GRAFICI OTTENUTI COMPONENDO CON LA RADICE QUADRATA

GRAFICI OTTENUTI COMPONENDO CON LA RADICE QUADRATA
PRIMA PARTE: Risultati generali
Innanzitutto ricorda il grafico della radice quadrata che ci permette di fare tutte le considerazioni di
questa pagina:
2
y
1
x
−4.0 −3.0
−2.0 −1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
−1
−2
1. Dominio di una funzione del tipo f ( x ) = P ( x )
Una funzione del tipo f ( x) = P( x) , ammette in ingresso solamente numeri positivi, cioè esiste se
P( x) ≥ 0 .
Da un punto di vista grafico questo vuol dire che possiamo tracciare il grafico di f(x) solamente
quando il grafico di P( x) è al di sopra dell’asse x.
2. Zeri di f ( x ) = P ( x )
La radice di zero è zero.
Quindi le intersezioni con l’asse x del grafico di f ( x) = P( x) sono quelle del grafico di P( x)
3. Intervalli di monotonia di f ( x ) = P ( x )
La funzione radice quadrata è una funzione crescente: all’aumentare dell’argomento della radice
quadrata, aumenta la radice stessa. Questo ci permette di concludere che:
- se la funzione P(x) cresce vuol dire che all’aumentare delle x, aumenta anche P(x), ma allora
aumenta anche P( x) .
- se invece decresce P(x), decrescerà anche la sua radice.
Ricapitolando dove cresce P( x) cresce anche f ( x) = P( x) , mentre dove decresce P( x) decresce
anche f ( x) .
4. Posizione reciproca tra i due grafici di f ( x ) = P ( x )
La radice quadrata di 1 è 1.
Da un punto di vista grafico, vuol dire che i punti in cui il grafico di P( x) interseca la retta y=1,
sono anche punti del grafico di f ( x) .
Se un numero è maggiore di uno, la sua radice è minore del numero stesso. Mentre se il numero è
minore di uno (ma maggiore di zero), la sua radice è maggiore del numero.
1 1 1 1
Ad es., 4 = 2 e 2<4, mentre
= e > .
4 2 2 4
Questo vuol dire che dove il grafico di P( x) è al di sopra della retta y=1, si ha che il grafico di
f ( x) è al di sotto di quello di P( x) .
Mentre dove il grafico di P( x) è al di sotto della retta y=1, si ha che il grafico di f ( x) è al di sopra
di quello di P( x) .
SECONDA PARTE: esempi dei grafici visti in classe
Avete osservato che i grafici assumono forme molto diverse tra loro a seconda del segno assunto da
a e da c, in questa pagina trovi alcuni esempi realizzati con Winplot.
Per effettuare il grafico senza utilizzare software si inizia disegnando la parabola che sta sotto
radice, cioè disegnando il grafico di y = ax 2 + c e poi, guardando questo grafico, si sfruttano le
considerazioni su dominio, zeri, monotonia e posizione tra i grafici viste in precedenza.
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
2
3
4
f ( x) = − x 2 + 4
1
f ( x) = − x 2 + 4
4
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
f ( x) =
5
1 2
x −2
2
f ( x) = x 2 +
2
3
4
1
2
Gli ultimi due grafici meritano qualche considerazione in più per capire bene come disegnare
“l’apertura” delle curve. Ma questo alla prossima puntata...
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