e accertarsi che il generatore abbia offset di 0 V. 4. Iniettare il segnale del generatore nel punto A tramite un resistore da 10 kW in serie ad un condensatore da 100 nF. 96 12 – Esercitazione di misure di tensione continua Il disturbo cosı̀ introdotto si manifesta come una disuniformità della pendenza della rampa dell’integratore (punto C) e come jitter dell’istante di fine integrazione della tensione di riferimento (punto F). Calcolare per quali frequenze del disturbo ci si aspettano i massimi e minimi di errore del voltmetro, e procedere alla verifica sperimentale. Che cosa cambia al variare di Vx? 12.3 Montaggio del voltmetro a conversione V/f Il montaggio di questo circuito (figura 12.3) è particolarmente agevolato dalla possibilità di riutilizzare la maggior parte dei blocchi già realizzati e collaudati per il voltmetro a doppia rampa; nei limiti del possibile, i componenti con la stessa funzione sono numerati nello stesso modo. Avendo realizzato lo schema precedente, si proceda come segue. 1. Spostare R3 dal commutatore al partitore che genera Vx. 2. Spostare il collegamento dall’integratore al comparatore (l’integratore ora va all’ingresso invertente) e rimuovere R5. 3. Spostare la tensione di riferimento dal commutatore all’ingresso del comparatore. 4. Staccare il monostabile dal commutatore e collegarlo, tramite R10, all’integratore. 5. Sostituire R7, che determina la durata dell’impulso del monostabile. 12.4 Esperienze sul voltmetro a conversione V/f Osservazione del funzionamento Collegare i due canali dell’oscilloscopio all’uscita C dell’integratore e all’uscita F del monostabile. Sganciare la base tempi su quest’ultimo segnale, con pendenza positiva. Osservare qualitativamente il corretto funzionamento del circuito al variare della tensione incognita. Si noti che, per ragioni sperimentali legate alla “eccessiva” semplificazione del circuito, probabilmente il voltmetro si blocca per piccole tensioni Vx, all’incirca tra 0 e –0.5 V. Risoluzione La misura della tensione si ricava con il contatore misurando la frequenza degli impulsi del monostabile. Ricordando i ragionamenti relativi al voltmetro a doppia rampa, quale è la risoluzione del voltmetro realizzato? Diagramma di taratura Confrontare la misura ricavata dalla lettura del contatore con la lettura del voltmetro digitale, usata come riferimento. Ricavare l’errore assoluto per 3–5 valori sperimentali e tracciarne i grafici. Nell’eseguire il calcolo di conversione da frequenza letta a tensione misurata, supporre che l’impulso del monostabile assuma il valore della tensione di alimentazione, e che tutti i componenti abbiano i valori nominali. Con queste ipotesi, il parametro di maggiore interesse è la linearità della frequenza rispetto alla tensione di ingresso. §12.4 Figura 12.3 – Esperienze sul voltmetro a conversione V/f 97 Schema del voltmetro a conversione tensione/frequenza. Condensatore dell'integratore Un errore nel condensatore dell’integratore interviene o meno nella misura di tensione? Verificare qualitativamente con l’oscilloscopio ponendo un condensatore da 1 nF in parallelo a C2. Una verifica migliore può essere fatta con il contatore. 98 12 – Esercitazione di misure di tensione continua Resistori dell'integratore In che modo intervengono gli errori dei resistori R3 e R10 sulla misura della tensione Vx? Verificare l’effetto alterando i valori dei resistori, prima con 8.2 MW in parallelo a R3, poi con 150 kW in parallelo a R10. Oset dell'integratore In che modo l’offset dell’integratore contribuisce all’errore della misura di tensione? L’errore dipende o meno dalla tensione Vx? La verifica sperimentale può essere fatta imponendo una tensione sul punto B tramite un resistore verso il positivo dell’alimentazione, analogamente a quanto fatto per il voltmetro a doppia rampa. Una verifica qualitativa può essere fatta con l’oscilloscopio, con un offset di circa 1 V (resistore da 15 kW). Per una eventuale verifica più accurata, fatta con il contatore, è opportuno un offset inferiore, 100 mV (resistore da 150 kW). Tensione di riferimento Quale è la conseguenza di un errore della tensione di riferimento (REF01) sulla misura della tensione Vx? Per una verifica è possibile agire sull’ingresso trim del REF01, collegandolo a massa o all’uscita (pin 6), come nell’esperienza sul voltmetro a doppia rampa. Che analogia c’è tra l’errore della tensione di riferimento e l’offset del comparatore? Impulso calibrato Quale è l’effetto di un errore della durata dell’impulso calibrato generato dal monostabile? Si verifichi con le procedure già viste, ponendo un condensatore da 1 nF in parallelo a C3. Reiezione dei disturbi Come funziona il meccanismo di reiezione dei disturbi nel voltmetro a conversione tensione/frequenza? È possibile progettare un voltmetro per la minima sensibilità ai disturbi causati dalla rete di alimentazione (50 Hz e multipli)? Se si, pensando allo schema proposto, dove sarebbe più ragionevole intervenire? Si verifichino qualitativamente gli effetti di un disturbo costituito da una tensione alternata sovrapposta a Vx, limitandosi a cercare i punti di massimo e minimo relativi della sensibilità, procedendo come segue. 1. Regolare Vx circa a metà dell’escursione. 2. Togliere C1 dalla basetta (attenuerebbe eccessivamente il disturbo). 3. Regolare il generatore di segnali per una tensione di 6 Vpp e accertarsi che il generatore abbia offset di 0 V. §12.4 – Esperienze sul voltmetro a conversione V/f 99 4. Iniettare il segnale del generatore nel punto A tramite un resistore da 10 kW in serie ad un condensatore da 100 nF. Se la frequenza del disturbo è dello stesso ordine della frequenza di uscita del convertitore V/f o maggiore, il disturbo si manifesta come una disuniformità della pendenza della rampa dell’integratore (punto C) e come jitter degli impulsi all’uscita del monostabile (punto F). Se la frequenza del disturbo è ragionevolmente minore della frequenza di uscita del convertitore V/f, il disturbo si manifesta come una modulazione di frequenza. Procedere alla verifica sperimentale, al variare della frequenza del segnale interferente. Che cosa cambia al variare di Vx? Perché i convertitori tensione/frequenza “veri”, che si trovano su alcuni cataloghi di componenti, hanno una frequenza a fondo scala di 1–2 MHz e talvolta anche di più? 100 Capitolo 13 Esercitazione di misure sui risonatori Questa esercitazione prevede di misurare frequenza di risonanza, reattanze e fattore di merito per un risonatore con metodi sostanzialmente simili a quelli usati in radiofrequenza, anche se per ragioni di praticità si utilizzano frequenze basse, che permettono di ignorare il problema delle capacità e induttanze parassite. L’unica differenza di rilievo è che, nelle condizioni proposte, non è possibile usare capacità variabili; si deve pertanto agire unicamente sulla frequenza. 13.1 Risonanza Un primo schema di misura del risonatore è quello riportato in figura 13.1. Si calcoli, ammettendo che i componenti abbiano il valore nominale, la frequenza di risonanza. Figura 13.1 Primo schema di misura della risonanza. Si misuri Vg con il generatore a vuoto. Poi si colleghi il risonatore e si misuri VC regolando il generatore per la frequenza di risonanza. In queste condizioni è possibile misurare il Q del risonatore? Con lo schema di figura 13.1 il risonatore, quando è portato alla risonanza, mette il generatore “in cortocircuito” sulla resistenza interna dell’induttore Rs. Si osservi Vg all’oscilloscopio variando la frequenza del generatore attorno alla risonanza. 101 102 13 – Esercitazione di misure sui risonatori 13.2 Misure di fattore di merito, induttanze e capacità Si modifichi lo schema della misura come in figura 13.2; R1 può anche essere di valore più basso di quello indicato, 2.2 o 1 W. In queste condizioni quale è la resistenza equivalente del generatore visto dal risonatore? Quali sono vantaggi e svantaggi di un basso valore di R1? Figura 13.2 Riduzione dell’impedenza del generatore. Si osservi all’oscilloscopio la variazione di Vg e V0g variando la frequenza attorno alla risonanza. Sovratensione Si calcoli il Q del risonatore come coefficiente di sovratensione alla risonanza: Q = VC /Vg0 . Quale errore si commetterebbe se si misurasse Vg0 con il risonatore scollegato, o fuori risonanza? Gli errori introdotti trascurando l’impedenza di ingresso dell’oscilloscopio sono significativi? Quale valore dovrebbe avere tale impedenza per provocare un errore piccolo ma chiaramente visibile, per esempio dell’1%? Suggerimento: ricordare le equivalenze tra i modelli serie e parallelo. Larghezza di banda (ampiezza) Con lo schema di figura 13.2, si misuri la frequenza di risonanza avvalendosi delle due frequenze alle quali l’ampiezza dell’oscillazione è 3 dB minore della massima; si misurino le ampiezze con l’oscilloscopio e le frequenze con il contatore. La media delle due letture di frequenza dà la frequenza di risonanza. Con quale incertezza? La principale causa di incertezza è costituita dall’oscilloscopio o dal contatore? Ricordando la relazione Q = f0 /B, si calcoli Q. Quale è l’incertezza della misura? In queste condizioni sperimentali il risonatore risente ancora della resistenza del generatore. Dal valore di Q calcolato, si ricavi la resistenza serie complessiva. Quindi si calcoli Rs rimuovendo la resistenza equivalente del generatore (è sostanzialmente R1) e si ricalcoli Q. Si confronti questo nuovo valore con quello ricavato dalla sovratensione. §13.2 – Misure di fattore di merito, induttanze e capacità 103 Larghezza di banda (fase) Sempre con lo schema di figura 13.2, si misuri la frequenza di risonanza avvalendosi delle due frequenze alle quali la fase è ±45◦ ; si misurino le fasi con l’oscilloscopio e le frequenze con il contatore. La media delle due letture di frequenza dà la frequenza di risonanza. Con quale incertezza? La principale causa di incertezza è costituita dall’oscilloscopio o dal contatore? Ricordando la relazione Q = f0 /B, si calcoli Q. Quale è l’incertezza della misura? Procedendo come al punto precedente, si calcoli Rs e il Q del risonatore correggendo per la resistenza equivalente del generatore. Si confronti questo valore con quello ricavato dalla sovratensione. Smorzamento Una stima del Q del risonatore si può ottenere dalla risposta all’impulso. In pratica l’impulso può essere sostituito da un’onda quadra a frequenza molto più bassa di quella della risonanza e sottomultipla di ordine dispari. (Perché?) Si usi ancora lo schema di figura 13.2, sincronizzando l’oscilloscopio con l’onda quadra del generatore. È opportuno regolare la frequenza del generatore in modo che l’inviluppo della cisoide possa decadere (quasi) completamente durante il semiperiodo dell’onda quadra; cosı̀ al fronte successivo il circuito risonante può essere considerato a riposo. (In mancanza di idee su come procedere, si parta da 100–200 Hz). Inserire un resistore da 10 W in serie al risonatore e misurare il Q. Ricordando le relazioni di equivalenza tra i modelli serie e parallelo, calcolare il valore della resistenza che, inserita in parallelo a L (o a C), produca la stessa riduzione di Q osservata inserendo il resistore da 10 W. Verificare, ovviamente togliendo il resistore da 10 W. Misure di L e C Si calcoli il valore dell’induttanza L ammettendo che il condensatore abbia il valore nominale, e servendosi della misura della frequenza di risonanza. Se si conosce C con incertezza relativa del 10%, con quale incertezza si misura L? Si ripeta il calcolo ammettendo che C sia incognita e che L assuma il valore nominale, con incertezza del 5%. Misura di C per dierenza Nelle misure viste al punto precedente si è tacitamente ammesso che il circuito di prova sia ideale. Si supponga ora che nel circuito vi sia una capacità parassita1 verso massa di valore incognito, tale da rendere inaffidabile il valore letto sul condensatore. Disponendo di un condensatore di riferimento e assumendo che L abbia il valore nominale, si può ricavare C dalla differenza di frequenza di risonanza che si ha con e senza il condensatore di riferimento. Si provi utilizzando un condensatore da 1 nF. Con lo stesso metodo, facendo risuonare l’induttore a frequenza più alta, è possibile stimare la capacità di un cavo coassiale da 1 m. Ammettendo che la capacità di quest’ultimo sia di 80 pF, come deve essere modificato il circuito? 1 Nella realtà è assai improbabile che una capacità parassita sia significativa rispetto ad un condensatore da 10 nF. Dimenticando questa obiezione, si pensi comunque al metodo. 104 13 – Esercitazione di misure sui risonatori Schema del Q-metro Quale degli schemi visti è concettualmente più simile allo schema di un Q-metro a radiofrequenza? In che cosa consistono le differenze principali e perché un Q-metro “vero” funziona meglio dello schema proposto? Perché nel Q-metro si usa un amperometro in serie al generatore e non un voltmetro in parallelo? 13.3 Misure amperometriche Quando l’impedenza dello strumento con cui si misura la tensione non può essere considerata infinita, può essere utile uno schema del tipo indicato in figura 13.3. Quale resistenza vede il risonatore? Che cosa si dovrebbe fare per usare uno strumento con impedenza di ingresso di 50 W al posto dell’oscilloscopio? Si misuri il Q del risonatore come coefficiente di sovratensione, avvalendosi delle delle misure di V0g e V3. Figura 13.3 Schema con riduzione dell’impedenza del generatore e misura di tipo amperometrico. Ammettendo che i componenti reattivi abbiano il valore nominale, che i resistori abbiano un’incertezza del 5% e considerando l’incertezza dell’oscilloscopio, calcolare l’incertezza di misura del Q intrinseco del risonatore. Appendici L’appendice A 1 descrive sommariamente un generatore di segnali che è stato fatto costruire appositamente per le esercitazioni qui descritte. Tra gli apparati necessari, questo è l’unico che comporterebbe reali difficoltà qualora lo si volesse sostituire con altri. La costruzione di una cinquantina di esemplari è stata affidata ad una ditta privata (vedi pagina 110). Tale generatore può essere riprodotto anche da altri, senza necessità di autorizzazioni. Il voltmetro a valore di picco descritto in appendice A 2 può essere realizzato con facilità. Per le esercitazioni proposte, risulta migliore di altri apparati perché è adatta a funzionare a frequenze basse, consentendo di confrontare le misure con quelle degli altri voltmetri. L’appendice A 3 riporta il codici per leggere i valori dei componenti. L’appendica A 4 fornisce indicazioni sulle caratteristiche degli strumenti necessarie per le esercitazioni proposte, e notizie sulla reperibilità dei materiali consigliati. Per gli strumenti di uso generale, i riferimenti ad apparati commerciali sono solo indicativi, e non devono in alcun modo limitare la scelta fra quanto esiste sul mercato. 105 106 A1 Generatore di segnali Generatore di segnali Alimentazione k k k k DN Uscita A Uscita B Uscita C Uscita D UP Display Selezione forma d’onda Uso Il display indica il numero corrispondente alla forma d’onda, rappresentato con una singola cifra esadecimale (da 0 a F). Il numero, e quindi la forma d’onda, può essere cambiato agendo sui pulsanti UP (incrementa) e DN (decrementa); l’azione dei pulsanti è ciclica, a modulo 16. Alimentazione: simmetrica ±12..15 V (rosso +12, nero –12, verde massa). Attenzione: regolare l’alimentatore prima di collegare il generatore di segnali. Poi assicurarsi che l’alimentatore sia spento mentre si collegano i cavi. Le sezioni dell’alimentatore sono completamente indipendenti, e vanno collegate tra loro per formare la massa dell’alimentazione simmetrica. Il morsetto di terra dell’alimentatore è collegato alla terra dell’impianto elettrico, e non è collegato a massa. §A 1 – 107 Generatore di segnali Forme d’onda % £ £ £ % % %e % e A0 A1 A2 A3 B0 B1 B2 B3 A4 A5 A6 A7 B4 B5 B6 B7 £Z £ Z Z Z Z Z A8 B8 e e e 108 A2 Sonda voltmetrica di picco Sonda voltmetrica di picco 5% 10% 1% 5% 10% Incertezze 0.6 V . . . 5 V a 1 kHz 0.25 V . . . 10 V ” 400 Hz . . . 800 kHz (addizionale) 100 Hz . . . 400 Hz ” 40 Hz . . . 100 Hz ” √ Nota 1 La sonda contiene la costante strumentale 1/ 2, realizzata sfruttando la resistenza interna del voltmetro. Per segnali sinusoidali la lettura coincide con il valore efficace. Nota 2 Il campo di frequenza di impiego è assolutamente atipico rispetto ai voltmetri di picco. §A 3 A3 – Resistenze, condensatori ecc. 109 Resistenze, condensatori ecc. codice nero 0 marrone 1 rosso 2 arancio 3 giallo 4 verde 5 blu 6 viola 7 grigio 8 bianco 9 oro argento dei 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 colori 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 10−1 1% 2% 5% 10% Resistori Il valore è dato in ohm da tre fasce colorate come nella tabella soprastante, che rappresentano le due cifre e il moltiplicatore. La quarta fascia indica la tolleranza. I valori normalizzati della serie E12, per ogni decade, sono: 1, 1.2, 1.5, 1.8, 2.2, 2.7, 3.3, 3.9, 4.7, 5.6, 6.8, 8.2. Esempio: giallo, viola, arancio, oro corrisponde a 47 kW al 5%. Condensatori La capacità dei condensatori è spesso indicata in picofarad con un codice a tre cifre del tipo xyz dove x e y sono le cifre significative della capacità z è il moltiplicatore, da intendersi come ×10z . Esempio: 224 corrisponde a 22×104 pF, ovvero 220 nF. Il suffisso k, talvolta presente, indica che condensatore è ceramico (non si tratta di una moltiplicazione per 1000). La capacità può anche essere indicata in microfarad. Esempio, .01 indica 0.01 µF = 10 nF; si noti l’assenza dello zero prima del punto decimale. Diodi La fascetta solitamente indica il catodo (la corrente fluisce dall’anodo al catodo). È bene non fidarsi perchè alcuni diodi hanno l’indicazione al contrario; si provi la polarità con un multimetro e con un alimentatore di polarità nota. 110 A4 Strumenti e materiali Strumenti e materiali Alimentatori Per tutte le esercitazioni è necessario il “solito” alimentatore triplo da laboratorio, con almeno due delle sezioni regolabili orientativamente tra 0 e 20 V, con corrente massima di 1 A e con protezione di corrente regolabile. Apparati idonei: Topward TPS 4000, Philips PE 1542, e altri. Per le misure di impedenza interna dell’alimentatore è necessario un apparato di modeste prestazioni, anche a tensione fissa, con impedenza interna di almeno 20 mW; si può eventualmente usare un alimentatore modificato, inserendo all’interno un apposito resistore in serie all’uscita. Generatori di funzioni In commercio vi sono molti apparati idonei. Le caratteristiche essenziali sono: frequenza tra alcuni hertz e alcuni megahertz almeno, ampiezza regolabile fino ad almeno 5 Vpicco a vuoto, impedenza di uscita di 50 W, forme d’onda sinusoidale, triangolare e quadra. Oscilloscopi Per poter provare tutte le esperienze proposte è necessario un oscilloscopio a doppia traccia, con una banda di almeno 20 MHz. Apparati idonei: Iwatsu SS7606, e altri. Contatori di frequenza Nelle esercitazioni proposte si fa un uso marginale del contatore di frequenza. Per l’esercitazione sui voltmetri in continua il contatore deve offrire la possibilità di misure di intervallo di tempo (start/stop). Amplificatori Possono essere usati amplificatori per bassa frequenza destinati a impianti stereofonici o a strumenti musicali, con potenza di una decina di watt o più su 4–8 W. Al Politecnico, sede di Torino, sono stati acquistati dei Marantz PM230 e dei Thema GT15. Generatore di segnali Il generatore descritto nell’appendice A 1 è stato progettato appositamente per uso didattico. Il progetto, dell’autore, è pubblico, e pertanto può essere riprodotto senza necessità di autorizzazioni. La costruzione degli esemplari finora disponibili è stata affidata ad una ditta privata. Chi fosse interessato può contattare il sig. Roberto Romano, v. Pier Lombardo 51, Lumellogno (Novara), tf/fx 0321-469029; oppure il sig. Taglietti, v. Leopardi 9, Tavernerio (Como), tf 031-427076, fx 420303). Voltmetri Per l’esercitazione sui voltmetri in alternata è necessario disporre di un voltmetro analogico a valore medio (Simpson 270, ICE 680R o altri), di un voltmetro a vero valore efficace (Hewlett Pachard 34401, Philips PM2618X, o altri) e di un voltmetro a valore di picco adatto a funzionare a frequenze di 500 Hz e inferiori. Vista la difficoltà di reperire in commercio sonde idonee, è stata costruita la sonda voltmetrica descritta nell’appendice A 2; vale quanto detto per il generatore di segnali. Induttori Gli induttori utilizzati per le esercitazioni sui risonatori e sulle misure di potenza non sono reperibili in commercio; gli esemplari disponibili, fatti costruire appositamente, presentano un’induttanza di 4.5 mH e una resistenza in continua attorno a 6 W e sono realizzati su nucleo a olla del diametro di 19 mm. Chi fosse interessato può contattare la ditta Traspec, v. dell’Industria 6 Arignano (Torino), tf 011-9462356/7, fx 9462351. Lampadine Le lampadine utilizzate per l’esercitazione di misure di potenza hanno le seguenti caratteristiche nominali: 28 V, 40 mA. Tra le scelte possibili, vale la pena di considerare quelle distribuite dalla RS Elettronica di Milano (art. 577-522 sul catalogo 1993), che hanno i terminali costituiti da fili rigidi, e pertanto sono adatte all’uso su basette per montaggi. Componenti particolari I componenti REF01 e SW06, usati per le esercitazioni sui voltmetri in continua, sono prodotti dalla Analog Devices e distribuiti (anche) da La Tecnikadue, strada Arrivore 31, Torino, tf 011-2425905, fx 2425940.