ESAME DI TEORIA DEI CAMPIONI S Appello del 07/02/2007

ESAME DI TEORIA DEI CAMPIONI S
Appello del 07/02/2007
ESERCIZIO1
In una città italiana operano 4 catene di supermercati; ognuna di esse è presente nella città con tre
negozi. Nella tabella sottostante sono riportati, per ciascun negozio, i valori di alcune variabili,
catene
Ricavo totale
mensile
(mil. Euro)
1
2
3
4
3+2,5+3,8
2,7+4+7
5,3+3,6+2,8
4,7+3,9+5,8
Numero
dipendenti
Numero di
fidelity card
distribuite
nell’ultimo mese
90
120
110
135
140
170
160
155
a) Si consideri come variabile di interesse il “ricavo mensile” e si definisca il valore reale del
coefficiente di omogeneità nei grappoli. Si commenti il risultato.
b) Si estragga un campione casuale semplice di 2 catene e si stimi il ricavo mensile totale per
negozio secondo due strategie diverse;
c) Si individui la strategia campionaria più efficiente.
ESERCIZIO2
Una delle 4 catene, l' IPERCOOP, vuole stimare la spesa mensile per il consumo di elettricità (in
migliaia di euro) dei sei supermercati della provincia , conoscendo i dati riportati nella seguente
tabella
Negozi
Numero
casse
1
2
3
4
5
6
16
29
10
8
26
13
a) Estrarre un campione di n=2 negozi con il metodo di Yates e Grundy, descrivendo in dettaglio le
operazioni necessarie per la scelta delle due unità;
b) Calcolare per le due unità estratte la probabilità di inclusione del primo e del secondo ordine
c) Stimare la spesa mensile per il consumo di elettricità (in migliaia di euro) dei sei supermercati
della provincia sapendo che per i due negozi estratti essa è di 70 ed 35 migliaia di euro
ESERCIZIO 3 (per gli studenti non frequentanti)
Ricavare le condizioni per cui la varianza dello stimatore sistematico è maggiore della varianza del
semplice.
SOLUZIONE
ESERCIZIO1
catena1
catene
catena4
2,7
5,3
4,7
2,5
4
3,6
3,9
3,8
9,3
7
13,7
2,8
11,7
5,8
14,4
0,43 4,863333
1,63
0,91
Ricavo
totale
mensile
1
2
3
4
catena3
3
totali
S i2
catena2
Numero
dipendenti
(mil. Euro)
3+2,5+3,8
2,7+4+7
5,3+3,6+2,8
4,7+3,9+5,8
Numero di
fidelity card
distribuite
nell’ultimo mese
90
140
120
110
170
160
135
455
155
a) Si consideri come variabile di interesse il “ricavo mensile” e si definisca il valore reale del
coefficiente di omogeneità nei grappoli. Si commenti il risultato.
S w2 =
1
N
∑S
i
2
i
=1,958333333
S 2 =1,900833333
δ = 1−
S w2
=-0,03024989
S2
S w2
δ = 1 − 2 < 0 ⇒ deff < 1 ⇒
S
GR
più efficiente di
SSR
b) Si estragga un campione casuale semplice di 2 catene e si stimi
il ricavo mensile totale per negozio secondo due strategie diverse;
catene
Ricavo
(mil.
totale
Euro)
mensile
Numero dipendenti
Numero di fidelity
2
4
13,7
14,4
120
135
170
155
^
Y gr
X= 455
2
s1y = 0,245
2
s1x = 112,5
^
v(Y gr)
2
ricavo mensile per negozio:
^
Y grmm 4,683333
56,2
^
0,98
v(Y grmm) 0,006806
Y qgr 50,13922
^
v(Y qgr) 4,130311
Y qgrmm 4,178268
^
v(Y qgrmm) 0,028683
^
sxy = 2,625
R^= 0,110196078
^
c) Si individui la strategia campionaria più efficiente.
In base al confronto tra le sole varianze
a maggior ragione se si considera
la distorsione di Y^qgr
^
Y grmm
è più efficiente di
^
Y qgrmm
ESERCIZIO 2
a) Estrarre un campione di n=2 sezioni con il metodo di Yates e Grundy , descrivendo in dettaglio le
operazioni necessarie per la scelta delle due unità;
Si calcolano le ampiezze normalizzate, Pi (= Xi/X dove Xi è dato dal numero di casse per l i-esimo negozio
ed X il totale del numero di casse del gruppo IPERCOOP nella provincia.
Si estrae la prima unità con la tecnica di Lahiri o dei totali cumulati;
Si ricalcolano le probabilità Pj =Xj/(X-Xi) per i cinque supermercati rimasti e si estrae una seconda unità con
la stessa tecnica usata per la scelta della prima unità;
N e g_
N_casse
1
2
3
4
5
6
16
29
10
8
26
13
102
Pi
pj/(1-p1)
pj/(1-p2)
0,15686275
0,219178082
0,28431373
0,337209302
0,09803922
0,11627907 0,136986301
0,07843137
0,093023256 0,109589041
0,25490196
0,302325581 0,356164384
0,12745098
0,151162791 0,178082192
Ti
pj'
Tj'
0,1568627 0,173913043 0,17391304
0,4411765 0,315217391 0,48913043
0,5392157
0,6176471 0,086956522 0,57608696
0,872549 0,282608696 0,85869565
1 0,141304348
1
primo rn in [0,1]
ricalcolo pj' eTj'
secondo rn in [0,1]
Suppongo di estrarre le unità 3 e 4
b)
0,51 sel_3
0,56 sel_4
pj/(1-p3)
pj/(1-p4)
0,173913043 0,17021277
0,315217391 0,30851064
0,10638298
0,086956522
0,282608696 0,27659574
0,141304348 0,13829787
pj/(1-p5)
0,210526316
0,381578947
0,131578947
0,105263158
0,171052632
pj/(1-p6)
0,17977528
0,3258427
0,11235955
0,08988764
0,29213483
N e g o z i N ° casse
1
2
3
4
5
6
Pi
Pj/1-Pi
16 0,15686275
29 0,28431373
10 0,09803922
8 0,07843137
26 0,25490196
13 0,12745098
102
π3
0,211429985
π 34
0,016868912
Pj/1-Pj
0,173913 0,186046512
0,315217 0,397260274
0,108695652
0,086957 0,085106383
0,282609 0,342105263
0,141304 0,146067416
1,2652815
c)
Se il campione risulta formato dal terzo e dal quarto supermercato,la sequenza ordinata di dati campionari
d=((3, Y3),(4, Y4)) presenta i valori Y3=70 e Y4=35, rispettivamente
π3
0,211429985
π 34
0,016868912
535,76426