Esercizio 1. Mat Consideriamo le coppie (x, y) di numeri interi ≥ 0

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Esercizio 1. Mat Consideriamo le coppie (x, y) di numeri interi ≥ 0 con la proprietà
che la somma dei due numeri è uguale al loro prodotto (cioè tali che x + y = xy).
Ad esempio le coppie (0, 0) e (2, 2) hanno questa proprietà. Quante sono le coppie con
questa proprietà?
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) infinite
Soluzione. La risposta giusta è la (a). Ci sono vari modi di vederlo. Ad esempio
nell’equazione x + y = xy si può ricavare la y in funzione della x, ottenendo y =
x
x−1 . È questa l’equazione di una facilissima iperbole, aventi gli assi x = 1 e y = 1
come asintoti, il cui grafico passa appunto per i punti (0, 0) e (2, 2) (anzi, questi
sono proprio i due vertici dell’iperbole). Dal disegno si vede immediatamente che
non ci sono altre soluzioni intere, e quindi a maggior ragione ci sono solo queste
due soluzioni (x, y) con x e y maggiori o uguali a zero.
1
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Esercizio 2. Mat Sia N l’insieme dei numeri interi positivi e Q+ l’insieme dei numeri
razionali positivi. L’applicazione f : N × N → Q+ definita da f (a, b) = a/b per ogni
a, b ∈ N è
(a) iniettiva, ma non suriettiva
(b) suriettiva, ma non iniettiva
(c) biiettiva
(d) né iniettiva né suriettiva
Soluzione. Inettività. Siano a, b, a0 , b0 ∈ N con f (a, b) = f (a0 , b0 ). Allora a/b = a0 /b0 .
Questo non implica a = a0 e b = b0 (si prenda ad esempio a = b = 1 e a0 = b0 = 2).
Quindi f non è iniettiva.
Suriettività. Ogni razionale positivo si scrive come quoziente di due elementi di
N. Quindi f è suriettiva.
La risposta giusta è quindi la (b).
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Esercizio 3. Mat Sia f : [a, b] → R una fuzione reale definita su un intervallo chiuso
[a, b]. Si supponga f strettamente crescente (cioè per ogni coppia x, x0 di numeri reali,
a ≤ x < x0 ≤ b implica f (x) < f (x0 ). Una funzione g : f ([a, b) → [a, b] that che
g(f (x)) = x per ogni x ∈ [a, b] e f (g(y)) = y per ogni y ∈ f ([a, b])
(a) esiste sempre ed è sempre strettamente crescente
(b) esiste sempre ed è sempre strettamente decrescente
(c) esiste sempre, ma nonè sempre strettamente crescente o sempre strettamente
decrescente
(d) non sempre esiste
Soluzione. Strettamente crescente implica iniettiva. Quindi, restringendo il codominio di f ad f ([a, b]), la funzione f diventa biiettiva e quindi ha un unico inverso
bilatero g (ossia la funzione g : f ([a, b) → [a, b] è definita, per ogni y ∈ f ([a, b]),
da g(y) = x se e solo se f (x) = y. Per quanto riguarda la crescenza, g è sempre
crescente, perché se non lo fosse esisterebbero y < y 0 in f [a, b]) con g(y) ≥ g(y 0 ).
Posto x = g(y) e x0 = g(y 0 ), si ha che x, x0 ∈ [a, b], x ≤ x0 e f (x) = f (g(f (x)) =
f (g(y)) = y < y 0 = f (g(y 0 )) = f (g(f (x0 )) = f (x0 ). In particulare, x 6= x0 , quindi
x > x0 e f (x) < f (x0 ). Ciò contraddice il fatto che f sia strettamente crescente. La
risposta giusta è quindi la (a).
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Esercizio 4. Dire “A nessun gatto sono odiosi tutti i cani” è lo stesso di dire che:
(a) per ogni gatto esiste almeno un cane a cui il gatto non è odioso
(b) esiste un gatto a cui sono odiosi tutti i cani
(c) tutti i cani non sono odiosi ai gatti
(d) c’è un cane che non è odioso a tutti i gatti
Soluzione. La risposta giusta è la (d). Infatti la proposizione originaria equivale
chiaramente ad “Esiste un gatto G ed esiste un cane C tale che C non è odioso a
G”. Questa è equivalente alla sola (d).
5
Esercizio 5. Sia n ≥ 2 un numero intero e a un numero reale. L’identità
√
n
an = a
(a) è vera per ogni a reale
(b) è falsa per ogni a reale
(c) è vera quando n è pari e a ≥ −1
(d) è vera quando n è dispari e a ≥ −1
Soluzione. È vera per ogni numero reale a per n dispari. Quindi (d) è una risposta
giusta. Per (a), (b) e (c) è facile costruire controesempi (n, a). Ad esempio per
(n, a) = (2, 1) l’identità è vera. Quindi (b) non va bene. Per (n, a) = (2, −1)
l’identità è falsa. Quindi (a) e (c) non vanno bene.
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Esercizio 6. Mat All’esame di maturità di una classe di liceo tutti gli studenti vengono
promossi. Esattamente metà degli studenti della classe si iscrivono a biologia, esattamente un quarto degli studenti della classe si iscrivono a ingegneria, esattamente un
settimo degli studenti della classe si iscrivono a matematica, tre si iscrivono a fisica, e
poi ce ne sono altri che si iscrivono ad altri corsi di laurea. Ma quanti studenti c’erano
in quella classe?
(a) 28
(b) 31
(c) 55
(d) Più di 55
Soluzione. Il numero n di studenti in quella classe deve essere divisibile per 2, per
4 e per 7. Quindi deve essere divisibile per 28. cosi’ si ha subito che le risposte (b)
e (c) non vanno bene. Poi però si deve avere anche che
1
1
1
n + n + n + 3 < n,
2
4
7
che equivale ad n > 28. Quindi n deve essere un numero naturale divisibile per 28
e maggiore o uguale a 56. L’unica possibilità restante è quindi la (d).
7
Esercizio 7. Mat Un battello fluviale percorre la distanza fra la città e il mare in
5 ore, andando alla massima velocità possibile. Al ritorno, sempre con i motori al
massimo, impiega 7 ore per tornare alla città. Quante ore impiegherebbe per andare
dalla città al mare, a motori spenti, portato dalla corrente?
(a) 2
(b) 35
(c) 20
(d) 80
Soluzione. La risposta giusta è la (b). Chiamiamo y il tempo (in ore) richiesto, e
x il tempo (in ore) che il battello impiegherebbe a coprire la distanza in assenza
di corrente. Allora quando si muove nel verso della corrente il battello copre in
un’ora 1/x + 1/y della distanza fra la città e il porto, mentre quando si muove
controcorrente copre in un’ora 1/x − 1/y di tale distanza. Otteniamo dunque le
equazioni:
1/x + 1/y = 1/5
1/x − 1/y = 1/7
la cui soluzione è x = 35/6, y = 35.
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Esercizio 8. Mat Un’automobile percorre la distanza fra Padova e Bologna alla velocità media di 120 Km/h. Al ritorno viaggia da Bologna a Padova alla velocità media
di 80 Km/h. Qual è la velocità media dell’intero viaggio Padova-Bologna-Padova?
(a) 96 Km/h
(b) 105 Km/h
(c) 94,5 Km/h
(d) 100 Km/h
Soluzione. La (a). Infatti se chiamiamo x la velocità media cercata e l la distanza
fra Padova e Bologna, abbiamo l’equazione:
2l/x = l/120 + l/80
da cui si ricava
x=
1
120
2
+
1
80
= 96
9
Esercizio 9. Mat Una squadra di falciatori deve falciare due campi, uno dei quali
ha area doppia dell’altro. Nella prima metà della giornata la squadra lavora nel
campo grande, poi nella seconda metà della giornata una metà dei falciatori continua
a lavorare nel campo grande, mentre un’altra metà si dedica al campo piccolo. A sera
il campo grande è tutto falciato, mentre nel campo piccolo resta una piccola zona non
falciata: se ne occupa un solo falciatore che impiega tutta la giornata seguente. Quanti
erano i falciatori?
(a) 100
(b) 10
(c) 4
(d) 8
Soluzione. La risposta giusta è la (d). Forse il modo più semplice per vederlo
è aiutarsi con un disegno. Comunque, dalle informazioni che abbiamo sul prato
grande si ricava che la metà della squadra è in grado di falciare in mezza giornata
1/3 di tale prato. Dunque a sera la parte falciata è: tutto il campo grande più
2/3 del campo piccolo. Resta una parte del campo piccolo, la cui area è uguale a
1/2 − 1/3 = 1/6 del campo grande. A questo punto sappiamo che un falciatore da
solo riesce a falciare in un giorno un’area uguale appunto a 1/6 del campo grande.
Ma nel corso della prima giornata è stata falciata un’area che equivale a 8/6 del
campo grande. Dunque i falciatori erano 8.
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Esercizio 10. Mat Consideriamo la funzione la funzione f : Z × Z → Z data da
f ((x, y)) = x2 − y 2 + 4x + 12. Tale funzione è:
(a) iniettiva e suriettiva
(b) iniettiva ma non suriettiva
(c) suriettiva ma non iniettiva
(d) né iniettiva né suriettiva
Soluzione. La risposta giusta è la (d). Non è suriettiva perché per esempio 2 non
appartiene all’immagine (un modo di vederlo è osservare che, per avere f (x, y) pari,
x e y devono essere entrambi pari o entrambi dispari; un quadrato di un numero
pari è sempre divisibile per 4, dunque nel caso (pari, pari) f (x, y) risulta essere
multiplo di 4; un quadrato di un numero dispari è sempre della forma 4k + 1 e
dunque anche nel caso (dispari,dispari) f (x, y) risulta multiplo di 4).
Non è iniettiva, per vederlo basta per esempio notare che il polinomio x2 + 4x
ha le due radici 0 e −4. Allora per ogni y ∈ Z vale f (0, y) = f (−4, y).
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Esercizio 11. Mat Quanti sono i numeri naturali m compresi fra 1000 e 10000 tali
che m diviso per 7 dà resto 2, diviso per 12 dà resto 5, diviso per 20 dà resto 5?
(a) 40
(b) 21
(c) 15
(d) 10
Soluzione. La (b). I numeri che ci interessano sono infatti quelli del tipo 1325 +
420k, al variare di k fra 0 e 20.
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Esercizio 12. Mat Si dispongono otto sottopiatti circolari uguali fra loro su una
tavola quadrata il cui lato misura 1 metro, come in figura, in maniera ottimale. Cosa
possiamo dire a riguardo del raggio R di un sottopiatto?
(a) R = 100
6 cm.
1
(b) R = 2+4 sin(
cm
5π
)
12
(c) R =
(d) R =
1
2+4 sin( π
2)
1
2+4 sin( π
3)
cm
cm
Soluzione. La (b). Consideriamo i centri A, B, C dei cerchi indicati in figura:
L’angolo BAC è di 5π
6 , la lunghezza di BC è 1 − 2R, mentre la lunghezza di AC
è 2R. Il teorema dei seni applicato al triangolo rettangolo formato da A, C e dal
punto medio di BC dà:
5π
1 − 2R 1
sin( ) =
12
2 2R
da cui si ottiene la (b). È inoltre facile escludere che la (a) dia anch’essa la risposta
giusta.
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Esercizio 13. Mat In un’isola ci sono 60 camaleonti di cui 10 rossi, 3 marroni e 47
blu. Ogni volta che due di questi si incontrano, se hanno colore diverso simultaneamente il loro colore si trasforma nel terzo colore (per esempio se si incontrano un
camaleonte marrone e uno rosso diventano entrambi blu). Se invece hanno lo stesso
colore non accade nulla. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
(a) Può accadere che i camaleonti diventino tutti blu.
(b) I camaleonti blu saranno sempre più dei camaleonti marroni.
(c) Può accadere che i camaleonti diventino tutti marroni.
(d) Non può mai accadere che nell’isola i camaleonti abbiano tutti lo stesso colore.
Soluzione. La (d). Infatti i resti modulo 3 dei numeri che indicano le tre popolazioni all’inizio sono (1, 0, 2), e dopo ogni incontro fra camaleonti diversi tutti i numeri in questa tripla cambiano (modulo 3) di +2. Non si potrà dunque mai arrivare
ad una situazione (0,0,0) come sarebbe se avessero tutti lo stesso colore. Inoltre
la (b) si esclude con un esempio di una serie di incontri in cui i blu diminuiscono
sempre.
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Esercizio 14. Data una scacchiera n × n (con n pari) coperta da n2 /2 pedine bianche
e da n2 /2 pedine nere, si considerano tutte le possibili coppie di pedine: una coppia di
pedine vale un punto se le pedine sono di due colori diversi e si trovano o sulla stessa
riga o sulla stessa colonna. Quanti punti al massimo si possono ottenere disponendo
opportunamente le pedine sulla scacchiera?
(a) n2
(b) 2n
n =
(c) n3 /2
(d) n2 + 1
(2n)!
n!n!
Soluzione. La (c). Infatti, fissata una riga, se ci sono x pedine nere e n − x bianche,
i punti che si ottengono da quella riga sono x(n − x). Il massimo si ottiene quando
n = n − x ossia n2 /4 punti. Visto che ci sono n righe e n colonne si può ottenere al
massimo il punteggio di
2n · n2 /4
ossia n3 /2. Tale punteggio è effettivamente raggiunto quando si dispongono le
pedine accuratamente (per esempio prima riga bianca nera bianca nera etc etc,
seconda riga nera bianca nera bianca etc...., terza riga uguale alla prima, quarta
riga uguale alla seconda...).
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Esercizio 15. Mat Quale dei seguenti numeri approssima meglio il numero
q
q
√
√
3
3
3 21 + 8 − 3 21 − 8
(a) 1√
(b) 2 3 3
(c) 1, 1
(d) 0
Soluzione. La (a). Infatti il prodotto fra le due radici cubiche, chiamiamole a e b,
che compaiono è uguale a 5. Allora (a − b)3 = 16 − 15(a − b), dunque il numero
che cerchiamo, (a − b), è una radice reale del polinomio x3 + 15x − 16. Ma l’unica
radice reale è 1 (se si divide per 1 si vede che il polinomio di secondo grado non ha
soluzioni reali).
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Esercizio 16. Mat Al tempo t = 0 tre oggetti puntiformi A, B, C si trovano nell’origine
di un piano cartesiano e si allontanano con moto rettilineo uniforme, lungo tre direzioni diverse, con velocità vA , vB , vC rispettivamente. Al tempo t = 2 l’oggetto A
si trova nel punto (2, 2), l’oggetto B si trova nel punto (6, 4), l’oggetto C si trova nel
√
√
punto (4 + 3, 3 − 2 3). Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) C’è un solo istante t, con t > 0, in cui i tre punti sono i vertici di un triangolo
equilatero.
(b) L’area del triangolo ABC all’istante t = 4 è il doppio dell’area all’istante t = 2.
(c) L’angolo AB̂C diminuisce sempre dall’istante t = 2 in poi.
(d) In ogni istante t, con t > 0, i tre punti sono i vertici di un triangolo equilatero.
Soluzione. La (d). Infatti il triangolo a t = 2 è equilatero. Le distanze convolte
crescono tutte linearmente al crescere di t, dunque le lunghezze dei lati crescono
linearmente e rimangono sempre uguali fra loro. L’area cresce invece in maniera
quadratica, e questo esclude la (b).
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Esercizio 17. Mat Siano x e y due numeri reali tali che |x − 10| < 2 e |y − 10| ≤ 3.
La stima migliore per |x − y| che si può ottenere dalle due disequazioni precendenti è
allora
(a) |x − y| < 25
(b) 1 < |x − y| < 5
(c) |x − y| < 5
(d) |x − y| ≤ 5
Soluzione. La risposta giusta è la (c).
18
Esercizio 18. Mat Siano x e y due numeri reali tali che |x − 10| < 3 e y ≤ x. La
stima migliore per y che si può ottenere dalle due disequazioni precendenti è allora
(a) y < 13
(b) 7 < y < 13
(c) y < 7
(d) y ≤ 10
Soluzione. La risposta giusta è la (a) perché 7 < x < 13.
19
Esercizio 19. Mat Sia x un numero reale tale che −1 < x ≤ 2. La stima migliore per
x2 che si può ottenere dalle due disequazioni precendenti è allora
(a) 0 < x2 ≤ 4
(b) 0 ≤ x2 ≤ 4
(c) 1 < x2 ≤ 4
(d) −1 ≤ x2 ≤ 4
Soluzione. La risposta giusta è la (b).
20
Esercizio 20. Mat Quali sono le soluzioni del sistema x − 2y = 3 e −2x + 4y = −6?
(a) x = 1 e y = −2 o x = −2 e y = 4
(b) x = y = 0
(c) x arbitrario e y = x−3
2
(d) non ci sono soluzioni
21
Esercizio 21. Mat L’identità |x2 − 10x| = x2 − 10x è soddisfatta
(a) da tutti gli x in R
(b) per x ≤ 0 e x ≥ 10
(c) per 0 ≤ x ≤ 10
(d) per x = 0 e x = 10
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Esercizio 22. Mat Siano X e Y due proposizioni. Per dimostrare che l’affermazione
”almeno una tra X e Y è vera” è falsa, si deve mostrare che
(a) Y è falsa
(b) X è falsa se e solo se Y è vera
(c) almeno una tra X e Y è falsa
(d) X e Y sono entrambe false
Soluzione. La risposta giusta è la (d).
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Esercizio 23. Mat Siano X, Y e Z tre proposizioni. Supponiamo di sapere che X
implica Y e che Y implica Z. Supponiamo inoltre di sapere che X è falsa, cosa possiamo
concludere?
(a) Y è falsa
(b) Z è falsa
(c) Z implica X
(d) nessuna delle precedenti è corretta
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Esercizio 24. Mat Si consideri la funzione f : R → R definita da f (x) = −|x2 − 4|.
Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
(a) f non ha punti di minimo perché non è limitata verso il basso
(b) f ha due punti di massimo e un punto di minimo
(c) f non ha punti di massimo
(d) nessuna delle precedenti è vera
25
Esercizio 25. Mat Siano X e Y due insiemi. Cosa significa che x non è un elemento
della loro intersezione?
(a) ci sono elementi di X diversi da x e elementi di Y diversi da x
(b) x appartiene esattamente a uno dei due insiemi X e Y
(c) x non può appartenere simultaneamente a X e a Y ; può appartenere a X o a
Y o a nessuno dei due, ma non a entrambi
(d) x non appartiene ad X e neanche a Y
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Esercizio 26. Mat Sia A = {sin x : 0 < x < π}. Cosa significa che y è un elemento
di A?
(a) y è compreso tra 0 e π
(b) y è compreso tra sin 0 e sin π
(c) y è uguale a sin x per tutti gli x tra 0 e π
(d) y è uguale a sin x per un qualche x tra 0 e π
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Esercizio 27. Mat Sia P l’affermazione per ogni angolo esiste una semiretta, detta
bisettrice, che divide a metà l’angolo. Quale tra le seguenti affermazioni è la negazione
di P ?
(a) esiste un angolo ed esiste una semiretta che non divide a metà l’angolo;
(b) non esiste un angolo per cui ogni semiretta uscente dal suo vertice divide a
metà l’angolo;
(c) esiste un angolo tale che ogni semiretta uscente dal suo vertice non divide
a metà l’angolo;
(d) per ogni angolo non esiste alcuna semiretta che lo divide a metà;
La negazione logica di P è: esiste un angolo per cui non esiste alcuna retta che divida
a metà l’angolo. La risposta corretta è dunque la (c). (a) e (b) sono affermazioni
vere, ma non sono la negazione di P , mentre la (d) è falsa.
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Esercizio 28. Mat La somma di 100 numeri interi è maggiore di 100. Allora
(a) Almeno uno dei numeri deve essere maggiore o uguale a 2.
(b) Se uno dei numeri è minore o uguale di -100 allora almeno uno dei rimanenti deve essere maggiore o uguale a 100.
(c) Se tra i numeri c’è 99 allora tutti gli altri devono essere maggiori o uguali
a −1.
(d) Almeno uno dei numeri deve essere maggiore di 2.
Soluzione. La risposta giusta è la (a).
Abbiamo a1 + . . . + a100 > 100. La (a) è vera: se tutti i cento numeri sono minori
o eguali a 1, la loro somma non può essere maggiore di 100. La (b) è falsa (per es
a1 = −100, a2 = 99, a3 = 99, a4 = 3, a5 = . . . = a100 = 0). Anche (c) è palesemente
falsa, cosı̀ come la (d).
29
Esercizio 29. Mat Di una tabella 2 × 2
"
#
x y
,
z w
con x, y, z, w in R, si conoscono i valori delle somme delle righe e delle colonne.
Cosa si può dire dei singoli valori della tabella?
(a) Esiste un’unica quaterna (x, y, z, w).
(b) Esiste un’unica possibilità se però si conosce anche la somma di tutti i numeri della tabella.
(c) Esiste un’unica possibilità se si sa che i valori della tabella sono interi.
(d) Ci sono infinite quaterne (x, y, z, w).
Soluzione. La risposta giusta è (d).
Si sa che




 x +
 x + y = a,


 x
 z + w = b,
⇐⇒

 x + z = c,






y + w = d,
y
+
z
y
z
+ w
+ w
= a,
= c,
= d,
= b.
con a, b, c, d noti. In realtà una di queste equazioni è di troppo. Per esempio, facendo
la seconda più la terza meno la prima si ottiene
(x + z) + (y + w) − (x + y) = c + d − a, ⇐⇒ z + w = c + d − a,
Dunque se c + d − a = b, cioè c + d = a + b, l’ultima equazione si può eliminare.
Ma è cosı̀, perché a + b = c + d =somma di tutti gli elementi della tabella. Quindi
il sistema è equivalente a

 x + y = a,

z + w = b,


y + w = d,
che ha infinite soluzioni.
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Esercizio 30. Mat Sia (an ) una successione numerica reale soddisfacente la seguente
proprietà:
per ogni ε > 0 esiste un N ∈ N tale che an ≤ ε, per ogni n ≥ N.
Allora
(a)
(b)
(c)
(d)
esiste il limite limn→+∞ an = 0;
1
an > 100
per un numero finito di indici n;
se il limite limn→+∞ an esiste allora è < 0;
an < n1 per n maggiore di un opportuno N .
Soluzione. La risposta giusta è (b).
La (a) è evidentemente falsa. La (b), vera, segue dall’ipotesi prendendo ε =
(c) è falsa (basta prendere an = n1 ) cosı̀ come la (d) (an = n2 per esempio).
1
100 .
La
31
Esercizio 31. Mat Siano x e y due numeri reali strettamente positivi. L’equazione
log(x + y) = log x + log y (dove log è il logaritmo naturale, in base e = 2, 78 . . .),
(a) è sempre verificata;
(b) non ha soluzioni;
(c) non è sempre verificata ma per ogni x > 0 esiste un unico y > 0 tale che la
coppia (x, y) ne sia soluzione;
(d) ci sono infinite coppie soluzione nel quadrante x > 1, y > 0.
Soluzione. La risposta giusta è (d).
Per le proprietà dei logaritmi
log(x + y) = log x + log y, ⇐⇒ log(x + y) = log(xy), ⇐⇒ x + y = xy.
Si può esplicitare y in funzione di x
x
, x 6= 1.
x−1
Per x = 1 non ci sono soluzioni evidentemente. Da questo segue che la (d) è quella
giusta.
y(1 − x) = −x, ⇐⇒ y =
32
Esercizio 32. Mat In una scacchiera 4 × 4 quanti quadrati è possibile formare?
(a)
(b)
(c)
(d)
16
25
29
30
Ci sono 16 quadrati 1 × 1, 9 quadrati 2 × 2, 4 quadrati 3 × 3 e 1 4 × 4. Totale
16 + 9 + 4 + 1 = 29.
33
Esercizio 33. Mat Un triangolo viene ritagliato casualmente con una forbice da un
foglio di carta dopodiché si prende un vertice V a caso e si piega il triangolo di
modo che V vada a coincidere col punto medio del lato opposto. Indichiamo con
a, b i lati ai quali appartiene il vertice V e con c il lato opposto a V . Allora la figura
piana formata dopo il piegamento
(a)
(b)
(c)
(d)
è sempre un trapezio;
non può essere un triangolo;
se a ≤ b e a < 2c allora la figura è un pentagono;
se a = c allora la figura è un trapezio.
Fare una figura.
34
Esercizio 34. Mat L’equazione
xx
(a)
(b)
(c)
(d)
2
−7x+12
= 1,
non ha soluzioni.
ha una soluzione.
ha tre soluzioni.
ha quattro soluzioni.
Se x = 1 si ha ovviamente una soluzione. Poi, se x2 − 7x + 12 = 0 si hanno ancora
soluzioni, cioè x = 3, 4. Infine se x = −1 e x2 − 7x + 12 è pari si ha un’ulteriore
soluzione: (−1)2 − 7(−1) + 12 = 1 + 7 + 12 = 20. Non ci sono altre soluzioni.
Quindi: quattro soluzioni.
35
Esercizio 35. Mat Dei biologi vogliono studiare una certa popolazione di pesci in
un lago. Un giorno gettano una rete nel lago e tirano su 300 pesci, li marcano
dopodiché li gettano nel lago. Il giorno dopo rigettano la rete nel lago e tirano su
400 pesci di cui 20 di quelli marcati. Supponendo che ogni pesce possa entrare
nella rete (a prescindere che sia marcato o meno) con la stessa probabilità degli
altri, cosa si può dire sul numero totale di pesci nel lago?
(a)
(b)
(c)
(d)
niente, le informazioni sono insufficienti.
ci sono circa 6000 pesci nello stagno.
non ci sono più di 3000 pesci nello stagno.
ci devono essere almeno 10.000 pesci nello stagno.
Sia N il numero di pesci. Dopo la prima pescata, la probabilità di pescare i pesci
marcati è 300
N . Poiché la probabilità di pescare un pesce è indipendente dal fatto
che sia marcato o meno e nella seconda pescata abbiamo 20 pesci su 400 marcati, si
20
deduce che i pesci marcati sono 400
. In altre parole
20
300
=
, ⇐⇒ N = 6000.
N
400
36
Esercizio 36. Mat Si considerino le funzioni f (x) = sin x + log |x3 |, definita per
x 6= 0, e g(x) = ex . La funzione g(f (x)) è allora
3
(a) g(f (x)) = esin x log |x |
3
(b) g(f (x)) = log(sin x) · e|x |
(c) g(f (x)) = esin x |x3 |
(d) g(f (x)) = x3 esin x
37
Esercizio 37. Mat La funzione inversa f −1 (x) della funzione f (x) = (x + 1)
1
(a) f −1 (x) = (x+1)
1/3
(b) f −1 (x) = (x + 1)3
(c) f −1 (x) = (x − 1)3
(d) f −1 (x) = x3 − 1
1/3
è
38
Esercizio 38. Mat Siano m e n due numeri interi positivi tali che m < n. Quali fra
le seguenti disuguaglianze è vera?
(a) 2−m < 2−n
(b) 2m−n < 0
(c) 2−n < 2−m
(d) 2n−m < 1
39
Esercizio 39. Mat Sia f (x) =
(a) {|x| ≥ 1}
(b) {|x| ≤ 1}
(c) {x < −1, x > 1}
(d) {|x| ≥ 1} ∪ {0}
p
|x|(x2 − 1). Allora il dominio di f è
40
Esercizio 40. Mat Siano f (x) = 2x + 5 e g(x) = 1 − x2 , allora
(a) f (g(2)) = −3
(b) f (g(2)) = 1
(c) f (g(2)) = −1
(d) f (g(2)) = 2
41
Esercizio 41. FIS Una particella cade da ferma da un’altezza h. Il vento, che soffia in
direzione orizzontale da O verso E, imprime alla particella un’accelerazione costante
pari ad a. La traiettoria della particella è
(a)
(b)
(c)
(d)
rettilinea ;
parabolica ;
circolare ;
ellittica .
42
Esercizio 42. FIS Due corpi di massa diversa, inizialmente fermi, che cadono insieme
nel vuoto hanno in ogni istante:
(a)
(b)
(c)
(d)
velocitá eguale ma diversa energia cinetica ;
velocitá ed energia cinetica eguali ;
velocitá ed energia cinetica diverse ;
energia cinetica eguale ma velocitá diversa .
43
Esercizio 43. FIS La velocitá della luce in un mezzo di indice di rifrazione n > 1
(a)
(b)
(c)
(d)
puó essere minore della velocitá di una particella nello stesso mezzo ;
è sempre maggiore della velocitá di una particella in quel mezzo ;
è la stessa per qualunque valore di n ;
cresce al crescere di n .
44
Esercizio 44. FIS Due carri ferroviari vengono agganciati uno all’altro. A causa
dell’azione dei respingenti, una volta sganciati i due carri si muovono in direzioni
opposte. Se m1 è la massa del primo e m2 = 2m1 quella del secondo, il rapporto delle
loro accelerazioni a1 /a2 è
(a)
(b)
(c)
(d)
1/2
2
4
1/4
45
Esercizio 45. FIS La conservazione dell’energia afferma che la somma dell’energia
cinetica e potenziale di un corpo resta costante. Quale delle seguenti affermazioni è
corretta ?
(a)
(b)
(c)
(d)
la velocitá è massima dove l’energia potenziale è minima ;
energia cinetica e potenziale sono entrambe costanti ;
dove cresce l’energia cinetica cresce anche l’energia potenziale ;
l’energia potenziale è sempre positiva .
46
Esercizio 46. FIS Se ai capi di un conduttore di resistenza R = 0.10 Ω viene applicata
una differenza di potenziale pari a V = 0.2 V, quale è l’energia E dissipata in un
tempo t = 0.01 s ?
(a)
(b)
(c)
(d)
4000 J
4J
4 × 10−3 J
4 × 10−6 J
47
Esercizio 47. FIS Il gas contenuto in un recipiente puó uscire da due fori circolari
l’uno di raggio doppio dell’altro. Per tenere tappati i due fori occorre:
(a)
(b)
(c)
(d)
una pressione dall’esterno doppia sul foro piú grande ;
una pressione dall’esterno doppia sul foro piú piccolo ;
una forza doppia sul foro piú piccolo ;
una forza quadrupla sul foro piú grande .
48
Esercizio 48. FIS Due pedoni si muovono uno verso l’altro lungo un rettilineo. Il
primo ha velocitá di 2 m/s il secondo di 3 m/s. Dopo quanto tempo le due persone si
incontrano ?
(a)
(b)
(c)
(d)
15 s
5s
30 s
non è possibile rispondere .
49
Esercizio 49. FIS Un pendolo semplice di lunghezza L oscilla con periodo T . Affinchè
il periodo sia doppio esso deve avere lunghezza:
(a)
(b)
(c)
(d)
4L
L/2
2L
√
2L
50
Esercizio 50. FIS Un raggio di luce si propaga inizialmente in una lastra di vetro
(indice di rifrazione n = 1.5) ad un angolo di 45◦ . Quanto vale l’angolo di rifrazione
se il raggio emerge dal vetro in aria ?
(a)
(b)
(c)
(d)
45◦ ;
28◦ ;
il raggio rifratto non esiste ;
62◦ .
51
Esercizio 51. FIS Se un oggetto è posto davanti ad una lente positiva (convergente)
ad una distanza maggiore di quella focale, si forma un’immagine:
(a)
(b)
(c)
(d)
reale e capovolta ;
virtuale e capovolta ;
reale e diritta ;
virtuale e diritta .
52
Esercizio 52. FIS Due vettori a e b hanno modulo pari a 5 e 7 m. Quale dei seguenti
valori non puó essere in alcun caso il modulo della risultante a + b ?
(a)
(b)
(c)
(d)
1m
3m
4m
12 m
53
Esercizio 53. FIS Una sferetta di massa m cade da ferma all’interno di un fluido
viscoso. Oltre alla forza peso mg, il corpo é soggetto ad una forza di attrito di modulo
bv, dove v é la velocitá della sfera e b una costante. Assumendo che la spinta idrostatica
sia trascurabile, quali delle seguenti affermazioni relative al moto del corpo é corretta:
(a) la sua energia cinetica cresce fino a raggiungere un valore massimo, poi decresce a causa della forza frenante;
(b) la sua velocitá cresce monotonicamente e tende ad un valore limite che dipende
da b e da m;
(c) la sua velocitá cresce monoticamente e tende ad un valore limite che dipende
solo da b;
(d) la sua velocitá cresce fino a raggiungere un valore massimo, poi decresce e
raggiunge un valore limite.
54
Esercizio 54. FIS Un buco nero è un oggetto cosı̀ compatto che nemmeno la luce
può sfuggire al suo campo gravitazionale. A quale raggio dovrebbe essere compressa la
terra (MT = 5.98 × 1024 kg) perché diventi un buco nero ?
(a)
(b)
(c)
(d)
1 µm
1 cm
100 m
10 km
55
Esercizio 55. FIS Un corpo di massa m scivola lungo un piano inclinato scabro
(angolo di inclinazione θ e coefficiente di attrito dinamico µ) partendo da fermo da
un’altezza h. Se il corpo si muove con velocitá costante, qual’é l’energia dissipata
dall’attrito quando esso raggiunge la base del piano inclinato ?
(a)
(b)
(c)
(d)
mgh/µ
µmgh
µmgh sin θ
mgh
56
Esercizio 56. CHIM Considerando la legge dei gas ideali, a parità di pressione e
temperatura, quale gas risulta più denso tra azoto ed ossigeno?
(a)
(b)
(c)
(d)
N2
O2
hanno la stessa densità
non si può dire
57
+
Esercizio 57. CHIM Tenendo presente l’equilibrio CO2−
3 + 2H H2 O + CO2(g) ,
cosa usereste per rimuovere del calcare (CaCO3 solido)?
(a)
(b)
(c)
(d)
un solvente organico ;
una base ;
un acido ;
nessuna delle precedenti .
58
Esercizio 58. CHIM Qual è il pH di una soluzione 10−9 M di HCl in acqua?
(a)
(b)
(c)
(d)
7
9
5
1
59
Esercizio 59. CHIM Conoscendo il prodotto di solubilità dell’argento cloruro, [Ag+ ][Cl− ] =
1.56x10−10 , qual è la concentrazione di ioni argento (Ag+ ) in una soluzione satura
di argento cloruro?
(a)
(b)
(c)
(d)
1.25 x 105 mol L−1 ;
1 mol L−1 ;
1.25 x 10−5 mol L−1 ;
è necessario conoscere il volume della soluzione .
60
Esercizio 60. CHIM Che reazione avviene nel “test del palloncino” per l’alcolemia?
(a)
(b)
(c)
(d)
l’etanolo si riduce ad alcano cambiando colore ed il bicromato si ossida;
l’etanolo si ossida ad acido ed il bicromato si riduce cambiando colore;
l’etanolo si ossida liberando idrogeno;
non avviene nessuna reazione chimica.
61
Esercizio 61. CHIM Il gruppo funzionale ammidico che lega gli amminoacidi nelle
proteine ha la seguente struttura:
O
(a)
H
H
O
C
H
H
O
O
O
(b)
C
H
H
O
(c)
(d)
C
H
H
NH
NH2
62
Esercizio 62. CHIM Quanti grammi di HF (P.M. 20) sono contenuti in 200mL di
una soluzione 0.5M?
(a)
(b)
(c)
(d)
100
50
2
0.2
63
Esercizio 63. CHIM Bilanciare la reazione di combustione del metano indicando i
coefficienti stechiometrici x, y e z.
x CH4 + y O2 → CO2 + z H2 O
(a)
(b)
(c)
(d)
x=1,
x=2,
x=1,
x=2,
y=2,
y=1,
y=1,
y=2,
z=2
z=1
z=2
z=1
64
Esercizio 64. CHIM Il peso molecolare dell’oro è 197 g mol−1 . Quanti atomi ci sono
in una mole di oro?
(a)
(b)
(c)
(d)
6.022 × 1023 ;
3.06 × 1021 ;
1.2 × 1026 ;
è necessario conoscere la massa in grammi dell’oro .
65
Esercizio 65. CHIM In una reazione l’energia libera diminuisce. Cosa significa?
(a)
(b)
(c)
(d)
che la reazione è molto veloce;
che la reazione è spontanea;
che la reazione è catalizzata;
nessuna delle precedenti.
66
Esercizio 66. CHIM Nell’acqua allo stato liquido le molecole
(a)
(b)
(c)
(d)
formano fra loro legami covalenti;
formano fra loro legami a idrogeno;
formano fra loro legami ionici;
formano fra loro legami apolari.
67
Esercizio 67. CHIM Per combustione completa di un idrocarburo si ottiene:
(a)
(b)
(c)
(d)
H2 O + CO2
CO + H2 O
H2 CO
CO
68
Esercizio 68. CHIM In seguito all’addizione di acqua ad un alchene si ottiene
(a)
(b)
(c)
(d)
un’aldeide;
un acido carbossilico;
un chetone;
un alcol.
69
Esercizio 69. CHIM Le soluzioni tampone sono formate da
(a)
(b)
(c)
(d)
un acido forte più una base forte;
un acido debole più un suo sale;
due acidi deboli più idrogeno;
due basi deboli più idrogeno.
70
Esercizio 70. CHIM Una soluzione acquosa di glucosio presenta un abbassamento
crioscopico (∆tc ) di 3.8 o C; per diminuire tale abbassamento bisogna
(a)
(b)
(c)
(d)
aggiungere altro glucosio;
ridurre il volume della soluzione;
aggiungere altro solvente;
riscaldare la soluzione a 3.8 o C
71
Esercizio 71. BIO La cellula vegetale va incontro a plasmolisi:
(a) se si trova in ambiente isotonico;
(b) mai perché ha la parete;
(c) se si trova in ambiente ipertonico;
(d) se si trova in ambiente ipotonico.
72
Esercizio 72. BIO Le cellule possono estrarre maggiore energia chimica da:
(a) una molecola di NADH ;
(b) una molecola di glucosio ;
(c) due molecole di CO2 ;
(d) quattro molecole di ATP .
73
Esercizio 73. BIO L’insulina:
(a) è prodotta dal fegato;
(b) è un ormone che stimola il consumo di glucosio da parte dei muscoli;
(c) ha l’effetto di aumentare la glicemia;
(d) è una proteina globulare dimerica
74
Esercizio 74. BIO Il DNA della cellula eucariote:
(a) si trova esclusivamente nel nucleo cellulare;
(b) é formato da desossiglucosio;
(c) viene replicato due volte durante la meiosi;
(d) può essere contenuto anche in organelli subcellulari.
75
Esercizio 75. BIO I lisosomi sono:
(a) organelli coinvolti nella respirazione cellulare;
(b) piccole vescicole contenenti acido lattico;
(c) organelli intracellulari contenenti enzimi litici;
(d) secreti dalle cellule che producono ormoni.
76
Esercizio 76. BIO Il genoma dei procarioti è costituito da:
(a) un unico cromosoma circolare;
(b) tanti piccoli cromosomi;
(c) un unico cromosoma lineare;
(d) solo RNA.
77
Esercizio 77. BIO In un sistema circolatorio, il sangue venoso é più povero di ossigeno
perché:
(a) contiene una maggiore quantità di urea;
(b) ritorna dai tessuti verso il cuore;
(c) é più povero di zuccheri;
(d) scorre entro vasi più piccoli.
78
Esercizio 78. BIO Se camminando nel Parco di Yellowstone incontrate un orso con
intenzioni poco amichevoli:
(a) vi diminuisce la glicemia;
(b) vi aumenta l’uremia;
(c) vi aumenta il tasso di azoto ematico;
(d) vi aumentano le catecolamine plasmatiche.
79
Esercizio 79. BIO Se una cellula è esposta ad una soluzione ipotonica:
(a) diminuisce di volume;
(b) mantiene inalterato il volume cellulare;
(c) aumenta la superficie complessiva;
(d) acquista acqua dalla soluzione esterna.
80
Esercizio 80. BIO I metaboliti energetici e l’ossigeno raggiungono il cuore:
(a) attraverso la diffusione dalle camere ventricolari;
(b) per diffusione dagli atri;
(c) mediante i vasi coronarici;
(d) dal pericardio.
81
Esercizio 81. BIO La digestione degli alimenti nel tratto gastrointestinale di un organismo:
(a) produce sostanze assorbibili;
(b) produce energia;
(c) elimina le scorie in eccesso;
(d) produce sostanze di riserva.
82
Esercizio 82. BIO L’emoglobina:
(a) è una proteina monomerica che contiene un gruppo eme e contribuisce al
trasporto di elettroni nella catena respiratoria;
(b) è una proteina che contiene quattro gruppi eme ed è coinvolta nel trasporto
dell’ossigeno dai polmoni ai tessuti;
(c) è una proteina che contiene quattro gruppi eme ed è coinvolta nel trasporto di
elettroni nella catena respiratoria;
(d) è un enzima presente negli eritrociti che catalizza la riduzione dell’ossigeno ad
acqua.
83
Esercizio 83. BIO Quale dei seguenti apparati dei vertebrati non si apre nell’ambiente
esterno?
(a) apparato digerente;
(b) apparato respiratorio;
(c) apparato circolatorio;
(d) apparato riproduttore.
84
Esercizio 84. BIO Quale delle seguenti condizioni caratterizza la partenogenesi?
(a) un oocita si sviluppa in assenza di fecondazione;
(b) gruppi di cellule specializzate di un individuo possono staccarsi e dare origine
a nuovi individui;
(c) nel corso della propria vita, un individuo é prima maschio e poi femmina;
(d) entrambi i membri di una coppia posseggono organi genitali maschili e femminili.
85
Esercizio 85. BIO La lamella mediana, che cementa tra loro le cellule di un tessuto
vegetale, è composta di:
(a) acqua e lignina;
(b) cellulosa e proteine;
(c) acqua e pectine;
(d) acqua e cellulosa.

Esercizio 1. Mat Consideriamo le coppie (x, y) di numeri interi ≥ 0

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