Esercizio 1. Soluzione

Esercizio 1.
Calcolare l’ampiezza della zona di carica spaziale di un diodo a giunzione
p–n simmetrico all’equilibrio termico.
Dati del dispositivo:
• lungezza = 1µm
• drogaggio ND = NA = 1023 m−3
Soluzione
• Definiamo la griglia di calcolo ed i parametri fisici del dispositivo
% Device definiton
load constants
lunghezza = 1e-6;
Nnodi = 100;
x = linspace(0,lunghezza,Nnodi)’;
xm = mean(x);
Nd=1e23;
Na=1e23;
nn = (Nd + sqrt(Nd^2+4*ni^2))/2;
pp = (Na + sqrt(Na^2+4*ni^2))/2;
xn = xm-1e-7;
xp = xm+1e-7;
D = Nd * (x<xm) - Na * (x>=xm);
n = nn * (x<xn) + (ni^2)/pp * (x>=xn);
p = (ni^2)/nn * (x<xp) + pp * (x>=xp);
Fn = 0*x;
Fp = 0*x;
V = (Fp - Vth * log(p/ni));
• Portiamo i dati in forma adimensionale, effetuiam cioè il seguente cambio
di variabili:
vogliamo risolvere l’equazione
−(εV 0 )0 + q (n − p − D) = 0
con
n = ni exp
1
V − Fn
Vth
e
p = ni exp
Fp − V
Vth
e
D = ND − NA
poniamo:
x
b = x/x
n
b = n/n
pb = p/n
x
b = D/D
Vb = V /V
cn = Fn /V − ln ni
F
n
n
cp = Fp /V + ln i
F
n
e dividiamo entrambi i membri dell’equazione per q, otteniamo:
b =0
−(λ2 Vb 0 )0 + n
b − pb − D
dove
λ2 =
Vε
q · n · x2
% Scaling
xs =
ns =
Din =
Vs =
xin
nin
pin
Vin
Fnin
Fpin
lunghezza;
norm(D,inf);
D/ns;
Vth;
= x/xs;
= n/ns;
= p/ns;
= V/Vs;
= (Fn - Vs * log(ni/ns))/Vs;
= (Fp + Vs * log(ni/ns))/Vs;
l2
= (Vs*esi)/(q*ns*xs^2);
2
% Solution of Nonlinear Poisson equation
% Algorithm parameters
toll = 1e-10;
maxit = 1000;
verbose = 2;
[V,n,p,res,niter] = DDGnlpoisson (xin,Vin,nin,...
pin,Fnin,Fpin,Din,l2,toll,maxit,verbose);
% Descaling
n
= n*ns;
p
= p*ns;
V
= V*Vs;
% Space charge zone
rho = abs((p-n)+D);
zcs = find(rho>=.33*Na);
Xn = xm - x(zcs(1))
Xp = x(zcs(end)) - xm
Vbi = V(1)-V(end);
Xnt = sqrt(2 * esi * Vbi * Na /(q * Nd * (Nd + Na)))
Xnt = sqrt(2 * esi * Vbi * Nd /(q * Na * (Nd + Na)))
Esercizio 2.
Calcolare la tensione di inversione di un condesatore MOS.
Dati del dispositivo:
• lungezza bulk = 1.5µm
• drogaggio del bulk NA = 1021 m−3
• spessore dell’ossido 90nm
% Device definiton
load constants
tbulk = 1.5e-6;
tox
= 90e-9;
lunghezza = tbulk + tox;
Nnodi = 300;
Nelementi = Nnodi - 1;
x = linspace(0,lunghezza,Nnodi)’;
3
sinodes = find(x<=tbulk);
Nsinodes = length(sinodes);
NelementiSi = Nsinodes-1;
Na=1e21;
D = - Na* ones(Nsinodes,1);
pp = Na ;
p = pp* ones(Nsinodes,1);
n = (ni^2)./p;
Fn = 0*n;
Fp = 0*n;
Vg = 0;
while((max(n)<Na)&(Vg<2))
Vg = Vg + 0.01
V = -Phims + Vg * ones(Nnodi,1);
V(sinodes) = Fn + Vth*log(n/ni);
% Scaling
xs =
ns =
Din =
Vs =
xin
nin
pin
Vin
Fnin
Fpin
lunghezza;
norm(D,inf);
D/ns;
Vth;
= x/xs;
= n/ns;
= p/ns;
= V/Vs;
= (Fn - Vs * log(ni/ns))/Vs;
= (Fp + Vs * log(ni/ns))/Vs;
l2
= (Vs*esio2)/(q*ns*xs^2)* ones(Nelementi,1);
l2(1:NelementiSi)
= (Vs*esi)/(q*ns*xs^2);
% Solution of Nonlinear Poisson equation
% Algorithm parameters
toll = 1e-10;
4
maxit = 1000;
verbose = 2;
[V,nout,p,res,niter] = DDGnlpoisson (xin,sinodes,Vin,nin,...
pin,Fnin,Fpin,Din,l2,toll,maxit,verbose);
% Descaling
n
= nout*ns;
p
= p*ns;
V
= V*Vs;
end
Esercizio 3. Tracciare un grafico della caratteristica C–V del dispositivo del
punto precedente per tensioni di soglia −3V ≤ Vg ≤ 5V
% Device definiton
load constants
tbulk= 1.5e-6;
tox = 90e-9;
lunghezza = tbulk + tox;
cox = esio2/tox;
Nnodi = 1000;
Nelementi = Nnodi - 1;
x = linspace(0,lunghezza,Nnodi)’;
sinodes = find(x<=tbulk);
Nsinodes = length(sinodes);
5
NelementiSi = Nsinodes-1;
Na=1e21;
D = - Na* ones(Nsinodes,1);
pp = Na ;
p = pp* ones(Nsinodes,1);
n = (ni^2)./p;
Fn = 0*n;
Fp = 0*n;
Vg = -3;
Nv = 80;
for ii=1:Nv
Vg = Vg + 0.1
vvect(ii) = Vg;
V = 0.4 + Vg * ones(Nnodi,1);
V(sinodes) = Fn + Vth*log(n/ni);
% Scaling
xs =
ns =
Din =
Vs =
xin
nin
pin
Vin
Fnin
Fpin
lunghezza;
norm(D,inf);
D/ns;
Vth;
= x/xs;
= n/ns;
= p/ns;
= V/Vs;
= (Fn - Vs * log(ni/ns))/Vs;
= (Fp + Vs * log(ni/ns))/Vs;
l2
= (Vs*esio2)/(q*ns*xs^2)* ones(Nelementi,1);
l2(1:NelementiSi)
= (Vs*esi)/(q*ns*xs^2);
% Solution of Nonlinear Poisson equation
% Algorithm parameters
toll = 1e-10;
6
maxit = 1000;
verbose = 2;
[V,nout,pout,res,niter] = DDGnlpoisson (xin,sinodes,Vin,nin,...
pin,Fnin,Fpin,Din,l2,toll,maxit,verbose);
% Descaling
n
= nout*ns;
p
= pout*ns;
V
= V*Vs;
nm
pm
Dm
xm
=
=
=
=
(n(2:end)+n(1:end-1))/2;
(p(2:end)+p(1:end-1))/2;
(D(2:end)+D(1:end-1))/2;
diff(x(sinodes));
qtot(ii) = q*sum(((pm-nm)+Dm).*xm);
E(:,ii)=-diff(V)./diff(x);
qtot2(ii)=esio2*E(end,ii);
end
vvectm = (vvect(2:end)+vvect(1:end-1))/2;
figure(1)
C = -diff(qtot)./diff(vvect);
plot(vvectm,C)
hold on
C2 = -diff(qtot2)./diff(vvect);
plot(vvectm,C2,’r’)
hold on
plot(vvectm,cox*ones(size(vvectm)),’k’)
7
8