Considerazioni sulla polarizzazione ellittica

Considerazioni sulla polarizzazione ellittica
Consideriamo un’onda elettromagnetica piana, monocromatica, che si propaghi nella direzione dell’asse z. Sappiamo che il vettore campo elettrico è descritto dall’equazione
E = x̂E0x cos(kz − ωt + φx ) + ŷE0y cos(kz − ωt + φy )
che può essere riscritta come
E = x̂E0x cos τ + ŷE0y cos(τ + φ)
(1)
avendo definito
τ = kz − ωt + φx
φ = φy − φ x .
Ci proponiamo allora di studiare l’equazione parametrica di E al variare dello sfasamento φ tra le componenti dell’onda.
Notiamo subito che per φ = 0 l’Equazione 1 si riduce a
E = [x̂E0x + ŷE0y ] cos τ :
in questo caso il vettore campo elettrico oscilla lungo la direzione x̂E0x +ŷE0y e si ha quindi polarizzazione
lineare. Per φ = π, analogamente, si ha polarizzazione lineare lungo la direzione x̂E0x − ŷE0y .
Prendendo invece φ = π2 possiamo sviluppare l’equazione del vettore campo elettrico come:
E = x̂E0x cos τ + ŷE0y cos(τ +
π
) = x̂E0x cos τ − ŷE0y sin τ
2
che rappresenta un’ellisse con assi paralleli agli assi cartesiani (una circonferenza, se E0x = E0y ).
(a) φ = 0
(b) φ =
π
2
Figura 1: Due casi particolari di polarizzazione ellittica: in rosso la traiettoria descritta dal vettore campo
elettrico.
1
Per studiare la polarizzazione ellittica nel caso più generale conviene sviluppare l’Equazione 1 dopo
aver aggiunto e sottratto una generica fase δ all’argomento dei coseni:
E = x̂E0x cos(τ + δ − δ) + ŷE0y cos(τ + δ + φ − δ)
= x̂E0x [sin(τ + δ) sin δ + cos(τ + δ) cos δ] + ŷE0y [cos(τ + δ) cos(φ − δ) − sin(τ + δ) sin(φ − δ)]
= x̂E0x cos δ + ŷE0y cos(φ − δ) cos(τ + δ) + x̂E0x sin δ − ŷE0y sin(φ − δ) sin(τ + δ)
(2)
= ξ̂a cos(τ + δ) + η̂b sin(τ + δ)
A questo punto basta imporre che le direzioni di ξ̂ ed η̂ siano ortogonali per ottenere l’equazione parametrica di un’ellisse di assi a e b. Questa imposizione corrisponde a determinare la fase δ, e può essere
scritta come:
2
2
E0x
cos δ sin δ = E0y
cos(φ − δ) sin(φ − δ).
(3)
Dalla (2) si ricava immediatamente:
2
2
2
2
a2 + b2 = E0x
cos2 δ + E0y
cos2 (φ − δ) + E0x
sin2 δ + E0y
sin2 (φ − δ)
2
2
= E0x
+ E0y
.
(4)
Inoltre possiamo valutare il prodotto a2 b2 come:
2
2
2
2
a2 b2 = [E0x
cos2 δ + E0y
cos2 (φ − δ)] · [E0x
sin2 δ + E0y
sin2 (φ − δ)]
4
4
2
2
= E0x
cos2 δ sin2 δ + E0y
cos2 (φ − δ) sin2 (φ − δ) + E0x
E0y
[sin2 δ cos2 (φ − δ) + cos2 δ sin2 (φ − δ)]
quantità che può essere calcolata in modo semplice imponendo l’ortogonalità (Equazione 3) per riscrivere
i primi due termini. Si ha allora:
2
2
2
2
a2 b2 = 2E0x
E0y
cos δ sin δ cos(φ − δ) sin(φ − δ) + E0x
E0y
[sin2 δ cos2 (φ − δ) + cos2 δ sin2 (φ − δ)]
2
2
= E0x
E0y
[sin δ cos(φ − δ) + cos δ sin(φ − δ)]2
2
2
= E0x
E0y
[sin(φ + δ − δ)]2
2
2
= E0x
E0y
sin2 φ
da cui si trova
±ab = E0x E0y sin φ.
(5)
Definiamo ora due angoli caratteristici dell’ellisse.
Chiamiamo ψ l’angolo che la direzione di ξ̂ forma con
quella di x̂, ovvero l’angolo di cui sono ruotati gli assi dell’ellisse rispetto agli assi cartesiani. Chiamiamo
inoltre l’angolo definito dalla relazione:
b
= arctan
.
a
È evidente che l’angolo , dipendente dal rapporto tra le lunghezze degli assi, è legato all’eccentricità dell’ellisse.
In particolare è nullo quando si
ha polarizzazione lineare ed assume valore π4 solo se si è in presenza di polarizzazione circolare.
Il nostro scopo è ora quello di ricavare delle relazioni
che leghino e ψ allo sfasamento φ.
Figura 2: Ellisse descritta dal vettore campo
Notiamo innanzitutto che
elettrico nel caso generale.
b
a
sin = √
cos = √
,
a2 + b2
a2 + b2
2
da cui si ricava, tenendo conto della (4) e della (5):
sin(2) = 2 sin cos = 2 √
=
a
ab
b
√
=2 2
2
2
2
a + b2
+b
a +b
a2
2E0x E0y
2 + E 2 sin φ.
E0x
0y
(6)
Cerchiamo infine una relazione tra ψ e φ. È conveniente partire dalla condizione di ortogonalità degli
assi, imponendo che l’angolo ψ che ξ̂ forma con x̂ sia lo stesso che η̂ forma con ŷ (poiché x̂ e ŷ sono
perpendicolari, tale condizione è equivalente all’Equazione 3). Si trova allora:
E0y
E0y cos(φ − δ)
=
[cos φ + sin φ tan δ]
E0x
cos δ
E0x
E0x
sin δ
E0x sin δ
E0x tan δ
tan ψ =
=
=
.
E0y sin(φ − δ)
E0y sin φ cos δ − E0y cos φ sin δ
E0y sin φ − E0y cos φ tan δ
tan ψ =
Ricavando dalla prima equazione
tan δ =
E0x
E0y
tan ψ − cos φ
sin φ
e sostituendo nella seconda, otteniamo:
tan ψ − cos φ sin1 φ
tan ψ =
φ E0x
tan
ψ
−
cos
φ
E0y sin φ − E0y cos
sin φ
E0y
E0x
=
E0y
E0x
2
E0x
E0y
sin2 φ −
tan ψ −
2
E0y
E0x
E0y
E0x
cos φ
0x
cos φ E
E0y tan ψ − cos φ
E
=
0y
tan ψ − E0x
cos φ
.
2
E0y
E0y
− E0x cos φ tan ψ
E0x
Considerando il primo e l’ultimo termine dell’uguaglianza possiamo scrivere:
tan ψ
E0y
E0x
2
E0y
E0y
cos φ tan2 ψ = tan ψ −
cos φ
E0x
E0x
!
2
E0y
E0y
=
tan ψ 1 − 2
cos φ 1 − tan2 ψ
E0x
E0x
−
(7)
E0y
2 E0x
2 tan ψ
=
cos φ
2
E2
1 − tan ψ
1 − E0y
2
0x
che, tenendo conto della formula di duplicazione della tangente, diventa
tan(2ψ) =
2E0x E0y
2 − E 2 cos φ.
E0x
0y
(8)
Notiamo che per φ = 0 dalla (7) si ricava
tan ψ =
E0y
E0x
(9)
che è proprio quanto ci si sarebbe aspettato in base a considerazioni geometriche: in questo caso, infatti,
l’ellisse degenera in un segmento e l’asse maggiore va dall’origine al punto (E0x , E0y ), come è evidente
dalla Figura 1(a).
3