Compito di Fisica Generale I del 03/02/05.

Compito di Fisica Generale I del 03/02/05. - C.d.L. Ing. Civile.
Un disco omogeneo di massa M = 2m = 0.4 Kg e raggio R = 15 cm è imperniato
liberamente attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro O. Una massa
puntiforme m = 0.2 Kg è attaccata al disco in un punto P a distanza r = 2R/3 dal centro
O. Il sistema, a cui nel seguito ci riferiremo, è costituito dal disco e dal punto materiale in
P e la sua configurazione è individuata tramite l’angolo φ , misurato positivamente in
verso anti-orario, che il raggio OP forma con la verticale discendente.
1) Nel punto B del bordo, in corrispondenza dell’intersezione del diametro
perpendicolare al raggio OP, si pone una massa puntiforme m* = 0.077 Kg. Determinare
il valore dell’angolo φ nella configurazione di equilibrio, la posizione del centro di massa
G del sistema ( disco + massa m) e la posizione del centro di massa G* del sistema più la
massa m*.
La massa m* viene rimossa e quindi non deve essere considerata nelle successive
domande.
2) Determinare per il sistema in oggetto il periodo delle piccole oscillazioni.
3) Nell’istante in cui il sistema passa per la configurazione corrispondente a φ = 0 con
una velocità angolare ω0 = 15 rad/s si applica al disco un momento frenante costante M .
Determinare il valore di M per cui il sistema si arresta nella configurazione
corrispondente a φ = π/2 dopo aver percorso un quarto di giro.
4) Il sistema compie delle oscillazioni, attorno alla posizione di equilibrio, di ampiezza
φ0 = β = π/6. Determinare la reazione vincolare esercitata in O sul sistema nella
configurazione corrispondente agli estremi di oscillazione.
5) Nell’istante in cui il sistema passa per la configurazione corrispondente a φ = 0 con
una velocità angolare ω0 = 15 rad/s la massa m si stacca. Determinare la velocità
angolare del disco, dopo il distacco di m, e la posizione della massa m , rispetto al centro
O, quando il disco ha compiuto un giro completo.
6) Il sistema, fermo nella configurazione di equilibrio, viene urtato in corrispondenza del
punto più alto C del suo bordo da una massa puntiforme m* = 0.077 Kg che si muove
con velocià v0 = 5 m/s lungo una retta orizzontale a distanza R da O. L’urto risulta
completamente anelastico e la massa m* si salda in C al sistema. Determinare la velocità
angolare dopo l’urto e l’energia dissipata.
7) La parte mobile P di un pistoncino è collegata ad una molla di costante elastica K =
1900 N/m; esso ha massa trascurabile e sezione circolare di raggio r = 2.5 cm, e può
scorrere senza attrito ed a tenuta nella sua sede. All’interno della camera del pistone si
trova aria a pressione atmosferica. a) Determinare la compressione della molla quando il
pistoncino è immerso in acqua ad una profondità h = 1.5 m. b) Sul pistoncino , immerso
in acqua a profondità h e posto in posizione verticale, viene posto un cilindro C di ferro di
altezza L = 4 cm e sezione S = 15 cm2 ( densità del ferro ρ* = 7.8 103 Kg/m3):
determinare di quanto varia la compressione della molla. c) Nelle condizioni del punto b)
determinare la pressione agente alla superficie di contatto fra la base del cilindro ed il
pistone P. ( si considera trascurabile la variazione di pressione della camera conseguente
alla variazione di volume)
8) Un condotto a forma di L è riempito di olio di densità ρ = 900 kg/m3 ; il tratto
orizzontale ha sezione s = 3 cm2 , ed è chiuso da un pistone mobile P, mentre il tratto
verticale ha sezione S = 10 cm2 e la superficie libera del liquido è esposta all’aria. a)
Determinare la forza F che si deve esercitare sul pistone P per avere nel tratto verticale,
in condizioni statiche, una colonna di liquido di altezza h = 1.5 m . b) Si fa muovere il
pistone P con velocità costante v = 10 cm/s : determinare la forza che si deve applicare
ad esso, per realizzare questa condizione, in funzione del livello z del liquido nel tratto
verticale e se ne calcoli il valore numerico per z = h. c) Nelle condizioni del punto b), in
cui il pistone P si muove con velocità v, si produce nella parte orizzontale della
conduttura un foro B di sezione σ = 1 mm2; determinare la velocità di efflusso dal foro
quando il livello del liquido nel tratto verticale è pari ad h ( nel punto c) si possono
semplificare i calcoli facendo le opportune approssimazioni ).
O
O
φ
r
φ
P
P
B
m*
C
v0
O
P
h
C
P
z
F
P
B
Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 03/02/05. – C.d.L. Ing. Civile.
1) tgφ = 3m*/2m
OG = d = 2R/9 (lungo il raggio OP)
OG* = d* = R(3m* + 2m1.71)/6(3m+m*)
lungo la verticale passante per O
φ = π/6
d = 3.33 cm
d* = 3.41 cm
2) T = 2π(13R/6g)0.5
T = 1.14 s
3) M = mR(13Rω02 – 12g)/9π
M = 0.34 Nm
4) Sr = 3mgcosβ
St = 35mgsinβ/13
5) ω = ω0
vx0 = 2Rω0/3
x = 4πR/3
y = -2R/3 – 2g(π/ω0)2
Sr = 5.1 N
St = 2.64 N
vy0 = 0
x = 0.628 m
y = - 0.96 m
6) ω = (v0/R)[9m*/(9m* + 13m)]
∆E = (m*v02/2)[13m/(9m* + 13m)]
ω = 7 rad/s
∆E = 0.76 J
7) a) x = ρghπr2/K
b) ∆x = (ρ* - ρ)gSL/K
c) p = pA + ρgh + (ρ*- ρ)gL
x = 1.52 cm
∆x = 2.1 mm
p = 1.18 105 Pa
8) a) F0 = sp = s(pA + ρgh)
b) F = s[pA + ρgz - (ρv2/2)(1 – s2/S2)]
c) vF = (2gh)0.5
F0 = 34.4 N
F(z = h) = F0 + 1.23 mN
vF = 5.4 m/s
Prova scritta di Fisica Generale I del 18/02/05. – C.d.L. Ing. Civile.
Un sistema è costituito da un’asta OB, di lunghezza l = 8r ( r = 10 cm) di massa
trascurabile ed imperniata liberamente in O su un asse orizzontale perpendicolare ad essa,
e da un disco omogeneo, di raggio r e massa m = 0.4 Kg , il cui centro G si trova
sull’asta, a distanza d = 6r da O, e collegato rigidamente ad essa. La configurazione del
sistema è individuata tramite l’angolo φ che l’asta OB forma rispetto alla verticale
ascendente , misurato positivamente in verso orario.
1) Il sistema è mantenuto in equilibrio, in una configurazione in cui φ = β , da una
funicella ideale che collega l’estremo B ad un gancio posto nel punto C situato sopra ad
O , lungo la verticale passante per esso, a distanza l. Determinare la tensione della
funicella e le componenti della reazione vincolare in O per un angolo β = π/3.
2) Per realizzare un pendolo che oscilla attorno alla posizione di equilibrio,
corrispondente a φ = π, con un determinato periodo T (delle piccole oscillazioni) si pone
una massa aggiuntiva m* nell’estremo B dell’asta. Determinare per quale valore di m* il
pendolo oscilla con un periodo T = 1.6 s. ( N.B. La massa m* deve essere considerata
unicamente in questa domanda).
3) Il sistema passa dalla posizione corrispondente a φ = π/2 con una velocità angolare ω =
5 rad/s. Determinare, nell’istante corrispondente, le componenti della risultante delle
forze vincolari genti sul disco ed il loro momento rispetto a G.
4) Nell’istante in cui il sistema ha una velocità angolare ω0 = 25 rad/s subisce un urto
completamente elastico contro una parete fissa P disposta lungo la verticale per O.
Determinare l’impulso che il sistema esercita sulla parete.
5) Il sistema viene abbandonato da fermo da una posizione circa verticale ( in cui φ ≈ 0).
Determinare la velocità angolare dell’asta nell’istante in cui essa passa per la posizione
verticale corrispondente a φ = π nel caso #) in cui il disco sia rigidamente collegato
all’asta , come inizialmente detto, e nel caso ##) in cui il disco sia collegato in G all’asta
mediante un perno che gli consente di ruotare liberamente attorno ad esso.
6) Nell’istante in cui il sistema passa per la posizione corrispondente a φ = 3π/2,
ruotando in verso orario con velocità angolare ω0 = 25 rad/s, il disco si stacca.
Determinare la quota massima raggiunta dal disco e la sua velocità angolare nell’istante
corrispondente.
7) Un pallone aerostatico di massa complessiva m = 20 Kg ha la forma di un cubo di
lato L = 3 m ; si suppone che esso sia indeformabile e quindi di volume costante. a) Si
osserva che ad un determinato istante si muove verso l’alto con una accelerazione a = 3
m/s2. Supposta trascurabile la resistenza viscosa dell’aria ed ogni perturbazione ad opera
dei venti calcolare la densità dell’aria alla corrispondente quota. b) Sapendo che la
pressione atmosferica varia con la quota z secondo la legge p = p0exp(-z/b) ( p0 = 1 atm ,
b = 8.0 Km ) determinare la densità dell’aria ad una quota h = 4000 m. c) Tenendo conto
della legge di variazione di p fornita al punto b) determinare la massima quota
raggiungibile dal pallone.
8) Una manichetta antincendio di sezione circolare, di raggio a = 5 cm, termina con una
lancia a forma di tronco di cono di lunghezza L = 50 cm e raggio minimo b = 1 cm. Per
una portata Φ = 9 lt/s, considerando trascurabili le variazioni di quota, determinare: a) la
pressione di lavoro dell’autopompa; b) come varia la pressione al variare del raggio r
della sezione della lancia; c) la forza totale agente sulla lancia.
C
B
B
G
G
φ
β
O
O
O
2a
2b
L
P
ω0
Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 18/02/05. - C.d.L. Ing. Civile.
1) T = (3mg/2)sin(β/2)
Rx = 3mg cos(β/2)/4
Ry = mg[1 – (3/4)sin(β/2)]
T = 2.94 N
Rx = 2.55 N
Ry = 2.45 N
2) m* = m(3 - 73π2r/gT2)/(128π2r/gT2 - 4)
m* = 51 g
3) St = mg/73
Sr = - 6mrω2
MG = -6mgr/73
St = 53.7 mN
Sr = - 6 N
MG = - 3.22 10-2 Nm
4) J = 73mrω0/(35)0.5
J = 12.34 Ns
5) #) ω = (48g/73r)0.5
##) ω’ = (2g/3r)0.5
ω = 8.03 rad/s
ω’ = 8.09 rad/s
6) ω = ω0
h = 11.46 m
h = 18(rω0)2/g
7) a)
b)
c)
ρ = (a + g)m/gL3
ρ = (p0/bg)exp(-h/b)
zM = bln(p0L3/bgm)
ρ = 0.967 Kg/m3
ρ = 0.78 Kg/m3
zM = 4442 m
8) a)
b)
c)
p = pA + (ρΦ2/2π2)(1/b4 – 1/a4)
p = 5.116 105 Pa = 5.05 atm
p = pA + (ρΦ2/2π2)(1/b4 – 1/r4)
F = -(ρΦ2/π)(1/b2 – 1/2a2 – a2/2b4) ≈ (ρΦ2/π)(a2/2b4)
F = 3224 N
Prova scritta di Fisica Generale I del 27/04/05 – C.d.L. Ing. Civile.
Un sistema è costituito da un disco rigido omogeneo di centro O , raggio r = 12 cm e
massa m = 0.4 Kg sul cui bordo è fissato un punto materiale P di massa 2m. Il sistema
è posto su un piano orizzontale scabro, con coefficiente di attrito dinamico µ = 0.45, e
la configurazione angolare del sistema è individuata mediante l’angolo φ , che il
raggio OP forma rispetto alla verticale discendente, misurato positivamente in verso
orario.
1) Al sistema viene applicata nel centro O una forza orizzontale F. a) Determinare il
valore di F per cui il sistema è in equilibrio in una configurazione in cui φ = β = π
. /6 . b) Determinare l’angolo massimo φ = δ per cui si può avere l’equilibrio
assumendo che il coefficiente di attrito statico sia uguale a quello di attrito
dinamico µ.
2) Nel caso in cui il sistema rotoli senza strisciare sul piano orizzontale, determinare
in termini della velocità angolare ω la velocità vO del centro O del disco e vG del
centro di massa G del sistema e i valori dell’angolo φ per cui il rapporto vG/ω è
massimo e minimo.
3) Nell’istante in cui il disco, muovendosi lungo il piano da sinistra verso destra,
passa per la configurazione φ = 3π/2 esso ha velocità angolare ω = 25 rad/s e
velocità del centro O v = 4 m/s. Determinare nel corrispondente istante il valore
della forza di attrito.
4) Nell’istante in cui, muovendosi sul piano, il sistema passa per la configurazione φ
= π, con velocità del centro di massa v0 = 5 m/s, viene applicata ad esso una
coppia di forze che ne blocca istantaneamente la rotazione. Determinare il valore
del momento assiale della coppia di forze che mantiene bloccata la rotazione e la
distanza percorsa dal sistema a partire dall’istante considerato.
5) Il sistema viene abbandonato da fermo dalla posizione corrispondente a φ = π + ε
(ε infinitesimo). Supponendo che durante tutto il moto successivo sia assicurato il
puro rotolamento, determinare la massima velocità angolare raggiunta dal
sistema.
6) Nell’istante in cui il sistema, mentre rotola senza strisciare, passa per la
configurazione φ = 3π/2 con velocità angolare ω0 = 28 rad/s esso urta una parete
verticale fissa. Supponendo che l’urto sia completamente elastico determinare la
velocità angolare e la velocità del centro di massa G del sistema immediatamente
dopo l’urto e stabilire se il moto successivo è di puro rotolamento.
7) In un recipiente cilindrico di raggio R = 15 cm ed altezza L = 40 cm vengono
immessi V1 = 15 lt di acqua e V2 = 8 lt di olio ( immiscibile con l’acqua, ρ2 = 900
kg/m3 ). a) Determinare la pressione sul fondo del recipiente (in condizioni
statiche). b) Un corpo sferico, di raggio r = 6 cm, una volta immesso nel
recipiente galleggia alla superficie di separazione dei due fluidi rimanendo
immerso per metà in acqua. Determinare la massa del corpo. c) Nelle condizioni
del punto b) calcolare di quanto varia , rispetto alla situazione del punto a), la
pressione sul fondo del recipiente e sulla superficie di separazione dei due liquidi.
8) In una cisterna (di sezione molto grande) si immette acqua dal fondo tramite una
conduttura di sezione S = 4 cm2 alimentata da una pompa P che preleva, mediante
una conduttura di uguale sezione S, il liquido da un deposito sottostante
(anch’esso di sezione molto grande). Ad un determinato istante la superficie libera
dell’acqua nella cisterna, in aria, ha rispetto alla pompa una quota h = 3 m mentre
la superficie libera dell’acqua nel deposito, anch’essa in aria, ha una quota H = -5
m. a) Determinare la potenza fornita dalla pompa in corrispondenza di una portata
Φ = 150 lt/min. b) Determinare la pressione all’uscita della pompa. c)
Determinare la minima quota H* che può avere l’acqua nel serbatoio affinchè la
pompa possa lavorare mantenendo inalterata la portata.
O
O
φ
F
β
P
P
O
h
P
H
P
Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 27/05/05 – C.d.L. Ing. Civile.
1) F = 2mgsinβ
sinδ = 3µ/2
2) vO = ωr
vG = rω(13 – 12cosφ)0.5/3
F = 3.92 N
δ = 0.74 rad = 42.5°
vGM = 5rω/3
vGm = rω/3
3) f = 7µmg/(5 + 4µ)
f = 1.82 N
4) M = 5µmgr
L = v02/2µg
M = 1.06 Nm
L = 2.83 m
5) ω = (16g/3r)0.5
ω = 20.9 rad/s
6) ω = ω0
vGx= -vGx0 = - ωr
vGy= vGy0 = -2rω/3
vGx = - 2.75 m/s
vGy = - 2.24 m/s
7)
h1 = V1/πR2 = 21 cm
h2 = V2/πR2 = 11.3 cm
a) p = pA + ρ1gh1 + ρ2gh2
b) m = (4πr3/3)[(ρ1 + ρ2)/2]
c) ∆p = mg/πR2
∆pS = 2r3ρ2/3R2
8) a) WP = ρg(h + H)Φ
b) pU = pA + ρgh – ρΦ2/2S2
c) H* = - pA/ρg + Φ2/2gS2
p = 1.0436 105 Pa
m = 0.859 Kg
∆p = 119 Pa
∆pS = 56.5 Pa
WP = 196 W
pU = 1.112 105 Pa
H* = - 8.33 m
Prova scritta di Fisica Generale I del 29/06/05 – C.d.L. Ing. Civile.
Un sistema è costituito da due dischi omogenei, uno di massa m = 0.8 Kg e raggio r = 6
cm, l’altro di massa M = 2m = 1.6 kg e raggio R = 5r/3 = 10 cm di centro rispettivamente
O e P ; essi giacciono in un piano orizzontale e sono imperniati liberamente attorno a
due assi verticali fissi passanti per i loro centri e a distanza L fra di loro. I due dischi sono
collegati tramite una cinghia di trasmissione, opportunamente avvolta su di essi, e si
suppone che non vi sia comunque slittamento fra la cinghia ed i bordi dei dischi.
1) Al disco di raggio minore viene applicata una coppia di forze di momento assiale
costante W = 5.4 Nm mentre al disco di raggio R viene applicata, mediante il
ceppo di un freno a tamburo, una forza frenante. Sapendo che il coefficiente di
attrito tra freno e disco è µ = 0.6 determinate il valore minimo della forza F che
deve essere applicata al ceppo del freno, in direzione radiale, per mantenere il
sistema fermo e in queste condizioni il valore della reazione vincolare del perno
in O .
2) Al disco di raggio minore viene applicata una coppia di forze di momento assiale
costante W = 5.4 Nm mentre al disco di raggio R viene applicata, mediante il
ceppo di un freno a tamburo, una forza frenante. Il coefficiente di attrito tra freno
e disco è µ = 0.6 e la forza applicata al ceppo del freno, in direzione radiale, è F
= 60 N . Determinare dopo quanti giri il disco di raggio r raggiunge la velocità
angolare ω = 200 rad/s partendo da fermo.
3) Al disco di raggio minore viene applicata una coppia di forze di momento assiale
costante W = 5.4 Nm mentre al disco di raggio R viene applicata, mediante il
ceppo di un freno a tamburo, una forza frenante. Il coefficiente di attrito tra freno
e disco è µ = 0.6 e la forza applicata al ceppo del freno, in direzione radiale, è F
= 60 N . Ad un determinato istante , in cui la velocità angolare del disco di raggio
r è ω 0 = 20 rad/s la cinghia si rompe. Determinare la velocità angolare del disco
piccolo nell’istante in cui il disco di raggio R si ferma.
4) Nel sistema considerato (privo quindi del freno) al disco di raggio minore viene
applicata una coppia di forze di momento assiale costante W = 3 Nm, determinare
l’accelerazione angolare di questo disco e la tensione della cinghia in queste
condizioni.
5) Nel sistema considerato (privo quindi del freno) al disco di raggio minore è
applicata una coppia di forze di momento assiale costante W = 3 Nm. Ad un certo
istante il disco grande viene bloccato e il perno in O si rompe lasciando libero il
disco di raggio r di muoversi nel piano orizzontale. Determinare l’accelerazione
di O e l’accelerazione angolare del disco piccolo.
6) Nel sistema considerato (privo quindi del freno) al disco di raggio minore viene
impressa una velocità angolare iniziale ω0 = 39 rad/s , in verso orario, e la cinghia
di trasmissione non è inizialmente tesa. Ad un determinato istante la cinghia entra
in tensione mettendo in moto l’altro disco. Considerando il processo equivalente
ad un urto anelastico determinare la velocità angolare del disco di raggio r al
termine di questa fase supponendo che successivamente non vi sia strisciamento
fra cinghia e dischi.
7) Un cilindro C , di massa m e altezza L = 3 cm con raggio di base R, è posto
(appoggiato) in aria a chiudere a tenuta, dal basso, la parte terminale di una
conduttura verticale di sezione circolare di raggio r = 3 cm ( r < R ). a)
Determinare il minimo valore della depressione nella conduttura, rispetto all’aria
circostante, per cui un cilindro di massa m = 1.2 Kg rimane attaccato al tubo . b)
Determinare il valore massimo della massa m del cilindro per cui si può
assicurare la chiusura della conduttura. c) Determinare il valore massimo della
massa m del cilindro per cui si può assicurare la chiusura della conduttura se il
sistema è immerso, invece che in aria, in acqua con la parte terminale del tubo ad
una profondità h = 1.2 m.
8) Un serbatoio di grande sezione è riempito fino ad un’altezza H = 1.5 m di acqua e
a livello del suo fondo si trova un tratto di conduttura orizzontale in un punto
della quale è posto un pistoncino mobile P di sezione S = 2.5 cm2 collegato (in
aria) ad una molla di costante elastica K = 200 N/m. a) Determinare la
compressione della molla del pistoncino in condizioni statiche. b) Ad un
determinato istante si apre la conduttura e l’acqua inizia a scorrere. Determinare,
nell’istante in cui la quota H ha il valore assegnato, la velocità dell’acqua nel
tratto orizzontale della conduttura sapendo che la compressione della molla
diminuisce, rispetto al valore calcolato al punto a) di una quantità D = 0.4 cm. c)
Determinare la quota h della parte terminale della conduttura, da cui fuoriesce in
aria l’acqua, per cui la velocità in corrispondenza del pistoncino risulta quella
calcolata al punto b).
P
O
r
L
R
F
P
O
ω0
P
O
H
P
h
C
Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 29/06/05. – C.d.L. Ing. Civile.
1) F > F*= W/µr
S = T = W/r
F* = 150 N
S = 90 N
2) n = 3mr2ω2/8π(W-µFr)
n = 4.25 giri
3) ω = ω0( 1 + 2W/µFr )
ω = 120 rad/s
4) α = 2W/3mr2
T = 2W/3r
α = 694 rad/s2
T = 33.3 N
5) α = 2W/3mr2
a = rα = 2W/3mr
α = 694 rad/s2
a = 41.7 m/s2
6) ω = ω0/3
ω = 13 rad/s
7) a) ∆p = mg/πr2
b) m* = πr2pA/g
c) m’ = m* + ρ(h + L) πr2
∆p = 4166 Pa
m* = 28.84 Kg
m’ = 32.32 Kg
8) a) x = ρgHS/K
b) v = (2KD/Sρ)0.5
c) h = H – v2/2g
x = 1.84 cm
v = 2.53 m/s
h = 1.17 m
Prova scritta di Fisica Generale I del 21/07/05. – C.d.L. Ing. Civile.
Due sbarre identiche OA edOB , sottili ed omogeneee di lunghezza l = 30 cm e
massa m = 1.2 Kg , sono saldate ad angolo retto nell’estremo comune O. Esse sono
imperniate liberamente in O attorno ad un asse orizzontale di rotazione e gli estemi A e B
scorrono liberamente su una guida circolare, fissa e posta in un piano verticale, di raggio l
e centro O ; gli estremi A e B sono collegati a due molle distinte AP e BP , di uguale
costante elastica K = 25 N/m ed uguale lunghezza a riposo b = πl/2, infilate nella guida e
con l’estremo P fissato al suo punto più basso. La configurazione delle due aste è
! forma rispetto alla
individuata mediante l’angolo φ , che la bisettrice dall’angolo AOB
verticale ascendente, misurato positivamente in verso orario.
1) Il sistema è mantenuto in equilibrio in una configurazione in cui φ = β = π/6 da una
forza F applicata all’astremo A. Determinare il minimo modulo, e la corrispondente
direzione, che può avere F in questa configurazione e la forza applicata alla guida in P
dalle due molle.
N. B. - Nelle domande successive la forza F non deve essere considerata.
2) Determinare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio
delle due sbarre.
3) Determinare le componenti della reazione vincolare del perno in O quando le due
sbarre, durante il loro moto, si trovano a passare per la configurazione φ = 0 con velocità
angolare ω = 12 rad/s.
4) Il sistema viene abbandonato da fermo dalla configurazione in cui l’asta OA è
orizzontale (φ = γ = - π/4) . Determinare la velocità angolare delle due aste quando esse
passano per la configurazione in cui φ = 0.
5) Il sistema costituito dalle due sbarre oscilla fra due estremi di ampiezza ± γ = ± π/4.
Determinare il valore massimo dell’accelerazione angolare del sistema e del momento
della coppia di forze che deve essere applicata alla guida per mantenerla ferma.
6) Con il sistema fermo nella configurazione di equilibrio ( φ = 0) una massa puntiforme
M = 0.3 kg viene abbandonata da ferma da una posizione Q che si trova ad una quota h =
1.5 m al di sopra dell’estremo B della corrispondente sbarra. La massa urta in modo
completamente anelastico il sistema: determinare la sua velocita angolare
immediatamente dopo l’urto e l’energia cinetica dissipata.
7) Un martinetto idraulico per il sollevamento di carichi è costituito da un sistema
telescopico con tre cilindri cavi coassiali, di massa trascurabile, che possono scorrere
l’uno dentro l’altro. Ognuno di essi ha una lunghezza L = 1.0 m e raggi interni
decrescenti r1 = 15 cm , r2 = 2r1/3 = 10 cm e r3 = r1/3 = 5 cm e il circuito idraulico è
riempito con olio di densità ρ = 900 Kg/m3. a) Determinare la pressione agente alla base
del martinetto quando esso si trova nella configurazione di massima estensione con un
carico di volume V = 150 lt e massa M = 400 kg. b) Determinare la forza F che, nelle
condizioni della domanda a), deve essere applicata al pistone P posto nella parte
terminale del circuito idraulico di sezione s = 3 cm2. c) Stabilire come variano i risultati
della domanda b) se il martinetto opera immerso in acqua con la sua parte superiore ad
una profondità h = 7 m.
8) Una conduttura di sezione s = 2.5 cm2 , in cui fluisce dell’acqua con portata Φ = 50
lt/min, presenta nel suo tratto terminale una parte mobile costituita da due tratti ad angolo
retto OA e AB , di lunghezza rispettivamente a = 70 cm e b = 12 cm , che possono
ruotare nel piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per O. Il tratto OAB è
mantenuto fermo in una posizione in cui OA forma un angolo β = π/6 con la verticale
ascendente. a) Determinare la pressione all’interno del fluido in corrispondenza dei punti
che si trovano alla stessa quota di O. b) Se la conduttura è collegata ad un’autoclave W,
situata alla stessa quota di O, determinare la pressione al suo interno necessaria a
produrre la portata Φ . c) Determinare la forza agente in A e il momento, rispetto ad O,
delle forze che devono essere applicate alla parte mobile OAB per mantenerla ferma
nella posizione assegnata.
A
φ
B
F
A
β
O
B
P
O
M
P
h
A
B
M
O
P
2r3
L
2r2
L
2r1
L
b
A
B
a
β
P
W
O
F
Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 21/07/05. – C.d.L. Ing. Civile.
1) F = 2Klβ– mg1.41sinβ/2
FP = 2Klβ
F ⊥ OA
F = 3.69 N
FP = 7.85 N
2) T = 2π( 3K/m – 3 g1.41/4l ) - 0.5
T = 1.19 s
3) Rx = Rt = 0
Ry = Rr = 2mg + πKl 1.41/4 – mlω2 1.41/4
Ry = - 4.79 N
4) ω2 = 3Kπ2/16m – 3g( 1.41 – 1)/2l
ω = 4.25 rad/s
5) φ = ± π/4
→
αMax
|αMax |= -3g/4l + 3Kπ/4m
MMax = Kπl2/2
αMax = 24.5 rad/s2
MMax = 3.53 Nm
6) ω = 3M(gh)0.5/(3M + 2m)l
∆T = mgh(3M – 4m)/2(3M + 2m)
ω = 3.48 rad/s
∆T = -10.4 J
7) a) p = pA + 3Lρg + Mg/πr32
b) F = ps
c) F’ = s[p + ρH20g(h - V/πr32)]
p = 6.276 105 Pa
F = 188 N
F’ = 153 N
8)
h = acosβ - bsinβ
a) p = pA + ρgh
b) pW = p + ρΦ2/2s2
c) M = 1.41a(ρv2s)sin(π/4)
p = 1.0725 105 Pa
pW = 1.128 105 Pa
M = 2.77 Nm
Prova scritta di Fisica Generale I del 16/09/05. - C.d.L. Ing. Civile.
Un’asta sottile ed omogenea PQ di lunghezza l = 6R = 42 cm e massa m = 1.5 Kg,
vincolata a rimanere in un piano verticale, poggia contemporaneamente su un piolo
orizzontale B, di raggio trascurabile, e sul punto A del bordo di un disco omogeneo, di
raggio R = 7 cm e massa M = 2.5 Kg, imperniato liberamente nel suo centro O attorno ad
un asse orizzontale di rotazione; disco e piolo sono disposti in modo tale che la distanza
fra i punti di appoggio A e B risulti pari a b = 3R = 21 cm e l’angolo che la sbarra forma
rispetto all’orizzontale sia pari a β = π/12 rad. Fra il bordo del disco e l’asta vi è attrito
mentre questo è assente fra quest’ultima e il piolo B. La posizione dell’asta è individuata
mediante la coordinata x corrispondente alla distanza del centro di massa dell’asta G dal
piolo B.
1) La rotazione del disco è bloccata e l’asta si trova in equilibrio in una posizione in cui x
= c = R = 7 cm. Determinare il minimo valore del coefficiente di attrito µ fra disco ed
asta per cui è assicurato l’equilibrio.
2) La rotazione del disco è bloccata e l’asta, partendo da ferma dalla posizione x = c = R
= 7 cm , scivola verso il basso. Nell’istante in cui l’estremo superiore dell’asta P
raggiunge il piolo B essa ha una velocità v = 0.3 m/s. Determinare il lavoro compito dalla
forza di attrito fra l’istante iniziale e quello considerato.
3) La rotazione del disco è bloccata e l’asta scivola verso il basso partendo dalla
posizione in cui l’estremo Q coincide con A. Determinare il lavoro compiuto dalla forza
di attrito fra l’istante iniziale e quello in cui l’estremo superiore P si trova a coincidere
col piolo B per un coefficiente di attrito µ = 0.35.
4) Il disco è adesso libero di ruotare e l’asta, partendo da ferma dalla posizione x = c = R
= 7 cm , si muove verso il basso; si suppone che fra l’asta e il disco non vi sia
strusciamento. Determinare la velocità dell’asta quando l’estremo superiore P raggiunge
il piolo B.
5) Il disco è adesso libero di ruotare e l’asta, partendo da ferma dalla posizione x = c = R
= 7 cm , si muove verso il basso; si suppone che fra l’asta e il disco non vi sia
strusciamento. Determinare l’accelerazione dell’asta e il tempo che essa impiega a
raggiungere la posizione per cui l’estremo superiore P passa per il piolo B.
6) La rotazione del disco è bloccata e l’asta si trova in equilibrio in una posizione in cui x
= c = R = 7 cm . Una massa puntiforme m* urta, in modo completamente elastico,
l’estremo superiore P dell’asta con velocità V = 3 m/s , diretta perpendicolarmente ad
essa, e rimbalza all’indietro con velocità pari a V/2. Determinare la velocità angolare
dell’asta immediatamente dopo l’urto e il valore di m*. ( Le reazioni vincolari nel punto
A non hanno nel caso specifico carattere impulsivo).
7) Nella valvola di una camera d’aria una sferetta, di raggio R = 1 mm e massa
trascurabile, spinta dalla pressione (esistente all’interno della camera d’aria) va a
chiudere la sede della valvola costituita da un tronco di cono di apertura angolare β = 0.1
rad. a) Determinare la minima forza F, diretta lungo l’asse del tronco di cono, che si deve
applicare alla sfera per aprire a pressione ambiente la valvola quando all’interno della
camera d’aria si trova una pressione p = 1.813 105 Pa. b) La tenuta della valvola è
assicurata grazie alla piccola deformazione locale della sfera per cui la superficie di
contatto fra di essa e la sede è costituita da una corona circolare di spessore ∆ = 0.12 mm.
Calcolare, nelle condizioni di pressione del punto a), la pressione esercitata dalla sferetta
sulla parete della sede. c) Immergendo la camera d’aria in acqua determinare a quale
profondità si apre la valvola supponendo che la pressione al suo interno rimanga invariata
e pari a p = 1.813 105 Pa e che sia trascurabile la spinta di Archimede.
8) Da un tubo orizzontale di sezione s = 3 cm2 fuoriesce dell’acqua con una portata Φ =
18 lt/min. a) Determinare le componenti verticale e orizzontale della velocità del getto
d’acqua nel punto in cui si infrange sul pavimento posto ad una quota h = 3.0 m sotto di
esso. b) Determinare la sezione del getto sulla superficie d’impatto. c) Determinare la
forza media che il getto esercita sul pavimento nel punto d’impatto.
P
β
B
G
A
Q
Ο
m∗
V
P
F
G
B
A
Q
β
Ο
R
p
s
∆
h
Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 16/09/05. - C.d.L. Ing. Civile.
1) µ > btgβ/c = 3tgβ
µ > 0.8
2) LA= 2mgRsinβ – mv2/2
LA= 0.466 J
3) LA= (3/2)µmgRcosβ
LA= 0.522 J
4) v = [8mgRsinβ/(2m + M)]0.5
v = 0.623 m/s
5) a = 2mgsinβ/(2m + M)
t* = (4R/a)0.5
a = 1.38 m/s2
t* = 0.45 s
6) ω = V/4R
m* = m/3
ω = 10.7 rad/s
m* = 0.5 kg
7) a) F = π(Rcosβ)2(p – pA)
b) p* = (p – pA)R/2∆tgβ
c) h = (p – pA)/ρg
F = 0.248 N
p* = 33.2 105 Pa
h = 8.15 m
8) a) vx= Φ/s
vy= (2gh)0.5
b) s* = Φ/vy = svx/vy
c) Fx = ρΦvx
Fy = ρΦvy
vx = 1.0 m/s
vy = 7.67 m/s
s* = 0.39 cm2
Fy = 0.3 N
Fy = 2.3 N
Prova scritta di Fisica Generale I del 15/12/05 – C.d.L. Ing. Civile.
Due
sbarre, sottili ed omogenee, di estremi OA e AB sono incernierate
liberamente nell’estremo comune A e la sbarra OA è, a sua volta, incernierata
liberamente in O ad un asse di rotazione orizzontale; la sbarra OA ha lunghezza l = 40
cm e massa m = 1.2 Kg, la sbarra AB ha lunghezza 2l e massa 2m. L’estremo B è
collegato tramite una funicella ideale di lunghezza l ad un sostegno D situato alla stessa
quota di O e a distanza 2l da esso nel piano verticale individuato dalle due sbarre. Il
sistema così formato, muovendosi in modo da mantenere la funicella tesa, forma un
parallelogramma articolato. La configurazione del sistema è individuata tramite l’angolo
φ che la sbarra OA forma con la verticale discendente misurato positivamente in verso
anti-orario.
1) Il sistema è mantenuto in equilibrio in una configurazione in cui φ = β = π/6 da una
forza orizzontale F = 17 N applicata all’estremo B. Determinare le componenti della
forza vincolare agente in A sulla sbarra AB .
2) Esprimere in funzione della velocità angolare ω = dφ/dt la velocità del centro di massa
G dell’asta AB. Determinare inoltre la velocità angolare dell’asta AB ed esprimere in
funzione di ω il momento angolare dell’intero sistema rispetto ad O.
3) Il sistema, al cui estremo B è costantemente applicata la forza orizzontale F = 17 N,
parte da fermo dalla posizione in cui φ = 0. Determinare l’angolo massimo φ = δ raggiunto
in queste condizioni dal sistema.
4) In assenza della forza F il sistema si trova in equilibrio nella posizione corrispondente
a φ = 0. Determinare, utilizzando la conservazione dell’energia, il periodo delle piccole
oscillazioni quando esso viene fatto oscillare attorno alla posizione di equilibrio.
5) Il sistema muovendosi (in assenza della forza F) si trova a passare per la posizione
corrispondente a φ = 0 con velocità angolare ω = 7 rad/s. Determinare le componenti
della forza vincolare agente in A sulla sbarra AB.
6) Il sistema fermo nella posizione di equilibrio, corrispondente a φ = 0, viene urtato in A
da una massa puntiforme m* avente una velocità orizzontale v0 = 1.0 m/s . Al termine
dell’urto, che si suppone perfettamente elastico, la massa m* è ferma. Determinare la
velocità angolare ω subito dopo l’urto ed il valore della massa m*.
7) Un recipiente di sezione S = 0.45 m2 è chiuso superiormente da un pistone mobile, a
tenuta e di massa trascurabile, ed è collegato nella parte terminale un tratto di tubo
rettilineo, di sezione s = 1.2 10-2 m2 e lunghezza L = 5 m, che forma un angolo θ = π/4
rispetto all’orizzontale. a) Nel sistema costituito dal recipiente e dal tubo è immessa
acqua fino a riempire il tubo per un tratto l = 3.00 m. In queste condizioni il pistone è
spinto contro un anello di battuta, posto all’interno del recipiente, di modo il liquido in
esso contenuto raggiunge una quota h = 1.15 m. Determinare la pressione agente sulla
faccia inferiore del pistone. b) Sul pistone viene collocata una massa M portando il
liquido nel tubo al suo estremo, senza farlo traboccare. Determinare di quanto si è
abbassato il livello del liquido nel recipiente ed il valore di M. c) Determinare il lavoro
complessivo fatto dalla forza di pressione atmosferica agente sulla superficie superiore
del pistone e sulla superficie superiore del liquido nel tubo.
8) In un condotto orizzontale di sezione rettangolare, con lati a = 10 cm e b = 20 cm,
scorre dell’acqua con una portata Φ = 300 lt/min. In un punto della conduttura è collocato
un cilindro di altezza b e raggio R = 3 cm che, essendo disposto non simmetricamente,
ne riduce la sezione nella parte superiore ad un rettangolo di lati b e c = 1 cm e nella parte
inferiore ad un rettangolo di lati b e 3c. a) Determinare la frazione del flusso totale che
passa attraverso ciascuno dei due restringimenti e la velocità del fluido in corrispondenza
del punto superiore A e del punto inferiore B del cilindro. b) Determinare la differenza di
pressione esistente fra i punti A e B. c) Determinare il valore della pressione in A
sapendo che ad una certa distanza dal restringimento il liquido fuoriesce dalla conduttura
in aria.
O
D
O
φ
A
G
D
β
B
F
A
O
m*
B
D
v0
A
B
M
L
h
l
A
A
c
2R
B
a
B
b
3c
a
Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 15/12/05. – C.d.L. Ing. Civile.
1) RAx = F – mgtgβ
RAy = mg
2) vGx = lω cosφ
vGy = lω sinφ
2
LO = ml ω( 7/3 + 2sinφ )
RAx = 10.2 N
RAy = 11.8 N
ΩΑΒ = 0
3) tg(δ/2) = 2F/5mg
δ = π/3
4) T = 2π(14l/15g)0.5
T = 1.225 s
5) RAx = 0
RAy = mg + mω2l
RAy = 35.3 N
6) ω = v0/l
m* = 7m/3
ω = 2.5 rad/s
m* = 2.8 Kg
7) a) p = p0 + ρg(lcosθ – h)
b) ∆h = -(L – l)s/S
M = ρS[Lcosθ- (h+∆h)]
c) -p0[S∆h + s(l – L)] = - p0∆V = 0
p = p0 + 9.53 Kpa
∆h = -5.33 cm
M = 1097 kg
ΦA = Φ (R+c)/a ; ΦB = Φ (R+3c)/a ;
vA = (Φ/ab)(R+c)/c = ΦA /bc
vB = (Φ/ab)(R+3c)/3c = ΦB/3bc
b) ∆p = pA – pB = ρ(vB2-vA2)/2
c) pA = p0 + ρ(v02-vA2)/2
8) a)
v0 = Φ/ab
vA = 1.0 m/s
vB = 0.5 m/s
∆p = -375 Pa
pA = p0 – 468 Pa