(Microsoft PowerPoint - 23. Evoluzione Teoria del rischio [modalit

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA
FACOLTA’ DI ECONOMIA
Corso di Corporate Banking and Finance
a.a. 2012-2013
(Professor Eugenio Pavarani)
Evoluzione della teoria del rischio finanziario
al CAPM
al teorema della separazione
da Markowitz
1
Le curve di indifferenza sulla
frontiera di Markowitz
• Markowitz ha dimostrato l’esistenza della Frontiera Efficiente
• Ma quale portafoglio sulla Frontiera è preferibile?
• Dipende dall’avversione/propensione al rischio dell’investitore (la
scelta è soggettiva, sulla base delle proprie curve di indifferenza)
Spazio
oltre-frontiera
Portafogli
oggettivamente
dominanti
E (R)
Y
X
Portafogli
dominati
σ
2
1
Evoluzione della teoria del rischio finanziario
Indice
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital
Market Line (1958) 1
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe (1964)2 e la Security Market Line
Tobin, James (1958), “Liquidity Preference as Behavior towards Risk”, Review of
Economic Studies, 25, 65-86
2 Sharpe , W. F. (1964), “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under
Conditions of Risk”, Journal of Finance, 19 (September)
1
3
Investimento al tasso privo di rischio
• Markowitz ha ragionato solo su titoli e portafogli rischiosi
• Tobin ipotizza ora l’esistenza di titoli caratterizzati da
rischio nullo (σ
σ = 0) che garantiscono quindi un rendimento
sicuro. Questo tasso è il Risk Free Rate (Rf)
• E’ ora possibile costruire ulteriori portafogli combinando quelli
sulla frontiera efficiente (es. portafoglio A) con titoli privi di
rischio (es. titolo B)
σ²p = a²·σ
σ²A+b²·σ
σ²B+2·a·b·σ
σA·σ
σB·ρ
ρAB
4
2
Investimento al tasso privo di rischio
• E’ ora possibile costruire ulteriori portafogli combinando quelli
sulla frontiera efficiente (es. portafoglio A) con titoli privi di
rischio (es. titolo B)
σ²p = a²·σ
σ²A+b²·σ
σ²B+2·a·b·σ
σA·σ
σB·ρ
ρAB
a = σp / σA
σ²p = a²·σ
σ²A
E(Rp) = a · E(RA) + b · Rf
E(Rp) = σp / σA · E(RA) + (1- σp /σ
σA ) · Rf
σA
E(Rp) = Rf + [E(RA) – Rf] · σp /σ
E(Rp) = Rf + [E(RA) – Rf] · σp
σA
y=a+b*x
5
Il teorema della separazione di Tobin
La nuova frontiera efficiente è una spezzata
E (Rp)
A’’
x’
Rf
y
A’
x
A
σp
E(Rp) = Rf + [E(RA) – Rf] · σp
σA
6
3
Il teorema della separazione di Tobin
La nuova frontiera efficiente è una spezzata
E (Rp)
A’’
x’
Rf
y
A’
x
A
La frontiera efficiente è ora una spezzata costituita da
portafogli con minor rischio a parità di rendimento
σp
E(Rp) = Rf + [E(RA) – Rf] · σp
σA
7
Il teorema della separazione di Tobin
La nuova frontiera efficiente è una spezzata
E (Rp)
E (RA)
A’’
x’
1^ ipotesi:
a = 0%
σp = 0
Rf
y
3^ ipotesi:
0 < σp < σA
% del PA
2^ ipotesi:
a = 100%
σp = σA
σp = a * σA
σA
E(Rp) = Rf + [E(RA) – Rf] · σp
σA
σp
8
4
Indebitamento al tasso privo di rischio
• Abbiamo ipotizzato la possibilità di investire al tasso
privo di rischio
• Si ipotizza ora la possibilità di indebitarsi al tasso privo di
rischio
• Un investitore propenso al rischio può indebitarsi al tasso
Risk Free, e investire al rendimento offerto dal portafoglio
di mercato
(= effetto di leva finanziaria maggior rendimento e maggior rischio)
• Tale possibilità sposta ulteriormente la frontiera efficiente
che diventa una semiretta
9
La nuova frontiera efficiente: una semiretta
E(Rx) = (50 * 0,20) + (50 * 0,10) = 15%
σpX = 50% * σA
es.
W=100
Rf = 10%
E(Ra)=20%
y’
E (R)
y
A
x’
Rf
E(RA) = 100 * 0,20 = 20%
σpA = 100% * σA
σ
E(Ry) = (200 * 0,20) – (100 * 0,10) = 30%
σpy = 200% * σA
10
5
La Capital Market Line
R(p) = Rf +
R(m) - Rf
σ(m)
σ(p)
E (R)
CML
Pendenza CML
R(m)
m
Rf = Risk Free Rate
Rf
R(m)= rendimento atteso
del portafoglio di mercato
σ(m)
σp
σ(m)= sqm del portafoglio
di mercato
11
Il portafoglio di mercato
• Il portafoglio m, detto Portafoglio di Mercato, è
oggettivamente il migliore portafoglio di soli titoli rischiosi
e domina qualsiasi altro portafoglio di soli titoli rischiosi
• La semiretta che congiunge Rf e il portafoglio di mercato
costitituisce la nuova frontiera efficiente ed è denominata
Capital Market Line (CML)
• Ogni portafoglio presente sulla frontiera efficiente è formato
da una quota del titolo privo di rischio e da una quota
del portafoglio di mercato
12
6
Il portafoglio di mercato
• La scelta del portafoglio rischioso è oggettiva: non
dipende dalla propensione al rischio dell’investitore
• La quota dell’investimento nell’intero portafoglio
rischioso da combinare con la quota nel titolo non
rischioso è soggettiva: dipende dalla propensione al
rischio del singolo investitore
i due momenti decisionali sono “separati”
13
Il prezzo di mercato del rischio
• La pendenza della CML è il prezzo di mercato del rischio
• esprime il premio di rendimento pagato dal mercato per ogni
unità di rischio aggiuntiva
• il rendimento di un portafoglio efficiente
– è funzione del peso attribuito alla componente rischiosa
del portafoglio ed
– è determinato dall’equazione della CML
R(p) = Rf +
R(m) - Rf
σ(m)
σ(p)
14
7
Il teorema della separazione di Tobin
• L’introduzione del tasso privo di rischio e la nuova frontiera
efficiente (CML) separano:
– l’individuazione del portafoglio rischioso ottimo: è una scelta
oggettiva indipendente dalla propensione al rischio
– la scelta soggettiva di posizionamento lungo la CML, cioè la
quantità di ricchezza da investire nel portafoglio ottimo e nel
titolo con tasso privo di rischio (che dipende dalle curve di
indifferenza)
– ogni investitore razionale detiene il portafoglio di mercato
per importi diversi
– quindi la reale composizione del portafoglio di mercato
rispecchia la composizione ottimale
15
Evoluzione della teoria del rischio finanziario
Indice
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line
16
8
Diversificazione e valore
• La diversificazione consente di migliorare la relazione
rischio/rendimento
• Un portafoglio di n titoli ha
– un rendimento pari alla media ponderata dei singoli rendimenti;
– per contro, ha un rischio complessivo inferiore alla media ponderata
dei rischi dei singoli titoli
• in sostanza:
è meno rischioso a parità di rendimento dei titoli che lo
compongono
17
Diversificazione e valore
• Domanda: il valore del portafoglio è maggiore della somma dei valori
dei singoli titoli ?
• In altri termini:
quanto valore aggiunge la diversificazione ?
18
9
Diversificazione e valore
titolo
prezzo
quantità
ATTIVITA’
AUTOGRILL
9,595
x 100.000
B.P. MILANO
3,273
x 100.000
327.300
B. POLARE
3,715
x 100.000
371.500
BENETTON
5,585
x 100.000
558.500
PASSIVITA’
959.500
CAMPARI
4,593
x 100.000
459.300
DE LONGHI
4,150
x 100.000
415.000
QUOTE
n. 1.000.000
ENI
16,490
x 100.000
1.649.000
FIAT
12,520
x 100.000
1.252.000
9,545
x 100.000
954.500
16,030
x 100.000
1.603.000
FINMECC.CA
GENERALI
totale
8.549.600
A quale prezzo potranno essere collocate le quote ?
Considerando che il sottoscrittore beneficia della diversificazione …..
19
Diversificazione e valore
• Domanda: il valore del portafoglio è maggiore della somma dei valori
dei singoli titoli ?
LA RISPOSTA E’ : NO, NON HA UN VALORE MAGGIORE
• Esempio: nei fondi comuni di investimento, il valore delle quote è
dato dalla somma del valore dei singoli titoli presenti nel fondo stesso
diviso per il numero delle quote
• Il mercato non riconosce nessun premio alla diversificazione
• Perché ?
20
10
Perchè non è prezzato il rischio
diversificabile ?
• Non c’è premio, da parte del mercato, per chi fa
semplicemente scelte razionali
• E’ invece penalizzato chi non segue la strada della razionalità
• Il mercato prezza il rischio che rimane dopo la diversificazione
• Il rischio che viene prezzato dal mercato è il contributo fornito
dal singolo titolo al rischio ineliminabile del portafoglio di
mercato
• Chi preferisce tenersi anche il rischio diversificabile, non ottiene
un rendimento corrispondente a quella componente del rischio
• Come misurare la componente rilevante del rischio ?
21
La riduzione della varianza di un
portafoglio con la diversificazione
σ
Rischio
complessivo
del titolo a
Rischio eliminabile
attraverso la
diversificazione
Rischio non
eliminabile
abc .....................................
n
22
11
Come misurare la componente
rilevante del rischio ?
σ²p = a²·σ
σ²A+b²·σ
σ²B+2·a·b·σ
σA·σ
σB·ρ
ρAB
• Il σ 2 di un titolo è un indicatore inadatto poiché ingloba nella
misura del rischio anche la componente eliminabile tramite la
diversificazione
• In un portafoglio ben diversificato ogni singolo titolo non porta il
proprio rischio complessivo
• Ciò che conta è l’insieme delle covarianze ponderate del
singolo titolo con tutti gli altri titoli presenti nel mercato
• E’ quindi necessaria una nuova metrica del rischio
23
Il Capital Asset Pricing Model
• Come misurare il contributo di ogni singolo titolo al rischio
complessivo del portafoglio di mercato?
– solo questa componente di rischio è rilevante per
determinare il rendimento del titolo
– poichè la componente specifica del rischio è eliminabile
attraverso la diversificazione,
il mercato finanziario considera, nella
determinazione del rendimento atteso,
soltanto la componente non diversificabile
24
12
Evoluzione della teoria del rischio finanziario
Indice
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della Separazione di Tobin e la Capital Market Line
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line
25
La varianza di un portafoglio di due titoli
la matrice varianza-covarianza
a·b·σ
σA·σ
σB·ρ
ρAB
a2· σA2
a·b·σ
σA·σ
σB·ρ
ρAB b·b·σ
σB·σ
σB·ρ
ρBB
a·b·σ
σAB
a·a·σ
σA·σ
σA·ρ
ρAA
a·b·σ
σAB
b2 · σB2
σ²p = a²·σ
σ²A+b²·σ
σ²B+2·a·b·σ
σA·σ
σB·ρ
ρAB
26
13
La varianza di un portafoglio di due titoli
la matrice varianza-covarianza
a·b·σ
σA·σ
σB·ρ
ρAB
a2· σA2
a·b·σ
σA·σ
σB·ρ
ρAB b·b·σ
σB·σ
σB·ρ
ρBB
a·b·σ
σAB
a·a·σ
σA·σ
σA·ρ
ρAA
a·b·σ
σAB
b2 · σB2
All’interno del portafoglio ogni titolo porta, con il rispettivo peso,
- quote del proprio rischio complessivo e
- quote delle covarianze con il rendimento degli altri titoli
27
La varianza di un portafoglio di tre titoli
la matrice varianza-covarianza
σ²P = a²·σ
σ²A+b²·σ
σ²B+ c²·σ
σ²C + 2·a·b·σ
σAB+2·a·c·σ
σAC+2·b·c·σ
σBC
A
A
B
a²·σ
σ²A
a·b·σ
σAB
B
b·a·σ
σBA
b²·σ
σ²B
C
c·a·σ
σCA
c·b·σ
σCB
a = peso del titolo A nel
portafoglio
b = peso del titolo B nel
portafoglio
c = peso del titolo C nel
portafoglio
C
a·c·σ
σAC
b·c·σ
σBC
c²·σ
σ²C
28
14
Ipotizziamo che il portafoglio di
mercato sia composto da 8 titoli
Matrice Varianze-Covarianze portafoglio di mercato con 8 titoli.
A
B
C
D
E
F
G
H
covarianze tra i
rendimenti dei
singoli titoli
A
B
C
D
E
F
G
H
Varianze dei
singoli titoli 29
Aggiungiamo il titolo I al portafoglio…
Il contributo del nuovo titolo I alla varianza del portafoglio di
mercato è dato soprattutto dalle covarianze con gli altri titoli.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
A
B
C
D
E
F
G
La varianza del
titolo I incide sul
rischio del
portafoglio
soltanto per 1 / 81
= 1 / N*N
se i titoli hanno
tutti lo stesso
peso
H
I
30
15
Il contributo del singolo titolo al rischio
del portafoglio di mercato
• Il contributo di un titolo alla varianza del portafoglio è dato
soprattutto dalla somma ponderata delle covarianze dei
rendimenti del titolo con i rendimenti degli altri titoli presenti
nel mercato
• La varianza del titolo è una componente minima
• All’aumentare del numero di titoli nel mercato
il contributo della sola varianza diventa sempre più
piccolo ed irrilevante: in tal modo viene realizzata la
diversificazione
31
Il rischio sistematico e
il rischio diversificabile
• Il rischio di un qualsiasi titolo può essere distinto in due
componenti
– rischio non sistematico (o diversificabile)
– rischio sistematico
• Rischio non sistematico: deriva da fattori specifici
legati alla società emittente il titolo (firm specific).
E’ eliminabile con la diversificazione
• Rischio sistematico: è legato a fattori macroeconomici
(di sistema) ed è ineliminabile
32
16
La riduzione della varianza di un
portafoglio con la diversificazione
σ
Rischio non sistematico
Rischio sistematico
n
33
Evoluzione della teoria del rischio finanziario
Indice
• La Capital Market Theory di Markowitz
• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line
• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)
– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile
– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line
34
17
La Security Market Line
È possibile dimostrare che il rendimento atteso di un titolo i è pari a
E[R(i)] = Rf + [ R(m) – Rf] σ (i, m) / σ2 (m)
rapporto
- tra il rischio rilevante del singolo titolo e
- il rischio del portafoglio di mercato
es: se i valori sono uguali, il rapporto è = 1
il titolo ha stesso rischio e stesso rendimento del
portafoglio di mercato
> 1 = più elevato rendimento atteso e più rischio
< 1 = più basso rendimento atteso e minor rischio
35
La Security Market Line
È possibile dimostrare che il rendimento atteso di un titolo i è pari a
E[R(i)] = Rf + [ R(m) – Rf] σ (i, m) / σ2 (m)
E[R(i)] = Rf + [ R(m) – Rf] βi
• La SML stima il rendimento atteso di un titolo in funzione
del suo contributo al rischio del portafoglio di mercato
• Il contributo del singolo titolo al rischio del portafoglio m è misurato
dall’indice Beta dato dal rapporto della covarianza tra titolo e
mercato con la varianza del mercato
βi =
σ (i, m)
σ2 (m)
βm=
σ (m, m)
σ2 (m)
=1
• Per rappresentare l’equazione che definisce il rapporto rischio
rendimento per un singolo titolo occorre passare dal piano
(R,σ
(R,
σ) al piano (R,β)
36
18
La Security Market Line
SML
E (Ri)
es. 8,69%
Alto
rendimento
E[R(i)] = Rf + βi [ R(m) – Rf]
R(m) Basso
rendimento
Rf
m
MRP
Pendenza SML
es. 5,69%
Market risk Premium (MRP)
es. 3,0%
Basso
rischio
β(m) = 1
Alto βi
rischio
37
L’indice Beta
• La covarianza misura il legame tra i rendimenti del titolo e
quelli del portafoglio di mercato
• Il β rappresenta la misura in cui, in media, i rendimenti di
un titolo variano al variare dei rendimenti di mercato
• Il β del mercato è per definizione pari ad uno, poichè la
covarianza tra il mercato e se stesso è pari alla varianza
• Il β del mercato è la media ponderata dei
titoli presenti nel mercato
β dei diversi
38
19
Il Beta e il Market Risk Premium
• Un titolo che fornisce un modesto contributo al rischio
sistematico del mercato ha un β inferiore ad 1
• Un titolo che fornisce un rilevante contributo al rischio
sistematico del mercato ha un β superiore ad 1
• Il MRP è il premio per il rischio del mercato, poiché
indica quante unità di rendimento è possibile attendersi
per avere assunto rischio nella misura β = 1
• Uno studio di Banca d’Italia, ha stimato – su base storica nel 5,69% il MRP sul mercato finanziario italiano
39
L’applicazione della SML
la stima del costo del capitale azionario
• Il rendimento atteso dall’azionista è il costo opportunità del
capitale azionario per l’impresa
• per non distruggere valore, l’impresa deve remunerare l’azionista
in misura coerente con il rischio assunto e con il rendimento
atteso
Rendimento atteso dagli
azionisti che hanno investito
nel titolo azionario i
R(i) = Rf + βi [ R(m) – Rf]
Costo del capitale azionario
40
20