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1) Scrivere la funzione di trasferimento di un sistema dinamico avente i modi {e −2t sin(3t + ϕ1 ), 1, t , t 2 }
T (s) =
s2 −1
2) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento T ( s ) =
stabilire:
( s + 7) 4 ( s 2 + 2) s
Σ è asintoticamente stabile: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬
Σ è semplicemente stabile vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬
Σ è instabile: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬
Σ è a fase minima: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬
Σ è stabile ingresso-limitato uscita limitata: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬
3) Sia noto che la coppia di funzioni ingresso-uscita ( sin 2t , cos 2t ) appartiene all’insieme dei behaviors B di
un sistema dinamico. Determinare una funzione y (t ) tale che ( 2 cos 2t , y (t ) ) ∈ B :
y (t ) =
s +1
viene applicato l’ingresso
s+4
u (t ) = 4 ⋅1(t ) (segnale a gradino). L’uscita corrispondente ha la struttura y (t ) = A + Be−4t per t > 0 .
e B=
.
Determinare le costanti A =
4) Ad un sistema dinamico in quiete con funzione di trasferimento
5) Un sistema dinamico Σ sia descritto dall’eq. diff. 3Dy + 2 y = u dove u è l’ingresso e y l’uscita.
g (t ) =
Determinare la risposta all’impulso di Σ :
6) Scrivere la funzione di trasferimento di una generica rete ritardatrice Cr ( s ) =
7) Determinare la trasformata di Laplace del segnale f (t ) = 3 ⋅1(t − 4) :
F (s) =
s 2 + 2s
8) Un sistema dinamico Σ è rappresentato dalla funzione di trasferimento
. Determinare i
( s + 1)( s + 2)( s + 4)
suoi poli: {poli di Σ} = {
}
9) Dato il segnale definito da f (t ) = 0 per t < 0 e f (t ) = 7 + 5t per t ≥ 0 determinarne la derivata seconda
generalizzata: D*2 f (t ) =
s3 + s
stabilire quanti sono i poli e gli
s3 − s 2 + s + 2
zeri in ^ − , ^ + ed in j \ (asse immaginario del piano complesso):
Numero dei poli in ^ − =
Numero degli zeri in ^ − =
Numero dei poli in ^ + =
Numero degli zeri in ^ + =
Numero dei poli in j \ =
Numero degli zeri in j \ =
10) Dato un sistema dinamico con funzione di trasferimento
s2 −1
1) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento T ( s ) =
stabilire:
( s + 7) 4 ( s 2 + 2) 2 s
Σ è asintoticamente stabile: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬
Σ è semplicemente stabile vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬
Σ è a fase minima: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬
Σ è instabile: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬
Σ è stabile ingresso-limitato uscita limitata: vero ‫ ٱ‬falso ‫ٱ‬
2) Sia noto che la coppia di funzioni ingresso-uscita ( sin 3t , 4sin 3t ) appartiene all’insieme dei behaviors B di
un sistema dinamico. Determinare una funzione y (t ) tale che ( 3cos 3t , y (t ) ) ∈ B :
y (t ) =
s +1
viene applicato l’ingresso
s+4
u (t ) = 12 ⋅1(t ) (segnale a gradino). L’uscita corrispondente ha la struttura y (t ) = A + Be −4t per t > 0 .
Determinare le costanti A =
e B=
.
3) Ad un sistema dinamico in quiete con funzione di trasferimento
4) Un sistema dinamico Σ sia descritto dall’eq. diff. 4 Dy + 3 y = u dove u è l’ingresso e y l’uscita.
Determinare la risposta all’impulso di Σ :
g (t ) =
5) Scrivere la funzione di trasferimento di un sistema dinamico avente i modi {e −2t sin(7t + ϕ1 ), 1, t}
T (s) =
6) Scrivere la funzione di trasferimento di una generica rete anticipatrice Cr ( s ) =
7) Dato il segnale definito da f (t ) = 0 per t < 0 e f (t ) = 9 + 2t per t ≥ 0 determinarne la derivata seconda
generalizzata: D*2 f (t ) =
8) Determinare la trasformata di Laplace del segnale f (t ) = 7 ⋅1(t − 5) :
F (s) =
s 2 + 4s
9) Un sistema dinamico Σ è rappresentato dalla funzione di trasferimento
. Determinare i
( s + 3)( s + 4)( s + 9)
suoi poli: {poli di Σ} = {
}
s2 + 7s + 1
stabilire quanti sono i poli e gli
s3 + s 2 + s + 1
zeri in ^ − , ^ + ed in j \ (asse immaginario del piano complesso):
Numero dei poli in ^ − =
Numero degli zeri in ^ − =
Numero dei poli in ^ + =
Numero degli zeri in ^ + =
Numero degli zeri in j \ =
Numero dei poli in j \ =
10) Dato un sistema dinamico con funzione di trasferimento
PARTE A
A1) Si esponga il metodo di progetto di una rete a ritardo e anticipo con imposizione del margine di fase M F .
A2) Determinare l’evoluzione forzata y (t ) in risposta al gradino unitario u (t ) = 1(t ) di un sistema con funzione
1
di trasferimento G ( s ) =
.
( s + 1)( s + 2)
Tale evoluzione forzata y (t ) è di classe C1 su \ ? [giustificare la risposta data]
Università di Parma – Facoltà di Ingegneria
Prova Scritta di Controlli Automatici A
PARTE B
B1) Sia assegnato il seguente sistema retroazionato
r +
e −3s
(1 + 2s )2
C (s )
-
c
dove C ( s ) = K > 0 è un controllore proporzionale.
1) Si determini utilizzando il criterio di Nyquist il campo di stabilità (esatto) in K che assicuri la stabilità
asintotica del sistema retroazionato;
2) Si approssimi il ritardo finito e −3s con un approssimante di Padè del primo ordine e si determini il campo di
stabilità (approssimato) in K mediante il criterio di Routh. Discutere e confrontare i risultati ottenuti ai punti
1 e 2.
B2) Sia dato il seguente sistema
u
+
C(s)
-
con P ( s ) =
d
+
P(s)
y
+
4
.
s+2
Determinare un controllore proprio di ordine minimo C ( s) che soddisfi alle seguenti specifiche:
1) reiezione infinita asintotica al disturbo sinusoidale d (t ) = 3sin 3t ,
2) sistema retroazionato asintoticamente stabile con poli dominanti in −2 ± j ,
3) costante di posizione K p = 4 .
Parte C1
Sia dato il seguente sistema meccanico
dove x1 e x2 rappresentano le posizioni di due masse rispetto ad un sistema di riferimento orizzontale, scelto in
modo tale che per x1=0 e x2=0 il sistema si trovi in equilibrio, K è la costante elastica delle due molle e u è una
forza esterna agente sulla massa.
1) Determinare l’equazione differenziale che determina il moto delle due masse.
2) Determinare la funzione di trasferimento P( s) tra la forza u e la posizione della massa x1
3) Posto M = 1kg , K = 1N/m , determinare il diagramma di bode di P ( s ) e calcolare le pulsazioni di
risonanza del sistema.
Parte C2
Si tracci il luogo delle radici della seguente equazione caratteristica:
1+ K
s ( s + 3)
( s + 2)
per K ∈ [ 0, +∞ ) , determinandone in particolare gli asintoti.
4

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