Ubicazione degli impianti industriali

Metodi
Metodidi
diubicazione
ubicazionedegli
degliimpianti
impiantiindustriali
industriali
Ubicazione degli impianti
industriali
Tipi di scelta da affrontare
Macroscelta
Determinare l’area geografica
nella quale posizionare
l’impianto
Microscelta
Rappresenta l’aspetto topografico,
cioè dove installare l’impianto
all’interno dell’area geografica
prescelta
1
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Fattori che intervengono nella scelta
Pianificazione territoriale
relativa ai piani regolatori provinciali che definiscono le
zone di insediamento industriale
Costi delle aree fabbricabili
realizzazione dei fabbricati
e
costi
di
Struttura del mercato
può essere diffuso o localizzato; ciò influenza i costi di
distribuzione del prodotto
Materie prime
sia dal punto di vista del costo che della facilità di
2
reperimento
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Costo dei trasporti
sono tanto più rilevanti quanto più poveri sono i
materiali trasportati
Manodopera
sia dal punto di vista dei costi che della reperimento di
operatori con competenze specialistiche
Energia
oggigiorno non è un fattore molto importante in quanto
non vi sono problemi di reperimento
Impatto ambientale
è il fattore più importante ed è legato a fattori sociali e
3
politici
Metodi
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Metodi di valutazione delle scelte
Fattori che influenzano la scelta
Quantitativi: tutti i fattori ai quali è possibile
attribuire un valore
Qualitativi: tutti gli altri
Metodi a punteggio
Metodi che fanno riferimento ai costi totali
Metodi che fanno riferimento ai costi di
trasporto
4
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Metodo a punteggio
Procedimento
Si determinano i fattori determinanti per la valutazione
delle diverse alternative
1) Si assegnano dei pesi normalizzati ad ognuno dei
fattori (somma pesi = 100)
2) Per ognuna delle diverse soluzioni, si assegna una
valutazione relativamente ad ogni fattore
3) Si moltiplicano i pesi per le valutazioni, e si sommano
i risultati per ciascuna soluzione
4) La soluzione preferibile è quella che ottiene il
punteggio più elevato
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Esempio
Osservazioni
Il metodo è veloce e di facile applicazione
Permette di identificare rapidamente le soluzioni
palesemente inefficienti
La scelta tra due o più soluzioni equivalenti va
successivamente effettuata con metodi più raffinati
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Metodo basato sui costi totali
Consiste in una valutazione approssimativa fatta sui
costi di investimento e sui costi annui di esercizio.
Esempio
Osservazione
Nel caso in cui i costi di investimento e quelli di esercizio
diano risultati contrastanti, si deve procedere all’analisi
dei flussi di cassa attualizzati.
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COSTI PROPORZIONALI ALLE DISTANZE
• Formulazione generale del problema
dell’allocazione di un impianto
– i costi preponderanti sono quelli di trasporto
– occorre individuare le distanze tra il punto incognito di
ubicazione e i punti generici da servire o da cui ci si
serve
• costi proporzionali alle distanze rettangolari
• costi proporzionali alle distanze euclidee
• costi proporzionali alle distanze euclidee al quadrato
– il punto di ubicazione risulta dalla minimizzazione di una
funzione costo che è la somma dei prodotti di un peso
per le distanze percorse
– il peso è il prodotto del numero di viaggi che si prevede
debbano essere effettuati in un determinato periodo ed
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il costo chilometrico.
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FORMULAZIONE ANALITICA GENERALE DEL PROBLEMA
• Pi = m punti noti (i=1,…,m);
• X (x,y) = punto incognito di ubicazione del nuovo impianto;
• d (X,Pi) = distanza percorsa per ogni viaggio da X a Pi ;
• ci = costo per unità di percorso;
• ni = numero viaggi all’anno tra X e Pi;
wi = ci ⋅ ni
COSTO TOTALE ANNUO DEI TRASPORTI:
m
Pesi: dipendono
dal tipo e dalla
frequenza dei
trasporti
f ( X ) = ∑ wi ⋅ d ( X , Pi )
i =1
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OBIETTIVO
Determinare X*(x*,y*) per il quale f(X*) = min f(X)
euclidea
Pi(ai,bi)
La distanza d( X,Pi )
può essere:
rettangolare
X(x,y)
1. Distanza euclidea (rettilinea):
d ( X , Pi ) =
(x − ai )2 + ( y − bi )2
Applicazione: • problemi trasporti aerei
• tracciati di pipelines
10
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2. Distanza rettangolare
d ( X , Pi ) = x − ai + y − bi
Applicazione: • ubicazione di macchine
• spostamento di personale all’interno di un edificio
• traffico aree urbane
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3. Problema baricentrico
(gravity problem o distanza euclidea al quadrato)
m
[
f ( X ) = ∑ wi ( x − ai ) + ( y − bi )
i =1
2
2
]
Esempio in cui il costo non è una semplice funzione lineare della
distanza.
Applicazione: • risposta al fuco di un autocarro dei pompieri
In questo caso carco di bilanciare le distanze,
in modo da minimizzare il tempo di intervento;
non è detto che la soluzione sia quella che
minimizza la funzione costo totale di trasporto.
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UBICAZIONE OTTIMALE CON COSTI
PROPORZIONALI ALLE DISTANZE RETTANGOLARI
Problema : minimizzare
m
f ( x, y ) = ∑ wi ( x − ai + y − bi ) = f1 ( x ) + f 2 ( y )
i =1
Separando le variabili si ha:
m
m
i =1
i =1
min f ( x, y ) = min ∑ wi x − ai + min ∑ wi y − bi =
= min f1 ( x) + min f 2 ( y )
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1. Si riportano i punti noti sul diagramma e si costruisce il reticolato:
y
(s,t)
dq
ds+1
ds
di
(i,j)
d1
0
c1
cj
ct
ct+1
cp
x
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Siano:
cj = coordinata x della verticale j-ima ( j=1,..,p )
Cj =
(∑ w) = somma pesi dei punti sulla j-ima verticale
di = coordinata y della orizzontale i-ima ( i=1,…,q )
Di =
(∑ w) = somma pesi dei punti sulla i-ima orizzontale
La funzione di costo risulta così espressa:
p
q
j =1
i =1
f ( x, y ) = ∑ C j x − c j + ∑ Di y − d i
Con: c1<c2<…<cp
d1<d2<…<dq
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Si considerano i punti (x,y) della regione [s,t] tali che:
ct ≤ x < ct +1
e
d s ≤ y < d s +1
La funzione di costo assume la forma:
t
f ( x, y ) = ∑ C j (x − c j ) +
j =1
p
∑ C (c
j
j = t +1
s
j
− x ) + ∑ Di ( y − d i ) +
i =1
= M t ⋅ x + N s ⋅ y + Cst
t
Dove:
Mt = ∑Cj −
j =1
s
N s = ∑ Di −
i =1
p
∑C
j
j =t +1
q
q
∑ D (d
i
i = s +1
i
− y) =
In questo modo
ho eliminato il
valore assoluto
∑D
i
i = s +1
Cst = Somma dei restanti termini noti
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Linea isocosto: Luogo dei punti (x,y) in cui f(x,y) = cost.
f ( x, y ) = M t ⋅ x + N s ⋅ y + C st = K
K − Cst
Mt
y=−
⋅x+
Ns
Ns
La linea isocosto all’interno del rettangolo di
analisi è una retta di coefficiente angolare:
Mt
S st = −
Ns
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Devo trovare il punto di ottimo
min f (x,y)
f ( x, y ) = ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( y ) + Cst
Con:
ϕ1 ( x ) = M t ⋅ x
ϕ2 ( y ) = N s ⋅ y
Quindi sarà:
min ϕ1 ( x )
min ϕ 2 ( y )
dϕ1
= Mt = 0
dx
dϕ 2
= Ns = 0
dy
(1)
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N.B: In realtà Mt e Ns non sono funzioni continue
poiché sono la somma dei contributi dei pesi.
Non posso utilizzare la condizione (1) ma
devo valutare graficamente l’andamento
delle funzioni φ1 e φ2 dentro e fuori la
porzione considerata.
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Mt > 0
x* = ct
ct
a) Mt-1 < 0
Mt = 0
ct < x* <ct+1
ct
Ns > 0
ds
y* = ds
Ns = 0
ds
ds < y* <ds+1
b) Ns-1 < 0
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In conclusione il punto (xott,yott) di minimo per f(x,y) soddisfa
uno dei seguenti uno dei seguenti 4 casi:
1.
2.
Mt-1 < 0
Mt > 0
x*= ct
Ns-1 < 0
Ns > 0
y* = ds
Mt-1 < 0
Mt = 0
ct < x* <ct+1
Ns-1 < 0
Ns > 0
y* = ds
ds
ct
ds
ct
ct+1
21
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3.
4.
Mt-1 < 0
Mt > 0
x* = ct
Ns-1 < 0
Ns = 0
ds < y* <ds+1
Mt-1 < 0
Mt = 0
ct < x* <ct+1
Ns-1 < 0
Ns = 0
ds < y* <ds+1
ds+1
ct
ds
ds+1
ct
ct+1
ds
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• CONDIZIONI MEDIANE:
Mt > 0
t
p
t
∑C − ∑C
j
j =1
j
∑C
≥0
j =1
j =t +1
t
Sommo mam
∑C
j =1
j
j
≥
p
∑C
j
j =t +1
t
p
m
j =1
j =1
i =1
2∑ C j ≥ ∑ C j = ∑ wi
p
Da cui si ha:
1 m
C j ≥ ∑ wi
∑
2 i =1
j =1
Analogamente
q
Ns > 0
1 m
Di ≥ ∑ wi
∑
2 i =1
i =1
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NB: La determinazione delle coordinate ottime xott e yott è
indipendente, non è necessario determinare tutti gli
Mt e gli Ns. Infatti vale:
t +1
M t +1 = ∑ C j −
j =1
p
t
∑C = ∑C
j
j =t + 2
j =1
j
+ Ct +1 −
p
∑C
j = t +1
j
+ Ct +1
M t +1 = M t + 2Ct +1
Analogamente:
N s +1 = N s + 2 Ds +1
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UBICAZIONE OTTIMALE CON COSTI PROPORZIONALI
ALLA DISTANZA EUCLIDEA AL QUADRATO
Problema : minimizzare
m
[
f ( x, y ) = ∑ wi (x − ai ) + ( y − bi )
i =1
2
2
]
Le condizioni da soddisfare sono:
 ∂f (x, y ) 
 ∂x  x = x* = 0

 y = y*
 ∂f (x, y ) 
 ∂y  x = x* = 0

 y = y*
25
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Sviluppando le derivate parziali si ottiene:
m
m
 ∂f 
*
w
2
x
=
⋅
− ∑ wi ⋅ 2ai = 0


∑
i
 ∂x
i =1
  x = x* i =1

m
m


f
∂
*
 
w
2
y
=∑ i⋅
− ∑ wi ⋅ 2bi = 0


 ∂y  y = y* i =1
i =1

Da cui:
x* =
m
m
∑wa
i i
i =1
m
∑w
i
i =1
;
y* =
∑wb
i i
i =1
m
(x*,y*) possono essere
considerate le medie
pesate delle coordinate
dei punti Pi, per cui tale
soluzione è anche detta
baricentro.
∑w
i
i =1
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DETERMINAZIONE DELLE LINEE ISOCOSTO
m
[
]
f ( x, y ) = ∑ wi ( x − ai ) + ( y − bi ) =
i =1
Sviluppando si ottiene:
2
2
(x − x ) + (y − y )
* 2
* 2
costante
=r
2
Equazione di una circonferenza di centro (x*,y*) e di raggio r :
2
2
m
2
k
w
a
w
b
+
*
*
i i
r=
+ x + y −∑ i i
W
W
i =1
( ) ( )
m
Con:
W = ∑ wi
i =1
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UBICAZIONE OTTIMALE CON COSTI PROPORZIONALI
ALLA DISTANZA EUCLIDEA o RETTILINEA
Problema : minimizzare
m
f ( x, y ) = ∑ wi
i =1
(x − ai ) + ( y − bi )
2
2
Le condizioni da soddisfare sono:
 ∂f (x, y ) 
 ∂x  x = x* = 0

 y = y*
 ∂f (x, y ) 
 ∂y  x = x* = 0

 y = y*
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Sviluppando le derivate parziali si ottiene:
m
 ∂f 
=∑
 ∂x 
  x = x* i =1

m


f
∂
 
=∑


 ∂y 
i =1
y = y*

wi ( x − ai )
(x − ai )2 + ( y − bi )2
wi ( y − bi )
2
2
(x − ai ) + ( y − bi )
=0
=0
Queste relazioni sono valide solo per (x,y) ≠ (ai,bi) con i = 1,…,m.
Quando il punto ottimale coincide con uno dei punti noti Pi, le formule
precedenti non possono essere utilizzate.
Approccio alle derivate parziali modificato di Kuhn
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Approccio alle Derivate Parziali Modificato di Kuhn
Si utilizza la funzione R(x,y) definita nel piano (x,y)
1. Se (x,y) ≠ (ai,bi) per i =1,…,m
 ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) 

R( x, y ) = 
,
∂y 
 ∂x
2. Se (x,y )= (aK,bK) per k =1,…,m con wK peso di PK
 uk − wk

uk − wk
⋅ sk ,
⋅ t k 

R( x, y ) = R(ak , bk ) =  uk
uk


(0,0 )
se uK > wK
se uK ≤ wK
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wi (ak − ai )
m
Con:
sk = ∑
(ak − ai )2 + (bk − bi )2
i =1
i≠k
wi (bk − bi )
m
tk = ∑
i =1
i≠k
uk =
Si dimostra che:
(ak − ai )2 + (bk − bi )2
(t
2
k
+ sk2
)
CNS affinché f(x,y) assuma il valore minimo e quindi
(x*,y*) sia il punto di ottimo è che:
R(x*,y*)=(0,0)
Pk (ak,bk) è l’ubicazione ottimale se e solo se uk ≤ wk
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Metodi
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Riassumendo:
Si considerano i punti noti e si fa la verifica secondo kuhn
Se esiste Pk (ak,bk) tale che uK ≤ wK
allora Pk è l’ubicazione ottima
Calcolo uK e wK
per ogni Pk
Se uK > wK per ogni K allora si
procede alla soluzione delle
derivate parziali con metodo
iterativo
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Dalle derivate parziali:
m
f
∂
 
=∑
 
 ∂x  x = x* i =1
m
x∑
i =1
wi ( x − ai )
(x − ai ) + ( y − bi )
2
m
wi
(x − ai ) + ( y − bi )
2
2
=∑
i =1
2
=0
wi ai
(x − ai ) + ( y − bi )
2
2
Analogamente:
m
y∑
i =1
wi
(x − ai )2 + ( y − bi )2
m
=∑
i =1
wi bi
(x − ai )2 + ( y − bi )2
33
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Sia:
wi
g i ( x, y ) =
(x − ai )2 + ( y − bi )2
i = 1,2,…,m
m
∑ a g ( x, y )
i
x=
i
i =1
m
∑ g ( x, y )
i
i =1
Segue:
m
∑ b g ( x, y )
i
y=
i
i =1
m
∑ g ( x, y )
i
i =1
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In tutto il campo in cui gi (x, y) risulta definita si può passare alla seguente
procedura iterativa:
m
x( j) =
∑ ai g i ( x
( j −1)
,y
( j −1)
m
)
i =1
m
( j −1)
( j −1)
g
(
x
,
y
)
∑ i
y( j) =
i =1
dove j = denota la j-ima iterazione
( j −1)
( j −1)
b
g
(
x
,
y
)
∑i i
i =1
m
( j −1)
( j −1)
g
(
x
,
y
)
∑ i
i =1
La procedura iterativa continua finché:
a. non si verifica un apprezzabile miglioramento nella determinazione
delle coordinate della ubicazione del nuovo impianto ,
b. non si delinea una ubicazione che soddisfa la condizione necessaria
e sufficiente dell’approccio di Kuhn (ovvero R (x*, y*) = (0, 0)).
Come valore di partenza (x(0), y(0)) della procedura iterativa si può
usare la soluzione del “gravity problem”.
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Procedura iterativa alternativa per la ricerca della soluzione
Si basa su una gi (x, y) data da:
g i ( x, y ) =
Con:
wi
è sempre definita
(x − ai )2 + ( y − bi )2 + ε
i = 1, 2, …., m
ε valore positivo piccolo a piacere sufficientemente piccolo
da non mascherare la soluzione nel caso questa non
coincida con uno dei punti Pi, ma anche sufficientemente
grande da evitare instabilità di calcolo nell’approssimarsi
alla soluzione se questa coincide con uno dei punti Pi.
La procedura iterativa può essere iniziata usando sia la soluzione
in distanze rettangolari che quella baricentrica (“gravity problem”)
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N.B : Può succedere che la soluzione rettangolare sia sufficientemente
vicina alla soluzione ottimale euclidea cosicché una ulteriore ricerca
non sia giustificata.
Per questo prima di iniziare le procedura è opportuno verificare se:
(
*
)
(
0
0
)
2
( )
*
2
E x , y ≥ E x , y ≥ f1 x + f 2 (y* )
dove: (x°, y°)
(x*, y*)
E (x, y)
*
soluzione ottimale euclidea;
soluzione ottimale rettangolare;
valore fz obiettivo per il problema euclideo
m
f1 ( x ) = ∑ wi x − ai
valore fz obiettivo per il problema rettangolare
f 2 ( y ) = ∑ wi y − bi
valore fz obiettivo per il problema rettangolare
i =1
m
i =1
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DETERMINAZIONE DELLE LINEE ISOCOSTO
Non esistono metodi esatti per costruirle se non per i casi molto semplici.
Per semplificare il problema si può procedere con il seguente metodo:
• Si assegna un determinato valore k alla funzione
m
f ( x, y ) = ∑ wi
i =1
(x − ai )2 + ( y − bi )2
=k
• Per assegnato valore di x (parametro) si ricercano i corrispondenti due
valori di y per cui f (x, y) = k
• Si procede finché si è in grado di tracciare la curva chiusa.
y
x’
x
38