Sistemi con ritardo

Sistemi con ritardo
Appunti di Controlli Automatici
Versione 1.0
Ing. Alessandro Pisano
SOMMARIO
1. Introduzione
2. Funzioni di trasferimento di sistemi con ritardo
3. Stabilità a ciclo chiuso di sistemi con ritardo
3.1 Ritardo puro
3.2 Sistemi elementari del primo e secondo ordine con ritardo
4. Calcolo del guadagno critico e del ritardo critico
5. Modellazione e analisi di un sistema di miscelazione acqua
calda acqua fredda
(3)
(4)
(8)
(8)
(13)
(16)
(18)
2
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Sistemi con ritardo
1. Introduzione
Nello studio dei sistemi dinamici spesso si assume che la FdT sia una funzione razionale fratta
(cioè, un rapporto di polinomi nella variabile “s” di Laplace). Questa modalità di rappresentazione
è valida solo per sistemi che rispondono istantaneamente alle variazioni della variabile di ingresso.
Una tipica risposta di un sistema senza ritardo è riportata nella figura 1.
u(t)
t0
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬଴ା ሻ ≠ 0
y(t)
t0
Figura 1 - Sistema istantaneo
In molti casi pratici tale ipotesi di “istantaneità” non è verificata e sono presenti ritardi finiti.
Esempio 1.
Si consideri un tratto di tubazione di lunghezza L . In corrispondenza della sezione SIN posta sul
lato sinistro viene immessa una portata q(t) di un certo fluido, che si propaga nella tubazione con
velocità costante V.
SIN
SOUT
u(t)
y(t)
q(t)
q(t-δ)
Figura 2 - Sezione di tubazione
Se si considerano come variabile di ingresso u(t) la portata q(t) immessa alla sezione di ingresso SIN
e come variabile di uscita y(t) la portata misurata all’istante t nella sezione di uscita SOUT, si ricava
facilmente come l’uscita dipenda dalla portata in ingresso attraverso un legame (statico) che
coinvolge un ritardo temporale δ
3
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‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ݍ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ݍ‬ሺ‫ ݐ‬− δሻ
(1)
δ=
௅
(2)
௏
Il ritardo temporale δ dipende ovviamente sia dalla lunghezza L della tubazione che dalla velocità
di transito del fluido.
Nella figura 3 analizziamo un possibile segnale di ingresso e la relativa uscita. L’uscita riproduce,
con un ritardo temporale δ, il medesimo profilo dell’ingresso.
q(t)
t
y(t)
δ
δ
t
Figura 3 - Possibile andamento dell'ingresso e dell'uscita per il sistema dell'Esempio 1
Il ritardo δ è il tempo che si deve attendere affinché una variazione dell’ingresso si manifesti in
una corrispondente variazione dell’uscita. Vediamo se è possibile dare una rappresentazione di
un legame dinamico che coinvolga un ritardo per mezzo di una FdT.
2. Funzioni di trasferimento di sistemi con ritardo
Per caratterizzare in termini di FdT sistemi dinamici con ritardi finiti si impiega il Teorema di
traslazione nel tempo, una della proprietà notevoli della Trasformata di Laplace (TdL).
Teorema di traslazione nel dominio del tempo della TdL
Sia X(s) la TdL del segnale x(t):
L(x(t)) = X(s)
(3)
La Trasformata di Laplace del segnale ritardato x(t-δ), dove δ è un ritardo costante, vale
L(x(t-δ)) = X(s)݁ ିδ ௦
(4)
Applicando tale teorema al legame I/O dell’Esempio 1 si può determinarne la FdT associata.
Si ha:
4
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ܷሺ‫ݏ‬ሻ = ܳሺ‫ݏ‬ሻ
ܻሺ‫ݏ‬ሻ = ܳሺ‫ݏ‬ሻ݁
(5)
ିδ ௦
(6)
e pertanto, ricordando come la FdT sia, per definizione, il rapporto tra le TdL dell’uscita e
dell’ingresso, si avrà
ܹሺ‫ݏ‬ሻ =
௒ሺ௦ሻ
௎ሺ௦ሻ
=
ொሺ௦ሻ௘ షδೞ
ொሺ௦ሻ
= ݁ ିδ ௦
(7)
La FdT individuata nella (7) è una funzione trascendente , e contiene il termine esponenziale
complesso tipico dei sistemi con ritardo.
Più in generale, la FdT di un sistema SISO con ritardo viene espresso nella forma seguente
ܹሺ‫ݏ‬ሻ =
஻ሺ௦ሻ
஺ሺ௦ሻ
݁ ିδ ௦
(8)
dove B(s) ed A(s) sono polinomi razionali ed il parametro positivo δ viene detto ritardo del
sistema.
Si noti che la rappresentazione (8), con il termine esponenziale ݁ ିδ ௦ che moltiplica la FdT
razionale fratta
஻ሺ௦ሻ
஺ሺ௦ሻ
, è solo un caso particolare di FdT associate a sistemi con ritardo, caso che
peraltro copre una vasta casistica di interesse applicativo.
Legami I/O di carattere piu generale rispetto al semplice legame (2) portano a FdT di forma più
complessa.
Ad esempio, il legame dinamico ‫ݕ‬ሶ ሺ‫ݐ‬ሻ + ‫ݕ‬ሺ‫ ݐ‬− ߜሻ = ‫ݍ‬ሺ‫ ݐ‬− δሻ viene trasformato con Laplace nella
ሶ ሻܻሺ‫ݏ‬ሻ = ݁ ିδ௦ ܳሺ‫ݏ‬ሻ e conduce, come è facile verificare, alla seguente FdT
forma seguente ሺ‫ ݏ‬+ ݁ ିδ௦
che non può essere ricondotta nella forma di rappresentazione (8).
ܹሺ‫ݏ‬ሻ =
௒ሺ௦ሻ
௎ሺ௦ሻ
=
௘ షδೞ
௦ା௘ షδೞ
Peraltro, come si è detto, la rappresentazione (8) è sufficientemente generale da coprire molti casi
di interesse applicativo e quindi il nostro studio si concentrerà su tale classe di sistemi.
Esempio 2 - Laminatoio
Si consideri un impianto di laminazione, schematizzato nella Figura 4 . L’obbiettivo del controllo è
quello di regolare lo spessore di un laminato agendo sulla distanza tra i cilindri del laminatoio. La
distanza verticale h tra i cilindri viene variata per mezzo di un motore elettrico accoppiato ad un
opportuno riduttore.
5
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Set-point +
Regolatore
Amplificatore
Riduttore
−
Motore
Misuratore di
spessore
y
Cilindro 1
•
h
Laminato
V
•
Cilindro 2
d
Figura 4 - Schema di principio di un laminatoio
Con riferimento alla Figura 4 individuiamo gli elementi costituenti il sistema. Il laminato scorre da
destra verso sinistra con velocità costante V. Per motivi pratici, il trasduttore che misura lo
spessore dovrà essere posizionato ad una certa distanza d dai cilindri del laminatoio.
Il trasduttore di misura rileva lo spessore y del laminato, e ne trasduce il valore in un segnale
elettrico. Tale segnale viene confrontato in un nodo di comparazione con il valore di set-point, ed
il risultante segnale di errore viene elaborato da blocco regolatore. L’uscita del blocco regolatore
deve pilotare il motore, e a tal fine è necessario interporre un opportuno amplificatore di potenza
in grado di interfacciarsi direttamente con gli avvolgimenti del motore.
Il legame tra l’uscita del sistema, y(t), e l’ingresso h(t) è descritto dalla seguente relazione
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ℎሺ‫ ݐ‬− ߜሻ
ߜ=
ௗ
௏
(9)
Sulla base di quanto detto in precedenza ciò significa che la FdT W(s) tra lo spessore del laminato e
la distanza tra i cilindri è data da
೏
ܹሺ‫ݏ‬ሻ = ܻሺ‫ݏ‬ሻ/‫ܪ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ݁ ିቀೇቁ௦
(10)
Si può quindi costruire uno schema a blocchi equivalente come quello in Figura 5
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Set-point
+
Regolatore
Amplificatore
Riduttore
h
y
ܹሺ‫ݏ‬ሻ
−
Motore
Figura 5 – Rappresentazione del laminatoio mediante schema a blocchi
Esempio 3 – Scambiatore di calore
Consideriamo uno scambiatore di calore a fasci tubieri per la produzione di acqua calda.
All’interno dei fasci tubieri viene immessa acqua fredda. I fasci tubieri vengono investiti da vapore
ad alta temperatura che trasferisce energia termica al fluido che scorre al loro interno. All’uscita
dello scambiatore troviamo pertanto acqua calda (oltre che, ovviamente, il vapore condensato). Si
faccia riferimento alla seguente Figura 6.
Set-point
I/P
Regolatore
Acqua
fredda
Convertitore
Corrente/Pressione
Vapore ad alta
temperatura
−
+
T
p
Servovalvola
pneumatica
Acqua
calda
T
Sensore di
temperatura
Condensa
Figura 6 – Schema di principio di uno scambiatore di calore
La portata del vapore in ingresso viene modulata per mezzo di una servovalvola pneumatica di
regolazione, che è pertanto l’organo attuatore dell’azione di controllo. La servo valvola è asservita
ad un sistema di controllo in retroazione basato sulla misura della temperatura T dell’acqua
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all’uscita dello scambiatore. Il segnale di controllo per la servo valvola viene generato da un
opportuno convertitore corrente/pressione, che converte il segnale elettrico in uscita dal
regolatore (che supponiamo essere un segnale in corrente nel range 4÷20 mA) in un segnale di
pressione “p” che si interfaccia direttamente con il posizionatore della servo valvola (un range
tipico per i segnali di pressione utilizzati nei sistemi di controllo in tecnologia pneumatica è 3÷15
Psi). La grandezza di uscita è pertanto la temperatura T dell’acqua all’uscita dello scambiatore, una
quantità che si desidera regolare ad un valore costante.
Fra il punto in cui viene misurata la temperatura ed il punto in cui si esercita l’azione di controllo vi
è un ritardo finito che dipende sia dalla velocità di transito dell’acqua nei fasci tubieri che dalla
lunghezza e geometria degli stessi. Si ha pertanto un ritardo finito tra l’istante in cui una modifica
della variabile di ingresso (la portata di vapore in ingresso) si manifesta in una modifica della
variabile di uscita (la temperatura T). Aumentando la lunghezza dei fasci tubieri, o riducendo la
velocità di transito dell’acqua all’interno dello scambiatore, tale ritardo aumenta.
Analizziamo qualitativamente le dinamiche principali che concorrono nel fenomeno di scambio
termico controllato che avviene nel sistema seguendo i vali legami di causa-effetto conseguenti ad
una variazione del segnale di controllo “p” della servo valvola.
A fronte di una variazione del segnale di controllo della servo valvola si produce una variazione
della portata del vapore che transita nella servo valvola. Tale variazione avviene secondo la
dinamica propria della servo valvola, e dipende anche dalle condizioni termodinamiche (pressione,
temperatura,..) del vapore a monte e a valle della valvola.
La variazione della portata del vapore induce un transitorio di adeguamento della temperatura
nella regione esterna ai fasci tubieri che viene investita dal vapore ad alta temperatura.
Si ha quindi la dinamica dello scambio termico tra l’esterno e l’interno dei fasci tubieri.
In ultimo, si ha il transito del fluido fino al condotto di uscita in cui viene misurata la temperatura
3. Stabilità a ciclo chiuso di sistemi con ritardo
3.1
Ritardo puro
Gli esempi precedenti mostrano come la presenza di ritardi finiti nei sistemi di controllo sia un
fenomeno rilevante. Abbiamo anche visto come i ritardi finiti si prestino ad una rappresentazione
nel dominio della Trasformata di Laplace basata su fattori esponenziali del tipo ݁ ିఋ௦ , dove δ
rappresenta il valore del ritardo (espresso in secondi).
Analizziamo le caratteristiche della risposta armonica di una FdT puramente esponenziale
‫ܩ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ݁ ିఋ௦
(11)
Ricordiamo che una FdT esponenziale del tipo (11) definisce un legame I/O nella forma di un
ritardo temporale puro (v. Fig 7).
8
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x(t)
݁ ିఋ௦
y(t)
y(t) = x (t-δ)
Figura 7 - Schema a blocchi di un ritardo puro
La funzione di risposta armonica vale
‫ܩ‬ሺ݆ωሻ = ݁ ି௝ωఋ
(12)
Dalla identità
‫ܩ‬ሺ݆ωሻ = ‫ܯ‬ሺ߱ሻ݁ ௝ఝሺఠሻ = ݁ ି௝ωఋ
(13)
si ricavano le espressioni del modulo e della fase della ‫ܩ‬ሺ݆ωሻ:
‫ܯ‬ሺ߱ሻ = 1
߮ሺ߱ሻ = −ωߜ
(14)
La FdT esponenziale (12) ha una funzione di risposta armonica in cui il valore dei moduli è unitario
su tutte le frequenze mentre è presente uno sfasamento in ritardo che cresce linearmente
all’aumentare della frequenza. La pendenza negativa della retta ߮ሺ߱ሻ è proprio il ritardo δ.
Le relazioni (13) e (14) ci dicono che, con riferimento alla Figura 7, una sinusoide x(t) di ampiezza
unitaria e pulsazione ω in ingresso al blocco G(s) da luogo, in uscita, ad una sinusoide della
medesima frequenza, di ampiezza unitaria, sfasata in ritardo rispetto all’ingresso di un angolo ωδ.
Ciò è ovvio se si considera il legame ingresso uscita y(t)=x(t-δ), che implica come la riposta y(t)
all’ingresso x(t)=sin(ωt) sia y(t)= x(t-δ)=sin(ωt-ωδ).
I diagrammi di Bode della Funzione di risposta armonica ‫ܩ‬ሺ݆ωሻ sono riportati a seguire
MdB(ω)=20log10(M(ω))
log(ω)
ϕ(ω)
log(ω)
Figura 8 - Diagrammi di risposta armonica del termine esponenziale
9
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Per quanto concerne il diagramma delle fasi si osservi che l’andamento esponenziale decrescente
è dovuto al fatto che l’asse delle ascisse è graduato in termini del log(ω). Un grafico equivalente,
ma con l’asse delle ascisse graduato sulla frequenza ω e non sul suo logaritmo, vedrebbe un
diagramma delle fasi con andamento rettilineo decrescente (con pendenza negativa ߜ , in accordo
con la seconda delle (14)). E’ utile confrontare i diagrammi delle fasi in corrispondenza di due
diversi valori del ritardo. Si considerino i valori δ1 e δ2, con δ1>δ2 e si faccia riferimento alla figura
seguente.
ϕ(ω)
log(ω)
ߜଶ
ߜଵ
ߜଵ > ߜଶ
Figura 8 - Diagrammi delle fasi per diversi valori del ritardo
Osserviamo come ad una data frequenza il valore del ritardo δ determini un maggiore o minore
sfasamento in ritardo del corrispondente diagramma degli sfasamenti.
I ritardi di fase hanno notoriamente effetti deleteri sulle proprietà di stabilità degli schemi a ciclo
chiuso. Investighiamo ora le proprietà di stabilità a ciclo chiuso di sistemi contenenti dei ritardi.
Iniziamo dal caso più semplice di un sistema in retroazione con funzione di trasferimento di ciclo
aperto ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ݇݁ ିఋ௦ . Consideriamo per semplicità un sistema di controllo a retroazione unitaria.
x(t) +
k
݁ ିఋ௦
y(t)
−
Figura 9 – Sistema a ciclo chiuso
Il legame ingresso-uscita a ciclo chiuso è:
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ + ݇ ‫ݕ‬ሺ‫ ݐ‬− ߜሻ = ݇ ‫ݔ‬ሺ‫ ݐ‬− ߜሻ
(15)
Si desidera investigare le proprietà di stabilità del sistema a ciclo chiuso, descritto dalla funzione di
trasferimento
௒ሺ௦ሻ
௞௘ షഃೞ
ܹሺ‫ݏ‬ሻ = ௑ሺ௦ሻ = ଵା௞௘ షഃೞ
(16)
10
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Il polinomio caratteristico ܲ௖௔௥ ሺ‫ݏ‬ሻ = 1 + ݇݁ ିఋ௦ è una funzione trascendente che ne complica
l’analisi. Utilizziamo il criterio di stabilità di Nyquist, la cui validità copre anche sistemi dinamici
affetti da ritardi finiti.
La funzione di risposta armonica a ciclo aperto è ‫ܨ‬ሺ݆߱ሻ = ݇݁ ି௝ఋఠ .
La figura seguente riporta il diagramma di Nyquist completo per la ‫ܨ‬ሺ݆߱ሻ, che “parte”, a
frequenza ω=0, dal punto di coordinate (k,0) e coincide con la circonferenza centrata nell’origine
di raggio k, che viene percorsa infinite volte (in senso orario per valori crescenti della frequenza).
Nell’analisi secondo il criterio di Nyquist la variazione del guadagno k può essere messa in conto
come una “traslazione orizzontale” del punto critico. Averlo disegnato in Figura 10 alla sinistra del
punto (–k,0), intersezione del diagramma con il semiasse reale negativo, significa avere
implicitamente assunto, nel tracciare il diagramma, che k < 1. In tale condizione il punto critico
non viene circondato dal diagramma e pertanto il sistema a ciclo chiuso è stabile. Se invece k>1 il
punto critico si trova alla destra del punto (–k,0), e quindi all’interno della circonferenza
individuata dal diagramma di Nyquist. Pertanto il sistema a ciclo chiuso è instabile se k>1. Quando
k=1 il diagramma passa per il punto critico, e quindi siamo in condizione di limite di stabilità per il
sistema a ciclo chiuso.
Im(F(jω))
Punto critico
-k
•
-1+j0
k
Re(F(jω))
Punto di partenza
Figura 10 – Diagramma di Nyquist della FdT a ciclo aperto
L’analisi con il criterio di Nyquist ci dice quindi che il sistema a ciclo chiuso è:
-
Stabile se k < 1
instabile se k > 1
al limite di stabilità se k=1
Le proprietà di stabilità a ciclo chiuso della semplice FdT in esame ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ݇݁ ିఋ௦ dipendono quindi
soltanto dal valore del guadagno d’anello e non dal particolare valore del ritardo. Le cose
cambieranno quando andremo a considerare FdT piu complesse, per le quali il valore del ritardo è
invece determinante ai fini della determinazione delle proprietà di stabilità a ciclo chiuso.
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Verifichiamo i risultati ottenuti simulando il sistema in Figura 9 con un ingresso x(t) a gradino
unitario, un valore del ritardo pari a ࢾ = ૙. ૚࢙, e, in successione, con tre diversi valori del
guadagno k (rif. File “ritardo_puro.mdl”).
Per k=1 il sistema presenta come atteso una oscillazione permanente. Per k=0.5 l’uscita tende al
valore di regime k/(1+k), calcolabile applicando il teorema del valore finale. Per k = 1.1 l’uscita
diverge. Si vedano i corrispondenti grafici nelle tre figure seguenti.
Uscita a ciclo chiuso con k=1
Uscita a ciclo chiuso con k=0.5
Uscita a ciclo chiuso con k=1.1
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3.2
Sistemi elementari del primo e secondo ordine con ritardo
Ora analizziamo la stabilità a ciclo chiuso di sistemi più complessi.
Tratteremo in successione i tre casi seguenti
‫ܣ‬: ‫ܨ‬ଵ ሺ‫ݏ‬ሻ =
݇
݁ ିఋ௦
1 + ߬‫ݏ‬
‫ܤ‬: ‫ܨ‬ଶ ሺ‫ݏ‬ሻ =
݇ ିఋ௦
݁
‫ݏ‬
‫ܥ‬: ‫ܨ‬ଷ ሺ‫ݏ‬ሻ =
݇
݁ ିఋ௦
‫ݏ‬ሺ1 + ߬‫ݏ‬ሻ
dove τ è una costante di tempo positiva.
A.
௞
‫ܨ‬ଵ ሺ‫ݏ‬ሻ = ଵାఛ௦ ݁ ିఋ௦
Analizziamo preliminarmente le proprietà di stabilita a ciclo chiuso per la Fdt senza il ritardo.
௞
La FdT ‫ܨ‬ଵᇱ ሺ‫ݏ‬ሻ = ଵାఛ௦ ha un diagramma di Nyquist che, limitatamente alle frequenza positive, è
interamente contenuto nel IV° quadrante (v. Figura 11-(a)). Ciò dipende dal fatto che la fase di
‫ܨ‬ଵᇱ ሺ݆߱ሻ è sempre compresa tra 0 e -90°. Il diagramma parte per ω=0 dal punto (k,0), e converge
all’origine per ω→∞ con un andamento simile a quello riportato nella Figura 11-(a).
Quindi, la FdT senza il ritardo da luogo ad un sistema che, a ciclo chiuso, è sempre stabile
qualunque sia il valore di k. Questa è una proprietà facilmente verificabile analizzando luogo delle
௞
radici della ‫ܨ‬ଵᇱ ሺ‫ݏ‬ሻ = ଵାఛ௦ .
Le cose cambiano quando si include la presenza del ritardo δ. Nella figura 11-(b) si riportano due
possibili andamenti per i diagrammi di Nyquist della Fଵ ሺsሻ =
୩
ଵାதୱ
eିஔୱ , in corrispondenza di due
diversi valori δ1 e δ2 del ritardo, con δ1 < δ2 . Si nota come i diagrammi delle FdT con ritardo hanno
un andamento sostanzialmente differente in quanto la fase non è più compresa tra 0 e -90° a
causa del ritardo di fase, crescente con ω, introdotto dal ritardo.
11-(a)
11-(b)
ߜଵ < ߜଶ
•
(-1,0)
k
k
•
(-1,0)
ߜଶ
Figura 11 – Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo ۴૚ᇱ ሺ‫ܛ‬ሻ =
‫ܓ‬
૚ାૌ‫ܛ‬
ߜଵ
e con ritardo ۴૚ ሺ‫ܛ‬ሻ =
‫ܓ‬
૚ାૌ‫ܛ‬
‫ܛ઼ି܍‬
I diagrammi convergono all’origine con un movimento rotatorio. In particolare, in presenza del
ritardo i diagrammi ora intersecano il semiasse reale negativo, e ciò significa che, fissato uno
specifico valore del ritardo δ, vi sarà un kcr= kcr(δ) tale che valori superiori ad esso
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destabilizzeranno il sistema a ciclo chiuso. Questo risultato si mostra facilmente applicando il
criterio di stabilità di Nyquist.
Con riferimento al comportamento a ciclo chiuso si ha quindi,
-
Sistema stabile se k < kcr(δ)
Sistema instabile se k > kcr(δ)
Sistema al limite di stabilità se k= kcr(δ)
Il valore kcr sarà sempre maggiore di uno, perche se k è inferiore all’unità il diagramma di Nyquist
non potrà mai uscire dalla circonferenza di raggio unitario (k è difatti il valore massimo del modulo
della FdT).
Analizziamo cosa succede tenendo costante k e facendo variare il ritardo δ . Fissato k, al crescere
del ritardo δ il punto di intersezione con il semiasse reale negativo si sposta verso sinistra. Tale
punto di intersezione non potrà però mai andare alla sinistra del punto (-k,j0) perché come detto il
modulo della FdT Fଵ ሺsሻ non può mai eccedere il valore k e quindi nessun punto del diagramma di
Nyquist può avere una distanza dall’origine superiore a k.
Quindi, il ritardo potrà destabilizzare il sistema soltanto quando quest’ultimo ha un guadagno in
catena aperta k > 1. Infatti, se k > 1 il punto (-k,j0) giace alla sinistra del punto critico (-1,j0).
Pertanto, con k > 1, quando il ritardo eccede una certa soglia δcr= δcr(k) il punto di intersezione si
sarà spostato alla sinistra del punto critico (-1,j0), destabilizzando quindi il sistema a ciclo chiuso
sulla base del criterio di stabilità di Nyquist.
Con riferimento al comportamento a ciclo chiuso si ha pertanto,
- Sistema sempre stabile se k ≤ 1
- Fissato k > 1:
o Sistema stabile se δ < δcr
o Sistema instabile se δ > δcr
o Sistema al limite di stabilità se δ = δcr
Si faccia riferimento al file “F1.mdl”, che simula il sistema a ciclo chiuso con ߬ = 1‫ݏ‬. Si può
verificare mediante simulazione come ponendo k=2 si ottiene un δcr pari a 1.21s circa. Si riporta a
seguire lo schema Simulink.
1
y(t)
2
1
s+1
Gain 3
Transfer Fcn
Transport
Delay
14
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‫ܤ‬: ‫ܨ‬ଶ ሺ‫ݏ‬ሻ =
݇ ିఋ௦
݁
‫ݏ‬
L’analisi della stabilità a ciclo chiuso della
FdT ‫ܨ‬ଶ ሺ‫ݏ‬ሻ viene condotta in maniera simile al
precedente caso A. La FdT senza ritardo Fଶᇱ ሺsሻ =
୩
ୱ
ha un diagramma di Nyquist completo come
quello riportato nella Figura 12-(a), nel quale viene evidenziata anche la “richiusura” all’infinito.
Poiché il diagramma completo in Figura 12-(a) non circonda il punto critico (-1,j0) si può
concludere che il relativo sistema a ciclo chiuso è sempre stabile comunque si scelga k > 0.
L’introduzione del ritardo provoca la comparsa di un movimento rotatorio simile a quella visto
nell’esempio precedente ( v. Figura 12-(b)).
12-(b)
12-(a)
ω=0−
ω=-∞
ω=∞
•
(-1,0)
•
(-1,0)
ω=∞
ߜଵ
ω=0+
ߜଶ
Figura 12 – Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo ۴૛ᇱ ሺ‫ܛ‬ሻ =
ߜଵ < ߜଶ
ω=0+
‫ܓ‬
‫ܛ‬
‫ܓ‬
e con ritardo ۴૛ ሺ‫ܛ‬ሻ = ‫ܛ઼ି܍‬
‫ܛ‬
La presenza di un punto di intersezione con l’asse reale negativo significa che fissato uno specifico
valore del ritardo δ, vi sarà un kcr= kcr(δ) tale che valori superiori ad esso destabilizzeranno il
sistema a ciclo chiuso. A differenza dall’esempio precedente, non si può più affermare con
certezza che kcr è maggiore di 1.
Poiché inoltre al crescere del ritardo δ il punto di intersezione con il semiasse reale negativo si
sposta verso sinistra, vi sarà come prima anche un δcr= δcr(k). Nel caso in esame un ritardo
sufficientemente elevato sarà sempre destabilizzante, qualunque sia il valore di k (non più, come
nel caso A, solo quando si aveva k>1).
‫ܥ‬: ‫ܨ‬ଷ ሺ‫ݏ‬ሻ =
݇
݁ ିఋ௦
‫ݏ‬ሺ1 + ߬‫ݏ‬ሻ
௞
La Figura 13-(a) riporta il diagramma di Nyquist completo della FdT senza ritardo ‫ܨ‬ଷᇱ ሺ‫ݏ‬ሻ = ௦ሺଵାఛ௦ሻ ,
che mostra come il relativo sistema a ciclo chiuso è sempre stabile comunque si scelga k > 0. Nel
15
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medesimo diagramma possiamo leggere graficamente il valore del margine di fase mϕ
individuando il punto di intersezione P tra il diagramma e la circonferenza di raggio unitario
centrata nell’origine e valutando l’angolo mϕ che la congiungente PO individua con l’asse reale
negativo. L’analisi del diagramma della FdT con il ritardo (Fig. 13-(b)) vede ancora la presenza delle
“rotazioni” nel percorso verso l’origine, e del punto di intersezione con l’asse reale negativo. Il
sistema a ciclo chiuso con ritardo viene quindi destabilizzato sia da guadagni k troppo elevati che,
qualunque sia k anche eventualmente <1, da ritardi δ troppo elevati.
ω=0−
13-(b)
13-(a)
ߜଵ < ߜଶ
ߜଶ
(-1,j0)
•
O
ω=∞
•
(-1,0)
ω=∞
mϕ
P
ߜଵ
(0,-j)
ω=0+
ω=0+
Figura 13 – Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo
௞
௦ሺଵାఛ௦ሻ
݇
‫ܨ‬′3ሺ‫ݏ‬ሻ = ‫ݏ‬൫1+߬‫ݏ‬
൯
e con ritardo
‫ܨ‬ଷ ሺ‫ݏ‬ሻ =
݁ ିఋ௦
4. Calcolo del guadagno critico e del ritardo critico
Vediamo ora una semplice procedura per ricavare per via grafica i valori di kcr e di δcr. Sia
‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ݇‫ ܨ‬ᇱ ሺ‫ݏ‬ሻ݁ ିఋ௦
(17)
Fissato un valore per δ, vediamo come si determina il guadagno critico kcr. Si tracciano i diagrammi
di Bode della funzione ‫ ܨ‬ᇱ ሺ‫ݏ‬ሻ݁ ିఋ௦ e si deve valutarne il margine di guadagno MgdB in decibel.
Graficamente si deve individuare la pulsazione ωcr (“pulsazione critica”) alla quale la fase vale 180° ed il corrispondente valore in dB del modulo, cambiato di segno, è il margine di guadagno (v.
Figura 14)
Una volta determinato il margine di guadagno, il guadagno critico vale
16
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݇௖௥ = 10ெ೒೏ಳ /ଶ଴
(18)
MdB(ω)=20log10(M(ω))
ωt
log(ω)
MgdB
ϕ(ω)
ωcr
log(ω)
mϕ
−180°
Figura 14 – Valutazione grafica del margine di guadagno e del margine di fase
Fissato un valore per k vediamo ora come si determina il ritardo critico δcr.
Si deve stavolta determinare il margine di fase della funzione ݇‫ ܨ‬ᇱ ሺ‫ݏ‬ሻ. Graficamente, dopo averne
tracciato i diagrammi di Bode si deve individuare la pulsazione ωt
(“pulsazione di
∗
attraversamento”) alla quale il modulo in dB vale zero e valutare lo sfasamento ߮ = ߮ሺ߱௧ ሻ a tale
pulsazione. Il margine di fase è pari a (v.figura 14)
݉ఝ = 180 + ߮ ∗
Dal margine di fase ݉ఝ della FdT
(19)
݇‫ ܨ‬ᇱ ሺ‫ݏ‬ሻ , e dal valore della associata pulsazione di
attraversamento ωt è possibile risalire facilmente al valore del ritardo critico, che vale
δcr= mϕ/ωt
(20)
Giustifichiamo la semplice formula (20). Il ritardo finito non altera il valore dei moduli e introduce
uno sfasamento in ritardo variabile con la frequenza di valore ߮ሺ߱ሻ = −ωߜ (v. (14)). Alla
frequenza di attraversamento ωt il termine di ritardo introduce pertanto uno sfasamento pari a
−߱௧ ߜ . La condizione che deve essere rispettata per il mantenimento della stabilità è che il ritardo
di fase introdotto alla frequenza ωt non ecceda, in modulo, il margine di fase. Si deve
17
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naturalmente aver cura che il margine di fase e lo sfasamento in ritardo ߱௧ ߜ siano espressi in una
unita di misura (radianti o gradi) per poter effettuare la divisione (20).
5. Modellazione e analisi di un sistema di miscelazione acqua calda acqua
fredda
Esempio 4 – Miscelatore acqua calda-acqua fredda
Consideriamo un sistema di miscelazione di acqua calda e acqua fredda che consenta di ottenere
acqua miscelata a una certa temperatura di riferimento (set-point). Si faccia riferimento alla Figura
15.
[Set-point]
I/P
௣௦௜
‫݌‬௥௘௚
௠஺
݉௥௘௚
௠஺
ܶௗ௘௦
Regolatore
+
− ܶ ௠஺
௠௜௦
Convertitore
Corrente/Pressione
Acqua calda
Sensore di
temperatura
Servovalvola
pneumatica
Acqua
miscelata
Acqua fredda
d
Figura 15 – Schema di principio di un miscelatore acqua calda acqua fredda
Il sistema non è molto dissimile dallo scambiatore del precedente esempio 3.
Descriviamo nel dettaglio tutte le componenti del sistema ricavando anche opportune equazioni di
funzionamento che ci consentano di costruire un modello Simulink e simulare il funzionamento del
miscelatore.
18
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A. Un trasduttore di temperatura, che ipotizziamo avere un range di misura lineare tra 20÷60°C,
e uscita in corrente 4÷20 mA. La dinamica del sensore è trascurabile rispetto agli altri
௠஺
componenti del sistema di controllo. Il sensore di temperatura fornisce una uscita ܶ௠௜௦
pari a
4 mA quando la temperatura ܶ° nel punto di misura è pari a 20°, e fornisce una uscita pari a
20 mA quando la temperatura ܶ° nel punto di misura è pari a 60°. Quindi la caratteristica del
sensore nel suo campo di funzionamento lineare può essere cosi rappresentata:
௠஺
ܶ௠௜௦
= 4 ݉‫ ܣ‬+ ‫ ்ܭ‬ሺܶ° − 20°‫ܥ‬ሻ
‫= ்ܭ‬
ሺଶ଴ିସሻ ௠஺
ሺ଺଴ିଶ଴ሻ °஼
= 0.4
௠஺
°஼
(21)
௠஺
Nella equazione precedente ܶ௠௜௦
è il valore di uscita in mA fornito dal sensore, ܶ° è la
temperatura dell’acqua nel punto di misura in °C, e KT è il guadagno del sensore.
B.
Un circuito elettrico che genera il set-point. Il set-point deve poter essere confrontato con
௠஺
il segnale di misura ܶ௠௜௦
, e deve pertanto essere un segnale in corrente nel range 4÷20 mA che è
il range del segnale di misura prodotto dal sensore di temperatura.
°
il valore desiderato in gradi per la temperatura nel punto di misura, il segnale di setEssendo ܶௗ௘௦
௠஺
point, che chiamiamo ܶௗ௘௦
, sarà generato in base alla seguente relazione, che riproduce la
caratteristica di misura del sensore di temperatura
௠஺
°
ܶௗ௘௦
= 4 ݉‫ ܣ‬+ ‫ ்ܭ‬൫ܶௗ௘௦
− 20°‫ܥ‬൯
‫ = ்ܭ‬0.4
௠஺
°஼
(22)
C.
Un regolatore di tipo proporzionale con quadagno kP . E’ un dispositivo che deve produrre
in uscita una corrente proporzionale alla differenza tra due correnti in ingresso secondo la
relazione
௠஺
௠஺
௠஺
݉௥௘௚
= 12݉‫ ܣ‬+ ‫ܭ‬௣ ൫ܶௗ௘௦
− ܶ௠௜௦
൯
(23)
Il valore del bias nella (23), posto pari a 12 mA, è scelto alla metà del range consentito 4÷20 mA
௠஺
per il segnale ݉௥௘௚
in modo da massimizzare il range di funzionamento lineare del sistema di
௠஺
௠஺
௠஺
controllo per valori positivi e negativi dell’errore ܶௗ௘௦
− ܶ௠௜௦
(se ݉௥௘௚
superasse il valore di 20
mA o scendesse sotto i 4mA l’attuatore andrebbe difatti in “saturazione”).
௠஺
D.
Un convertitore corrente/pressione che deve convertire il segnale in corrente ݉௥௘௚
prodotto dal regolatore in un segnale di tipo pneumatico che possa direttamente pilotare la
servovalvola pneumatica di regolazione.
Un range operativo comune per le servovalvole pneumatiche è 3÷15 psi. Ricordiamo che
1 psi ≅ 0.06 Atm
15 psi ≅ 1.02 Atm
19
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Il convertitore I/P “modula” pertanto la pressione in un circuito pneumatico connesso ad una rete
di distribuzione di aria compressa, che deve pertanto essere disponibile. Il convertitore I/P deve
௠஺
“mappare” il segnale ݉௥௘௚
in un segnale in pressione equivalente nel range 3÷15 psi. Il foglio di
specifica del convertitore suggerisce inoltre di tenere conto di una dinamica del primo ordine con
௣௦௜
una costante di tempo ߬ூ/௉ = 0.7 ‫ݏ‬. Definiamo una variabile ausiliaria ‫݌‬ଵ௥௘௚ che gestisca la parte
௣௦௜
“statica” della conversione I/P (eq. (24)) e generiamo il segnale di pressione effettivo ‫݌‬௥௘௚ in
uscita dal convertitore filtrando la variabile ausiliaria con un filtro passa-basso a guadagno unitario
e costante di tempo ߬ூ/௉ (eq. (25))
௣௦௜
௠஺
‫݌‬ଵ௥௘௚ = 3 ‫ ݅ݏ݌‬+ ‫ܭ‬ூ/௉ ൫݉௥௘௚
− 4 ݉‫ܣ‬൯
௣௦௜
௣௦௜
‫ܭ‬ூ/௉ =
௣௦௜
߬ூ/௉ ‫݌‬ሶ௥௘௚ + ‫݌‬௥௘௚ = ‫݌‬ଵ௥௘௚
ሺଶ଴ିସሻ ௠஺
ሺଵହିଷሻ ௣௦௜
= 0.75
௠஺
௣௦௜
(24)
(25)
Le equazioni (24) e (25) si realizzano in termini di schemi a blocchi come riportato in Figura 16.
4
݉‫ܣ‬
݉‫݃݁ݎ‬
3
−
+
‫݅ݏ݌‬
‫݌‬1‫݃݁ݎ‬
‫ܫܭ‬/ܲ
1
1 + ߬‫ܫ‬/ܲ ‫ݏ‬
+
‫݅ݏ݌‬
‫݌‬1‫݃݁ݎ‬
+
‫݅ݏ݌‬
‫݃ ݁ݎ݌‬
Figura 16 – Schema a blocchi per il convertitore I/P
E.
Una servovalvola pneumatica che con un ingresso nel range 3÷15 psi compia l’intera
corsa. Il foglio di specifica della servovalvola ne riporta la costante di tempo ߬௏ .
௣௦௜
Si deve modellare il legame dinamico tra il segnale di pressione in ingresso alla valvola, ‫݌‬௥௘௚ , e la
temperatura dell’acqua nel punto di misura ܶ° . La costante di tempo ߬௏ che modella la risposta
dinamica della servovalvola è da considerarsi dominante rispetto alle costanti di tempo proprie dei
transitori termici di miscelazione. Quindi la temperatura dell’acqua nel punto di miscelazione
௣௦௜
௢
ܶ௠௜௦௖
dipenderà dal segnale di pressione ‫݌‬௥௘௚
secondo una FdT del primo ordine avente come
costante di tempo la costante di tempo ߬௏ della valvola. Per determinarne il guadagno ‫ܭ‬௏ si deve
fare qualche ipotesi e qualche ragionamento.
20
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௢
Osserviamo preliminarmente che il legame tra ܶ° e ܶ௠௜௦௖
sarà con buona approssimazione un
ritardo puro δ, proporzionale alla distanza d tra il punti di miscelazione e il punti di misura ed
inversamente proporzionale alla velocità di transito dell’acqua nella tubazione:
௢
ሺ‫ ݐ‬− δሻ
ܶ°ሺ‫ݐ‬ሻ = ܶ௠௜௦௖
(26)
Ora ritorniamo al problema della determinazione del guadagno ࡷࢂ . Ipotizziamo che la
temperatura della acqua fredda sia di 20°C. Ciò implica che con la valvola completamente chiusa
௣௦௜
௢
(‫݌‬௥௘௚
= 3 ‫ )݅ݏ݌‬il valore di regime per ܶ௠௜௦௖
sarà pari a 20°C.
௣௦௜
௢
Ipotizziamo anche che con la valvola tutta aperta (‫݌‬௥௘௚
= 15 ‫ )݅ݏ݌‬il valore di regime per ܶ௠௜௦௖
sia
pari a 60°C. Le relative equazioni di funzionamento sono implementate nello schema riportato
nella Figura seguente:
20
+
3
‫݅ݏ݌‬
‫݃݁ݎ݌‬
+
−
‫ܸܭ‬
1 + ܸ߬ ‫ݏ‬
20
‫݋‬
ܶ݉݅‫ܿݏ‬
+
݁ −ߜ‫ݏ‬
+ ܶ‫݋‬
ܶ ‫ ݋‬− 20
‫݋‬
ܶ݉݅‫ܿݏ‬
− 20
Figura 17 – Schema a blocchi per la servovalvola
௣௦௜
Nello schema in Figura 17 il guadagno KV è tale da garantire che quando ‫݌‬௥௘௚ = 15 ‫ )݅ݏ݌‬il valore di
௣௦௜
௢
௢
regime per ܶ௠௜௦௖
sia pari a 60°C. Il valore di regime per ܶ௠௜௦௖
quando ‫݌‬௥௘௚ è pari a 15 ‫ ݅ݏ݌‬vale
20+KV (15−3). Affinché tale valore sia pari a 60°C, il guadagno KV deve valere
‫ܭ‬௏ =
଺଴ିଶ଴ °஼
ଵହିଷ ௣௦௜
= 3.33
°஼
௣௦௜
(27)
Implementando mediante schemi a blocchi tutte le equazioni ricavate finora si ottiene lo Schema
Simulink riportato nella pagina seguente (file “miscelatore.mdl”). Si riporta il file
“miscelatore_dati.m “ che contiene le assegnazioni per i parametri.
% TRASDUTTORE DI TEMPERATURA
K_T=0.4;
% REGOLATORE PROPORZIONALE
Kp=5;
% CONVERTITORE CORRENTE PRESSIONE
K_IP=0.75;
tau_IP=0.7;
% VALVOLA
K_V=3.33333;
tau_V=3;
%RITARDO
delta=0.5; % il valore del ritardo e’ scelto a caso
21
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1
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T_mis^mA
T_mis^mA
4
K_T
Guadagno sensore
di temperatura
K_IP
3
Convertitore /P
I
1
tau_IP.s+1
p_reg^psi
3
Servovalvola
3.3333
3s+1
“miscelatore_dati.m“
Regolatore
Kp
4
p_reg^psi
20
Ritardo finito
“miscelatore.mdl”
Conversione del
riferimento
4+K_T*(u-20)
T_des^mA
12
p_1reg^psi
Files
3s+1
Riferimento
Filtro del
riferimento
T°_des
m_reg^mA
20
Schema SIMULINK
22
T°-20°C
T°
T°
T°_misc
Esplicitiamo la funzione di trasferimento a ciclo aperto
௄೅೅ ௄೛ೃಶಸ ఓ಺ು ఓೇ
‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ‫ ܨ‬ᇱ ሺ‫ݏ‬ሻ݁ ି௧బ௦ = ሺଵାఛ
಺ು ௦ሻሺଵାఛ಺ು ௦ሻ
ହ
݁ ିఋ௦ = ሺଵା଴.଻௦ሻሺଵାଷ௦ሻ ݁ ିఋ௦
(28)
ହ
‫ ܨ‬ᇱ ሺ‫ݏ‬ሻ = ሺଵା଴.଻௦ሻሺଵାଷ௦ሻ
%
%
%
%
(29)
ANALISI DEL SISTEMA MISCELATORE
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO A CICLO APERTO
F(s)=F'(s) e^(-delta s)
NUMERATORE E DENOMINATORE DELLA FdT F'(s)
num_Fprimo=Kp*K_IP*K_V*K_T;
den_Fprimo=conv([tau_V 1],[tau_IP 1]);
Fprimo=tf(num_Fprimo,den_Fprimo);
% CALCOLO DEI MARGINI DI STABILITA’
margin(Fprimo),grid
L’istruzione margin produce il seguente diagramma, in cui vengono anche restituiti i valori della
pulsazione di attraversamento e del margine di fase
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 64.7 deg (at 1.22 rad/sec)
20
0
Magnitude (dB)
-20
-40
-60
-80
0
-45
Phase (deg)
-90
-135
-180
-2
10
-1
0
10
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 18. Diagrammi di risposta armonica della FdT a ciclo aperto.
23
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‫ܗܜܖ܍ܕ܉ܛܚ܍ܞ܉ܚܜܜ܉ ܑ܌ ܍ܖܗܑܢ܉ܛܔܝܘ‬
߱௧ = 1.22 ‫݀ܽݎ‬/‫ܿ݁ݏ‬
‫܍ܛ܉܎ ܑ܌ ܍ܖܑ܏ܚ܉ܕ‬
݉ఝ = 64.7° = 1.129 ‫݀ܽݎ‬
Applicando la relazione (20) è possibile determinare il ritardo critico
ߜ௖௥ =
ఠ೟
௠ക
=ଵ.ଵଶଽ
= 0.9254 ‫ݏ‬
ଵ.ଶଶ
(30)
Nella Figura 19 sono riportati i diagrammi di modulo e fase della funzione di risposta armonica
‫ܨ‬ሺ݆߱ሻ per tre diversi valori del ritardo: δ=0, δ=δ1=0.5 s , e δ=δ2=1s. Si può notare come in
corrispondenza della pulsazione di attraversamento ߱௧ la curva nera (δ=0) e la curva rossa
(δ=0.5) stiano sopra la retta a -180°, mentre la curva blu (δ=1) sta al di sotto a indicare come il
sistema a ciclo chiuso sia instabile.
Diagramma dei moduli
20
0
-20
-40 -2
10
0
10
-1
10
0
10
1
Diagramma delle fasi con δ=0 (curva nera), δ=0.5 secondi (curva rossa), e δ=1 s (curva blu)
-200
-400
-600
-800 -2
10
10
-1
10
0
10
1
Omega [rad/sec]
Figura 19 Diagrammi di modulo e fase della FdT ۴ሺ‫ܛ‬ሻ per diversi valori del ritardo
La sequenza di istruzioni Matlab che genera la Figura 19 è riportata nel seguito:
delta1=0.5;
delta2=1;
W=logspace(-2,1,200);
[MAG,PHASE,W] = BODE(Fprimo,W);
PHASE_rit1=PHASE(:,:)'-W.*((delta1*360)/(2*pi));
PHASE_rit2=PHASE(:,:)'-W.*((delta2*360)/(2*pi));
figure(2)
24
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subplot(2,1,1)
semilogx(W,20*log10(MAG(:,:))),grid,title('Diagramma dei moduli'),
subplot(2,1,2)
semilogx(W,PHASE(:,:),'k',W,PHASE_rit1,'r',W,PHASE_rit2,'b'),
grid,title('Diagramma delle fasi con \delta=0 (curva nera), \delta
= 0.5 secondi (curva rossa) e \delta= 1 s(curva blu)'),
xlabel('Omega [rad/sec]')
Il sistema a ciclo chiuso con kp = 5 è stabile per valori del ritardo inferiori al ߜ௖௥ (30), ed instabile
°
per valori di δ superiori. Nei test è stato impiegato il seguente set-point di riferimento ܶௗ௘௦
,
espresso in gradi centigradi, per la temperatura dell’acqua miscelata.
°
Figura 20. il seguente segnale di riferimento ‫ܛ܍܌܂‬
Nella Figura 21 sono riportati i grafici della temperatura T° nel punto di misura e il grafico della
௣௦௜
pressione di comando ‫݌‬௥௘௚
della servovalvola nel caso di assenza di ritardo, δ=0. L’uscita mostra
un transitorio aperiodico, mentre la pressione di comando presenza un debole comportamento
oscillatorio.
‫ܑܛܘ‬
Figura 21. Grafici della temperatura T° nel punto di misura (a sinistra) e della pressione di comando ‫ ܏܍ܚܘ‬della
servovalvola (destra) quando δ=0.
25
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Si noti come sia presente un errore a regime (il sistema di controllo è di tipo 0). Si noti anche come
la pressione di comando si porta a un primo valore di regime di poco superiore a 5 psi e
successivamente, a fronte dell’incremento della temperatura richiesta, si porta ad un nuovo valore
di regime di poco inferiore a 8 psi per incrementare la portata di acqua calda. La Figura 22 mostra i
medesimi grafici ma con un ritardo δ=0.5, che èun valore inferiore al ritardo critico.
௣௦௜
Figura 22. Grafici della temperatura T° nel punto di misura (a sinistra) e della pressione di comando ‫݌‬௥௘௚
della servovalvola (destra) nel caso di ritardo δ=0.5
Ora anche l’uscita ha un transitorio oscillatorio, e le oscillazioni della pressione di comando sono di
ampiezza più elevata rispetto alla curva in Figura 21, chiaro sintomo del fatto che il margine di fase
è diminuito (lo smorzamento del modo dominante diminuisce al decrescere del margine di fase).
Come ultimo test il valore del ritardo è stato posto pari ad 1, un valore superiore al ritardo critico
che infatti, come si evince dalla figura 23, destabilizza il sistema a ciclo chiuso.
Figura 23. Grafico della temperatura T° nel punto di misura nel caso di ritardo δ=1
26
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Abbreviazioni
FdT
TdL
I/O
SISO
Funzione di trasferimento
Trasformata di Laplace
Ingresso-Uscita
Single-Input-Single-Output
27
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