Politecnico di Milano DETERMINAZIONE DEL KI DI RUOTE

DETERMINAZIONE DEL KI DI RUOTE DENTATE AL VARIARE
DELLE CONDIZIONI DI INGRANAMENTO
M.Guagliano, M. Sangirardi, L.Vergani
Dipartimento di Meccanica, Politecnico di Milano, P.zza L. da Vinci, 32, 20133 Milano
[email protected] , [email protected] [email protected]
Sommario
Nel presente lavoro si affronta il problema del calcolo del fattore di intensificazione degli
sforzi di cricche di fatica in ruote dentate, con corone di differente spessore, a denti diritti. Dopo aver
identificato il punto di nucleazione della cricca di fatica se ne è seguita l’evoluzione, anche in termini
di direzione di propagazione. In particolare le analisi svolte hanno permesso di seguire l’effettivo ciclo
del fattore di intensificazione degli sforzi durante l'ingranamento. I risultati mostrano che piccoli
riposizionamenti del punto di nucleazione possono dar luogo a modalità di propagazione differenti,
che in taluni casi possono interessare l'intera corona.
Abstract
The present paper deals with the fatigue crack growth prediction in spur gear teeth with
different rib thickness. After having determined the position of initiation of the crack, its
evolution was analysed in terms of crack growth direction. The analyses allowed researchers
to evaluate the effective ∆K during the contact cycle. The results shows that little deviation
of the crack initiation point can lead to different crack propagation evolutions, that
sometimes lead to damage the rim thickness.
1. Introduzione
La previsione della propagazione di cricche di fatica nelle ruote dentate è un argomento di
crescente attualità, infatti è ben noto che l’applicazione delle norme di calcolo internazionali (ad
esempio [1], [2]) per il progetto di ruote dentate conduce a dimensionamenti il più delle volte
eccessivamente conservativi, impedendo l’ottimizzazione del progetto in relazione alla effettiva durata
richiesta. L’adozione di criteri progettuali differenti impone tuttavia la definizione di procedure di
calcolo capaci di tenere in considerazione le effettive condizioni di sollecitazione delle ruote.
Focalizzando l’attenzione sulla verifica a fatica alla base del dente è necessaria la messa a punto di
approcci capaci di valutare la durata delle fasi di nucleazione e di propagazione di cricche di fatica;
infatti, solo sulla base di queste indicazioni è possibile procedere mediante tecniche del tipo “damage
tolerant”.
Molti sono gli autori che nell’ultima decade si sono interessati al problema: tra i numerosi
interventi pubblicati, gli studi di Flasker et al [3-5] rappresentano un importante contributo per la
definizione di modelli numerici ad elementi finiti 2D e 3D idonei per la simulazione della propagazione
e per la messa a punto di metodologie di progetto innovative, tenendo in considerazione le effettive
condizioni di contatto. In tempi più recenti Ballarini et al [6-8] hanno sviluppato algoritmi per la
simulazione automatica, in 2 e 3 dimensioni, di cricche di fatica in ruote dentate di interesse
aeronautico, considerando anche l’effetto di chiusura della cricca ed ottenendo risultati di interesse
applicativo.
Nicoletto [9] ha invece proposto un approccio basato sul metodo delle Weight Functions
per la determinazione dei fattori di intensificazione degli sforzi relativi al I ed al II modo di apertura
della cricca, evidenziando l’influenza del KII sulla direzione di propagazione della frattura.
Recentemente, Ciavarella e Demelio [10] hanno sviluppato una metodologia basata su analisi BEM
per l’ottimizzazione del progetto delle ruote dentate.
Anche i presenti autori si sono occupati del problema, soffermandosi sull’influenza dei
trattamenti superficiali sulla vita a fatica delle ruote dentate [11] e definendo un approccio basato
sulle Weight Functions in 3 dimensioni per il calcolo del KI di cricche con fronte curvilineo [12].
In tutti i lavori precedentemente citati per il calcolo del valore di Kmax si considera la
condizione di contatto singolo più esterno, condizione di verifica indicata anche dalle norme.
Partendo dall’evidenza che, almeno per il tipo di ruota dentata considerata, esiste un lungo tratto alla
base del dente nell'intorno del punto indicato dalle norme interessato da elevate sollecitazioni e sede
preferenziale di innesco della frattura, si è esaminato come la frattura evolva al variare del punto di
nucleazione ed al variare dello spessore della corona.
I risultati mostrano come la direzione di propagazione risenta dello spessore della corona e
che in taluni casi è bene considerare anche la condizione di contatto singolo più interno. Lo studio è
di natura prevalentemente numerica: prove fotoelastiche hanno tuttavia convalidato i risultati raggiunti.
2.Descrizione delle ruote dentate
La ruota oggetto dell’analisi è a denti diritti con profilo ad evolvente fortemente corretto ed è
utilizzata per cambi automobilistici di vetture di media cilindrata per realizzare la retromarcia. Il
coefficiente di intaglio teorico, calcolato facendo riferimento al metodo delle rette a 30° indicato in
[1], è pari a 1.87. Sempre seguendo le indicazioni contenute nelle norme e con l’ausilio di strumenti
di calcolo automatici, sono stati determinati il punto di contatto singolo più esterno (PSE) e più
interno (PSI), nei quali nelle successive analisi ad elementi finiti è stato applicato un carico
corrispondente alla coppia di progetto. In Fig.1 è illustrato un disegno schematico della ruota.
La corona è, come si vede in figura, piena. Nel presente lavoro sono stati considerati i casi di
corona di vario spessore per valutare come questa grandezza modifichi le modalità di propagazione.
3. Definizione dei modelli numerici
Il calcolo dell’evoluzione di cricche di fatica nelle ruote dentate è stato affrontato con analisi
ad elementi finiti. Innanzitutto sono stati sviluppati modelli del dente in assenza di cricca idonei alla
valutazione del punto più sollecitato; i modelli comprendenti la frattura sono stati ricavati da questi
modificandone opportunamente la schematizzazione.
Figura 1 – Disegno schematico della ruota
Tenendo presente precedenti risultati [12] indicanti come, a parte le prime fasi di
propagazione, la cricca tenda a divenire rettilinea e, conseguentemente, il problema, piano, le
schematizzazioni adottate sono state bidimensionali. In Fig.2 è illustrato il modello non criccato della
ruota nelle due condizioni di carico considerate: la forza nel punto di contatto singolo più esterno
(PSE) e angolo αen=32° e la forza nel punto di contatto singolo più interno (PSI) e angolo αen=7°;
come si può notare la modellazione comprende un solo dente.
Le condizioni di vincolo non riproducono fedelmente quelle reali dei piani di contorno laterali della
ruota; tuttavia si è visto [13] come, in assenza di cricche od in presenza di fratture di dimensioni
modeste, tali condizioni non danno luogo a differenze sostanziali nel calcolo dello stato di sforzo nel
dente. Il fattore di intensificazione degli sforzi è stato calcolato tramite la tecnica dell’avanzamento
virtuale della cricca [14] che permette di determinare il valore dell’energia specifica G rilasciata
G
durante un avanzamento in varie direzioni possibili della frattura, da cui si ottiene: K =
in cui
E'
E’=E/(1-ν2) per stati di deformazione piana.
a
b
Figura 2- Modelli ad elementi finiti del dente non criccato: a) forza nel punto di contatto
singolo più esterno, b) forza nel punto di contatto singolo più interno.
Il K così ottenuto raccoglie gli effetti sia del I modo che del II di apertura delle cricche e può
quindi essere utilizzato per descrivere la propagazione del difetto. E' stata considerata come
direzione di propagazione quella per la quale si è ottenuto il massimo valore di G; la propagazione
della cricca è stata così seguita aggiornando dimensioni e orientamento della cricca fino ad ottenere
dimensioni che interessano gran parte dello spessore del dente.
4. Risultati numerici
Le analisi sul dente integro hanno permesso di determinare la zona in cui la cricca nuclea,
evidenziata in Fig.3. Dopo aver elaborato i valori di sforzo, si sono considerati i nodi più sollecitati
(in termini di sollecitazione equivalente di von Mises) quando il carico agisce nelle due condizioni
PSE e PSI.
La propagazione è stata poi seguita a partire da questi due punti; nel caso di difetto che
nuclea dal punto 1 la forza è stata applicata nella posizione di PSE, viceversa se il difetto nuclea dal
punto 2 si fa riferimento alla condizione di forza applicata in PSI.
In Fig.4 è rappresentato l’andamento del fattore di intensificazione degli sforzi per i due casi
considerati e per i differenti spessori di corona: è possibile notare che i risultati relativi al contatto nel
PSE sono quelli più gravosi ma che anche i valori relativi alle condizioni di contatto nel PSI sono
comunque di entità non trascurabile.
K
In Fig. 5 sono riportati gli andamenti dei fattori di forma, β, definito come: β =
.
σ n om πa
(a)
(b)
Fig.3 – Zona più sollecitata alla base del dente: a) punto più sollecitato per carico applicato
nel PSE, b) punto più sollecitato per carico applicato nel PSI.
Interessante risulta l’analisi della direzione di propagazione per i diversi casi considerati: in
Fig.6 sono riportate, per la ruota di maggiore spessore, le configurazioni deformate in presenza di
cricche ormai prossime alla propagazione instabile, considerando la forza applicata in PSE (a) e in
PSI (b); nelle Fig.7 e 8 sono mostrate le analoghe deformate nel caso, rispettivamente di ruota con
corona di spessore ridotto al 75% e al 60%. Si nota che, nel caso di ruota con spessore ridotto al
60% e forza applicata nel PSI, la cricca si dirige non verso l’estremità opposta del dente,
causandone la rottura, ma verso la corona della ruota, con ben più gravi conseguenze, visto che in
questo caso sarà l’intera ruota a rompersi.
K [MPa m0,5]
40
100PSE
100PSI
75PSE
75PSI
60PSE
60PSI
3
2
β
100PSE
100PSI
75PSE
75PSI
60PSE
60PSI
60
1
20
0
0
0
1 a [mm] 2
3
Fig.4 Andamento di K al variare di a per
diversi spessori della corona
0
0,2
a/s
0,4
Fig.5 Andamento di β al variare di a per
diversi spessori della corona
E’ quindi lecito affermare che la condizione di contatto singolo più interno, nonostante dia
luogo, per le configurazioni esaminate, a K minori e conseguentemente a velocità di propagazione
meno elevate deve essere tenuta in attenta considerazione perché più pericolosa rispetto a quella di
contatto singolo più esterno giacché produce la rottura dell’intera ruota.
Per valutare, infine, come le condizioni di vincolo ipotizzate influenzino i risultati raggiunti è
stata svolta un’analisi in cui si è schematizzata l’intera corona, tenendone quindi in conto la
deformabilità e, con essa, adottando una schematizzazione numerica più prossima a quella reale. I
casi analizzati si riferiscono alla corona con spessore ridotto al 60%: i risultati hanno evidenziato una
differenza del fattore di intensificazione degli sforzi del 10% mentre la direzione di propagazione
resta praticamente invariata.
a
b
Fig.6 Caso della ruota piena : differente avanzamento dei difetti per
forza applicata nel PSE (a); forza applicata nel PSI (b).
a
b
Fig.7 Caso della ruota con corona di spessore pari al 75% : differente avanzamento dei difetti
per forza applicata nel PSE (a); forza applicata nel PSI (b).
a
b
Fig.8 Caso della ruota con corona di spessore pari al 60% : differente avanzamento dei difetti
per forza applicata nel PSE (a); forza applicata nel PSI (b).
5. Modelli fotoelastici e risultati sperimentali
Per verificare sperimentalmente i risultati ottenuti numericamente è stata svolta una indagine
fotoelastica su modelli piani in resina epossidica artificialmente danneggiati, con cricca diretta
normalmente al bordo e disposta nel punto di maggiore sollecitazione a trazione.
Il modello fotoelastico riproduce soltanto tre denti e il danno è stato impresso alla base di
quello centrale. Per ottenere artificialmente la discontinuità si è operato impattando con una sottile
lama sul bordo del modello; scegliendo opportunamente l'energia dell'impatto si può statisticamente
prevedere la lunghezza della cricca.
Il modello così preparato è stato quindi sottoposto a un carico applicato nelle due posizioni
considerate usando l'attrezzatura di carico, vedi Fig.9.
Con questa procedura sono stati studiati difetti con due diverse lunghezze di cricca, a1=
0.8mm e a2= 1.5 mm. In Fig.10, come esempio, si possono osservare le isocromatiche relative alla
cricca a1 e alla cricca a2, nel caso di forza applicata nel PSI.
Già da una ricognizione d'assieme sull'andamento delle isocromatiche si può osservare che
nel caso della cricca a1 si è in presenza di una condizione di semplice apertura (disposizione
simmetrica rispetto all'asse della cricca), mentre per la più estesa è riscontrabile la presenza di un
modesto contributo di taglio. I risultati ottenuti concordano con quanto ottenuto per via numerica e
con quelli di letteratura [10], mostrando che il contributo di taglio diventa influente solo quando la
dimensione del difetto è elevata. Nella elaborazione delle frange quindi, nel caso a1 si è usato il
metodo dell'apogeo di Irwin, nel caso a2 si è invece usato il metodo di Dally e Sanford [15]. I
risultati ottenuti per i due casi trattati sono riportati in termini di fattore di forma in Tab. II insieme a
quelli previsti con il calcolo per un utile confronto.
Tabella II Valori dei fattori di forma determinati numericamente e sperimentalmente
Forza applicata nel PSE
Forza applicata
Nel PSI
a/s
β
β
β
β
Numerico
Fotoelastico
Numerico
Fotoelastico
0,05
1,31
1,22
2,2
1,87
0,09
1,02
0,94
1,18
1,23
6. Conclusioni
E’ stata analizzata la propagazione di cricche di fatica in ruote dentate utilizzate in ambito
automobilistico. L’attenzione è stata in particolare riposta sull’analisi dell’influenza dello spessore
della corona sulla direzione di propagazione al variare della posizione del carico durante il ciclo di
contatto. Gli andamenti riportati nelle Figg. 6-7-8 evidenziano una minore influenza dello spessore
della corona per le situazioni in cui il carico è applicato nel PSE in confronto a quanto accade nei casi
in cui il carico agisce nel PSI.
I risultati numerici indicano comunque che la condizione di contatto singolo più esterno è
quella che generalmente determina le condizioni di propagazione per fatica.
Tuttavia, per inneschi in posizione leggermente differente da quella dettata dalle norme, è
interessante considerare anche la condizione di contatto singolo più interno; in particolare, nel caso di
ruote con spessore ridotto si può avere una direzione di propagazione tale da produrre la rottura
della corona della ruota. I risultati sperimentali, seppure ancora meno estesi dei numerici, risentendo
della distribuzione degli sforzi di contatto, sembrano sottolineare l'esigenza di un ulteriore
approfondimento di questa situazione.
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Fig.9 Attrezzatura di carico.
a
b
Fig.10 Andamento delle isocromatiche con la forza nel PSI: a) a1=0,8mm; b) a2=1,5mm