Equivalente di una rete di resistenze

Equivalente di una rete di resistenze
Nel calcolo dell’ equivalente di una data rete di resistenze, si usano prima di tutto le proprieta’
delle resistenze in serie e in parallelo:
Rserie = ∑ Ri
i
R par =
1
1
∑R
i
i
Capita tuttavia di incontrare casi nei quali le regole di cui sopra non sono sufficienti, perche’ la rete
contiene interconnessioni che non consentono la riduzione immediata a uno dei due casi citati. In
questi casi puo’ essere usata l’equivalenza di due reti, dette rispettivamente a triangolo e a stella,
che si deduce dalle proprieta’ di serie e parallelo:
Altro modo di rappresentare la trasformazione:
Dimostrazione dell'equivalenza delle due reti
Fra due punti qualsiasi della prima rete si deve osservare la stessa resistenza totale
nei due casi:
Rxy = R3
( R1 + R2 ) =
Rxz = R1
( R2 + R3 ) =
Ryz = R2
( R1 + R3 ) =
R3 ( R1 + R2 )
= Rb + Rc
R1 + R2 + R3
R1 ( R2 + R3 )
R1 + R2 + R3
= Ra + Rb
R2 ( R1 + R3 )
= Ra + Rc
R1 + R2 + R3
Le tre relazioni consentono di esprimere Ra ,b ,c in funzione di Rx , y , z e viceversa:
Ra =
R1 R2
R1 + R2 + R3
Rb =
R1 R3
R1 + R2 + R3
Rc =
R2 R3
R1 + R2 + R3
2
R1 R3
( R1 ) R2 R3
R1 R2
Ra Rb =
=
R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 ( R1 + R2 + R3 )2
2
R1 ( R2 ) R3
R2 R3
R1 R2
Ra Rc =
=
R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 ( R1 + R2 + R3 )2
2
R1 R2 ( R3 )
R1 R3
R2 R3
Rb Rc =
=
R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 ( R1 + R2 + R3 )2
→ Ra Rb + Ra Rc + Rb Rc =
→ R1 =
R1 R2 R3 ( R1 + R2 + R3 )
( R1 + R2 + R3 )
2
=
R1 R2 R3
R1 + R2 + R3
Ra Rb + Ra Rc + Rb Rc Ra Rb + Ra Rc + Rb Rc
=
R2 R3
Rc
R1 + R2 + R3
Rc
→ R2 =
Ra Rb + Ra Rc + Rb Rc Ra Rb + Ra Rc + Rb Rc
=
R1 R3
Rb
R1 + R2 + R3
Rb
→ R3 =
Ra Rb + Ra Rc + Rb Rc Ra Rb + Ra Rc + Rb Rc
=
R1 R2
Ra
R1 + R2 + R3
Ra
Quindi le due reti possono essere scambiate fra loro quando e’ conveniente.
Esempi
Trovare la resistenza fra a e b
Trasformazione π – T:
Quindi, circuito equivalente:
Quindi:
Rab = R1  R2 + ( R3 + Ra )
( R4 + Rb ) + Rc 
Trovare la resistenza equivalente fra 0 e 1
Riduzione triangolo:
R10 = Ra + ( Rc + R8 )
( Rb + R7 )