Il modello di struttura per scadenza della Banca Centrale Europea

Il modello di struttura per scadenza
della Banca Centrale Europea
Claudio Pacati∗
10 novembre 2008
La Banca Centrale Europea (bce) pubblica1 strutture per scadenza dei tassi di interesse dell’euro con cadenza giornaliera, usando l’estensione di Svensson [3] del modello di
Nelson-Siegel [2]. La prima struttura per scadenza pubblicata è quella del 29 dicembre
2006, l’ultimo giorno di borsa aperta di quell’anno; da allora vengono pubblicate strutture
per scadenza per ogni giorno del calendario target2 , calcolate a partire delle quotazioni
sull’EuroMTS dei titoli di Stato dell’area euro.
Giornalmente vengono calcolate e pubblicate due strutture per scadenza. Quella pricipale è stimata sui prezzi dei titoli di Stato con rating (Fitch) aaa, che assume il significato
di struttura per scadenza risk-free dell’area euro. Una seconda è calcolata a partire dai
prezzi di tutti i titoli di Stato dell’area euro. In entrambi i casi vengono considerati solo
titoli denominati in euro, con poste deterministiche (titoli a cedola nulla e titoli a cedola
fissa), vita a scadenza da 3 mesi a 30 anni, nominale emesso di almeno 5 miliardi di euro
ed effettivamente scambiati quel giorno, con spread bid-ask non superiore ai 3 punti base.
I prezzi considerati sono quelli di fine giornata (chiusura).
1. Il modello di Nelson-Siegel-Svensson
Nel modello di Nelson-Siegel-Svensson (nss) la struttura per scadenza delle intensità
istantanee di interesse al tempo t è modellata con la funzione
δ(t, s) = β0 + β1 e
− s−t
τ
1
+ β2
s − t − s−t
s − t − s−t
e τ1 + β3
e τ2 ,
τ1
τ2
(1)
definita per s ≥ t e dove βk (k = 0, . . . , 3) e τk (k = 1, 2) sono parametri reali che soddisfano
i vincoli di significatività
β0 > 0 ,
β1 > −β0 ,
τ1 > 0 ,
τ2 > 0 .
(2)
Anche se, dati i parametri, la funzione δ(t, s) non dipende separatamente da t e da s ma
solo dalla differenza s−t, i parametri dipendono dalla data t di contrattazione e la struttura
per scadenza risultante non è uniforme nel tempo. Il modello non fa però nessuna ipotesi
sulla dipendenza da t dei parametri, cioè sulla loro dinamica temporale. In questo senso il
modello di nss è un modello statico: descrive solamente la struttura per scadenza al tempo
t e, a quella data, non fornisce informazioni su δ(t0 , s) per t0 > t.
Dipartimento di Economia Politica, Università degli studi di Siena, [email protected]
Su www.ecb.europa.eu/stats/money/yc/html/index.en.html.
2
Vedi www.ecb.int/press/pr/date/2000/html/pr001214_4.en.html.
∗
1
1
2. Analisi della forma funzionale dell’intensità istantanea di interesse
Fissando una data di riferimento t e indicando con τ = s − t, la (1) può essere scritta
nella forma
δ(t, t + τ ) = δ0 (t, t + τ ) + δ1 (t, t + τ ) + δ2 (t, t + τ ) + δ3 (t, t + τ ) ,
(3)
dove
−
δ0 (t, t + τ ) = β0 ,
τ −τ
δ2 (t, t + τ ) = β2 e τ1 ,
τ1
τ
δ1 (t, t + τ ) = β1 e τ1 ,
τ −τ
δ3 (t, t + τ ) = β3 e τ2 .
τ2
Questa scomposizione mostra come il grafico della funzione δ(t, t + τ ) sia la composizione
(per somma) dei grafici delle quattro funzioni δk (t, t + τ ) (k = 0, . . . , 3), definite per τ ∈
[0, +∞). Un semplice studio delle quattro componenti come funzioni della variabile τ
mostra che
0) La funzione δ0 (t, t + τ ) è costante al livello di β0 .
1) Ai bordi del dominio la funzione δ1 (t, t + τ ) vale δ1 (t, t) = β1 e limτ →+∞ δ1 (t, t + τ ) = 0.
Per β1 < 0 è negativa, crescente e concava.
Per β1 > 0 è positiva, decrescente e convessa.
Per β1 = 0 è costante nulla.
2) La funzione δ2 (t, t + τ ) si azzera agli estremi τ = 0 e τ → +∞.
Se β2 > 0 è positiva per τ > 0, è crescente e concava per τ ∈ [0, τ1 ), assume il suo
massimo in τ = τ1 dove vale β2 /e, è decrescente e concava per τ ∈ (τ1 , 2τ1 ), ha un flesso
in τ = 2τ1 , è decrescente e convessa per τ ∈ (2τ1 , +∞).
Se β2 < 0 è negativa per τ > 0, è decrescente e convessa per τ ∈ [0, τ1 ), assume il suo
minimo in τ = τ1 dove vale β2 /e, è crescente e convessa per τ ∈ (τ1 , 2τ1 ), ha un flesso
in τ = 2τ1 , è crescente e concava per τ ∈ (2τ1 , +∞).
Se β2 = 0 la funzione è costante nulla.
3) L’andamento della funzione δ3 (t, t + τ ) è analogo a quello della funzione δ2 (t, t + τ ),
scambiando β2 con β3 e τ1 con τ2 .
L’analisi delle componenti mostra l significato dei parametri ed il motivo dei vincoli. Poiché
β0 = lim δ(t, t + τ ) ,
τ →+∞
il parametro β0 è livello asintotico dell’intensità istantanea di interesse. Poiché
β1 = δ(t, t) − β0 = δ(t, t) − lim δ(t, t + τ ) ,
τ →+∞
il parametro β1 è lo spread tra il livello iniziale, che è lo spot rate, e il livello asintotico. I parametri τ1 e τ2 sono vita a scadenza “critiche”, in corrispondenza delle quali le componenti
δ2 (t, t + τ ) e δ3 (t, t + τ ), rispettivamente, hanno i loro massimi o minimi assoluti, determinando dei possibili massimi o minimi locali (“gobbe”) nel grafico di δ(t, t + τ ). Il parametro
τ1 assume anche il significato di reciproco della “velocità” di convergenza asintotica a zero
della componente δ1 (t, t + τ ): la funzione log δ1 (t, t + τ ) è infatti per τ → +∞ un infinito
negativo di ordine 1/τ1 ; poich’e le componenti δ2 (t, t + τ ) e δ3 (t, t + τ ) sono infinitesime
per τ → +∞, 1/τ1 è anche l’ordine di convergenza a log β0 della funzione log δ(t, t + τ ). I
parametri β2 e β3 determinano (insieme agli altri parametri) l’altezza e il verso delle gobbe.3
3
Si noti che le gobbe presenti nelle ultime due componenti componenti potrebbero non dare luogo a
gobbe nella somma, come mostra il caso (estremo) in cui β2 = −β3 , τ1 = τ2 , dove le gobbe presenti nei
grafici di δ2 (t, t + τ ) e δ3 (t, t + τ ) si semplificano nella somma.
2
La figura 1 riporta il grafico della funzione δ(t, t + τ ) e delle sue componenti, per i
seguenti valori dei parametri:
β0 = 0.04858962 ,
β1 = −0.01152153 ,
τ1 = 0.497872 ,
τ2 = 1.991368 ,
β2 = 0.00164899 ,
β3 = −0.02268184 ,
che corrispondono alla struttura per scadenza risk-free del 31/12/2007 pubblicata dalla
bce.
δ0 (t, t+τ )
5.25
δ1 (t, t+τ )
0.50
5.00
0.25
4.75
0.00
4.50
−0.25
4.25
−0.50
4.00
−0.75
3.75
−1.00
3.50
−1.25
3.25
0
5
10
15
20
25
−1.50
30 τ
δ2 (t, t+τ )
δ3 (t, t+τ )
0.50
0.00
0
5
10
15
20
25
30 τ
0
5
10
15
20
25
30 τ
−0.25
−0.50
0.25
−0.75
0.00
0
5
10
15
20
25
−1.00
30 τ
δ(t, t+τ )
5.25
5.00
4.75
4.50
4.25
4.00
3.75
3.50
3.25
0
5
10
15
20
25
30
τ
Figura 1: Struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse e sue componenti
(tempo in anni, intensità in base annua e in %)
3
3. Intensità di rendimento a scadenza e tassi di interesse
La struttura per scadenza delle intensità di rendimento a scadenza a pronti nel modello
di nss è data da
Z
1 τ
δ(t, t + u) du
h(t, t + τ ) =
τ 0
!
!
−τ
−τ
−τ
1−e τ1
1−e τ2
1−e τ1
− ττ
− ττ
= β0 + τ1 β1
+ β2 τ1
− e 1 + β3 τ2
− e 2 . (4)
τ
τ
τ
La struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti è quindi
i(t, t + τ ) = eh(t,t+τ ) − 1
1−e
β0 +τ1 β1
=e
− ττ
1
τ
+β2 τ1
1−e
− ττ
1
τ
− τ
−e τ1
!
+β3 τ2
1−e
− ττ
2
τ
− τ
−e τ2
!
−1 .
(5)
Si osservi che
h(t, t) = δ(t, t) = β0 + β1 ,
i(t, t) = eδ(t,t) − 1 = eβ0 +β1 − 1 ,
lim h(t, t + τ ) = lim δ(t, t + τ ) = β0 ,
τ →+∞
τ →+∞
limτ →+∞ h(t,t+τ )
lim i(t, t + τ ) = e
τ →+∞
− 1 = e β0 − 1 .
Nella figura 2 sono riportati i grafici delle intensità e dei tassi a pronti al 31/12/2007
(strutture risk-free).
5.25
h(t, t + τ )
5.00
i(t, t + τ )
δ(t, t + τ )
4.75
4.50
4.25
4.00
3.75
3.50
3.25
0
5
10
15
20
25
30
τ
Figura 2: Strutture per scadenza delle intensità istantanee di interesse, delle intensità di
rendimento a scadenza e dei tassi di interesse a pronti (tempo in anni, intensità e tassi in
base annua e in %)
4
4. Stima dei parametri
Si assuma che, alla data t di riferimento, siano quotati gli n titoli x1 , x2 , . . . , xn, con
prezzi P1 , P2 , . . . , Pn . Se si indica con s = {s1 , s2 , . . . , sm } lo scadenzario comune, il vettore dei pagamenti contrattualmente previsti dal k-esimo titolo, ridefinito sullo scadenzario
comune, è del tipo xk = {xk1 , xk2 , . . . , xkm }. Nel modello di nss il fattore di sconto al
tempo t per la scadenza s` è
v(t, s` ) = e−h(t,s` )(s` −t)
=e
s −t
− `τ
1
− β0 +τ1 β1 1−es −t
`

s −t
− `τ
1
+β2 τ1 1−es −t
`


s −t
− `
−e τ1  +β
s −t
− `τ
2
1−e
3 τ2
s` −t


s −t
− `
−e τ2   (s
` −t)
ed è quindi funzione, oltre che della vita a scadenza s` − t, dei parametri del modello. Si
indichi con θ = {β0 , β1 , β2 , β3 , τ1 , τ2 } il vettore dei parametri; per evidenziare la dipendenza
dai parametri si indicherà il fattore di sconto v(t, s` ) con v` (θ).
La metodologia di stima dei parametri del modello di nss è descritta in [1] e prevede
che il vettore dei parametri stimati dai prezzi degli n titoli sia la soluzione del problema di
ottimizzazione vincolata
#2
"
m
n
X
1X
xk` v` (θ)
,
Pk −
min
θ∈Θ n
k=1
`=1
dove Θ è l’insieme dei vettori di parametri
che soddisfano i vincoli (2). Nella funzione
Pm
obiettivo del problema la grandezza
x
v` (θ) rappresenta il valore alPtempo t che
k`
`=1
assume il titolo k-esimo nel modello di nss con parametri θ. La differenza pk − m
`=1 xk` v` (θ)
è quindi la differenza fra il valore di mercato e il valore di modello, calcolato con i parametri
θ. La funzione obiettivo è pertanto l’errore quadratico medio mercato-modello. Si tratta
quindi di una stima secondo il metodo dei minimi quadrati ; poiché la dipendenza funzionale
del fattore di sconto v` (θ) dai parametri θ non è lineare, si tratta di minimi quadrati non
lineari.
La tabella 1 riporta alcune statistiche descrittive dei parametri stimati dalla bce sui
titoli di Stato aaa nel periodo 29/12/2006–17/10/2008. Le figure 3 e 4 illustrano l’evoluzione delle corrispondenti strutture per scadenza delle intensità istantanee di interesse e
delle intensità di rendimento a scadenza, rispettivamente.
Tabella 1: Parametri bce risk-free del modello di nss per il periodo 29/12/2006–17/10/2008
β0
β1
β2
β3
τ1
τ2
min
0.0414704
−0.0438013
−0.0169597
−0.1288134
0.2500000
0.5037930
max
0.0555963
0.0018131
0.1345664
−0.0074724
2.9585800
3.7645790
mediana
0.0486769
−0.0104209
0.0038560
−0.0237149
1.0314250
2.3238120
5
media
0.0483840
−0.0108176
0.0114074
−0.0294316
1.0409536
2.3955447
dev. std.
0.0031011
0.0036078
0.0202198
0.0197313
0.5897150
0.5228965
6
Figura 3: Evoluzione della struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse risk-free — 29/12/2006–17/10/2008
7
Figura 4: Evoluzione della struttura per scadenza delle intensità di rendimento a scadenza risk-free — 29/12/2006–17/10/2008
Riferimenti bibliografici
[1] bce, Technical Notes,
http://www.ecb.europa.eu/stats/money/yc/html/technical_notes.pdf.
[2] Nelson, C.R., Siegel, A.F., Parsimonious Modeling of Yield Curves, The Journal of
Business, Vol. 60, No. 4 (1987), 473–489.
[3] Svensson, L.E., Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden 1992-1994,
Centre for Economic Policy Research, Discussion Paper No. 1051 (1994).
8