fondamenti di - Dipartimento di Ingegneria dell`Informazione

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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi
22 novembre 2006
2
Indice
1 Analisi nel tempo di sistemi LTI
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Analisi della risposta di un sistema LTI . . .
1.3 Risposta libera e risposta forzata . . . . . . .
1.4 Risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Analisi in continua . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Analisi modale . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Criterio di Routh . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Poli/zeri e comportamento dinamico . . . . .
1.9.1 Sistemi del primo ordine . . . . . . . .
1.9.2 Sistemi del secondo ordine . . . . . . .
1.9.3 Sistemi di ordine superiore al secondo
1.10 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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5
6
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15
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20
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29
33
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38
44
46
4
Indice
Capitolo 1
Analisi nel tempo di sistemi LTI
1.1
Introduzione
Questo capitolo è dedicato all’analisi, nel dominio del tempo, di sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) a tempo-continuo. Sebbene nessun sistema reale si
comporti rigorosamente in modo lineare, i sistemi dinamici lineari sono largamente usati per modellizzare molti sistemi reali in svariati settori dell’ingegneria e della scienza. Inoltre, sebbene i parametri del sistema reale possano
variare nel tempo per ragioni di varia natura, tali variazioni temporali risultano spesso assai lente rispetto ai tempi di interesse da poter essere trascurate
giustificando così l’ipotesi di tempo-invarianza. Per i suddetti motivi, risulta
di fondamentale importanza mettere a punto strumenti matematici per l’analisi di sistemi LTI, nonché avere una profonda conoscenza del comportamento
dinamico di tali sistemi. D’altro canto, come si vedrà nel capitolo 4, l’analisi
di sistemi LTI, oltre ad essere importante di per sé, costituisce anche uno strumento per lo studio del comportamento di sistemi non lineari nell’intorno di
un equilibrio. In particolare, verranno trattati i seguenti argomenti:
• determinazione esplicita della risposta per preassegnati segnale di ingresso e condizioni iniziali;
• legame fra matrici di stato e funzione di trasferimento;
• principio di sovrapposizione degli effetti e scomposizione della risposta
in risposta libera e risposta forzata;
• risposta impulsiva e legami con la funzione di trasferimento;
• determinazione esplicita della risposta ad un ingresso costante e sua
scomposizione in risposta transitoria ed a regime permanente;
5
6
Analisi della risposta di un sistema LTI
• definizione dei modi naturali che caratterizzano il comportamento dinamico del sistema;
• definizione del concetto fondamentale di stabilità ed alcuni criteri per
l’analisi di stabilità;
• analisi delle caratteristiche della risposta al gradino di sistemi del primo
e del secondo ordine;
L’analisi nel dominio del tempo di questo capitolo verrà complementata dall’analisi in frequenza del capitolo 5.
1.2
Un problema di fondamentale importanza nello studio dei sistemi dinamici è
quello di determinarne l’andamento nel tempo delle variabili di interesse (uscite) in risposta ad assegnati ingressi e condizioni iniziali. Questo problema
prende il nome di analisi della risposta e verrà nel seguito trattato in riferimento ai sistemi LTI a tempo-continuo, considerando entrambi i casi in cui il
sistema sia descritto da un modello ingresso-uscita oppure da un modello di
stato. Si noti che, da un punto di vista matematico, il problema consiste nella
soluzione di equazioni differenziali ordinarie, lineari a coefficienti costanti, con
termine forzante e condizioni iniziali assegnate. L’approccio utilizzato nella soluzione farà uso della trasformata di Laplace (vedi Appendice ?) e si articolerà
nella seguenti tre fasi.
1. Si determina la trasformata di Laplace U (s) dell’ingresso u(t) assegnato.
2. Si calcola la trasformata di Laplace Y (s) della risposta.
3. Si determina la desiderata risposta nel tempo y(t) come antitrasformata
di Laplace di Y (s).
Modello ingresso-uscita
Si consideri il modello ingresso-uscita SISO di ordine n
y(t) = G(D) u(t),
G(D) =
b(D)
b0 Dn + b1 Dn−1 + · · · + bn
=
a(D)
Dn + a1 Dn−1 + · · · + an
(1.2.1)
ovvero in forma estesa
Dn y(t) + a1 Dn−1 y(t) + · · · + an y(t) = b0 Dn u(t) + b1 Dn−1 u(t) + · · · + bn u(t)
(1.2.2)
7
L’obiettivo è il seguente: date le condizioni iniziali y(0), Dy(0), . . . , Dn−1 y(0)
all’istante t = 0 e l’andamento nel tempo dell’ingesso u(t) per t ≥ 0, determinare l’andamento nel tempo della risposta y(t) per t ≥ 0. A tale proposito si trasformano secondo Laplace ambo i membri dell’equazione differenziale
ingresso-uscita (1.2.2). Sfruttando le proprietà di linearità e di derivazione della trasformata di Laplace (vedi Appendice ?), si ottiene la seguente espressione
per la trasformata di Laplace Y (s) dell’uscita:
Y (s) = G(s)U (s) +
p(s)
a(s)
(1.2.3)
dove p(s) è un polinomio in s della forma
p(s) = p1 sn−1 + p2 sn−2 + · · · + pn
i cui coefficienti sono forniti dalla seguente



p1
1
 p2 
 a1
1



 ..  =  ..
..
 . 
 .
.
pn
an−1 an−2 · · ·
relazione matriciale
 

y(0)
  Dy(0) 
 

 

..
 

.
1
(1.2.4)
(1.2.5)
Dn−1 y(0)
La verifica delle relazioni (1.2.3)-(1.2.5) è lasciata per esercizio al lettore. Si noti
che le condizioni iniziali dell’ingresso u(0), Du(0), . . . , Dn u(0) non compaiono
nell’espressione di Y (s) in quanto l’ingresso è identicamente nullo per t < 0.
Definendo il vettore di stato
′
x(t) = y(t), Dy(t), . . . , Dn−1 y(t)
(1.2.6)
e la funzione di trasferimento dalle condizioni iniziali


1
n−1

1
s
, . . . , s, 1 
r(s)
 a1

=
F (s) =
 ..

.
..
a(s)
a(s)
 .

an−1 an−2 · · · 1
(1.2.7)
la (1.2.3) può essere equivalentemente riespressa nella seguente forma
Y (s) = F (s)x(0) + G(s)U (s)
(1.2.8)
che evidenzia la dipendenza lineare della risposta Y (s) (y(t) nel tempo) dalle
condizioni iniziali x(0) = [y(0), Dy(0), . . . , Dn−1 y(0)]′ e dall’ingresso U (s) (u(t)
nel tempo). Si osservi che le funzioni di trasferimento G(s) e F (s) sono razionali (rapporti di polinomi) in s con denominatore a(s) = sn +a1 sn−1 +· · ·+an ,
polinomio di grado n definito dai coefficienti ai delle derivate dell’uscita nell’equazione differenziale ingresso-uscita (1.2.2). Tale polinomio è detto polinomio
caratteristico del sistema (1.2.2).
8
Modello di stato
Si consideri il modello di stato di ordine n (x ∈ IRn )
ẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du
(1.2.9)
Dati lo stato iniziale x(0) e l’ingresso u(t) per t ≥ 0 si vuole determinare la
risposta y(t) per t ≥ 0. Trasformando secondo Laplace (1.2.9) e applicando le
proprietà di linearità e di derivazione, si ha:
sX(s) − x(0) = AX(s) + BU (s)
Y (s) = CX(s) + DU (s)
(1.2.10)
(1.2.11)
Da (1.2.10) si ottiene:
(sI − A) X(s) = x(0) + B U (s)
(1.2.12)
Assumendo per il momento l’invertibilità della matrice sI − A, che sarà giustificata in seguito, si può risolvere (1.2.12) rispetto alla trasformata X(s) dello
stato, ottenendo:
X(s) = (sI − A)−1 BU (s) + (sI − A)−1 x(0)
Sostituendo (1.2.13) in (1.2.11) si ha, infine,
Y (s) = C(sI − A)−1 B + D U (s) + C(sI − A)−1 x(0)
(1.2.13)
(1.2.14)
che esprime la trasformata di Laplace dell’uscita Y (s) come funzione lineare della trasformata di Laplace dell’ingresso U (s) e dello stato iniziale x(0).
Confrontando (1.2.14) con (1.2.8) si stabilisce un’equivalenza fra il modello
ingresso-uscita (1.2.1) ed il modello di stato (1.2.9). Infatti (1.2.14) è della
forma (1.2.8) ponendo:
G(s) = C (sI − A)−1 B + D
−1
F (s) = C (sI − A)
(1.2.15)
(1.2.16)
La formula (1.2.15) fornisce quindi la funzione di trasferimento del modello di
stato (1.2.9) in funzione delle sue matrici A, B, C, D. Viceversa, la funzione di
trasferimento dalle condizioni iniziali in (1.2.16) va confrontata con l’equivalente in (1.2.7) relativo al modello ingresso-uscita. Per comprendere meglio i
legami fra modello ingresso-uscita e modelo di stato nonché per evidenziare le
caratteristiche delle funzioni di trasferimento G(s) ed F (s), occorre esaminare
9
△
in dettaglio la struttura della matrice Φ(s) = (sI − A)−1 . Per la regola di
Cramer,
adj(sI − A) △ A(s)
△
Φ(s) = (sI − A)−1 =
=
(1.2.17)
det(sI − A)
a(s)
dove det e adj denotano il determinante e, rispettivamente, l’aggiogata della
△
matrice. Si ricorda che a(s) = det(sI − A) non è altro che il polinomio caratteristico della matrice A, le cui radici coincidono con gli autovalori della stessa
matrice. È ben noto che, per una matrice n × n, tale polinomio è monico e di
grado n, cioè è della forma
a(s) = sn + a1 sn−1 + · · · + an
(1.2.18)
per opportuni coefficienti a1 , a2 , . . . , an . Si noti peraltro che, essendo il polinomio a(s) = det(sI − A) diverso dal polinomio nullo, la matrice sI − A risulta
effettivamente invertibile come ipotizzato in precedenza. Si ricorda, inoltre,
che l’aggiogata di una matrice quadrata M è una matrice quadrata delle stesse
dimensioni di M la cui componente mij , di riga i e colonna j, è definita nel
seguente modo
mij = (−1)i+j det(Mji )
dove Mji è la sottomatrice di M ottenuta eliminando la j-esima riga e la iesima colonna. In virtù di questa definizione e della particolare struttura della
△
matrice sI − A si constata che le componenti della matrice A(s) = adj(sI − A)
sono polinomi in s di grado alpiù n − 1. In altri termini, la matrice A(s) a
numeratore in (1.2.17), risulta della forma
A(s) = A1 sn−1 + A2 sn−2 + · · · + An
(1.2.19)
per opportune matrici quadrate A1 , A2 , . . . , An delle stesse dimensioni di A (in
particolare si dimostra che A1 coincide con la matrice identità). Pertanto, le
funzioni di trasferimento (1.2.15)-(1.2.16) hanno la struttura
G(s) =
CA(s)B
+D =
a(s)
CA(s)B + a(s)D
a(s)
F (s) =
CA(s)
a(s)
r(s)
a(s)
=
cioè sono matrici di funzioni razionali con denominatore comune a(s) e grado
del numeratore che non eccede quello del denominatore. Si ricorda che queste
stesse proprietà risultavano soddisfatte anche nel caso di modello ingressouscita. Per formalizzare le proprietà delle funzioni di trasferimento, si introduce
la seguente definizione.
n(s)
dicesi
Definizione - La funzione razionale R(s) =
d(s)
10
• propria se il grado del numeratore n(s) è inferiore o uguale a quello del
denominatore d(s);
• bipropria se il grado di n(s) coincide con quello di d(s);
• strettamente propria se il grado di n(s) è strettamente inferiore a quello
di d(s).
Pertanto G(s) è una matrice di funzioni razionali proprie mentre F (s) è
una matrice di funzioni razionali strettamente proprie. In particolare, nel
caso di modelli di stato, se la matrice D è non nulla qualche componente
di G(s) risulta bipropria; viceversa se D = 0, tutte le componenti di G(s)
sono strettamente proprie. Nel caso di modelli ingresso-uscita, G(s) risulta
bipropria o strettamente propria a seconda che b0 6= 0 oppure b0 = 0.
Esempi
Riassumendo i precedenti sviluppi, per l’analisi della risposta di un sistema
LTI si può procedere nel seguente modo:
1. U (s) = L[u(t)]
2. Y (s) = F (s)x(0) + G(s)U (s)
3. y(t) = L−1 [Y (s)]
Per il primo passo si può assumere, senza perdita di generalità, che l’ingresso
u(t) sia un segnale modale con una eventuale componente impulsiva. Si possono così sfruttare le trasformate di Laplace di segnali modali e dell’impulso
riportate in Appendice ?. Un segnale modale risulta dalla somma e/o dal prodotto di un numero finito di segnali polinomiali tj (j = 0, 1, . . . ), esponenziali
eλt (λ ∈ IR) e sinusoidali sin(ωt) (ω ∈ IR+ ). Pertanto la classe dei segnali modali, estesa con l’impulso di Dirac, è molto ricca e comprende tutti i possibili
segnali di interesse in ambito ingegneristico. La peculiarità di un segnale u(t)
di questo tipo è quella di avere trasformata di Laplace U (s) razionale propria.
Per il secondo passo si utilizzano le definizioni appropriate di F (s), G(s),
x(0) a seconda che il sistema sia descritto da un modello di stato oppure
ingresso-uscita.
Infine, il terzo passo richiede l’antitrasformazione di Y (s). Se si assume che
u(t) è un segnale con trasformata di Laplace U (s) razionale propria, essendo
razionali proprie anche F (s) e G(s), Y (s) risulta di conseguenza razionale
propria. Come illustrato in Appendice ?, per antitrasformare secondo Laplace
11
una funzione razionale propria si ricorre allo sviluppo di Heaviside:
Y (s) =
n(s)
r
Y
i=1
= c+
ni
(s − pi )
ni
r X
X
i=1 j=1
Kij
(s − pi )j
p1 6= p2 6= · · · =
6 pr (1.2.20)
da cui si deduce la antitrasformata
y(t) = c δ(t) +
ni
r X
X
i=1 j=1
Kij
tj−1 epi t
(j − 1)!
(1.2.21)
Si noti che la risposta nel tempo y(t) risulta combinazione lineare di un impulso δ(t) e di segnali modali tj−1 epi t , per i = 1, 2, . . . , r, e j = 1, 2, . . . , ni .
Questi ultimi dipendono dai poli pi della funzione razionale Y (s) e dalle loro
molteplicità ni . Ovviamente fra questi poli vi possono essere coppie di numeri
complessi coniugati che danno origine a coefficienti Kij complessi ed esponenziali epi t complessi nell’espressione (1.2.21). Sia ad esempio pi = σi ± jωi
una coppia di poli complessi coniugati di molteplicità ni . Allora, nella risposta
(1.2.21) compariranno, unitamente ai termini associati agli altri poli, i seguenti
termini
ni X
K ij
Kij
tj−1 eσi t ejωi t +
tj−1 eσi t e−jωi t
(j − 1)!
(j − 1)!
j=1
n
i
X
2|Kij | j−1 σi t
t e cos(ωi t + ∠Kij )
=
(1.2.22)
(j − 1)!
j=1
ni
X
=
αij tj−1 eσi t cos(ωi t) + βij tj−1 eσi t sin(ωi t)
j=1
dove
αij =
2 |Kij | cos(∠Kij )
2 |Kij | sin(∠Kij )
, βij = −
(j − 1)!
(j − 1)!
(1.2.23)
Negli sviluppi in (1.2.22) si è tenuto conto che:
1. Kij = |Kij | ej∠Kij ;
2. se Kij sono i coefficienti associati al polo pi nello sviluppo di Heaviside,
allora K ij = |Kij | e−j∠Kij sono i coefficienti associati al polo pi (vedi
Appendice ?);
3. ejx + e−jx = 2 cos(x).
12
La (1.2.22) evidenzia come la presenza di poli complessi coniugati comporti la
comparsa di fenomeni oscillatori nella risposta. Per esprimere la risposta nel
tempo y(t) in forma reale, risulta conveniente partizionare i poli di Y (s) in poli
reali pi ∈ IR (i = 1, 2, . . . , ℓ) e coppie di poli complessi coniugati pi = σi + jωi
e pi = σi − jωi (i = ℓ + 1, ℓ + 2, . . . , ℓ + h). Pertanto (1.2.21) assume la forma
y(t) = c δ(t) +
ni
ℓ X
X
αij tj−1 epi t +
i=1 j=1
+
ni
ℓ+h X
X
αij tj−1 eσi t cos(ωi t) + βij tj−1 eσi t sin(ωi t)
(1.2.24)
i=ℓ+1 j=1
con αij e βij forniti da (1.2.23) per i = ℓ + 1, ℓ + 2, . . . , ℓ + h e
αij =
Kij
(j − 1)!
per i = 1, 2, . . . , ℓ
(1.2.25)
Per illustrare il procedimento di analisi della risposta di un sistemi LTI si
considerano di seguito alcuni esempi.
Esempio 1.1 - Dato il sistema elettromeccanico (servomeccanismo di posizione) dell’esempio ??, si determinino le risposte ad un ingresso impulsivo
u(t) = u δ(t) e ad un ingresso a gradino u(t) = u 1(t) per arbitrarie condizioni
iniziali y(0) e ẏ(0).
Trasformando secondo Laplace la rappresentazione ingresso uscita (??), si ha
i
h
K
y(0)s + ẏ(0) + Jβ y(0)
Y (s) = J U (s) +
s s + Jβ
s s + Jβ
Il lettore può facilmente verificare che si perviene alla stessa espressione partendo dalla rappresentazione di stato (??). Posto u(t) = u δ(t), risulta U (s) = u
da cui
i
h
y(0)s + ẏ(0) + Jβ y(0) + K
J
K1
K2
(1.2.26)
=
+
Y (s) =
β
s
s+ β
s s+
J
J
con
K1 = [sY (s)]s=0
β
Y (s)
K2 =
s+
J
s=−β/J
J
ẏ(0) +
β
J
− ẏ(0) −
β
= y(0) +
=
K
u
β
K
u
β
13
Pertanto, antitrasformando (1.2.26), si ottiene la risposta all’impulso
β
J
K
y(t) = y(0) +
1 − e− J t .
ẏ(0) + u
(1.2.27)
β
β
Analogamente si procede per la risposta al gradino; posto u(t) = u 1(t) e,
quindi, U (s) = u/s, si ha
i
h
y(0)s2 + Jβ y(0) + ẏ(0) s + K
Ju
K3
K1 K2
+ 2 +
Y (s) =
(1.2.28)
=
β
s
s
s + Jβ
s2 s + J
Uguagliando i numeratori in (1.2.28)
β
K
β
β
y(0)s2 +
y(0) + ẏ(0) s + u = K1 s2 + K1 s + K2 s + K2 + K3 s2
J
J
J
J
da cui le equazioni lineari


K = y(0) + Jβ ẏ(0) −

 1
β
K2 =
J y(0) + ẏ(0)  =⇒ 


K

K3 =
− Jβ ẏ(0) +
J u



K1 + K3 = y(0)
β
J
K1 + K2 =
β
J
K2 =
KJ
u
β2
K
β u
KJ
u
β2
Antitrasformando (1.2.28) e sostituendo i valori dei residui trovati, si ottiene
la risposta al gradino
β
K
J
KJ
y(t) = y(0) + u t +
(1.2.29)
1 − e− J t
ẏ(0) − 2 u
β
β
β
Esempio 1.2 - Dato il circuito elettrico serie RLC dell’esempio 2.1 con
valori dei parametri circuitali che soddisfano le relazioni R/L = 2 s−1 e LC =
1/2 s−2 , si determini l’andamento nel tempo dell’uscita y(t), tensione ai capi
del condensatore, in risposta ad un ingresso a gradino u(t) = u δ(t) e a partire
da una condizione iniziale di equilibrio caratterizzata da corrente nulla i(0) =
C ẏ(0) = 0 e da una generica tensione iniziale y(0) ai capi del condensatore.
Dalla rappresentazione di stato (??) oppure dalla rappresentazione ingressouscita (??) si ottiene la seguente espressione per la trasformata di Laplace
dell’uscita:
Y (s) =
s2 +
1
LC
1
R
L s + LC
U (s) +
y(0)s + ẏ(0) +
s2 +
R
Ls
+
R
L y(0)
1
LC
14
Risposta libera e risposta forzata
da cui - posto U (s) = u/s, R/L = 2, 1/LC = 2, ẏ(0) = 0 - si ha
y(0)s2 + 2y(0)s + 2u
K2
K1
K2
=
+
+
s (s2 + 2s + 2)
s
s−p s−p
(1.2.30)
dove p = −1 − j e p = −1 + j sono le due radici complesse coniugate del
polinomio caratteristico a(s) = s2 + 2s + 2. Il calcolo dei residui fornisce:
K1 = [sY (s)]s=0
K2 = [(s − p)Y (s)]s=p
= u
π
1
1
(1 + j) [y(0) − u] = √ [y(0) − u] e−j 4
=
2
2
Antitrasformando (1.2.30) e sostituendo i valori trovati dei residui, si determina
la desiderata risposta al gradino:
√
π
(1.2.31)
y(t) = u + K2 ept + K 2 ept = u + 2 [y(0) − u] e−t cos t −
4
Si noti che tale risposta risulta costante, cioè y(t) ≡ u, per un particolare valore della condizione iniziale, precisamente quando y(0) = u.
Nei tre paragrafi successivi si analizzeranno alcune risposte tipiche. Alla
luce dell’equivalenza fra rappresentazione di stato e rapresentazione ingressouscita emersa in questo paragrafo, negli sviluppi che seguono si farà riferimento
indistinto ad entrambi i tipi di rappresentazione del sistema LTI assumendo
implicitamente per le funzioni di trasferimento G(s) e F (s), per il vettore di
stato x(t) e per il polinomio caratteristico a(s) le definizioni appropriate.
1.3
Risposta libera e risposta forzata
L’analisi della risposta svolta nel precedente paragrafo ne ha evidenziato la
decomposizione
Y (s) = Yℓ (s) + Yf (s)
(1.3.1)
in due termini additivi
Yℓ (s) = F (s)x(0) =
Yf (s) = G(s)U (s)
p(s)
r(s)
x(0) =
a(s)
a(s)
(1.3.2)
(1.3.3)
Il termine Yℓ (s) (yℓ (t) nel dominio del tempo) è lineare rispetto al vettore delle
condizioni iniziali x(0) e rappresenta la risposta che si avrebbe in assenza di
azione forzante (ingresso nullo) a partire dalle condizioni inziali x(0) assegnate;
per questo motivo viene detta risposta libera o anche risposta ad ingresso nullo.
15
Viceversa il termine Yf (s) (yf (t) nel dominio del tempo) è lineare rispetto
all’ingresso e rappresenta la risposta che si avrebbe a partire da condizioni
iniziali nulle per effetto della sola azione forzante; per questo motivo viene
detta risposta forzata o anche risposta dallo stato iniziale nullo. Si noti che
Yℓ (s) è una funzione razionale strettamente propria con denominatore uguale
al polinomio caratteristico a(s). Pertanto l’evoluzione libera yℓ (t) risulterà
combinazione lineare di segnali modali dipendenti dalle radici del polinomio
a(s).
La decomposizione in risposta libera e risposta forzata (1.3.1), o equivalentemente nel dominio del tempo
y(t) = yℓ (t) + yf (t),
(1.3.4)
è conseguenza di un principio più generale a cui obbediscono tutti i sistemi
lineari, che va sotto il nome di principio di sovrapposizione degli effetti. Tale
principio viene di seguito enunciato.
Proposizione (Principio di sovrapposizione degli effetti ) - Sia yi (t) per
i = 1, 2 la risposta di un sistema lineare all’ingresso ui (t) e a condizioni iniziali
xi (0). Siano αi ∈ IR (i = 1, 2) arbitrarie costanti reali. Allora la risposta
y(t) del sistema all’ingresso u(t) = α1 u1 (t) + α2 u2 (t) a partire dalle condizioni
iniziali x(0) = α1 x1 (0) + α2 x2 (0) è
y(t) = α1 y1 (t) + α2 y2 (t)
Dimostrazione - Sebbene il principio valga per un generico sistema lineare,
anche tempo-variante, si riporta per semplicità la dimostrazione nel caso LTI.
Usando la trasformata di Laplace:
Y (s) = L [y(t)] = G(s) [α1 U1 (s) + α2 U2 (s)] + F (s) [α1 x1 (0) + α2 x2 (0)]
= α1 [G(s)U1 (s) + F (s)x1 (0)] + α2 [G(s)U2 (s) + F (s)x2 (0)]
= α1 Y1 (s) + α2 Y2 (s)
da cui, mediante antitrasformata di Laplace, y(t) = α1 y1 (t) + α2 y2 (t) come
volevasi dimostrare.
1.4
Risposta impulsiva
Si consideri la risposta, per condizioni iniziali nulle, ad un ingresso uguale ad
un impulso unitario cioè
x(0) = 0,
u(t) = δ(t) =⇒ U (s) = 1
16
Risposta impulsiva
Da (1.2.8), tale risposta risulta
Y (s) = G(s) =⇒ y(t) = g(t) = L−1 [G(s)]
Questo giustifica il nome di risposta impulsiva attribuito alla funzione del tempo g(t), antitrasformata di Laplace della funzione di trasferimento G(s). In virtù del teorema di deconvoluzione della trasformata di Laplace (vedi Appendice
?),
Z t
Z t
g(r)u(t − r)dr (1.4.1)
g(t − r)u(r)dr =
Yf (s) = G(s)U (s) =⇒ yf (t) =
0
0
cioè la risposta forzata è l’integrale di convoluzione fra la risposta impulsiva e
l’ingresso. In particolare, la risposta forzata h(·) ad un gradino unitario si può
calcolare da (1.4.1) ponendo u(t − r) ≡ 1 e risulta:
Z t
g(r)dr
(1.4.2)
h(t) =
0
da cui si deduce anche la relazione inversa
△
g(t) = ḣ(t) =
dh(t)
dt
(1.4.3)
Si noti che, dal momento che Yℓ (s) e G(s) hanno lo stesso denominatore a(s),
la risposta libera e la risposta impulsiva risulteranno combinazioni lineari degli
stessi segnali modali.
Esempio 1.3 - Si consideri il modello di inquinamento fluviale da sostanze
bio-degradabili di Streeter e Phelps (1925):
ẋ1 = −Kd x1 +
u
(1.4.4)
ẋ2 =
Kd x1 − Ko x2
dove: x1 rappresenta la concentrazione di sostanze biodegradabili disciolte nell’acqua, espressa in termini di domanda biochimica di ossigeno (BOD), cioè
un BOD di 1 mg/l è la concentrazione di sostanze biodegradabili che necessita
di 1 mg/l di ossigeno disciolto per essere biodegradata dai batteri; x2 è il cosiddetto deficit di ossigeno disciolto (DOD), cioè la differenza tra la massima
concentrazione possibile di ossigeno disciolto nell’acqua e quella effettivamente
presente (espresse in mg/l); il termine Kd x1 modella l’incremento di DOD
nella seconda equazione e la corrispondente diminuzione di BOD nella prima
equazione, che avvengono ad un tasso proporzionale al BOD; il termine −Ko x2
nella seconda equazione rappresenta la reareazione del corpo idrico che avviene
17
attraverso la superficie del fiume ad un tasso proporzionale al DOD; i parametri
Kd > 0 e Ko > 0 sono detti costante di deossigneazione e, rispettivamente, di
ossigenazione. Il tempo t rappresenta in realtà il tempo di flusso cioè il tempo
necessario all’acqua per raggiungere la generica sezione di fiume a partire dalla
sezione iniziale. Da tale tempo t si può risalire alla distanza z della generica sezione di fiume dalla sezione di monte, conoscendo la velocità di flusso v,
tramite la relazione z = vt. Pertanto x1 (t) e x2 (t) sono le concentrazioni di
BOD e DOD nella sezione z = vt e u(t)dt è il BOD aggiunto al corpo idrico
dagli scarichi distribuiti tra la sezione z = vt e z + dz = v(t + dt). Assumendo
i seguenti valori numerici:
DO iniziale
DO di saturazione
velocità di flusso
costante di deossigenazione
costante di ossigenazione
7.6 mg/l
9.1 mg/l
v = 0.3 m/s
Kd = 0.2 giorni−1
Ko = 0.4 giorni−1
ed ipotizzando la presenza di uno scarico inquinante concentrato di 20 mg/l
in corrispondenza della sezione t = 0 (z = vt = 0)
1. determinare gli andamenti x1 (t) e x2 (t) di BOD e DOD;
2. verificare che il DOD ha un massimo e determinare la distanza zc dalla
sezione di scarico in cui si raggiunge questo valore critico (di massimo
inquinamento) ed il corrispondente valore critico DODc .
Da (1.4.4) è immediato ricavare le matrici di stato A, B e C (D = 0) e
quindi, con semplici calcoli, determinare la trasformata di Laplace del vettore
di stato
X(s) = (sI − A)−1 x(0) + (sI − A)−1 BU (s) =

U (s) + x1 (0)

X1 (s)
s + Kd
=
 Kd U (s) + x2 (0)s + Kd (x1 (0) + x2 (0))
X2 (s)
(s + Kd )(s + Ko )




Si noti che lo scarico concentrato ipotizzato può essere rappresentato tramite
la condizione iniziale x1 (0) = 20 mg/l o, equivalentemente, con x1 (0) = 0 e
l’ingresso impulsivo u(t) = u δ(t), u = 20 mg/l. Per maggiore generalità si
procede nel seguito con condizioni iniziali x1 (0), x2 (0) e ampiezza dell’impulso
u arbitrarie. Per il BOD si ha:
X1 (s) =
x1 (0) + u
s + Kd
=⇒ x1 (t) = [x1 (0) + u] e−Kd t
(1.4.5)
18
Risposta impulsiva
Viceversa, per il DOD,
X2 (s) =
K1
K2
x2 (0)s + Kd [x1 (0) + x2 (0) + u]
=
+
(s + Ko )(s + Kd )
s + Ko s + Kd
dove
K1 = [sX2 (s)]s=−Ko
= x2 (0) −
K2 = [sX2 (s)]s=−Kd
=
Kd
[x1 (0) + u]
Ko − Kd
Kd
[x1 (0) + u]
Ko − Kd
Antitrasformando:
x2 (t) = e−Ko t x2 (0) +
Kd
Ko − Kd
e−Kd t − e−Ko t
(x1 (0) + u)
(1.4.6)
Da (1.4.5) si osserva che il BOD ha un andamento monotonicamente decrescente a zero con tasso Kd pari alla costante di deossigenazione. Viceversa,
(1.4.6) evidenzia che il DOD parte da un valore iniziale x2 (0) ≥ 0 e poi converge asintoticamente a zero; pertanto l’andamento del DOD deve presentare
un massimo DODc = x2 (tc ) > 0 in corrispondenza di un istante tc > 0. Per
determinare tale massimo, si osserva da (1.4.4) che ẋ2 (t) = Kd x1 (t) − Ko x2 (t)
per cui tc deve soddisfare la relazione:
x2 (tc ) =
Kd
x1 (tc )
Ko
(1.4.7)
Sostituendo in (1.4.7) le espressioni trovate in (1.4.5) e (1.4.6), dopo semplici
passaggi si ottiene
Ko
Ko − Kd x2 (0)
(Ko −Kd )tc
e
=
1−
Kd
Kd
x1 (0) + u
da cui
1
K0
Ko − Kd x2 (0)
tc =
ln
1−
Ko − Kd
Kd
Kd
x1 (0) + u
(1.4.8)
Il corrispondente DOD critico è
DODc = x1 (tc ) =
Kd −Kd tc
e
(x1 (0) + u)
Ko
(1.4.9)
Con i dati assegnati x2 (0) = 9.1 − 7.6 = 1.5 mg/l, x1 (0) = 0 e u = 20 mg/l
risulta
tc ≈ 3.076 giorni,
zc = vtc ≈ 79.728 km,
DODc ≈ 5.405 mg/l.
1.5
19
Analisi in continua
Per analisi in continua si intende lo studio della risposta del sistema ad un
ingresso costante. Si consideri, quindi, un ingresso costante
u(t) = u 1(t) =⇒ U (s) =
u
s
La corrispondente risposta, nel dominio di Laplace, assume la forma
Y (s) = G(s)
u p(s)
b(s)u + sp(s)
+
=
s a(s)
sa(s)
(1.5.1)
Assumendo a(0) 6= 0, cioè il sistema privo di poli in s = 0 o equivalentemente
con guadagno in continua G(0) = b(0)/a(0) finito, Y (s) ha un polo semplice
in s = 0 e, quindi, (1.5.1) ammette uno sviluppo di Heaviside della forma
Y (s) =
q(s)
y
+
s a(s)
dove la costante y, residuo in s = 0 di Y (s), è data da
p(s)
b(0)
y = lim [sY (s)] = lim G(s)u + s
u
= G(0)u =
s→0
s→0
a(s)
a(0)
(1.5.2)
(1.5.3)
e q(s) è un polinomio in s di grado alpiù n − 1 con coefficienti dipendenti dalle
condizioni iniziali x(0) e dal valore dell’ingresso u. Antitrasformando (1.5.3),
si ottiene la risposta nel tempo
y(t) = yR (t) + yT (t)
(1.5.4)
yR (t) = y = G(0)u
−1 q(s)
yT (t) = L
a(s)
(1.5.5)
con
(1.5.6)
Le relazioni (1.5.4)-(1.5.6) mostrano che la risposta ad un ingresso costante è
la somma di due termini:
• una risposta costante yR (t) di valore uguale al prodotto del guadagno in
continua G(0) per l’ingresso costante u;
• una risposta yT (t), antitrasformata di Laplace di una funzione razionale
strettamente propria con denominatore a(s), di caratteristiche simili alla
risposta libera ed alla risposta impulsiva precedentemente introdotte.
20
Analisi modale
Per motivi che saranno chiariti in seguito, yR (t) prende il nome di risposta
a regime mentre yT (t) viene detta risposta transitoria. La decomposizione in
risposta a regime (dello stesso tipo dell’ingresso che l’ha originata) più risposta
transitoria, che in questo paragrafo è stata ottenuta per un ingresso costante,
verrà estesa nel capitolo 5 ad un qualunque ingresso persistente risultante dalla
sovrapposizione di segnali sinusoidali.
Esempio 1.4 - Riconsiderando l’esempio 1.2 relativo ad un circuito elettrico
RLC serie, si individuino la risposta a regime e quella transitoria ad un ingresso
costante di ampiezza u, verificando l’esistenza di particolari condizioni iniziali
per cui la risposta transitoria si annulla.
La risposta in oggetto, assumendo il circuito in condizioni di equilibrio prima
dell’istante t = 0, è riportata in (1.2.31). Pertanto le componenti a regime e
transitoria di tale risposta risultano, rispettivamente,
√
π
yR (t) = u e yT (t) = 2 [y(0) − u] e−t cos t −
4
Si noti che il valore a regime è coerente con il fatto che il circuito presenta,
dalla tensione di ingresso u alla tensione di uscita y, guadagno in continua unitario. Inoltre il transitorio si esaurisce asintoticamente (per t → ∞) in modo
oscillatorio, per la presenza di due poli complessi coniugati, con una pulsazione ω = 1 pari alla parte immaginaria di tali poli. Infine si può constatare che
per condizioni iniziali y(0) = u e ẏ(0) = 0 la risposta transitoria si annulla lasciando la risposta identicamente uguale al valore di regime. Questa situazione
corisponde al caso in cui il circuito si trovava già, precedentemente all’istante t = 0, nella condizione di equilibrio corrispondente all’ingresso costante u.
1.6
Analisi modale
Nei precedenti paragrafi si è visto come alcune risposte caratteristiche del
sistema, quali
• la risposta libera,
• la risposta impulsiva,
• la risposta transitoria
abbiano in comune il fatto di essere rappresentate, nel dominio di Laplace, da
una funzione razionale propria con denominatore uguale al polinomio caratteristico. In virtù dello sviluppo di Heaviside di una funzione razionale (vedi
21
Appendice ?) tali risposte risultano, nel dominio del tempo, combinazioni lineari di segnali modali associati alle radici del polinomio caratteristico. Più
precisamente,
• ad una radice reale p di molteplicità µ sono associati i µ segnali
ept , tept , . . . , tµ−1 ept ;
(1.6.1)
• ad una coppia di radici complesse coniugate σ ± jω sono associati i 2µ
segnali
eσt cos(ωt), teσt cos(ωt), . . . , tµ−1 eσt cos(ωt),
eσt sin(ωt), teσt sin(ωt), . . . , tµ−1 eσt sin(ωt).
(1.6.2)
Tali segnali, dipendenti unicamente dal sistema considerato, vengono detti
modi naturali o, semplicemente, modi del sistema. Ad un sistema di ordine n (grado del polinomio a(s)) sono associati n modi che ne caratterizzano
qualitativamente il comportamento in evoluzione libera, sotto l’azione di un
ingresso impulsivo oppure in evoluzione transitoria. Fra i modi si distinguono
i modi aperiodici della forma (1.6.1) associati alle radici reali di a(s), dai modi
pseudoperiodici (1.6.2) associati alle radici non reali. Quindi, il sistema ha un
comportamento oscillatorio se possiede dei modi pseudoperiodici (1.6.2) ovvero in presenza di radici non reali di a(s). Per convenzione, la coppia di radici
complesse coniugate σ ± jω e i relativi modi pseudoperiodici sono solitamente
rappresentati ricorrendo ai due parametri
p
ωn = |σ ± jω| = σ 2 + ω 2
(1.6.3)
σ
(1.6.4)
δ = −
ωn
√
al posto di σ = −δωn (parte reale) e ω = 1 − δ 2 ωn (parte immaginaria). Il
parametro ωn , che coincide con il modulo dei numeri complessi σ±jω, prende il
nome di pulsazione naturale mentre il parametro δ viene detto fattore di smorzamento. Si noti che δ ∈ (−1, 1); δ = 0 corrisponde a due radici immaginarie
coniugate e quindi a modi puramente sinusoidali (assenza di smorzamento)
mentre δ = ±1 corrisponde al caso limite di radici reali coincidenti. I modi
pseudoperiodici associati, nel caso di molteplicità unitaria, sono
p
p
e−δωn t cos
1 − δ 2 ωn t , e−δωn t sin
1 − δ 2 ωn t
Si noti che essi risultano sinusoidi smorzate per δ ∈ (0, 1), sinusoidi pure per
δ = 0 e sinusoidi rinforzate (di ampiezza esponenzialmente divergente) per
22
Analisi modale
δ ∈ (−1, 0). La pulsazione naturale ωn rappresenta, quindi, la pulsazione
di oscillazione che si avrebbe in assenza di smorzamento (per δ = 0, ovvero
σ = 0). L’interpretazione geometrica, nel piano complesso, dei parametri δ e
ωn è illustrata in fig. 5.?. Si noti che il fattore di smorzamento δ non è altro
△
che il coseno del’angolo di smorzamento φ = π − ∠σ + jω, ovvero
p
1 − δ 2 = sin(φ)
δ = cos(φ),
(1.6.5)
È utile osservare per gli sviluppi futuri che in un arbitrario polinomio, la coppia
di radici complesse coniugate σ ± jω, ω 6= 0, può essere inglobata in un fattore
di secondo grado a coefficienti reali
(s−σ −jω)(s−σ +jω) = s2 −2σs+ σ 2 + ω 2 = s2 + 2δωn s + ωn2 (1.6.6)
caratterizzato dai parametri δ ∈ (−1, 1) e ωn > 0
Un’altra importante distinzione riguarda il carattere di convergenza del modo cioè se il modo converge a zero, è limitato ma non converge, oppure diverge.
È immediato constatare che un modo è convergente se e solo se è associato ad
una radice con parte reale negativa. Viceversa, sono limitati ma non convergenti i modi 1, cos(ωt), sin(ωt) associati a radici sull’asse immaginario. Infine
sono divergenti i modi associati a radici con parte reale positiva oppure i modi
tj , tj cos(ωt), tj sin(ωt), per j ≥ 1, associati a radici immaginarie multiple.
Per analisi modale si intende l’individuazione dei modi e la conseguente
caratterizzazione del comportamento dinamico del sistema. Nel seguito si riportano, a titolo esemplificativo, alcuni esempi di analisi modale.
Esempio 1.5 - Dato il sistema meccanico massa-molla-smorzatore dell’esempio 2.8 se ne determinino i modi e se ne studi il comportamento (oscillatorio o meno) al variare dei parametri β, k, M .
β
k
s+ M
avente
Il sistema in oggetto ha polinomio caratteristico a(s) = s2 + M
q
β
4kM
radici in − 2M ± 1 − β 2 , con pulsazione naturale e fattore di smorzamento
rispettivamente:
r
k
β
ωn =
e δ= √
.
M
2 kM
Si distinguono tre casi.
• Caso δ < 1, cioè β 2 < 4M k: il sistema ha un comportamento oscillatorio
smorzato con modi pseudo-periodici
!
!
p
p
2
2
β
β
4M
k
−
β
4M
k
−
β
t e m2 (t) = e− 2M t sin
t
m1 (t) = e− 2M t cos
2M
2M
23
La pulsazione delle oscillazioni smorzate è:
p
p
4M k − β 2
2
ωd =
1 − δ ωn =
.
2M
• Caso δ = 1, cioè β 2 = 4M k: il sistema ha un comportamento non
oscillatorio con modi a-periodici
β
β
m1 (t) = e− 2M t e m2 (t) = te− 2M t
• Caso δ > 1, cioè β 2 > 4M k: il sistema ha un comportamento non
oscillatorio con modi a-periodici:
m1 (t) = e−t/T1 e m2 (t) = e−t/T2
di costanti di tempo
T1 =
2M
2M
p
p
e T2 =
2
β − β − 4M k
β + β 2 − 4M k
Si noti che il sistema presenta un comportamento oscillatorio per valori del
coefficiente di attrito β sufficientemente piccoli rispetto alla massa M ed alla
rigidezza k della molla. Uno studio parametrico del tutto analogo può essere
effettuato per un qualsiasi sistema del secondo ordine (vedi i circuiti elettrici
degli esempi 2.1 e 2.2).
Esempio 1.6 - Si determinino i modi
carat2 di un sistema avente polinomio
teristico a(s) = (s + 2)3 s2 + 6s + 25 (s + 5) s2 + 16s + 100 .
Il polinomio a(s) ha radici:
p1
p2
p3
p4
= −2
= −5
= −3 + 4j e p5 = −3 − 4j
= −8 + 6j e p6 = −8 − 6j
di
di
di
di
molteplicità
molteplicità
molteplicità
molteplicità
n1
n2
n3
n4
=3
=1
= n5 = 2
= n6 = 1
a cui corrispondono i modi
m11 (t) = e−2t ,
m12 (t) = te−2t ,
m13 (t) = t2 e−t
m21 (t) = e−5t ,
m31 (t) = e−3t cos(4t), m32 = te−3t cos(4t), m51 = e−3t sin(4t), m52 = te−3t sin(4t)
m41 (t) = e−8t cos(6t), m61 = e−8t sin(6t)
24
Analisi modale
Le risposte caratteristiche (risposta libera, impulsiva o transitoria) del sistema
in oggetto saranno della forma
ni
6 X
X
cij mij (t)
i=1 j=1
per opportuni valori dei coefficienti dipendenti dalle condizioni iniziali e dall’ingresso applicato.
Modi nascosti
Non tutti i modi associati al polinomio caratteristico compaiono nell’evoluzione
libera dell’uscita yℓ (t) per qualche condizione iniziale x(0). Vi possono, infatti, essere modi nascosti in uscita, ovvero modi che non compaiono mai nella
risposta libera yℓ (t) qualunque siano le condizioni iniziali. Tali modi nascosti
sono associati a radici del polinomio caratteristico che si cancellano con il numeratore nella funzione di trasferimento F (s). Si veda in proposito l’esempio
che segue.
Esempio 1.7 - Si consideri il sistema idraulico costituito da due laghi in
cascata dell’esempio 1.2 assumendo questa volta che l’uscita di interesse sia la
portata di deflusso dal lago a monte. Per comodità si riportano le equazioni di
stato del sistema:
ẋ1 = − αS11 x1 + S11 u
ẋ2 = αS21 x1 − αS22 x2
(1.6.7)
y = α1 x1
Si verifichi che la funzione di trasferimento F (s) = C(sI − A)−1 dallo stato
iniziale all’uscita presenta una cancellazione in s = −α2 /S2 e che quindi il
α
− S2 t
modo associato e
risulta nascosto.
2
Risulta:
−1
F (s) = C(sI − A)
= [α1 , 0]
s + αS11
− αS21
0
s + αS22
−1
=
"
#
α1
, 0
s + αS11
per cui si ha la cancellazione della radice del polinomio caratteristico in s =
−α2 /S2 . La risposta libera è quindi:
Yℓ (s) =
α1
s + αS11
α
− S1 t
=⇒ yℓ (t) = α1 e
1
x1 (0)
25
−
α2
t
cioè non evidenzia il modo nascosto e S2 . Ovviamente si ha la stessa cancellazione anche in G(s) = c(sI − A)−1 B per cui il modo in oggetto risulta nascosto
anche nella risposta forzata yf (t). Come ci si poteva attendere, quindi, il modo
−
α2
t
e S2 relativo alla dinamica del lago a valle non compare nella risposta y(t)
della portata di deflusso dal lago a monte, in quanto quest’ultima non è affatto influenzata da ciò che avviene nel lago a valle. Si suggerisce al lettore di
calcolare la funzione di trasferimento (sI − A)−1 B e di verificare che in essa,
viceversa, non vi sono cancellazioni. Successivamente si determini la risposta
α
− 2t
x2 (t) constatando che in tale risposta si manifesta anche il modo e S2 .
L’esempio successivo mostra la situazione in cui si ha una cancellazione
in G(s) mentre non si hanno cancellazioni in F (s). In questo caso, il corrispondente modo nascosto si manifesta in evoluzione libera mentre non viene
eccitato in evoluzione forzata.
Esempio 1.8 - Si consideri sempre il sistema dei due laghi in cascata dell’esempio 1.2 avente come ingresso la portata di afflusso al lago a valle. In
questo caso le equazioni di stato del sistema sono
ẋ1 = − αS11 x1
ẋ2 = αS21 x1 −
y = α2 x2
α2
S2 x2
+
1
S2 u
(1.6.8)
Si verifichi che la funzione di trasferimento (sI −A)−1 B dall’ingresso allo stato
α
− S1 t
presenta una cancellazione in s = −α1 /S1 e che quindi il modo associato e
risulta nascosto.
1
Si ha:
(sI − A)−1 B =
s + αS11
− αS21
0
s + αS22
−1 0
1
S2

0

1/S2
− 
s + α2 /S2

da cui si nota la cancellazione della radice del polinomio caratteristico in
s = −α1 /S1 . Si può verificare che tale cancellazione non ha luogo in F (s) =
C(sI − A)−1 . Come ci si poteva attendere ragionando in modo intuitivo, il cor−
α1
t
rispondente modo e S1 relativo alla dinamica del lago a monte non compare
nella risposta impulsiva dall’ingresso considerato (portata di afflusso al lago a
valle); infatti
G(s) = C(sI − A)−1 B =
α2 /S2
α2 − αS2 t
=⇒ g(t) =
e 2 .
s + α2 /S2
S2
26
Analisi modale
Gli esempi precedenti hanno evidenziato come si possano avere cancellazioni nelle funzioni di trasferimento, e quindi modi nascosti, per particolari
scelte dell’ingresso e dell’uscita. Nell’esempio 1.7 l’uscita considerata non era
influenzata da tutte le variabili di stato del sistema e quindi nella sua risposta
libera venivano a mancare alcuni modi. Viceversa, nell’esempio 1.8, l’ingresso
considerato non agiva su tutte le variabili di stato del sistema e quindi non
eccitava, in evoluzione forzata, tutti i modi del sistema. L’esempio che segue
mostra come si possano avere cancellazioni nelle funzioni di trasferimento e,
quindi, la presenza di modi nascosti anche per particolari condizioni sui parametri del sistema.
Esempio 1.9 - Dato il circuito elettrico RLC di fig. ?? si verifichi che
entrambe le funzioni di trasferimento C(sI − A)−1 e (sI − A)−1 B presentano
una cancellazione nel caso in cui valga la condizione di uguaglianza delle due
costanti di tempo τ1 = L/R1 e τ2 = R2 C.
Adottando la scelta canonica delle variabili di stato si ottengono le equazioni di stato (??) con matrici
" RR1 +RR2 +R1 R2
#
"
#
R
R
− (R1 +R2 )L
(R1 +R2 )L
(R+R2 )L
A =
, B =
1
1
R
−
− (R+R
(R+R2 )C
)C
(R+R
)C
2
2
h
i
RR2
R2
R
C =
− R+R
,
D = R+R
R+R2 ,
2
2
Il lettore verifichi per esercizio che il polinomio caratteristico del sistema è:
1
1
R2
1
R
1
1
s+
s+
s+
+
−
a(s) = s +
τ1
τ2
R + R2 L
τ2
R2 C
τ1
(1.6.9)
dove τ1 = L/R1 è la costante di tempo del ramo reattivo e τ2 = R2 C quella
del ramo capacitivo. Inoltre
R
1
1
r(s) = Cadj(sI − A) =
−R2 s +
, s+
.
(1.6.10)
R + R2
τ2
τ1
Si noti, confrontando (1.6.9) e (1.6.10), che nella funzione di trasferimento
F (s) = r(s)/a(s) si verifica una cancellazione se e solo se τ1 = τ2 , ovvero
quando le due costanti di tempo del circuito coincidono. Sotto questa condizione particolare dei parametri circuitali, la funzione di trasferimento dallo
stato iniziale risulta quindi
"
#
R2
R
1
(R + R2 )LC
r(s)
−
=
.
,
, con τ0 =
F (s) =
1
1
a(s)
R + R2
L + RR2 C
s+ τ s+ τ
0
0
27
Pertanto F (s) e, conseguentemente anche G(s), ha un unico polo in s = −1/τ0
mentre la radice in s = −1/τ si è cancellata con il numeratore. Nel dominio del tempo la cancellazione comporta l’assenza del modo nascosto e−t/τ
dalla risposta libera che sarà dunque della forma yℓ (t) = ce−t/τ0 , con costante c dipendente dalle condizioni iniziali. Il lettore può constatare che per
τ = τ1 = τ2 la medesima cancellazione ha luogo anche nella funzione di trasferimento (sI − A)−1 B.
Come si vedrà nel paragrafo successivo l’analisi modale, oltre a consentire
l’individuazione di eventuali fenomeni oscillatorii nel sistema ed il calcolo delle
frequenze proprie di oscillazione, è alla base dello studio di stabilità di sistemi
LTI.
1.7
Stabilità
Per stabilità di un sistema dinamico si intende “insensibilità” della sua risposta
a perturbazioni sulle cause che l’hanno originata (ingresso e/o condizioni iniziali). La stabilità è una proprietà fondamentale da un punto di vista pratico.
Infatti, essa costituisce un requisito essenziale di molti sistemi i quali devono
poter operare nell’intorno di certe condizioni di funzionamento nominali (punto di lavoro) anche a fronte di perturbazioni dovute a cause di vario genere
quali disturbi, rumore, variazioni parametriche o altro. Esistono naturalmente
diverse definizioni di stabilità a seconda della risposta e della perturbazione
considerate, che si differenziano anche per la formalizzazione del concetto di
“insensibilità”.
In questo paragrafo, si considera la stabilità di sistemi LTI per i quali le
varie definizioni sono sostanzialmente equivalenti. Nel capitolo 5, si introdurranno definizioni sulla stabilità dell’equilibrio riferite al contesto più generale di
sistemi dinamici tempo-invarianti e quindi valide anche per sistemi nonlineari.
In primo luogo, si vuole osservare che la stabilità di un sistema lineare
risulta indipendente dalle condizioni nominali considerate e dall’entità delle
perturbazioni rispetto a queste. Infatti si considerino:
• le risposte nominali ŷ(·) e x̂(·) originate dalle condizioni iniziali x̂(0) e
dall’ingresso û(·);
• le risposte δy(·) e δx(·) originate da δx(0) e δu(·).
In virtù del principio di sovrapposizione degli effetti, le risposte perturbate y(·)
e x(·), originate da x̂(0) + δx(0) e û(·) + δu(·), saranno ovviamente
y(t) = ŷ(t) + δy(t),
x(t) = x̂(t) + δx(t).
28
Stabilità
Pertanto le perturbazioni δy(·) e δx(·) rispetto a ŷ(·) e x̂(·) risultano chiaramente indipendenti da queste ultime ed uguali alle perturbazioni rispetto ad
una qualunque evoluzione nominale. Si noti che un sistema lineare ammette
sempre una condizione di riposo nulla (x(t) ≡ 0) in cui permane per condizioni iniziali nulle (x(0) = 0) e ingresso nullo (u(t) ≡ 0). Pertanto, per un
sistema lineare si può, senza perdere di generalità, analizzare la stabilità considerando perturbazioni rispetto alla condizione di riposo nulla (x̂(0) = 0 e
û(·) ≡ 0). Sempre in virtù della linearità, se si moltiplica una perturbazione
per una costante, la corrispondente risposta viene moltiplicata per la medesima
costante e quindi il tipo di risposta rimane lo stesso al variare dell’entità della
perturbazione.
Nel seguito si fa riferimento ad un sistema LTI con polinomio caratteristico
a(s) = sn + a1 sn−1 + · · · + an . Nei precedenti paragrafi si è visto come per un
sistema LTI una qualunque perturbazione dello stato iniziale ed una perturbazione impulsiva dell’ingresso producano perturbazioni sullo stato e sull’uscita
che sono combinazioni lineari dei modi del sistema. Si introduce, pertanto, la
seguente definizione di stabilità asintotica.
Definizione 1.7.1 - Un sistema LTI dicesi asintoticamente stabile se tutti i
suoi modi, inclusi gli eventuali modi nascosti, sono convergenti.
In virtù dell’analisi modale del precedente paragrafo, vale il seguente risultato che lega la stabilità asintotica al posizionamento nel piano complesso delle
radici del polinomio caratteristico.
Teorema 1.7.2 - Un sistema LTI con polinomio caratteristico a(s) è asintoticamente stabile se e solo tutte le radici di a(s) hanno parte reale negativa.
Dimostrazione - Poiché il modo tk ept risulta convergente se e solo se la parte
reale di p è negativa, la stabilità asintotica equivale ad avere tutte le radici di
a(s) con parte reale negativa.
Come precedentemente osservato esistono diverse definizioni di stabilità
a seconda della perturbazione e/o della risposta considerata. Per i sistemi
LTI, tuttavia, la stabilità asintotica sopra definita rappresenta la proprietà di
stabilità più forte nel senso che essa implica stabilità per ogni tipo di risposta
e di perturbazione. Questo consegue dalle seguenti tre osservazioni.
1. Per un sistema LTI le risposte, per tutte le variabili di stato e di uscita,
n(s)
m(s)
x(0) +
U (s) per opportuni polinomi m(s)
risultano della forma
a(s)
a(s)
ed n(s).
29
2. Un segnale f (t) con trasformata di Laplace F (s) è convergente a zero se
e solo se F (s) ha tutti i poli con parte reale negativa.
3. Un segnale f (t) con trasformata di Laplace F (s) è limitato se e solo se
F (s) ha poli con parte reale negativa e poli semplici con parte reale nulla.
Dalle suddette proprietà è immediato dedurre quanto segue:
• in evoluzione libera, cioè per ingresso nullo, la risposta tende asintoticamente a zero qualunque siano le condizioni iniziali (ingresso nullo →
risposta convergente);
• la risposta ad un ingresso impulsivo tende asintoticamente a zero qualunque siano le condizioni iniziali (ingresso impulsivo → risposta convergente);
• la risposta ad un ingresso convergente a zero, è anch’essa convergente
a zero qualunque siano le condizioni iniziali (ingresso convergente →
risposta convergente);
• la risposta ad un ingresso limitato è anch’essa limitata qualunque siano
le condizioni iniziali (ingresso limitato → risposta limitata);
• la risposta transitoria è convergente a zero e, quindi, la risposta ad un
qualunque segnale persistente tende asintoticamente alla corrispondente
risposta a regime;
Si noti che il termine risposta nelle suddette affermazioni si riferisce sia alla
risposta nell’uscita che a quella nello stato. Nel seguito, in riferimento ad un
sistema LTI, si userà semplicemente il termine stabile omettendo per semplicità
l’attributo asintoticamente.
1.8
Criterio di Routh
Nel precedente paragrafo si è visto come la stabilità di un sistema LTI a tempocontinuo sia equivalente al collocamento di tutte le radici del polinomio caratteristico nel semipiano sinistro aperto del piano complesso che nel seguito sarà
indicato come regione di stabilità. Pertanto lo studio di stabilità di un sistema
LTI richiede la determinazione del polinomio caratteristico ed il calcolo delle
sue radici. In realtà esistono dei metodi analitici più agevoli per studiare la
stabilità senza dover ricorrere al calcolo esplicito delle radici che, peraltro, per
sistemi di ordine elevato può essere effettuato solo per via numerica. In primo luogo, si possono fare alcune considerazioni che, in certi casi particolari,
30
Criterio di Routh
permettono di accertare o meno la stabilità del sistema senza dover effettuare
alcun calcolo. Si consideri il polinomio caratteristico:
a(s) = sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an
(1.8.1)
relativo ad un sistema LTI di ordine n. È immediato constatare quanto segue.
1. Un sistema del primo ordine (n = 1) è stabile se e solo se a1 > 0.
2. Un sistema del secondo ordine è stabile se e solo se a1 > 0 e a2 > 0.
3. Per un sistema di ordine n > 2
ai > 0,
i = 1, 2, . . . , n
è condizione necessaria, ma non sufficiente, per la stabilità.
Le prime due affermazioni possono essere verificate studiando le radici delle
equazioni s + a1 = 0 e s2 + a1 s + a2 = 0. Per la terza affermazione, basta
osservare che se il polinomio (1.8.1) ha tutte le radici con parte reale negativa
allora esso deve necessariamente risultare prodotto di binomi s + pi (per le
2 (per le coppie di radici complesse
radici reali) e di trinomi s2 + 2δi ωni s + ωni
coniugate) a coefficienti reali e positivi e, pertanto, deve avere tutti i coefficienti
ai positivi.
Per sistemi di ordine superiore al secondo con tutti i coefficienti del polinomio caratteristico strettamente positivi non è, quindi, possibile studiare la
stabilità per ispezione diretta dei coefficienti. In tal caso, si può comunque
evitare il calcolo esplicito delle radici del polinomio caratteristico ricorrendo
ad un risultato di validità generale noto come criterio di Routh. Per poter
applicare tale criterio si deve costruire una tabella, detta tabella di Routh, a
partire dai coefficienti del polinomio caratteristico (1.8.1). La tabella di Routh
possiede n + 1 righe - che per comodità vengono etichettate dall’alto verso il
basso con sn , sn−1 , . . . , s, 1 - ed è strutturata come segue
sn
a0
sn−1 a1
·
·
i+1
s
f1
si
g1
si−1 h1
·
·
·
a2
a3
·
·
f2
g2
h2
·
·
·
a4
a5
·
·
f3
g3
h3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· ·
· ·
·
·
31
Nella prima riga si dispongono in ordine i coefficienti di indice pari a0 , a2 , a4 , . . .
fino ad esaurimento; per maggior generalità si considera un generico coefficiente a0 di sn in (1.8.1) al posto di a0 = 1. Nella seconda riga si dispongono
analogamente i coefficienti di indice dispari a1 , a3 , a5 , . . . . Si noti che le prime
righe hanno lo stesso numero di elementi se n è dispari oppure la seconda riga
ha un elemento in meno della prima se n è pari. Le righe successive, a partire
dalla terza, vengono costruite sulla base delle due righe precedenti nel modo di
seguito descritto. Indicando con hi gli elementi della generica riga da costruire
e con fi , gi gli elementi omologhi delle due righe precedenti, si ha
1
g1 fi+1 − f1 gi+1
f1 gi+1
f1 fi+1
hi = − det
=
= fi+1 −
(1.8.2)
g1 gi+1
g1
g1
g1
Nella formula (1.8.2) gli eventuali elementi gi+1 non presenti nella tabella devono essere considerati nulli. Inoltre, se in una generica riga si verifica che
l’elemento pivot g1 è nullo, la (1.8.2) non è applicabile e non si può procedere
al completamento della tabella. In questi casi si dice che la tabella di Routh
non è ben definita. È opportuno osservare che, per come opera il procedimento
costruttivo, la tabella presenta una struttura a semi-piramide rovesciata con
numero degli elementi che diminuisce dall’alto verso il basso. Più precisamente:
• la prima riga ha ⌈(n + 1)/2⌉ elementi;
• ad ogni riga etichettata sk con k dispari, il numero degli elementi diminuisce di uno;
• le ultime due righe hanno un solo elemento.
Si può adesso enunciare, senza dimostrazione, il criterio di Routh.
Teorema 3.? (Criterio di Routh) - Un sistema LTI è stabile se la tabella
di Routh associata al suo polinomio caratteristico è ben definita e tutti gli
elementi della sua prima colonna hanno lo stesso segno.
È evidente che per studiare la stabilità del sistema non è sempre necessario
portare a compimento la costruzione della tabella; non appena si incontra una
variazione di segno oppure un elemento nullo nella prima colona della tabella,
si può immediatamente arrestare il processo di costruzione e concludere che il
sistema non è stabile. In realtà la tabella fornisce informazione aggiuntiva, più
specificamente:
• ad ogni permanenza di segno (fra due elementi consecutivi) nella prima
colonna corrisponde una radice con parte reale negativa;
32
Criterio di Routh
• ad ogni variazione di segno corrisponde una radice con parte reale negativa.
Pertanto, il completamento della tabella consente di valutare per sistemi instabili il numero esatto di radici con parte reale positiva. Esistono a tale proposito
metodi per il completamento della tabella anche quando questa non risulta ben
definita. Tali metodi sono, tuttavia, inutili se l’obiettivo del criterio di Routh
è esclusivamente quello di accertarsi che il sistema sia stabile o meno, oppure
di scegliere alcuni parametri del sistema affinché sia garantita la stabilità. Per
questo motivo tali metodi non verranno trattati in questo testo.
Di seguito si presentano alcuni esempi di applicazione del criterio di Routh.
Esempio 1.10 - Si studi, con il criterio di Routh, la stabilità di un sistema
avente polinomio caratteristico a(s) = s4 + 6s3 + 13s2 + 12s + 4.
Si costruisce la tabella di Routh
s4
s3
s2
s
1
1 13 4
6 12
11 4
108
11
4
che presenta tutti gli elementi della prima colonna (in grassetto) positivi da
cui si evince la stabilità del sistema.
Esempio 1.11 - Si studi, con il criterio di Routh, la stabilità di un sistema
avente polinomio caratteristico a(s) = s6 + s5 + 3s4 + 2s3 + s2 + 2s + 1.
La tabella di Routh del polinomio a(s) è:
1
3 1 1
s6
s5
1
2 2
4
s
1 −1 1
s3
3
1
4
2
1
s −3
s
1
13
4
1
Poiché la prima colonna presenta quattro permanenze e due variazioni di segno, il sistema risulta instabile con due poli a parte reale positiva.
33
Negli esempi finora considerati, il criterio di Routh è stato applicato ad un
polinomio i cui coefficienti sono noti numericamente. In questa situazione, che
si presenta tutte le volte che si deve studiare la stabilità di un sistema con parametri perfettamente noti, si possono ovviamente determinare numericamente,
con l’ausilio di un calcolatore, le radici del polinomio e accertarne l’appartenenza alla regione di stabilità. In molti casi pratici, viceversa, occorre studiare
la stabilità di un sistema al variare di uno o più parametri reali. In tale contesto, è ovviamente impossibile determinare le radici del polinomio caratteristico
per tutti gli infiniti possibili valori di tali parametri e, quindi, l’applicazione
del criterio di Routh rimane l’unica strada praticabile. Di seguito si mostra un
esempio di analisi parametrica della stabilità con il criterio di Routh.
Esempio 1.12 - Si studi con il criterio di Routh la stabilità di un sistema
△
avente polinomio caratteristico ak (s) = a(s) + kb(s), dove a(s) = s3 + 2s2 −
3s − 20 e b(s) = s + 4, al variare del parametro reale k.
Il polinomio caratteristico da studiare è ak (s) = s3 +2s2 +(k −3)s+ 4k −20
con tabella di Routh
s3
1
k−3
2
s
2
4k − 20
s
7−k
1 4k − 20
Pertanto la stabilità del sistema richiede il soddisfacimento delle condizioni
7 − k > 0 e 4k − 20 > 0, quindi è verificata per 5 < k < 7.
1.9
Poli/zeri e comportamento dinamico
Lo scopo di questo paragrafo è quello di studiare il comportamento dinamico di
un sistema LTI cercando di associare le caratteristiche di tale comportamento
alla struttura della funzione di trasferimento, in particolare alla disposizione dei suoi poli e zeri nel piano complesso. Questa analisi è di fondamentale
importanza non solo poiché permette di individuare gli aspetti salienti del comportamento del sistema di interesse (stabilità, presenza di oscillazioni, estensione temporale e in ampiezza del transitorio, etc.), ma anche e soprattutto
perché fornisce strumenti utili per progettare modifiche sul sistema finalizzate ad ottenere un comportamento desiderato. In particolare, questo studio
diventa essenziale nella sintesi di sistemi di controllo dove, tramite il progetto di un opportuno controllore connesso con il sistema assegnato, si cerca di
34
forzare il sistema interconnesso risultante ad avere il comportamento dinamico desiderato. A tale proposito, la comprensione del legame esistente fra il
comportamento dinamico e la posizione di poli e zeri costituisce un ausilio
fondamentale alla sintesi del controllore in quanto permette spesso di ridurre
il problema progettuale ad un’opportuna assegnazione di poli/zeri del sistema
controllato.
L’attenzione sarà rivolta a sistemi SISO, per semplicità, e stabili, in quanto
tali devono risultare i sistemi controllati in modo artificiale e sono, in larga parte, i sistemi naturali di interesse. Per caratterizzare il comportamento
dinamico si prenderà in esame la risposta ad un segnale a gradino
u0 , t < 0
(1.9.1)
u(t) =
u∞ , t ≥ 0
che rappresenta una variazione brusca dell’ingresso, all’istante t = 0, da un
valore costante u0 ad un altro valore costante u∞ 6= u0 . Per la stabilità del
sistema ed in virtù dei risultati dell’analisi in continua, tale variazione provoca
la transizione da una condizione di equilibrio con uscita costante y0 = G(0)uo
ad un’altra condizione di equilibrio con uscita costante y∞ = G(0)u∞ , dove
G(0) è il guadagno in continua del sistema. Si noti che nel caso particolare in
cui G(0) = 0 (guadagno in continua nullo) l’uscita a regime è nulla qualunque
sia il valore costante dell’ingresso, quindi y0 = y∞ = 0; in questo caso, il segnale
(1.9.1) provoca soltanto una perturbazione temporanea dell’uscita rispetto alla
condizione di equilibrio nulla. Nel seguito si farà riferimento al caso più comune
di sistema con guadagno in continua non nullo, cioè si assumerà
G(0) =
b(0)
bn
=
6= 0.
a(0)
an
(1.9.2)
Per un tale sistema, una variazione del livello del segnale di ingresso comporta
un effettivo spostamento del punto di lavoro, ovvero y0 6= yinf ty 6= 0. L’esame
della risposta al segnale (1.9.1) consente dunque di valutare le caratteristiche
del transitorio di assestamento al nuovo punto di lavoro, in particolare:
• la durata;
• la presenza o meno di oscillazioni, le relative frequenze ed escursioni di
ampiezza;
• se, e di quanto, viene scavalcato nella transizione il valore di regime finale
(sovraelongazione);
• se, e di quanto, l’uscita del sistema si muove inizialmente nel senso
opposto rispetto al valore di regime (sottoelongazione).
35
Si vedrà come tali caratteristiche siano correlate con i parametri della funzione
di trasferimento, in particolare la posizione dei poli e degli zeri nel piano complesso. È evidente altresì che, per la linearità del sistema, tali caratteristiche
risultano indipendenti dal valore iniziale e dall’ampiezza del gradino considerato, ovvero dai parametri u0 e u∞ . Infatti, per il principio di sovrapposizione
degli effetti, la risposta all’ingresso (1.9.1) risulta
y(t) = y1 (t) + y2 (t)
(1.9.3)
dove:
• y1 (·) è la risposta all’ingresso costante u(t) = u0 1(t) a partire dalla
condizione di equilibrio y(t) = y0 per t < 0;
• y2 (·) è la risposta all’ingresso costante u(t) = (u∞ − u0 ) 1(t) a partire
della condizione di equilibrio nulla.
Si noti da (1.2.2) che y1 (t) ≡ y0 mentre, per la linearità, la risposta y2 (t) è
proporzionale all’ampiezza del gradino u∞ − u0 , cioè
y(t) = y0 + (u∞ − u0 ) h(t)
dove h(·) è la risposta forzata al gradino unitario definita in (1.4.2). Per caratterizzare l’evoluzione del transitorio in modo indipendente dall’ampiezza del
gradino e dal guadagno in continua, si considera
y(t) − y0
y(t) − y0
h(t) △
= h(t)
=
=
y∞ − y0
G(0) (u∞ − u0 )
G(0)
(1.9.4)
che rappresenta il rapporto fra la variazione dell’uscita al’istante t e la variazione a regime, riferendo entrambe le variazioni rispetto al valore di equilibrio
iniziale y0 . Da (1.9.4) si nota come tale rapporto coincida con la risposta al
gradino unitario normalizzata dal guadagno in continua, indicata con h(t). In
virtù di (1.4.2),
Z t
g(t)
G(s)
h(t) =
g(r)dr, con g(t) =
= L−1 G(s) , G(s) =
(1.9.5)
G(0)
G(0)
0
cioè la risposta (1.9.4) è ottenuta considerando un gradino unitario e la funzione
di trasferimento normalizzata G(s) avente guadagno in continua unitario. Si
noti che:
h(0) = 0 e lim h(t) = 1
(1.9.6)
t→∞
cioè h(·) subisce una variazione da 0 a 1 per t che varia da 0 a ∞.
I parametri caratteristici del transitorio che si prenderanno in esame sono,
in riferimento alla fig. 3.?, i seguenti.
36
• Sovraelongazione massima percentuale S%: massima percentuale di scavalcamento del valore di regime finale, definita come
y(t) − y∞
S% = 100 S = 100 sup
= 100 −1 + sup h(t) .
y∞ − y 0
t≥0
t≥0
(1.9.7)
Si noti che se y(t) rimane sempre compreso fra y0 e y∞ , il transitorio è
privo di sovraelongazione e S% = 0.
• Sottoelongazione massima percentuale S%: massima percentuale di escursione rispetto al valore di regime iniziale in senso opposto al valore di
regime finale, definita come
y(t) − y0
S% = 100 S = − 100 min
= − 100 min h(t). (1.9.8)
t≥0
t≥0
y∞ − y 0
Si noti che se y(t) si trova, rispetto a y0 , sempre dalla stessa parte di y∞ ,
il transitorio è privo di sottoelongazione e S% = 0.
• Tempo di assestamento (al ε%) Ta,ε : tempo necessario affinché l’uscita
rimanga entro l’ǫ% del valore di regime finale, definito come:
y(t) − y∞ = −1 + h(t) ≤ ε , ∀t ≥ Ta,ε
(1.9.9)
Ta,ε : y∞ − y0
100
o, equivalentemente,
ε
ε
Ta,ε : 1 −
≤ h(t) ≤ 1 +
,
100
100
∀t ≥ Ta,ε
(1.9.10)
Per caratterizzare, in alternativa al tempo di assestamento, la rapidità del
transitorio si utilizza il tempo di salita Ts che viene definito in modo diverso
a seconda che il transitorio presenti o meno sovraelongazione. Nel caso di
transitorio con sovraelongazione, il tempo di salita è definito come il primo
istante in cui si raggiunge il valore di regime finale, vale a dire:
△
Ts = min{t : y(t) = y∞ } = min{t : h(t) = 1},
se S > 0
(1.9.11)
Nel caso di transitorio privo di sovraelongazione, il valore di regime finale non
viene raggiunto mai in tempo finito e, secondo la precedente definizione si
avrebbe quindi Ts = ∞. In questo caso il tempo di salita viene usualmente
definito come il tempo necessario affinché la risposta y(·) compia per la prima
volta una escursione dal 10% al 90% della sua escursione finale (y0 → y∞ ); in
termini matematici
Ts = t0.9 − t0.1 , se S = 0, con
tα = min{t : h(t) = α} = min{t : y(t) = y0 + α(y∞ − y0 )}.
(1.9.12)
37
Si noti che tutti i parametri caratteristici del transitorio sopra definiti
dipendono esclusivamente dalla risposta normalizzata h(t) che, ricordando
(1.9.5), dipendono a sua volta dalla funzione di trasferimento normalizzata
G(s). Pertanto essi sono univocamente determinati dai parametri di G(s),
ovvero da poli e zeri di G(s). Per valutare i parametri S, S, Ta , Ts di un dato sistema è possibile ovviamente ricorrere ad una simulazione. L’approccio
simulativo è effettivamente utile in sede di analisi per la verifica del comportamento del sistema; viceversa non è sufficiente in problemi di sintesi dove si
cerca di progettare o modificare opportunamente il sistema in modo da avere
il comportamento desiderato. A tale proposito, si cercherà adesso di correlare
i vari parametri del transitorio (S, S, Ta , Ts ) con i parametri della funzione di
trasferimento (poli e zeri). Si prenderanno in esame sistemi con funzione di
trasferimento strettamente propria (numero di poli strettamente inferiore al
numero di zeri), in quanto tali sono tutti i modelli di sistemi reali una volta
modellate anche le dinamiche ad alta frequenza. Inizialmente si considereranno
sistemi del primo ordine (un solo polo), per poi passare a sistemi del secondo
ordine (due poli ed un eventuale zero) ed, infine, si cercherà di generalizare le
considerazioni fatte a sistemi di ordine superiore.
1.9.1
Sistemi del primo ordine
Si consideri un sistema del primo ordine con funzione di trasferimento normalizzata
1
G(s) =
,
(1.9.13)
1 + τs
dove τ > 0 è la costante di tempo del polo reale p = −1/τ . L’andamento
temporale della risposta h(t), ottenuto antitrasformando la funzione H(s) =
G(s)/s, è
h(t) = 1 − e−t/τ , t ≥ 0
(1.9.14)
Si noti che (1.9.14), riportata in fig. 3.? in funzione del tempo normalizzato
t/τ , cresce monotonicamente dal valore iniziale nullo al valore finale unitario
senza, quindi, presentare né sovraelongazione né sottoelongazione. Per determinare i parametri caratteristici della durata del transitorio, si osserva da
(1.9.12) e (1.9.14) che, per ogni α ∈ [0, 1),
1
tα
−tα /τ
= ln
1−e
= α =⇒
τ
1−α
Pertanto il tempo di salita risulta
△
Ts = t0.9 − t0.1 ≈ 2.2 τ
(1.9.15)
38
mentre per il tempo di assestamento
Ta,ε = t1−ε = ln
1
τ
ε
(1.9.16)
Le due formule (1.9.15) o (1.9.16) consentono di tarare la costante di tempo
τ , o equivalentemente l’unico polo p = −1/τ , del sistema del primo ordine
in modo da conseguire il desiderato tempo di salita o tempo di assestamento.
Alcuni valori del tempo di assestamento normalizzato Ta,ε /τ sono riportati in
tabella 3.?.
1.9.2
Sistemi del secondo ordine
Si consideri un sistema del secondo ordine avente funzione di trasferimento
normalizzata
1
(1.9.17)
G(s) =
2
1 + 2δ ωsn + ωs 2
n
con pulsazione naturale ωn > 0 e fattore di smorzamento δ > 0. Si distinguono
due casi a seconda che il sistema abbia poli reali (δ ≥ 1) oppure poli complessi
coniugati (δ < 1).
Poli reali
√
Nel caso δ ≥ 1, (1.9.17) ha due poli reali −ωn δ ± δ 2 − 1 . Per comodità si
riscrive (1.9.17) nella forma
G(s) =
1
(1 + τ s) 1 + ατ s
τ > 0, α ≥ 1
(1.9.18)
che evidenzia la costante di tempo più grande (dominante) τ ed il rapporto
α ≥ 1 tra le due costanti di tempo. Si noti che
√
1
δ + δ2 − 1
, α =
√
τ=
√
δ − δ2 − 1
ωn δ − δ 2 − 1
L’andamento temporale della risposta h(t), ottenuto antitrasformando H(s) =
G(s)/s, è

1
α

 1−
e−t/τ +
e−αt/τ , α > 1
α
−
1
α
−
1
(1.9.19)
h(t) =

 1 − e−t/τ − t e−t/τ ,
α=1
τ
α
1
2
5
10
∞
Ts /τ
3.36
2.59
2.27
2.22
2.2
Ta,5 /τ
4.74
3.68
3.22
3.1
3
39
Ta,1 /τ
6.64
5.3
4.83
4.71
4.61
Tabella 1.1 - Tempi di salita e di assestamento per sistemi del secondo ordine con poli reali
Si noti che (1.9.19), riportato in fig. 3.? in funzione del tempo normalizzato
t/τ per vari valori di α ≥ 1, presenta una crescita esponenziale da 0 a 1 senza
sovraelongazione né sottoelongazione, con rapidità maggiore (cioè tempi di
salita e di assestamento minori) all’aumentare di α. In particolare per α ≫ 1
e valori di t non troppo piccoli (t > 4τ ), (1.9.19) può essere approssimata
con h(t) ≈ 1 − e−t/τ , la stessa risposta del sistema del primo ordine vista in
precedenza. In altri termini, se il sistema del secondo ordine ha una costante
di tempo dominante τ molto maggiore dell’altra costante di tempo, il suo
comportamento è del tutto simile a quello di un sistema del primo ordine con
costante di tempo τ ; in questo caso, la costante di tempo dominante τ /α
può essere ragionevolmente trascurata. La tabella 1.9.2 riporta i valori del
tempo di salita e del tempo di assestamento (sia all’1% che al 5%) per alcuni
valori di α mostrando come, fissato τ , la risposta del sistema risulti più rapida
all’aumentare di α.
Poli complessi
Nel caso δ > 1, (1.9.17) ha due poli complessi coniugati −δωn ± jωd dove
△
ωd = ωn
p
1 − δ 2 < ωn
(1.9.20)
è la cosiddetta pulsazione smorzata. Antitrasformando H(s) = G(s)/s, si
ottiene la risposta al gradino normalizzata
h(t) = 1 − √
1
e−δωn t sin (ωd t + φ)
1 − δ2
(1.9.21)
dove φ è l’angolo di smorzamento definito in (1.6.5). L’andamento di (1.9.21)
è riportato in fig. 3.? in funzione del tempo normalizzato ωn t e per vari
valori di δ. Si noti come in questo caso si raggiunga il valore di regime finale
con una sovraelongazione ed oscillazioni di pulsazione ωd definita in (1.9.20).
40
Per determinare la massima sovraelongazione, occorre trovare il massimo della
funzione h(t), la cui derivata
ωn
˙
e−δωn t sin(ωd t)
h(t)
= √
2
1−δ
si annulla negli istanti tk = kπ/ωd . Pertanto il massimo assoluto si trova in corrispondenza dell’istante t1 = π/ωd e la massima sovraelongazione percentuale
risulta
√
2
S% = 100 −1 + sup h(t) = 100 e−δπ/ 1−δ .
(1.9.22)
t≥0
Per determinare il tempo di salita, viceversa, occorre trovare l’istante Ts in cui
la funzione h(t) raggiunge per la prima volta il valore unitario; da (1.9.21) è
evidente che questo accade quando ωd Ts + φ = π da cui
π − arccos(δ)
π−φ
√
=
ωd
ωn 1 − δ 2
Ts =
(1.9.23)
Infine, per il tempo di assestamento si osserva che la funzione h(t) ha massimi
h(tk ) = h
kπ
ωd
= 1 + e−δkπ/
√
1−δ 2
per k dispari
e minimi
h(tk ) = h
kπ
ωd
= 1 − e−δkπ/
√
1−δ 2
per k pari
che giacciono sulle funzioni yM (t) = 1 + e−δωn t e, rispettivamente, ym (t) =
1 − e−δωn t . Pertanto, una buona approssimazione del tempo di assestamento
Ta,ε si ottiene imponendo
e−δωn t ≤
ε
ε
per t ≥ Ta,ε =⇒ e−δωn Ta,ε =
100
100
da cui
Ta,ε =
ln(100/ε)
δωn
(1.9.24)
Gli andamenti, in funzione del fattore di smorzamento δ, della massima sovraelongazione percentuale S%, del tempo di salita normalizzato Ts ωn e del
tempo di assestamento normalizzato Ta,ε ωn sono riportati nelle figg. 3.?-3.?.
41
Effetto di uno zero
Si vuole adesso esaminare l’effetto di uno zero sul comportamento di un sistema
del secondo ordine, iniziando dal caso in cui il sistema ha due poli reali. A tale
proposito, si considera la funzione di trasferimento (1.9.18) con l’aggiunta di
uno zero vale a dire
Gβ (s) =
1 + βτ s
τ > 0, α ≥ 1, β 6= 0
(1 + τ s) 1 + ατ s
(1.9.25)
dove il parametro β rappresenta il rapporto tra lo zero ed il polo dominante.
Antitrasformando H β (s) = Gβ (s)/s si ottiene la risposta:



 1−
α β − 1 −t/τ
1 β − α −αt/τ
e
+
e
, α>1
α−1 β
α−1 β
hβ (t) =
1 − β t −t/τ


 1 − e−t/τ +
e
,
α=1
β τ
(1.9.26)
Si distinguono i seguenti casi.
•β < 0 : la risposta presenta una sottoelongazione iniziale tanto più pronunciata quanto più β è prossimo a zero. Infatti, per il teorema del valore
iniziale applicato alla funzione h˙ β (t) con trasformata di Laplace sH β (s),
risulta
α
h˙ β (0) = lim s2 H β (s) = lim sGβ (s) =
.
s→∞
s→∞
βτ
Quindi, se β < 0, h˙ β (0) < 0 ed, essendo hβ (0) = 0 e hβ (∞) = limt→∞ hβ (t) =
1 > 0, hβ (t) presenta senz’altro un tratto iniziale negativo, cioè una sottoelongazione iniziale. Poiché h˙ (0) è inversamente proporzionale a β,
β
tale sottoelongazione è tanto più marcata quanto più β è prossimo a zero.
•0 < β < 1 : la risposta presenta una sovraelongazione tanto più pronunciata
quanto più β è prossimo a zero. Infatti, derivando (1.9.26), si ottiene

α
−αt/τ + (β − 1) e−t/τ − e−αt/τ

, α>1
 β(α − 1)τ (α − 1)e
˙h (t) =
β
1
t


1 + (β − 1)
e−t/τ ,
α=1
βτ
τ
Si noti che per β > 1 tale derivata risulta sempre positiva e quindi si
ha un andamento monotono crescente della risposta hβ (·)), mentre per
0 < β < 1 la derivata cambia segno e quindi si ha sovraelongazione.
42
•β = 1 : si cancella il polo dominante, con costante di tempo τ , ed il sistema
si riduce ad un sistema del primo ordine con costante di tempo τ /α.
Infatti, per β → 1, hβ (t) → 1 − e−αt/τ , la risposta del sistema del 1◦
ordine con costante di tempo τ /α.
•1 < β < α : la risposta, priva di sovraelongazione, è più veloce rispetto al caso
senza zero (β → ∞), tanto più veloce quanto più β è piccolo. Infatti, la
differenza fra la risposta del sistema con zero hβ (t) e quella del sistema
privo di zero h(t), risulta
α 1 −t/τ
hβ (t) − h(t) =
e
− e−αt/τ
α−1β
ed è quindi positiva per ogni t > 0.
•β = α : si cancella il polo non dominante, con costante di tempo τ /α, ed il
sistema si riduce ad un sistema del primo ordine con costante di tempo
τ . Infatti per β → α, hβ (t) → 1 − e−t/τ , la risposta del sistema del 1◦
ordine con costante di tempo τ .
•β > α : al crescere di β la risposta tende a quella che si avrebbe in assenza
△
di zeri. Infatti per β → ∞, hβ (t) → h(t) = 1 −
α −t/τ
α−1 e
+
1
−αt/τ .
α−1 e
Analoghe considerazioni sull’effetto di uno zero valgono nel caso di poli
complessi coniugati. Si considera a tale proposito la funzione di trasferimento
Gβ (s) =
s
βωn
2
2δ ωsn + ωs 2
n
1+
1+
(1.9.27)
che, rispetto al sistema del 2◦ ordine standard (1.9.17), presenta uno zero finito
in −βωn . Poiché il parametro ωn comporta unicamente un cambiamento di
scala dei tempi, nel senso che le risposte del sistema (1.9.27) coincidono con
le risposte relative a ωn = 1 purché si consideri la scala dei tempi normalizzata ωn t, si assume, senza perdere di generalità, ωn = 1. È utile analizzare
l’influenza sul comportamento del sistema del 2◦ ordine standard (privo di zeri
al finito) del parametro β. A tale proposito si osserva che, posto ωn = 1, la
risposta al gradino normalizzata soddisfa
s
1
H β (s) = 1 +
H(s) = H(s) + sH(s)
(1.9.28)
β
β
Si noti che il primo termine in (1.9.28) è la trasformata di Laplace della risposta
al gradino unitario h(t) del sistema del 2◦ ordine standard (1.9.17); viceversa,
per la proprietà di derivazione della trasformata di Laplace, il secondo termine
43
˙
˙
non è altro che la trasformata di h(t)
moltiplicata per un fattore 1/β, dove h(t)
è la derivata temporale della risposta al gradino (ovvero la risposta all’impulso)
del medesimo sistema del 2◦ ordine standard. Pertanto, risulta
hβ (t) = h(t) +
1 ˙
h(t).
β
(1.9.29)
˙
Gli andamenti temporali di h(t) e della sua derivata h(t)
sono riportati insieme
nella fig. ??. Poiché la risposta del sistema (1.9.27) risulta dalla somma di
h(t) e della sua derivata moltiplicata per il fattore di scala 1/β, è evidente
dall’esame delle curve in fig. ?? che, se tale fattore di scala è positivo e non
eccessivamente piccolo, lo zero introduce un aumento della sovraelongazione.
˙
Infatti l’aggiunta del termine derivativo β −1 h(t)
comporta, nella fase iniziale
˙
dove h(t) presenta una “gobba” piuttosto accentuata, un innalzamento della
risposta. Le risposte al gradino relative a vari valori positivi di β (zero con
parte reale negativa), per δ = 0.5 fissato, sono riportate, nella solita scala
dei tempi normalizzata ωn t, in fig. ??. Si vede che il principale effetto dello
zero è, come previsto, quello di aumentare la sovraelongazione, viceversa il
tempo di salita viene ridotto ed il tempo di assestamento rimane praticamente
inalterato. Naturalmente gli effetti dello zero sono tanto più accentuati quanto
più β è piccolo (zero a bassa frequenza rispetto ai poli). Per β ≥ 10 l’effetto
è pressocché nullo. L’andamento della sovraelongazione in funzione di β, per
diversi valori di δ, è mostrato in fig. ??. In fig. ?? vengono riportare le
medesime curve relative al tempo di salita. Si consideri adesso il caso di uno
zero aggiuntivo nel semipiano destro del piano complesso (sistema a fase nonminima). In altri termini si vuole studiare la risposta del sistema (1.9.27)
nel caso β < 0. Anche in questo caso risulta valida l’espressione (1.9.29) con
l’unica differenza che questa volta il termine derivativo viene sottratto anziché
sommato. Pertanto uno zero reale positivo comporta, nella fase iniziale del
transitorio, un abbassamento della risposta. In realtà si può verificare che
inizialmente la risposta assume valori negativi. Infatti
1
< 0, hβ (∞) = lim hβ (t) = 1 > 0
t→∞
βωn
=⇒ ∃t̄ : hβ (t) < 0, t ∈ (0, t̄).
hβ (0) = 0, h˙ β (0) =
=⇒
Pertanto la presenza di uno zero reale positivo induce nella risposta una sottolongazione iniziale. La sottoelongazione è tanto più accentuata quanto più
piccolo è il valore di |β|. L’andamento della risposta al gradino, per vari valori
di β e δ = 0.5, è riportato in fig. ??.
44
Effetto di un polo aggiuntivo
Si vuole investigare l’effetto di un polo aggiuntivo sul comportamento di un
sistema del 2◦ ordine standard. A tale proposito si prende in esame la seguente
funzione di trasferimento:
1
,
Gα (s) = s2
s
s
+
1 + 2δ
1+
αωn
ωn ωn2
(1.9.30)
che, rispetto al sistema del 2◦ ordine standard (1.9.17), presenta un ulteriore polo reale in −αωn , con α > 0. Il lettore può determinare, per esercizio, l’espressione analitica della risposta al gradino normalizzata hα (t) =
L−1 [Gα (s)/s]. L’andamento di tale risposta, per δ = 0.5 e vari valori di α, è
riportato in fig. 3.?. Si osserva che l’effetto principale del polo aggiuntivo è
il rallentamento della risposta, ovvero l’aumento del tempo di salita. L’andamento del tempo di salita normalizzato ωn ts in funzione di α, per vari valori
di δ, è riportato in fig. 3.?.
1.9.3
Sistemi di ordine superiore al secondo
L’analisi del comportamento dinamico di sistemi del primo e secondo ordine
stabili ha evidenziato alcune interessanti considerazioni che vengono di seguito
riassunte.
1. Coppie di poli/zeri con polo e zero molto vicini fra loro producono un
effetto trascurabile sulla risposta. Di fatto tali coppie possono essere
cancellate dalla funzione di trasferimento mantenendo invariato il guadagno in continua; in questo modo si riduce l’ordine del modello senza
introdurre errori significativi sulla risposta del sistema.
2. Poli e zeri lontani dall’asse immaginario producono un effetto trascurabile sulla risposta. Pertanto, individuati i poli (reali o complessi) più
vicini all’asse immaginario (poli dominanti), eventuali altri poli o zeri
nettamente più lontani dall’asse immaginario possono essere anch’essi
eliminati, senza alterare il guadagno in continua, con buona approssimazione delle risposte del sistema. In pratica sono trascurabili poli con
α ≥ 5 e zeri con |β| ≥ 5.
3. Poli più vicini all’asse immaginario (α < 5) inducono un rallentamento della risposta, ovvero un aumento del tempo di salita, tanto più
accentuato tanto più sono prossimi all’asse immaginario.
45
4. Zeri più vicini all’asse immaginario (|β| < 5) inducono sovraelongazioni e/o sottoelongazioni tanto più pronunciate tanto maggiore è la
vicinanza all’asse. In particolare uno zero reale positivo induce una
sottoelongazione iniziale.
Si può facilmente verificare che le suddette considerazioni sono estendibili a
sistemi di ordine superiore. Per il punto 1 si constata che se
′
G (s) =
1 + τs
G(s)
1 + τs
′
il residuo K associato al polo s = −1/τ nella funzione di trasferimento H (s) =
′
G (s)/s è dato da
1
τ
G −
K =− 1−
τ
τ
e quindi K ≈ 0 se si verifica la quasi-cancellazione τ ≈ τ . Questo mostra che
l’effetto sulla risposta di una quasi-cancellazione polo-zero è pressoché nullo.
Per il punto 2, si consideri ad esempio l’aggiunta di un polo reale con costante di tempo τ ad un sistema con una funzione di trasferimento normalizzata
G(s), ovvero
1
′
G (s) =
G(s)
(1.9.31)
1 + τs
Le risposte al gradino associate ai due sistemi di funzioni di trasferimento G(s)
′
e G (s) sono rispettivamente
H(s) =
′
H (s) =
G(s)
s
′
G (s)
s
=
=
X Ki
1
+
s
s − pi
i
X
Ki′
1
K
+
+
s
s − pi
s + τ1
i
′
dove: K è il residuo del polo aggiuntivo −1/τ di G (s); Ki e Ki′ sono i residui
′
dei poli pi di G(s) in H(s) e, rispettivamente, H (s). Utilizzando la formula
dei residui:
"
#
′
G
(s)
K =
s + τ1
= −G − τ1
s
"
#s=−1/τ
′
G
(s)
G(s)
1
Ki
′
(s − pi )
Ki = (s − pi )
=
=
s
1 + τ pi
s s=−pi
1 + τ pi
s=−pi
Nell’ipotesi in cui il polo aggiunto sia molto più distante dall’asse immaginario
rispetto agli altri poli pi , si ha |τ pi | ≪ 1 e G(−1/τ ) ≈ 0, da cui
K ≈ 0 e Ki′ ≈ Ki .
46
Conclusioni
′
Questo dimostra che H (s) ≈ H(s) e, di conseguenza, che il polo aggiunto ha
effetto trascurabile sulla risposta. Con argomentazioni analoghe si procede per
i poli complessi coniugati e gli zeri.
′
Per il punto 3, basta osservare che le risposte al gradino h(t) e h (t), relative
′
a sistemi con funzioni di trasferimento G(s) e G (s) in (1.9.31), sono legate dalla
relazione
′
H (s) =
′
1
1 ′
1
H(s) =⇒ h˙ (t) +
h (t) =
h(t),
1 + τs
τ
τ
′
ovvero la risposta h (t) è ottenuta da h(t) tramite un filtraggio passa-basso
′
con banda passante 1/τ (vedi capitolo successivo). Pertanto la risposta h (t)
risulta rallentata rispetto a h(t).
′
Infine, per il punto 4 si osserva che, posto G (s) = (1 + τ s) G(s), le relative
′
risposte al gradino h(t) e h (t) soddisfano la relazione
′
˙
h (t) = h(t) + τ h(t).
(1.9.32)
Pertanto se la costante di tempo τ delo zero aggiuntivo è, in valore assoluto,
elevata, il termine derivativo induce una sovraelongazione se τ > 0 oppure una
sottoelongazione se τ < 0.
In accordo con le osservazioni appena fatte, se la funzione di trasferimento
del sistema presenta un polo dominante reale molto più vicino all’asse immaginario di tutti gli altri poli e zeri, reali o complessi, il comportamento del
sistema è molto simile a quello di un sistema del primo ordine con l’unico polo
coincidente con il polo dominante. Se la funzione di trasferimento possiede
una coppia di poli dominanti complessi coniugati molto più vicini all’asse immaginario rispetto a tutti gli altri poli e zeri, il comportamento del sistema
è molto simile a quello di un sistema del secondo ordine standard. In questi due casi, si possono quindi utilizzare le formule introdotte in precedenza
relativamente a sistemi del 1◦ e 2◦ ordine per il calcolo dei parametri caratteristici del transitorio (massima sovraelongazione, tempo di salita, tempo di
assestamento).
1.10
Conclusioni
Dagli sviluppi di questo capitolo emergono le seguenti considerazioni generali.
1. L’analisi di sistemi LTI può essere effettuata ricorrendo esclusivamente
a strumenti di tipo algebrico. Specificamente, lo strumento adottato in
questo testo è la trasformata di Laplace (vedi appendice A).
47
2. Le risposte tipiche di un sistema LTI (risposta libera, risposta impulsiva, risposta transitoria) sono combinazioni lineari di particolari funzioni,
dette modi naturali del sistema, che dipendono esclusivamente dalla posizione nel piano complesso e dalle molteplicità dei poli della funzione di
trasferimento (se si fa riferimento ad un modello ingresso-uscita) o, equivalentemente, degli autovalori della matrice di transizione dello stato (se
si fa riferimento ad un modello di stato).
3. Il comportamento statico (a regime costante ovvero in condizioni di equilibrio) di un sistema LTI è completamente caratterizzato dal guadagno in
continua; più precisamente, in risposta ad un ingresso costante, l’uscita
del sistema si porta, in condizioni di regime, ad un valore costante pari al
prodotto del guadagno in continua per l’ingresso costante. Il guadagno
in continua altro non è che il valore della funzione di trasferimento G(s)
calcolato in corrispondenza di s = 0.
4. Il comportamento dinamico (in transitorio) di un sistema LTI dipende
dalle posizioni dei poli e degli zeri della funzione di trasferimento. In
particolare la stabilità del sistema, definita come l’estinzione asintotica
del transitorio per arbitrarie condizioni iniziali, dipende solo dalla posizione dei poli ed equivale al requisito che tutti i poli siano collocati nel
semipiano sinistro del piano complesso cioè abbiano parte reale negativa.
5. Per sistemi del primo e del secondo ordine stabili risulta possibile mettere
in relazione le principali caratteristiche della risposta al gradino (tempo
di salita, tempo di assestamento, massima sovraelongazione etc.) con la
posizione dei poli e degli zeri. Queste relazioni sono estendibili a sistemi
stabili di ordine più elevato nel caso in cui un polo reale oppure una
coppia di poli complessi coniugati risultino dominanti (cioè molto più
vicini all’asse immaginario rispetto agli altri poli).
6. L’analisi di stabilità di un sistema LTI può essere effettuata senza dover ricorrere alla determinazione esplicita delle radici di un polinomio,
utilizzando il criterio di Routh che richiede la costruzione, a partire dai
coefficienti del polinomio con sole operazioni aritmetiche elementari, di
una opportuna tabella e la valutazione del segno degli elementi sulla prima colonna di tale tabella. Tale criterio si rivela particolarmente utile,
se non indispensabile, per studiare la stabilità al variare di uno o più
parametri.

fondamenti di - Dipartimento di Ingegneria dell`Informazione

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