h - Appunti di Matematica e di Fisica a cura del Prof. Daniele Ippolito

Geometria euclidea dello spazio
Presentazione n. 8
Misura dei volumi dei solidi
Prof. Daniele Ippolito
Liceo Scientifico “Amedeo di Savoia” di Pistoia
Richiamo di geometria piana: misura delle aree
Per misurare l’area delle figure piane si parte dall’area del
rettangolo.
h
A = b∙h
b
In geometria solida, per misurare il volume delle figure, si
parte dalla misura del volume del prisma retto.
V = Ab∙h
h
Ab
Prismi particolari:
Volume di un parallelepipedo
rettangolo:
V = a∙b∙c
Volume di un cubo:
a
V = a3
Come calcolare il volume di un prisma obliquo?
Richiamo di geometria piana: equivalenza tra aree
L’estensione di una superficie è un concetto primitivo.
Due superfici si dicono equiestese se hanno la stessa
estensione.
La relazione di equiestensione è una relazione di
equivalenza, ossia gode delle proprietà riflessiva,
simmetrica e transitiva.
Due figure piane equiestese si dicono pertanto equivalenti.
Un criterio necessario e sufficiente
per verificare l’equivalenza di due
poligoni è la scomponibilità.
Due
poligoni
si
dicono
equiscomponibili se, mediante una
scomposizione,
è
possibile
trasformare l’uno nell’altro.
Ad esempio, parallelogrammi aventi stessa base e stessa
altezza sono equivalenti, ossia hanno la stessa area.
A = b∙h
h
b
b
Equivalenza tra volumi
Nello spazio, assumiamo anche l’estensione di un solido
come concetto primitivo.
Anche la relazione di equiestensione tra due solidi è una
relazione di equivalenza e quindi due solidi equiestesi si
dicono equivalenti.
Un primo criterio sufficiente (ma non necessario) per
verificare l’equivalenza tra due solidi è la scomponibilità.
Un secondo criterio sufficiente per l’equivalenza tra volumi è il
principio di Cavalieri:
Se due solidi hanno la stessa altezza e se le loro sezioni,
tagliate lungo piani perpendicolari all’altezza, sono equivalenti,
allora anche i solidi sono equivalenti.
Conseguenze:
h
1) Due prismi aventi basi equivalenti
e
altezze
congruenti
sono
equivalenti.
Infatti, ogni sezione è congruente
alle basi.
Ab
Volume del prisma obliquo: V = Ab∙h
h
Ab
2) Un prisma e un cilindro
aventi basi equivalenti e altezze
congruenti sono equivalenti.
Volume di un cilindro:
V = πr2∙h
3) Una piramide e un cono
aventi basi equivalenti e
altezze congruenti sono
equivalenti.
Consideriamo due solidi di
questo tipo.
Se li tagliamo con un piano α’ parallelo alle basi, otteniamo
due sezioni S ed S’ che saranno in proporzione a B e B’
secondo lo stesso rapporto h’/h.
Quindi S ed S’ sono equivalenti e il discorso si può ripetere per
ogni altra coppia di sezioni dei due solidi.
4) Due piramidi aventi basi equivalenti e altezze congruenti
sono equivalenti.
Volume di una piramide
La misura del volume di una
piramide a base qualsiasi può
essere ricondotta alla misura
del volume di una piramide a
base triangolare.
Il poligono di base può essere diviso in triangoli e quindi la
piramide originaria può essere scomposta in piramidi aventi
base triangolare e la stessa altezza della piramide originaria.
Dimostreremo
che
una
piramide è equivalente ad un
terzo di un prisma avente
stessa base e stessa altezza.
Consideriamo un
base triangolare.
prisma
a
Tagliamo il prisma con un piano
passante per A, C, E; otteniamo:
1) la piramide
triangolare;
EABC
a
base
1) la piramide EACFD a base
quadrata.
Tagliamo poi la piramide a
base quadrata con un piano
passante
per
E,D,C;
otteniamo:
1) la piramide EDFC;
2) la piramide EDCA.
• Le piramidi EABC e EDFC sono equivalenti perché hanno
congruenti le basi ABC e DEF e le altezze BE e CF;
• le piramidi EDFC e EDCA sono equivalenti perché hanno
congruenti le basi ACD e CDF ed in comune l’altezza ED;
• per la proprietà transitiva, le tre piramidi sono equivalenti.
Il volume di una piramide è quindi uguale ad un terzo del
volume di un prisma avente stessa base e stessa altezza.
Il risultato si può generalizzare a piramidi a base
qualunque.
Ab ⋅ h
V =
3
Volume di un cono
Per il principio di Cavalieri, un cono è
equivalente ad una piramide che abbia
stessa base e stessa altezza.
Quindi il volume di un cono si calcola
con una formula simile a quella
adoperata per il volume di una piramide.
Si può anche dire che un cono è
equivalente ad un terzo di un cilindro
che abbia stessa base e stessa
altezza.
π r2 ⋅ h
V=
3
Volume di un tronco di cono (o di piramide)
Si considerano i due coni simili
in figura e la proporzione:
h'
S'
S : S' = (h + h')2 : h'2
Con un po' di passaggi si
ricava:
h
S
Volume di una sfera
Dato un cilindro equilatero, nel quale è
possibile inscrivere una sfera, definiamo
anticlessidra della sfera il solido che si
ottiene sottraendo al cilindro i due coni che
hanno vertice nel centro della sfera e per
basi le basi del cilindro.
Vogliamo dimostrare che una sfera è equivalente alla sua
anticlessidra.
r’
h
h
h
r
α
Consideriamo una sfera e la sua anticlessidra e un piano α
tangente alla sfera, sul quale poggia l’anticlessidra.
Sfera e anticlessidra hanno la stessa altezza per costruzione.
Tagliando i due solidi con un piano parallelo ad α, ad una
distanza h dal centro della sfera otteniamo due sezioni.
La sezione della sfera è un cerchio di raggio r’ e misura πr’2 =
π(r2 – h2).
La sezione dell’anticlessidra è una corona circolare di raggio
esterno r ed interno h; essa misura πr2 – πh2.
Ripetendo il ragionamento per ogni altra sezione dei due
solidi, parallela ad α, per il principio di Cavalieri, sfera ed
anticlessidra sono equivalenti.
Abbiamo che:
Vanticl = Vcil – 2Vcon = πr2 2r - 2/3 πr2 r =
= 2πr3 - 2/3 πr3 = 4/3 πr3.
Abbiamo ottenuto il volume di una sfera:
4 3
V = πr
3
r
h = 2r
La formula del volume della sfera ci permette anche di
giustificare il risultato della misura della superficie sferica.
Dividiamo la superficie sferica
in tanti pezzi; consideriamo
uno di essi e la piramide che
ha vertice nel centro della sfera
e per base il pezzo della
superficie.
Sk
Il volume della sfera è la somma dei volumi delle piramidi che
hanno vertice nel centro e base sulla superficie sferica:
Vsf = Vp1 + Vp2 + … + Vpn = 1/3 S1 r + 1/3 S1 r + … + 1/3 Sn r =
= 1/3 Ssf r
Si ottiene quindi: Ssf = 3 Vsf / r = 3 ∙ 4/3 πr3 / r = 4πr2
Volume di un segmento sferico
Un segmento sferico è
equivalente alla parte di
anticlessidra sezionata dallo
stesso piano che determina il
segmento.
r
h
r-h
Il volume della parte di anticlessidra si ottiene sottraendo al
volume di un cilindro di altezza h e raggio r quello di un tronco
di cono di altezza h, base maggiore πr2 e base minore π(r-h)2.
Con alcuni passaggi, si ottiene:
Volumi di solidi simili
Dati due solidi S e S', legati da una similitudine di rapporto k,
tra i rispettivi volumi V e V' vale la relazione:
V' = |k|3 V
k=2
V' = 8 V