Teoria dei Giochi

Teoria dei Giochi
Dr. Giuseppe Rose
Università degli Studi della Calabria
Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata
a.a 2011/2012
Handout 2
1
Concetti risolutivi per i giochi in forma normale
I concetti risolutivi (solution concepts) sono le possibili soluzioni di un gioco.
Esistono diversi tipi di concetti risolutivi. Questi vanno analizzati cercando di
rispondere alle seguenti domande:
1) Quanto è ragionevole l’applicazione di tale concetto?
2) E’applicabile per un’ampia tipologia di giochi?
3) Quale è il suo potere previsionale? (quante soluzioni ha il gioco se si
applica tale concetto risolutivo?)
4) Quanto è e¢ ciente?
Vediamo alcuni tipi di concetti risolutivi.
1.1
MaxMin o MinMax
Intuitivamente, la strategia di MaxMin, come il nome stesso ci suggerisce si
basa sull’idea che il giocatore cerca di giocare la strategia che massimizza il suo
payo¤ posto che gli altri giocatori stanno giocando strategie che sono mirate
a rendere minimo il suo payo¤. Il giocatore in questione potrebbe essere visto
come un pessimista che è convinto che gli altri vogliono a tutti i costi che egli
raggiunga il peggior risultato possibile. Formalmente, il risultato che scaturisce
da tale concetto risolutivo può essere espresso da:
wi = max min
si 2Si s
i 2S
i
De…niamo un pro…lo di strategie
MaxMin per il giocatore i se e solo se:
( ii ;
i
i)
i (si ; s i )
= ( ii ;
= arg max min
si 2Si s
Quindi:
1
(1)
i
i 2S
i
i)
2 S come la soluzione
i (si ; s i )
i
(2)
wi =
i
i(
):
(3)
La soluzione di MinMax consiste invece in una situazione concettualmente
simile alla precedente, nella quale però gli avversari minimizzano il payo¤ che
il giocatore i massimizza. Il risultato può essere diverso del precedente poichè
l’ordine in cui si massimizza e si minimizza può portare a diversi risultati. Il
payo¤ per il giocatore i è dato da:
vi =
s
min max
i 2S
i
De…niamo un pro…lo di strategie
Max per il giocatore i se e solo se:
( ii ;
i
i)
i (si ; s i )
si 2Si
i
= ( ii ;
i
= arg min max
s
i 2S
i
si 2Si
i)
(4)
2 S come la soluzione Min-
i (si ; s i )
(5)
Quindi
vi =
i(
i
):
(6)
Considerazioni (risposte alle precedenti domande):
C’è un comportamento asimmetrico per i giocatori. Il comportamento MinMax e MaxMin partano ad un comportamento simmetrico per i giocatori solo
nelle soluzioni di puro con‡itto dove massimizzare il mio payo¤ equivale a minimizzare quello dell’altro giocatore. Ma non tutti i giochi sono a somma zero, per
cui l’applicazione di tale concetto risolutivo è appropriata solo per una particolare categoria di giochi. Infatti, in giochi non a somma zero è poco ragionevole
credere che tutti i giocatori si comportano esclusivamente con lo scopo di minimizzare il risultato di un solo giocatore.1
1.2
Dominanza in senso stretto o strategie (pure) strettamente dominanti
De…nizione: Una strategia si 2 Si domina in senso stretto una strategia
s0i 2 Si se
0
8s i 2 S i :
(7)
i (si ; s i ) > i (si ; s i )
Una strategia è quindi dominante in senso stretto se porta ad un payo¤ maggiore rispetto ad ogni altra strategia, qualsiasi cosa facciano gli altri giocatori.
E’su¢ ciente assumere che un individuo sia razionale (RAT) per avere che una
strategia dominata in senso stretto non verrà mai giocata.
Esempio:
1 Allo stesso tempo è importante osservare come, in realtà se si vuol punire qualcuno
all’interno di un’interazione strategica ripetuta, la strategia MinMax potrebbe essere ragionevolmente applicata. Per il momento teniamo presente questa osservazione che ci tornerà
utile più avanti.
2
Il dilemma del prigioniero
Individuo 1
Individuo 2
confessa non confessa
-6, -6
0, -10
-10, 0
-1, -1
confessa
non confessa
E’evidente come qualsiasi cosa faccia l’altro giocatore per l’individuo 1, ad
esempio, è sempre meglio confessare. Si può vedere che, qualsiasi sia "l’idea"
che il giocatore 1 ha del giocatore 2 (p2 ; (1 p2 )) per il giocatore 1 è sempre più
alto il payo¤ che ottiene scegliendo di confessare.
E[ i (conf essa; (p2 ; (1
p2 )] =
6p2 + 0(1
p2 ) =
6p2
E[ i (non conf essa; (p2 ; (1
p2 )] =
10p2
p2 ) =
9p2
1(1
(8)
1:
(9)
Per assurdo (by contradiction), si assuma che
E[ i (non conf essa; (p2 ; (1
p2 )]
E[ i (conf essa; (p2 ; (1
p2 )]:
(10)
Questo implica che:
9p2
1
6p2
(11)
ovvero:
p2
1=3
(12)
il che è un assurdo poichè 0 p2 1 (abbiamo una contraddizione).
Abbiamo quindi stabilito che il dilemma del prigioniero è risolvibile con il
concetto di dominanza in senso stretto.
Il concetto di strategia dominata in senso stretto può essere spinto ancora
oltre. Infatti, in un gioco dove un giocatore ha più di due strategie di cui una
è strettamente dominata, è possibile escludere completamente tale strategia e
rimanere quindi con un gioco più piccolo di quello iniziale. A¢ nchè tale cancellazione sia e¤ettuata, però, è necessario non solo fare l’ipotesi che il giocatore
in questione (1) è RAT, ma è necessario anche che l’altro giocatore (2) sia RAT
e che egli sappia che l’altro giocatore (1) è RAT. Questa situazione si chiama
RAT2 : Se assumo RAT per tutti i giocatori posso fare una cancellazione per
ogni giocatore. Se assumo RAT2 e assumo che il gioco sia common knowldge
posso procedere, una volta fatto il primo giro di cancellazioni, ad analizzare il
gioco più piccolo ed e¤ettuare il secondo giro di cancellazioni. Se assumo RAT3
(ogni giocatore è razionale (RAT) e sa che l’altro è razionale (RAT2 ) e sa che
l’altro sa che egli è razionale) posso procedere al terzo giro di cancellazioni. Se
assumo RATk posso fare k giri di cancellazione. assumendo common knowldge
3
della razionalità (RAT1 ) si possono cancellare tutte le strategie dominate che
riesco a cancellare.
Esempio:
Il dilemma del prigioniero ampliato
Individuo 1
confessa
non confessa
N
Individuo 2
confessa non confessa
-6, -6
0, -10
-10, 0
-1, -1
-20, 1
-20, 5
N
1, -20
5, -20
-20, -20
Quando si assume la common knowldge of rationality è possibile procedere
in maniera iterativa alla cancellazione delle strategie strettamente dominate …no
a quando questo è possibile.
Considerazioni:
1) Questo concetto risolutivo non ha un buon potere previsionale sul risultato. In alcuni giochi la cancellazione non inizia neanche!!!. Se la soluzione
esiste ed è unica il gioco si dice essere dominance solvable. La soluzione che si
raggiunge non è necessariamente quella e¢ ciente (dilemma del prigioniero). Si
noti in…ne che l’ordine in cui si e¤ettua la cancellazione delle strategie dominate
non è rilevate rispetto al risultato che si raggiunge.
1.3
Dominanza in senso debole (weakly dominance)
De…nizione: Una strategia si 2 Si domina in senso debole una strategia
s0i 2 Si se:
i (si ; s i )
i (si ; s i )
>
0
i (si ; s i )
0
i (si ; s i )
8s i 2 S i e
per alcuni s i 2 S
(13)
i
Una strategia è dominante in senso debole se domina in senso debole tutte
le altre strategie.
Un giocatore che è razionale che non è sicuro su cosa farà l’avversario non
giocherà mai una strategia dominata in senso debole. E’importante so¤ermarsi
su questa osservazione. Per poter utilizzare il concetto di eliminazione di strategie dominate in senso debole (cioè escludere che qualche giocatore giochi una
strategia dominata in senso debole) è necessario che ci sia una incertezza, anche
minima (noise) su cosa faranno gli altri giocatori. Consideriamo il seguente
gioco:
Player 1
Player 2
p2 1 p2
A2
B2
A1 2,
1,
B1 0,
1,
4
La strategia A1 domina in senso debole la strategia B1. Possiamo escludere
completamente la strategia B1? La risposta è si solo se esiste incertezza su cosa
farà il giocatore 2. Se, infatti il giocatore 1 è sicuro che il giocatore 2 giocherà
la strategia B2 (p2 = 0) allora non è più ragionevole escludere B1. Quindi la
condizione necessaria a¢ nchè si escluda una strategia dominata in senso debole
è che ci sia incertezza (un noise) su cosa farà l’altro giocatore. Quindi a¢ chè
la cancellazione iterativa di strategie dominate in senso debole sia un criterio
ragionevole per trovare la soluzione di un gioco è necessario assumere RAT1
+ noice. E’ fondamentale notare che, di¤erentemente da ciò che accadeva nei
giochi con strategie dominate in senso stretto, in questo caso, l’ordine secondo
il quale si procede alla cancellazione delle strategie può portare a diversi tipi di
equilibri.
1.3.1
Le aste al secondo prezzo (Second Price Auction)
Un applicazione del concetto di strategie dominate in senso debole è rappresentata dall’asta al secondo prezzo. Tale tipologie di asta è applicata in maniera
di¤usa in molti Paesi e consiste nella vendita all’asta di un bene (o¤erte in busta
chiusa, gioco simultaneo). Il bene viene assegnato a chi fa l’o¤erta più alta e egli
pagherà il prezzo pari alla seconda o¤erta più alta. Ci sono i = 1; 2; ::n partecipanti all’asta (bidder). Ogni bidder associa al bene in questione un valore vi
tale che:
0
v1
v2
:::
vn
(14)
L’o¤erta (bid) di ogni bidder è indicata con bi 0:
Quanto o¤rire? Si dimostra che esiste un unico pro…lo di strategie b dominanti in senso debole nel quale bi = vi :
De…niamo bi = maxj6=i bj come l’o¤erta massima con la quale il bidder i può
trovarsi a competere.
Si dimostra che se il bidder i fa un’o¤erta pari al valore vi che egli associa
ad al bene, questa strategia domina in senso debole qualsiasi altra strategia.
Possiamo avere due casi.
1) Il bidder i o¤re bi < vi :
Possiamo avere le seguenti possibilità:
Confronto tra i Payo¤s
bi = vi
bi < vi
Possibili casi con bi < vi
bi > vi > bi
vi > bi > bi
vi > bi > bi
0
vi
vi
0
bi
bi
vi
bi
0
E’evidente come i payo¤s che si generano facendo un’o¤erta pari al valore
associato al bene sono dominanti in senso debole.
Adesso, consideriamo il caso dove si voglia o¤rire bi > vi (nella speranza poi
si pagarlo meno al secondo prezzo).
5
Possibili casi con bi > vi
Confronto tra i Payo¤s
bi = vi
bi > vi
bi > b i > vi
bi > vi > bi
bi > bi > vi
0
vi
0
vi bi
vi bi
| {z }
bi
0
<0
Anche in questo caso tutti i payo¤ che si generano con bi = vi sono maggiori
in senso debole (come minimo pari e qualcuno maggiore) rispetto a quelli che si
generano con bi > vi :
Osservazioni sulla dominanza in senso debole:
Detto ciò, possiamo concludere dicendo che la dominanza in senso debole è
un concetto applicabile sotto le ipotesi di RAT e noise. La cancellazione iterativa
ha poco senso (è poco ragionevole) in quanto il "dove" si va a …nire dipende
dall’ordine di cancellazione. In…ne, anche in questo caso, in molti giochi non ci
sono strategie dominanti in senso debole.
1.4
Dominanza in senso stretto con strategie miste
De…nizione: Per il giocatore i una strategia mista
senso stretto una strategia mista 0i 2 Si se:
E[ i ( i ;
i )]
> E[ i ( 0i ;
i )]
Si noti che per il giocatore i una strategia mista
stretto una strategia mista 0i 2 Si se:
E[ i ( i ;
i )]
8
> E[i ( 0i ; s i )]
i
i
2
8s
i
2
i
2
Si domina in
S i:
Si domina in senso
2S
i
Chiariamo i seguenti punti:
1) Una strategia mista può dominare in senso stretto una strategia pura. Ad
esempio:
Player 1
Player 2
A2
B2
A1 10,
0,
B1 4,
4,
C1 0,
10,
La strategia mista 1 = (1=2; 0; 1=2) domina in senso stretto la strategia
pura s1 =B1.
2) Se una strategia pura si è strettamente dominata da una strategia mista
0
i e la strategia i associa una probabilità positiva alla strategia si allora la
strategia i è strettamente dominata da un’altra strategia mista.
3) In…ne, una strategia mista che associa una probabilità positiva esclusivamente a strategie pure non strettamente dominate può essere dominata. Ad
esempio:
6
Player 2
A2
B2
A1 10,
0,
B1 8,
8,
C1 0,
10,
Player 1
La strategia mista 1 = (1=2; 0; 1=2) che associa probabilità positive solo a
strategie che non sono strettamente dominate è dominata in senso stretto dalla
strategia pura s1 =B1.
4) Si può procedere per eliminazioni successive di strategie pure strettamente
dominate da strategie miste.
1.4.1
Il concetto di Equilibrio di Nash
Tutta la prossima dispensa sarà dedicata allo studio di tale equilibrio.
Esercizi
1) Calcolare le strategie che rimangono dopo 2 livelli di cancellazione di strategie
strettamente dominate nel seguente gioco:
Giocatore 1
A1
B1
C1
D1
A2
1, 1
4, 6
3, 0
1, 0
Giocatore 2
B2
C2
6, 4 0, 3
5, 5 5, 2
2, 5 2, 2
0, 0 0, 2
D2
0, 1
0, 0
2, 0
1, 1
Quali strategie sopravvivono dopo una cancellazione ripetuta in…nite
volte?
Come cambiano le vostre risposte se si usa il concetto di dominanza in
senso debole?
7