Congetture matematiche ancora aperte

Transcript

Congetture matematiche ancora aperte
- I nostri principali contributi –
Autori
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we will show our results in Number Theory and
most important conjectures still unsolved
Riassunto
In questo lavoro riepilogativo/ divulgativo ricordiamo con la
recente Garzantina di matematica e con Wikipedia le congetture
principali ancora aperte in Teoria dei numeri (in particolar modo
la teoria elementare) e i nostri principali risultati ottenuti con la
nostra ormai decennale ricerca.
Questo lavoro è dedicato principalmente ai giovani studenti di
matematica che volessero dedicarsi particolarmente e/o laurearsi
1
in qualche argomento della Teoria dei Numeri , approfondendo ed
eventualmente anche dimostrando una o più delle congetture
ancora aperte (e magari vincendo qualche premio matematico) ,
anche in base a qualcuno dei nostri risultati brevemente esposti in
questo lavoro (titoli, abstract e riassunti, per i testi completi si
rimanda ai riferimenti parziali e finali )
°°°°°°°°°°°°°
La recente pubblicazione della piccola e ottima enciclopedia
“Garzantina” di Matematica (Garzanti Editore) ci ha suggerito
l’idea di questo lavoro . Alla voce “congettura”, che riportiamo di
seguito, si elencano le 21 congetture principali ancora aperte in
quasi tutti i rami della matematica, delle quali dieci appartengono
quasi tutte alla Teoria elementare dei numeri che è il nostro
principale filone di ricerca.
Ed è quindi a queste sole dieci congetture che dedicheremo
questo lavoro (le altre sono in parte state già dimostrate), con il
2
relativo testo di Wikipedia , seguito dai Riferimenti specifici
(titolo, abstract, riassunti, eventuali introduzioni, eventuali
osservazioni sulla loro utilità, o connessioni con le altre congetture,
presenti o no (per esempio la fattorizzazione veloce) in questo
elenco ; per il testo completo si rimanda ai siti che li riportano).
Infine si riportano i principali Riferimenti generali per eventuali
ed ulteriori approfondimenti.
Iniziamo dalla voce di “Garzantina “ Congettura” segnando in
rosso quelle otto sulla teoria dei numeri e oggetto di questo
lavoro riepilogativo:
“Congettura affermazione ritenuta vera sulla base di una serie di
prove o evidenze, e nell’esperienza mai contraddetta da alcuna
prova, ma non ancora dimostrata; per esempio, la congettura di
Goldbach, secondo cui ogni numero pari maggiore di 2 può
essere scritto come somma di due numeri primi Storicamente
alcune congetture sono state dimostrate divenendo quindi dei
teoremi; per esempio la congettura di → Poincarè dimostrata da
G. Perel’mann el 2002. Oltre alle già ricordate congetture di
Goldbach e e di Poincarè, le principali congetture in ambito
matematico, per le quali si rimanda ai relativi lemmi, , sono: la
congettura di Bertrand (→ Cebysev, teorema di); di Birch e
Swnnerton – Dyer; di → Cantor; di → Catalan; di → Erdos; di
→ Erdos –Turan; di →Hartshorne; di → Hodge; di → Keplero ;
di → Legendre; di → Morderl ; di → Nagata; dei numeri
3
primi gemelli (→ numeri gemelli) ; di → Oesterlè – Masser; di
Riemann (→ Riemann, ipotesi di); di → Serre; di → Shimura
Taniyama); di → Thurston; di → Ulam (detta anche congettura di
Collatz) . Alle congetture si aggiungono i problemi tuttora aperti
e le ipotesi avanzate per la loro soluzione tra cui i → problemi del
millennio ancora non risolti”
Nota: la congettura di → Oesterlè – Masser è nota anche come
congettura abc
Cominciamo dalla congettura di Goldbach. Parzialmente, da
Wikipedia
Congettura di Goldbach
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Vai a: navigazione, ricerca
In matematica, la congettura di Goldbach è uno dei più vecchi problemi irrisolti nella teoria dei
numeri. Essa afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due
numeri primi (che possono essere anche uguali).
Il numero di modi con cui un numero n si può scrivere come somma di due primi per n ≤ 1 000 000
Per esempio,
4
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
etc.
Indice
…
§Origini[modifica | modifica wikitesto]
Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Eulero in cui propose la
seguente congettura:
Ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.
Eulero, interessandosi al problema, rispose riformulando il problema nella seguente versione
equivalente:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
La versione di Eulero è la forma nella quale la congettura è formulata attualmente e viene talvolta
chiamata anche col nome di congettura forte di Goldbach. La congettura debole di Goldbach, che è
implicata dalla congettura forte, asserisce che tutti i numeri dispari maggiori di 7 possono essere
scritti come somma di tre primi dispari.
§Risultati[modifica | modifica wikitesto]
La congettura di Goldbach ha attratto l'attenzione di molti teorici dei numeri. La maggior parte dei
matematici ritiene che la congettura sia vera, basandosi principalmente su considerazioni statistiche
e probabilistiche ottenute con il teorema dei numeri primi.
Nel 1923 Hardy e Littlewood hanno dimostrato che se l'ipotesi di Riemann generalizzata è vera,
allora la congettura debole di Goldbach è vera per tutti gli interi dispari sufficientemente grandi. Nel
1937, Ivan Vinogradov rimosse l'assunzione dell'ipotesi di Riemann generalizzata, mostrando che
15
ogni numero dispari n > 33 è somma di tre primi. Inoltre, basandosi sulle idee di Vinogradov,
Chudakov,[1] van der Corput,[2] e Estermann[3] hanno dimostrato che quasi tutti i numeri pari
possono essere scritti come somma di due primi, ossia che la frazione dei numeri che possono
essere scritti in tal modo tende a 1. Nel 1975, Hugh Montgomery e Robert Vaughan hanno dato una
versione più precisa di questo risultato mostrando che il numero di interi pari minori di N che non
sono rappresentabili come somma di due primi è minore di CN 1−c per due costanti c, C > 0 .
Diversi altri risultati parziali sono stati dimostrati nel corso degli anni. Nel 1939 L.G. Schnirelmann
provò che ogni numero pari n ≥ 4 può essere scritto come somma di al più 20 numeri primi.[senza fonte]
5
Questo numero è stato successivamente abbassato da numerosi matematici, in particolare Olivier
Ramaré nel 1995, ha dimostrato che ogni numero pari n ≥ 4 si può scrivere come somma di al più 6
numeri primi. Si noti che la congettura debole di Goldbach implica il medesimo risultato, ma con
soli 4 numeri primi.
Nel 1951, Linnik ha dimostrato che esiste un intero k tale che ogni numero pari sufficientemente
grande si può scrivere come somma di due primi e al più k potenze di due. Nel 2002 Roger HeathBrown e Jan-Christoph Schlage-Puchta hanno dimostrato che k = 13 è sufficiente[4] e nel 2003 Pintz
e Ruzsa hanno migliorato questo risultato mostrando che si può prendere k = 8.[5]
Un altro risultato importante è quello ottenuto da Chen Jingrun che nel 1966 ha dimostrato che ogni
numero pari sufficientemente grande può essere scritto come somma o di due primi, o di un primo e
un semiprimo (il prodotto di due primi-per esempio, 100 = 23 + 7·11).[6]
15
Infine, nel corso degli anni ci sono stati diversi risultati per abbassare il limite 33 menzionato sopra
oltre al quale la congettura debole di Goldbach è dimostrata. Tra questi, vi è la dimostrazione di
Deshouillers, Effinger, te Riele e Zinoviev che l'ipotesi di Riemann generalizzata implica la
congettura debole di Goldbach.[7] Nel 2013 Harald Helfgott ha annunciato di aver dimostrato tale
risultato senza l'assunzione dell'ipotesi di Riemann, risolvendo totalmente quindi la congettura
debole di Goldbach.[8][9][10][11] ….”
Qui invece la congettura debole di Goldbach:
Congettura debole di Goldbach
Nella teoria dei numeri, la congettura debole di Goldbach, conosciuta anche come congettura di
Goldbach sui dispari o problema dei 3 primi, afferma che:
•
Ogni numero dispari maggiore di 7 può essere espresso come somma di tre primi dispari.
o equivalentemente:
•
Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere espresso come somma di tre numeri primi.
(Un numero primo può essere usato più di una volta nella somma.)
Questa congettura è chiamata "debole" perché la congettura di Goldbach "forte" sulla somma di due
primi, se dimostrata, implicherebbe banalmente la congettura debole. (Infatti se ogni numero pari
>4 è la somma di due primi dispari, aggiungendo semplicemente 3 ad ogni numero pari >4 produrrà
i numeri dispari >7.)
La congettura non è stata dimostrata, ma sono stati ottenuti risultati molto vicini. Nel 1923, Hardy E
Littlewood mostrarono che, assumendo vera una certa generalizzazione dell'ipotesi di Riemann, la
congettura è vera per tutti i numeri dispari sufficientemente grandi. Nel 1937 un matematico russo,
Ivan Vinogradov, fu in grado di eliminare la dipendenza dall'ipotesi di Riemann e dimostrò
direttamente che ogni numero dispari abbastanza grande può essere espresso come somma di tre
6
primi. Nonostante Vinogradov non fosse in grado di dire quando un numero fosse abbastanza
grande, il suo allievo K. Borodzin dimostrò che 314,348,907 è un limite inferiore sufficiente. Questo
numero ha più di sei milioni di cifre, pertanto verificare ogni numero dispari fino a quel limite è
praticamente impossibile. Fortunatamente, nel 1989 Wang e Chen abbassarono questo limite
superiore a 1043,000; nel 2002 il limite fu ulteriormente abbassato da Liu Ming-Chit e Wang Tian-Ze
a circa e 3100 ≈ 2 ⋅ 101346 . Se si controllasse quindi la congettura per tutti i numeri dispari minori di
questo numero, essa sarebbe effettivamente dimostrata; tuttavia il controllo al computer ha
raggiunto solamente 1018, ed è quindi molto distante.
Nel 1997, Deshouillers, Effinger, Te Riele e Zinoviev dimostrarono[1] che l'ipotesi di Riemann
generalizzata implica la congettura di Goldbach debole. Questo risultato combina un'affermazione
generale per numeri maggiori di 1020 con una ricerca estensiva al computer per casi piccoli. Inoltre,
se la Congettura di Levy fosse vera, la congettura debole di Goldbach sarebbe vera anch'essa.
Nel 2012 e 2013 Harald Helfgott ha pubblicato su internet due articoli che dimostrerebbero la
congettura incondizionatamente per ogni intero maggiore di 7.[2][3][4]
…
Riferimenti principali (tutti sul nostro sito salvo diversa
indicazione)
1) Congettura debole di Goldbach già dimostrata.
Ne consegue la congettura forte (accenni alla
fattorizzazione alla Fermat e alla RH1)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show the connections between, strong Goldbach’s
conjecture and weak Goldbach’s conjecture, recently proved.
Riassunto
Dalla recente dimostrazione della congettura debole di Goldbach (N’
dispari maggiore di 5, ossia N > 7, ne consegue automaticamente la
dimostrazione della congettura forte (N pari > 4 come somma di due
numeri primi)
7
2) NOVITA ‘ SULLA CONGETTURA DEBOLE DI
GOLDBACH
Gruppo “B.Riemann”
Francesco Di Noto,Michele Nardelli
Abstract
In this paper we talk about next proof of Weak Goldbach Conjecture, recently promised
by Terence Tao
Riassunto
In questo lavoro parleremo della già annunciata, dal matematico australiano Terence Tao,
dimostrazione della congettura debole di Goldbach ( tutti i numeri dispari N > 7 come
somma di tre numeri primi), e delle possibili sue conseguenze in campo crittografico
3) From the weak Goldbach’s Conjecture to the strong
Conjecture (hints to the RH1)
Abstract
In this paper we show the connections between, strong Goldbach’s conjecture and weak
Goldbach’s conjecture, recently proved.
From the recent proof of the weak Goldbach's conjecture (N’ odd greater than 5, ie N ≥ 7), it
follows automatically the proof of the strong conjecture (N even ≥ 4 as the sum of two prime
numbers)
4) TAVOLE ARITMETICHE PER ALCUNE
CONGETTURE E TEOREMI SUI NUMERI PRIMI
(Goldbach, Goldbach debole, Polignac, Teorema
fondamentale della fattorizzazione. Possibili
connessioni con la crittografia RSA)
Abstract
In this paper we show some arithmetic Tables on some
conjecture or theorem about prime numbers: strong
Goldbach, weak Goldbach, Polignac, and so on)
8
Riassunto
In questo lavoro esporremo delle tavole aritmetiche (di
addizione, differenza, moltiplicazione (come la vecchia
Tavola pitagorica) , rapporto, a sostegno della verità
delle congetture e teoremi di cui al titolo.
5) TAVOLA DI ADDIZIONE DEI NUMERI PARI E DEI
NUMERI PRIMI PER CONGETTURA DEBOLE DI
GOLDBACH (NUMERI DISPARI COME SOMMA DI TRE
PRIMI)
(Additive table about weak Goldbach conjecture)
ABSTRACT
In this paper we show an additive table of even numbers and
primes, about weak Goldbach conjecture
RIASSSUNTO
In questo breve lavoro mostriamo una tavola di addizione dei
numeri pari P e dei numeri primi p, ottenendo tutti i numeri
dispari come somma di tre primi ( due nei numeri pari P
come somma di due primi, almeno una volta) e l’altro è il
primo che viene aggiunto.
6) Congettura debole di Goldbach già dimostrata.
Ne consegue la congettura forte
(accenni alla fattorizzazione alla Fermat e alla RH1)
Abstract
In this paper we show the connections between, strong Goldbach’s
conjecture and weak Goldbach’s conjecture, recently proved.
Riassunto
Dalla recente dimostrazione della congettura debole di Goldbach (N’
9
dispari maggiore di 5, ossia N > 7, ne consegue automaticamente la
dimostrazione della congettura forte (N pari > 4 come somma di due
numeri primi)
(versione in italiano di Rif. 3)
7) PROOF OF GOLDBACH'S CONJECTURE THROUGH
THE abc CONJECTURE
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Abstract
In this paper a proof of the Goldbach’ s conjecture through the abc
conjecture.
Besides we show our result on an Euler conjecture about Goldbach:
even number with form 4n +2 is a sum of two prime numbers of form 4m
+1, and two possible variants
8) ESTENSIONI DELLE CONGETTURE,
FORTE E DEBOLE, DI GOLDBACH
(a k = primi , con N e k entrambi pari o dispari)
Abstract
In this paper we show an our extension of Goldbach’s
conjectures to N even as sum of k primes, with k even, and
to N’ odd at k’ primes, with k’ odd, if N and N’ are equal to
N = 2k and N’= 2k+1
Riassunto
In questo lavoro mostriamo come le congetture di Goldbach
possano essere estese ad N pari come somma di k primi,
con k pari, e ad N’ dispari a k’ primi, con k’ dispari, purchè
N ed N’ siano almeno N = 2k ed N’= 2k+1
10
(infatti per la congettura forte, k = 2, il numero minimo è
4 = 2 + 2, e per la congettura debole, k’= 3, il numero
dispari minimo è 7 = 2*3 + 1).
9) I numeri primoriali p# alla base della
dimostrazione definitiva della congettura di
Goldbach (nuove evidenze numeriche)
Abstract
In this paper we will show some important connections between primorial
numbers, p#, and proof Goldbach’s conjecture
Riassunto
In questo lavoro mostreremo altre evidenze numeriche sulla verità della
congettura di Golbach, e basate essenzialmente sul nostro recente concetto
di “abbondanza di Goldbach” (simbolo σ’ (N) , per distinguerlo dalla
classica abbondanza σ(n) dei numeri altamente composti, abbondanti, ecc.
come i fattoriali, ecc.) che vale 1 per i numeri pari di forma 6k+2,
almeno 2 per i numeri di forma 6k, e circa 2 log log N per i numeri
primoriali p# e loro piccoli multipli, fino al prossimo primoriale (un po’
meno per i fattoriali n! e loro multipli, fino al prossimo fattoriale), ma con
valori di abbondanza di Goldbach σ’ (N) lentamente decrescenti, fino a
loglog p# già a livello di 17#.
Eventuali utilità: sul web sono presenti lavori circa metodi di
fattorizzazione basati sull’algoritmo di Fermat e sulla
congettura forte o debole di Goldbach:
p = s – d, q = s + d,
con s semisomma = (p + q)/2 e d = semidifferenza (q - p)/2
s si ricava da S = √ (N + d^2), con d trovata per tentativi
11
successivi con d crescente. S numero pari somma di due
primi p e q, N = p*q.
Non si escludono a priori altri possibili legami teorici con la
fattorizzazione. Le nostre tabelle di cui al Rif. 4 e 5 aiutano a
comprendere meglio le due congetture, anche ai fini
di una possibile fattorizzazione veloce (sottoproblema del
problema del millennio P = NP).
Connessione
a) Con i numeri gemelli : una coppia di gemelli è sempre
l’ultima coppia di Goldbach per molti numeri pari di forma
12k :
Per esempio, per N = 12
p + q = 12
1
11
2
10
3
9
4
8
5 + 7 = 12 prima ed ultima coppia di Goldbach
5 e 7 sono numeri gemelli
12
Esempio per N = 24
…
p +
q = 24
5
+ 19
…
7
+ 17
…
11
13 = 24 terza ed ultima coppia di Goldbach
11 e 13 sono numeri gemelli
Breve dimostrazione : i numeri gemelli differiscono di una
unità dalla semisomma N/2, e quindi N/2 - 1 e N/2 +1
se entrambi sono primi, allora sono anche due numeri
gemelli essendo 2 la loro differenza :
(N/2 +1) – (N/2 -1) = N /2 +1 - N/2 +1 = 1 + 1 = 2
Congettura ( o postulato) di Bertrand
Postulato di Bertrand
Il postulato di Bertrand afferma che per ogni intero n > 3 esiste almeno un numero primo p tale
che n < p < 2n − 2. Una formulazione un po' più debole ma più concisa è: tra un numero n > 1 ed il
suo doppio esiste almeno un numero primo.
Quest'affermazione fu congetturata nel 1845 da Joseph Bertrand (1822-1900). Lo stesso Bertrand
verificò la sua congettura per tutti i numeri minori di 3 × 106. La prima dimostrazione completa
13
della congettura fu data da Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894) nel 1850, per cui questo
teorema è anche chiamato teorema di Chebyshev. Srinivasa Ramanujan (1887-1920) diede un'altra
dimostrazione e Paul Erdős (1913-1996) nel 1932 pubblicò una dimostrazione più semplice che
utilizzava la funzione θ(x), definita come:
x
θ ( x ) = ∑ ln( p )
p =2
dove p ≤ x varia tra i numeri primi; nella dimostrazione ha una certa importanza l'uso dei
coefficienti binomiali. Vedi Dimostrazione del postulato di Bertrand per ulteriori dettagli.
Indice
[nascondi]
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•
•
•
•
1 Teorema di Sylvester
2 Teoremi di Erdős
3 Problemi aperti
4 Voci correlate
5 Collegamenti esterni
Teorema di Sylvester[modifica | modifica wikitesto]
Il postulato di Bertrand fu proposto per applicazioni ai gruppi di permutazione. Esso fu
generalizzato da James Joseph Sylvester (1814-1897), che dimostrò che, se n > k, tra i numeri della
sequenza n, n + 1, ..., n + k − 1 vi è un numero con un divisore primo maggiore di k. Questo
teorema fu dimostrato indipendentemente anche da Schur e da Erdős, che ne diede una soluzione
semplice.
Teoremi di Erdős[modifica | modifica wikitesto]
Paul Erdős dimostrò che per ogni intero positivo k , esiste un numero N tale che per ogni n > N , ci
sono almeno k primi compresi fra n e 2n
Erdős dimostrò anche che esistono sempre due numeri primi p e q con n < p, q < 2n per ogni n > 6.
Inoltre, uno di essi è congruo ad 1 modulo 4, e l'altro è congruo a −1 modulo 4.
Il teorema dei numeri primi suggerisce che il numero di primi compresi fra n e 2n è
n
approssimativamente
quando n è grande, e, in particolare, ci sono in questo intervallo molti
ln n
più numeri primi di quanti ne siano garantiti dal Postulato di Bertrand (o dalle generalizzazioni di
Erdős). In altre parole, questi teoremi sono quantitativamente più deboli rispetto al teorema dei
numeri primi. Tuttavia, allo scopo di utilizzare il teorema dei numeri primi per dimostrare risultati
come il postulato di Bertrand, è necessario utilizzare delle limitazioni molto precise sull'errore del
teorema dei numeri primi -- dobbiamo cioè sapere qual è la precisione garantita dal teorema dei
numeri primi. Queste stime esistono ma sono molto difficili da dimostrare (e spesso sono certe solo
per valori sufficientemente grandi di n). Al contrario, il postulato di Bertrand ha un enunciato molto
semplice e può essere dimostrato facilmente, ed è valido anche per valori piccoli di n. In aggiunta, il
14
postulato di Bertrand fu dimostrato da Chebyshev molto prima del teorema dei numeri primi, e gode
pertanto di notevole interesse storico.
Problemi aperti[modifica | modifica wikitesto]
Una congettura simile ancora indimostrata (la congettura di Legendre) afferma che per ogni n > 0,
esiste un primo p tale che n2 < p < (n+1)2, o, in altre parole, che tra due quadrati consecutivi esiste
almeno un numero primo. Anche in questo caso, possiamo aspettarci, in virtù del teorema dei
numeri primi, che (per n grande) vi sia un numero di primi molto maggiore di 1, ma le stime
dell'errore del teorema dei numeri primi non sono (e non possono essere) in questo caso sufficienti
alla dimostrazione della congettura.
Su questa congettura non abbiamo lavori diretti ma sulla
congettura di Legendre come problema simile vedi alla
relativa voce.
Il Postulato di Bertrand è stato citato nel nostro lavoro
Miglioramento e Nota correttiva
Proposta di Dimostrazione
Congettura di Andrica
Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli, Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto,
Annarita Tulumello
1.
Sul sito eprints.bice.rm.cnr.it/1432/1/ANDRICA4.pdf
Utilità: per applicazioni ai gruppi di permutazioni Vedi .
“Teorema di Sylvester[modifica | modifica wikitesto]
Il postulato di Bertrand fu proposto per applicazioni ai gruppi di permutazione….”
Connessione:
con altri problemi dello stesso tipo: numeri primi tra a e b,
15
quali che siano a e b (per esempio due quadrati a^2 e b =
(a+1)^2 nella congettura di Legendre)
Per Bertrand, i due numeri sono a e 2b
Se, per esempio, a = 100 e b = 200, abbiamo:
200/ln(200) - 100/ln(100) ≈ 200/5,29 -100/4,60 ≈
37,80 – 21,73 ≈ 16,07 numeri primi tra 100 e 200;
il valore reale è di 21 numeri primi di poco superiore a 16, 07.
Stesso procedimento per la congettura di Legendre, Oppermann
ecc. per ottenere una stima logaritmica attendibile del numero dei
numeri primi in un certo intervallo numerico tra a e b.
Esempio per la congettura di Legendre:
a = 100^2 = 10000;
b = 101^2 = 10201
numero approssimativo di numeri primi compresi tra 10 000 e
10201:
10201200/ln (10201) – 10000/ln(10000) ≈
10201/9,23 – 10000/9,21 ≈ 1105, 20 – 1085,77 ≈ 19,43
Il valore reale è 23, di poco superiore a 19,43 e precisamente i
seguenti 23 numeri primi
16
10007
10091
10151
10009 10037 10039 10061 10067 10069 10079
10093 10099 10103 10111 10133 10139 10141
10159 10163 10169 10177 10181 10193
Congettura di Birch e Swinnerton - Dyer
Parzialmente da Wikipedia
“Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
In matematica, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer riguarda un particolare tipo di curve, le
curve ellittiche nei numeri razionali. Questa congettura si basa sul fatto che le equazioni abbiano
finite o infinite soluzioni razionali. Il decimo problema di Hilbert era simile ma trattava delle
equazioni diofantee, e si è dimostrato che non si è in grado neanche di decidere se esiste o no una
soluzione….”
Riferimenti specifici
1) LA CONGETTURA DI BIRCH E SWINNERTON –
DYER E I NUMERI CONGRUENTI
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show some connections between Birch –and
Swinnerton–Dyer’s conjecture and the congruent numbers
Riassunto
In questo lavoro mostreremo alcune connessioni matematiche tra i
numeri congruenti e la congettura di Birch e Swinnerton–Dyer, con
17
osservazioni aritmetiche e/o geometriche sui numeri congruenti, con
metodo per ottenere terne pitagoriche (alla loro base) usando
quadruple di numeri di Fibonacci, con qualche piccola novità (Note).
Di recente, è stata annunciata sul web una scoperta sul calcolo dei
numeri congruenti, in relazione anche alla congettura di Birch e
Swinnerton – Dyer (da qui in poi indicata col solo nome di Birch, per
maggiore semplicità)
Sul sito
www.lescienze.it/news/2009/09/22/news/tre_miliardi_di_numeri_congr
uenti-573451/ - 62k
si può leggere l’articolo “Tre miliardi di numeri congruenti”, che
viene riportato interamente in Rif. 1. Qui riportiamo solo il brano che
ci interessa per questo lavoro:
“Nel 1982 Jerrold Tunnell della Rutgers University fece significativi
progressi sfruttando la connessione tra numeri congruenti e curve
ellittiche, per le quali esiste una teoria ben definita, trovando una
semplice formula per determinare se un numero sia o meno
congruente che ha permesso di trovare molto velocemente il primo
migliaio di numeri.
Un problema è che la validità completa della sua formula dipende
dalla validità di un caso particolare di un altro problema matematico
noto come Congettura di Birch e Swinnerton - Dyer, uno dei sette
Millenium Prize Problems posti dal Clay Math Institute.
Qui ci occuperemo in dettaglio dei numeri congruenti nel loro insieme
e non uno per uno, nella speranza di trovare qualche indizio utile per
la dimostrazione anche parziale della congettura di Birch, tramite la
sequenza terne pitagoriche e relativi triangoli - numeri congruenti
come aree di tali triangoli – curve ellittiche (sui quali si fonda la
crittografia RSA - Ipotesi di Birch.
Una nostra idea è che i numeri congruenti si possono suddividere in
sottoinsiemi, per esempio numeri congruenti primi, di Fibonacci
(Rif.2, un nostro timido tentativo in tal senso), triangolari, ognuno
con la loro retta sul piano cartesiano, per la quale passerebbero
infiniti numeri razionali (connessi ai numeri congruenti), a conferma o
meno della verità della congettura.
Per i particolari si rimanda al sito
18
www.lescienze.it/news/2009/09/22/news/tre_miliardi_di_numeri_congr
uenti-573451/ - 62k
2) Congettura sulle curve ellittiche con punti razionali
connessi ai numeri di Fibonacci.
(Possibili conseguenze per la congettura di
Swinnerton – Dyer e la crittografia ECC)
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
**Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle
Abstract
In this paper we show a possible connection between elliptical
curves and Fibonacci’s numbers
Riassunto
In questo lavoro mostreremo una possibile ma ancora labile
connessione tra le equazioni delle curve ellittiche con punti
razionali con i numeri di Fibonacci, con possibili conseguenze
per la futura dimostrazione della congettura di Swinnerton –
Dyer (uno dei sei problemi del Millennio ancora irrisolti) e ,
indirettamente, anche sulla crittografia ECC basata su tale
congettura, così come la crittografia RSA è basata su due
numeri primi molto grandi p e q e alla difficoltà temporale di
fattorizzare il loro prodotto N = p*q, con N = numero RSA.
Utilità:
migliore comprensione delle curve ellittiche ai fini della
dimostrazione della congettura di Birch e Swinnerton - Dyer
- connessioni : con la crittografia a curve ellittiche (ECC)
Crittografia ellittica
19
In crittografia la Crittografia ellittica (in inglese Elliptic Curve Cryptography o anche ECC) è
una tipologia di crittografia a chiave pubblica basata sulle curve ellittiche definite su campi finiti.
L'utilizzo di questo metodo crittografico è stato proposto da Neal Koblitz [1] e Victor S. Miller [2] nel
1985.
Le curve ellittiche sono utilizzate in diversi metodi di fattorizzazione di numeri interi che sono
utilizzati in crittologia come per esempio la fattorizzazione a curve ellittiche Lenstra che pur
utilizzando le curve ellittiche non sono normalmente classificate come metodi crittografici.
Congettura di Hodge
“Congettura di Hodge
La congettura di Hodge è un importante problema irrisolto della geometria algebrica. Si tratta di
una descrizione congetturale del collegamento tra la topologia algebrica di una varietà algebrica
complessa non singolare, e la sua geometria per come viene rappresentata da equazioni polinomiali
che definiscono le sotto-varietà. La congettura nasce dai risultati del lavoro di William Vallance
Douglas Hodge, che tra il 1930 e il 1940 arricchì la descrizione della coomologia di De Rham,
includendovi l'ulteriore struttura presente nel caso delle varietà algebriche (anche se non
limitatamente a quel caso).
Indice
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1 Formulazione della congettura
2 La nozione di ciclo algebrico
3 Cosa sostiene la congettura di Hodge
4 Le implicazioni geometriche
§Formulazione della congettura[modifica | modifica wikitesto]
Sia V una varietà algebrica non singolare di dimensione n sopra i numeri complessi. V si può anche
pensare come varietà di dimensione 2n e come tale possiede gruppi di coomologia che sono spazi
vettoriali finito-dimensionali sui complessi le cui dimensioni sono individuabili con un indice d che
varia da 0 a 2n. Fissiamo un valore pari d = 2k e denotiamo con H il d-esimo gruppo di coomologia:
vi sono da descrivere altre due strutture su H.
20
La prima è la decomposizione di Hodge di H. Questa sappiamo che decompone H in una somma
diretta di 2k+1 sottospazi che si usa denotare con
H(0,2k), H(1, 2k-1), ..., H(2k,0).
Il sommando rilevante per la congettura quello 'centrale',
H(k,k).
Per le basi di queste considerazioni v. teoria di Hodge.
Seconda struttura è la cosiddetta struttura razionale su H. Abbiamo assunto che H sia il gruppo di
coomologia con coefficienti complessi (a cui si applica la decomposizione di Hodge). Partendo con
il gruppo di coomologia con coefficienti razionali, giungiamo ad una nozione di classe di
coomologia razionale in H: ad esempio, si può usare come base per H una base con coefficienti
razionali per le classi di coomologia e quindi si possono cercare le combinazioni lineari con
coefficienti razionali di questi vettori di base.
In termini di quelle strutture, possiamo definire lo spazio vettoriale H* che interessa la congettura di
Hodge. Esso è costituito dai vettori in H(k,k) che sono classi di coomologia razionali. Si tratta
dunque di uno spazio vettoriale finito-dimensionale sopra i numeri razionali.
§La nozione di ciclo algebrico[modifica | modifica wikitesto]
Qualche meccanismo standard spiega i collegamenti con la geometria di V. Se W è una sottovarietà
di dimensione n - k in V, che chiamiamo codimensione k, essa dà origine a un elemento del gruppo
di coomologia H. Per esempio in codimensione 1, che è il caso più accessibile geometricamente
usando le sezioni mediante iperpiani, la classe corrispondente si trova nel secondo gruppo di
coomologia e può essere calcolato mediante la prima classe di Chern del fascio di linee.
Quello che si sa è che tali classi, tradizionalmente chiamate cicli algebrici (almeno se si parla in un
modo un po' colloquiale), soddisfano le condizioni necessarie suggerite dalla costruzione di H*. Si
tratta di classi razionali classes che inoltre giacciono nel sommando centrale H(k,k).
§Cosa sostiene la congettura di Hodge[modifica | modifica
wikitesto]
Essa dice che i cicli algebrici di V sottendono l'intero spazio H*. Da quanto è stato detto, questo
significa che le condizioni stabilite, necessarie perché si abbia una combinazione di cicli algebrici,
sono anche sufficienti.
§Le implicazioni geometriche[modifica | modifica wikitesto]
La congettura è nota per k = 1 e per molti casi speciali. Una codimensione maggiore di 1 è molto
difficile da trattare, in quanto in generale non si riesce a 'trovare tutto' mediante ripetute sezioni con
iperpiani.
21
In quei casi l'esistenza di spazi H* non ridotti a zero ha un valore predittivo per la parte della
geometria di V che risulta impegnativo rivelare. Negli esempi esaminati H* è un oggetto che può
essere discusso molto più facilmente.
Accade anche che quando H* ha dimensione elevata l'esempio scelto come V può riguardarsi come
qualcosa di speciale: quindi la congettura riguarda quelli che potremmo chiamare i casi interessanti
e difficili da dimostrare, tanto più quanto più ci allontaniamo da un caso generico.
1) La congettura di Hodge: i pezzi del puzzle.
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show a math dossier on Hodge conjecture as
Millennium‘s Problem.
Riassunto
In questo lavoro essenzialmente divulgativo raccogliamo, come
in un dossier dedicato, equazioni , brani e nostre eventuali
osservazioni concernenti la congettura di Hodge come uno dei
più difficili “Problemi del Millennio”, e che potrebbero essere
utili ad una loro possibile futura soluzione, anche grazie al
possibile “filo rosso” iperdimensionale identificato in tutti e
tre i problemi “fisici” del millennio, e anche nella ex
congettura di Poincarè, come accennato nella premessa.
2) Possibili connessioni tra gli infiniti Tk
triangoli di Tartaglia e la congettura di Hodge
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle
loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show some probable connections between Tk infinite
Tartaglia’s triangles and Hodge’s conjecture.
22
Riassunto
In questo lavoro proviamo ad evidenziare qualche probabile connessione,
tra gli infiniti Tk triangoli di Tartaglia e la congettura di Hodge.
3) I N F I N I T I T R I A N G O L I (Tk) D I
TARTAGLIA
(possibili applicazioni in geometria (k + 2) - dimensionale)
Utilità. L’utilità della congettura di Hodge consiste nella
possibile unificazione tra geometria algebrica e topologia
algebrica.
Connessioni:
Con gli infiniti Triangoli di Tartaglia, con uno dei quali, il
secondo, T2 , si possono costruire ipercubi ad n dimensioni a
partire da cubi di dimensioni inferiori. (T1 è il primo e ben
noto Triangolo di Tartaglia).
Vedi Riferimenti specifici.
23
Congettura di Legendre
“Congettura di Legendre
La congettura di Legendre, da Adrien-Marie Legendre, afferma che esiste sempre un numero
2
primo compreso fra n 2 ed (n + 1) . Questa congettura fa parte dei problemi di Landau e, fino ad
oggi, non è stata dimostrata.
2
Nel 1965 Chen Jingrun dimostrò che esiste sempre un numero compreso fra n 2 ed (n + 1) che sia
un primo o un semiprimo, ossia il prodotto di due primi. Inoltre, è noto che esiste sempre un
numero primo fra n − n θ ed n , con θ = 23 / 42 = 0,547... (dimostrato da J. Iwaniec e H. Pintz nel
1984)[1].
2
La sequenza dei più piccoli primi compresi fra n 2 ed (n + 1) è 2, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, 101,
127, 149, 173, 197, 227, 257, 293, 331, 367, 401, ... [2].
2
La sequenza del numero di primi compresi fra n 2 ed (n + 1) è 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 4, 6,
7, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 6, 9, ... [3]. …“
Riferimenti:
1) CONGETTURE SUI NUMERI PRIMI CON GRAFICI
COMET E CONTRO ESEMPI NULLI
(Legendre, Goldbach, Riemann…)
Michele Nardelli ,Francesco Di Noto,
Abstract
In this paper we show as some conjectures about prime numbers,
with comet graphs and counterexample = 0, are all true.
(Legendre’s conjecture, Goldbach’s conjecture, Riemann
equivalent Hypothesis RH1…)
Riassunto
In questo lavoro mostreremo come le congetture sui numeri primi
che hanno grafici numerici di tipo comet e con contro - esempi
24
uguali o minori di zero, sono in genere vere. Posseggono tali
interessanti requisiti la congettura di Legendre (Rif.1) , la
congettura di Goldbach (Rif.2) e una delle ipotesi RH –
equivalenti ( e precisamente la RH1) (Rif.3)”
Per un esempio numerico vedi Postulato di Bertrand
Congettura dei numeri primi gemelli
Parzialmente da Wikipedia:
Congettura dei numeri primi gemelli
La congettura dei numeri primi gemelli è un famoso problema irrisolto della teoria dei numeri
che riguarda i numeri primi. Essa fu proposta per la prima volta da Euclide intorno al 300 a.C. e
afferma:
Esistono infiniti numeri primi p tale che anche p + 2 sia un numero primo.
Due numeri primi che differiscono di 2 sono chiamati primi gemelli. Molti teorici dei numeri hanno
tentato di dimostrare questa congettura. La maggior parte dei matematici ritiene che questa
congettura sia vera, basandosi principalmente sull'evidenza numerica e su ragionamenti euristici che
riguardano la distribuzione probabilistica dei numeri primi.
Nel 1849 de Polignac enunciò la congettura più generale che, per ogni numero naturale k, esistono
infinite coppie di numeri primi che differiscano di 2k. Il caso k = 1 è la congettura dei primi gemelli.
Nel corso degli anni sono stati raggiunti alcuni risultati parziali, il più recente dei quali (2013)
mostra che esistono infiniti numeri primi tali che la loro distanza sia un numero minore o uguale a
600.
Indice
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1 Risultati parziali
2 Congettura di Hardy-Littlewood
3 Note
4 Voci correlate
25
§Risultati parziali[modifica | modifica wikitesto]
Nel 1915 Viggo Brun dimostrò che la somma dei reciproci dei primi gemelli è convergente. Questo
famoso risultato fu la prima applicazione del crivello di Brun e fu una pietra miliare per lo sviluppo
della moderna teoria dei crivelli.
Nel 1940, Erdős dimostrò che esiste una costante c < 1 e infiniti numeri primi p tali che
p '− p < c ⋅ ln p
(dove p ' indica il primo successivo a p )
Questo risultato fu in seguito migliorato; nel 1986 Helmut Maier dimostrò che può essere usata una
costante c < 0,25. Nel 2004 Daniel Goldston e Cem Yıldırım dimostrarono che la costante può
essere migliorata a c = 0,085786... Nel 2005 Goldston, Pintz e Yıldırım mostrarono che si può
scegliere c arbitrariamente piccola[1][2]; infatti, se si assume la congettura di Elliott-Halberstam, essi
dimostrano che esistono infiniti n tali che almeno due tra n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18,
n + 20 siano primi.
Nel 1966, Chen Jingrun dimostrò che esistono infiniti numeri primi p tali che p + 2 è o un primo o
un semiprimo (cioè il prodotto di due primi). L'approccio che adottò è tipico della teoria dei crivelli
e gli consentì di trattare la congettura dei primi gemelli e la congettura di Goldbach in maniere
simili.
Definendo un numero primo di Chen un numero primo p tale che p + 2 sia un primo o un
semiprimo, Terence Tao e Ben Green dimostrarono nel 2005 che esistono infinite triplette di primi
di Chen in progressione aritmetica.
Zhang Yitang, un matematico sino-statunitense attivo nel campo della teoria dei numeri, nell'aprile
del 2013 ha pubblicato un articolo sulla rivista Annals of Mathematics in cui dimostra che esistono
coppie infinite di numeri primi distanti tra loro meno di 70 milioni.[3] Il successivo lavoro di
matematici come Terence Tao, Scott Morrison e Andrew Sutherland, unito al nuovo approccio del
giovane James Maynard, ha portato all'affinamento della dimostrazione, riducendo la distanza tra i
primi da 70 milioni a 600. [4]
§Congettura di Hardy-Littlewood[modifica | modifica
wikitesto]
Vi è anche una generalizzazione della congettura dei gemelli, chiamata congettura di HardyLittlewood (da G. H. Hardy e John Littlewood), che riguarda la distribuzione dei primi gemelli,
analogamente al teorema dei numeri primi. Indichiamo con π2(x) il numero di primi p ≤ x tali che p
+ 2 è primo. Definiamo la costante dei numeri primi gemelli C2 come
C2 = ∏
p ≥3
p( p − 2 )
( p − 1)2
≈ 0.66016118158468695739278121100145...
dove il prodotto si estende su tutti i numeri primi p ≥ 3.
26
Notiamo che 0.6601611 sia un valore molto vicino alla seguente frequenza aurea:
(Φ )−6 / 7
= 0.66201481 , dove Φ =
5 +1
= 1,61803398... è il rapporto aureo
2
Allora la congettura afferma che
x
dt
2
(ln t )2
π 2 ( x ) ≈ 2C 2 ∫
nel senso che il quoziente delle due espressioni tende a 1 quando x tende ad infinito.
Questa congettura si può giustificare (ma non dimostrare) assumendo che 1 / ln t descriva la
funzione di densità della distribuzione dei primi, assunzione suggerita dal teorema dei numeri primi.
L'evidenza numerica della congettura di Hardy-Littlewood è piuttosto forte.
§Note[modifica | modifica wikitesto]
1.
2.
3.
4.
^ [math/0505300] Small Gaps between Primes Exist
^ [math/0506067] Small gaps between primes or almost primes
^ (EN) Zhang Yitang, Buonded gaps between primes in Annals of Mathematics, 2013.
^ "Together and Alone, Closing the Prime Gap" su Quanta Magazine
1) OSSERVAZIONI CIRCA L’ENUNCIATO DI
ZHANG
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Abstract:
In this paper we focus our attention on the result of Zhang and we
propose various and interesting observations concerning his statement,
thence, the possible future revision of it. In conclusion, we note that the
our observations can implies the further revision and deepening of
Polignac’s Conjecture and so also the twin primes Conjecture.
2) NUMERI PRIMI MAI GEMELLI
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Abstract:
In this paper we examine in detail twin primes and their connection with
the.factorial prime numbers and the Mersenne prime numbers
27
3) Appunti sui gap tra due numeri primi consecutivi
Abstract
In this paper we show the gap between two consecutive prime numbers
Riassunto
In questo lavoro mostreremo diversi aspetti riguardanti i gap, piccoli e grandi, tra
due numeri primi consecutivi
4) INFINITE ESTENSIONI DEI
NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN
(connessioni con test di primalità e fattorizzazione veloce)
Gruppo “B. Riemann”
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
Abstract
In this paper we show infinite generalization (or extension) of
Sophie Germain’s primes
Riassunto
In questo lavoro, seguito del Rif.1, mostreremo le possibili ed
infinite estensioni kp + 1, kp + 2 con k dispari o pari ( o
generalizzazioni) dei numeri primi di Sophie Germain,
partendo dai numeri gemelli, per k = 1
Utilità: in apparenza nessuna, in teoria qualcosa sulla facile
fattorizzazione di un prodotto tra due numeri gemelli ( o, più
in generale, tra due numeri con differenza 2.
Tutti i prodotti N tra due numeri primi gemelli maggiori di 3 è
di forma N = 36k^2 – 1. Basta aggiungere 1 ad N, estrarre la
radice quadrata e si ottiene 6k come semisomma s, da cui poi
28
p = 6k - 1 e q = 6k + 1 dove 1 = d = 1^2, come da algoritmo di
Fermat. Per cui consigliamo sempre le Società crittografiche a
non usare numeri primi gemelli per formare grandi numeri N
chiavi pubbliche. E nemmeno numeri primi molto vicini, per i
quali le semidifferenze sono piccole e quindi facilmente
rintracciabili per tentativi successivi, e quindi i numeri N sono
facilmente fattorizzabili, come i prodotti di due numeri primi
gemelli (semidifferenza d = 1).
Congettura di Oesterlè –Masser ( o congettura abc)
Congettura abc
La congettura abc (anche nota come congettura di Oesterle-Masser) è stata proposta per la prima
volta da Joseph Oesterlé e David Masser nel 1985. La congettura è definita in funzione di tre
numeri interi positivi a, b, c (da cui deriva il nome), privi di fattori comuni diversi da 1, e che
soddisfino la relazione a + b = c . Se d è definito come il prodotto dei fattori distinti di abc , la
congettura, essenzialmente, afferma che raramente d è molto più piccolo di c .
Sebbene non esista alcuna strategia elementare per risolvere il problema, la congettura è ritenuta
molto importante per il numero di conseguenze interessanti che ne derivano. Dorian M. Goldfeld ha
definito la congettura abc come "il più importante problema irrisolto dell'analisi diofantea"[1].
Nell'agosto del 2012 Shinichi Mochizuki ha pubblicato un articolo con una possibile dimostrazione
della congettura. Mochizuki ha chiamato il teorema che utilizza nella dimostrazione il teorema
inter-universale Teichmüller. Questo può essere utilizzato anche per dimostrare la congettura di
Szpiro e la congettura di Vojta.[2][3][4]
29
Indice
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1 Formulazioni
o 1.1 1
o 1.2 2
o 1.3 3
2 Conseguenze
3 Risultati parziali
4 Triplette con radicali piccoli
5 Progetti di calcolo distribuito (grid computing)
6 Forme raffinate e generalizzazioni
7 Note
§Formulazioni[modifica | modifica wikitesto]
Per un numero intero positivo , il radicale di , definito
ripetuti, ovvero senza considerare l'esponente) fattori primi di
, è il prodotto dei distinti (non
. Per esempio:
( )
rad (16 ) = rad 2 4 = 2 ,
rad (17 ) = 17 ,
(
)
rad (18) = rad 2 ⋅ 3 2 = 2 ⋅ 3 = 6 .
Se a, b e c sono interi positivi coprimi[5] tali che
a+b = c
si scopre che "di solito"
c < rad (abc )
§1[modifica | modifica wikitesto]
La congettura abc sostiene che, tranne poche eccezioni, per ogni ε > 0 esiste solo un numero finito
di triplette (a, b, c ) di coprimi interi positivi con a + b = c tali che:
1+ ε
c > rad (abc )
.
Una formulazione equivalente è che per ogni ε > 0 esiste una costante K tale che, per tutte le
triplette di interi positivi coprimi (a, b, c ) che soddisfano a + b = c , la seguente disuguaglianza
30
1+ ε
c < K ⋅ rad (abc )
risulta vera.
Una terza formulazione della congettura implica la qualità q(a, b, c ) di una tripletta (a, b, c ) ,
definita come:
q (a, b, c ) =
log(c )
.
log(rad (abc ))
Per esempio:
q (4,127,131) =
log(131)
log(131)
=
= 0,46820...
log(rad (4 ⋅127 ⋅131)) log(2 ⋅127 ⋅131)
q (3,125,128) =
log(128)
log(128)
log(128)
log(128)
=
=
=
= 1,426565...
3
7
log(rad (3 ⋅125 ⋅128)) log 3 ⋅ 5 ⋅ 2
log(3 ⋅ 5 ⋅ 2 ) log(30 )
(
)
Notiamo che tale ultimo valore è vicinissimo al valore della seguente frequenza aurea:
(Φ )4 ⋅ 2,5 = 1,4279378 , dove, come al solito, Φ = 5 + 1 = 1,61803398... è il rapporto aureo.
12
2
2
Notiamo anche come 128 = 8 * 2, dove 8 è numero di Fibonacci ed è connesso con i “modi” che
corrispondono alle vibrazioni fisiched delle superstringhe attraverso la seguente funzione di
Ramanujan:
∞ cos πtxw'


− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx  142

4 anti log
⋅ 2
πt 2
−
w'

 t w'
4
(
)
e
φ
itw
'
w'
1 

8=
.
3
  10 + 11 2 
 10 + 7 2  
+ 

log  



4
4
 




Una tipica tripletta (a, b, c ) di interi positivi coprimi con a + b = c avrà c < rad (abc ) , per esempio
q(a, b, c ) < 1 . Le triplette con q > 1 come nel secondo esempio sono piuttosto speciali, poiché
consistono in numeri divisibili per potenze elevate di piccoli numeri primi.
La congettura abc sostiene che, per ogni ε > 0 , esiste solo un numero finito di triplette (a, b, c ) di
interi positivi coprimi con a + b = c tale che:
q(a, b, c ) > 1 + ε .
31
Mentre è noto che esistono infinite triplette (a, b, c ) di interi positivi coprimi con a + b = c tali che
q(a, b, c ) > 1 , la congettura predice che solo un numero finito di queste hanno q > 1,01 oppure
q > 1,001 o perfino q > 1,0001 , ecc.
§Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]
La congettura non è stata dimostrata, ma ha un vasto numero di interessanti conseguenze. Queste
includono sia risultati già conosciuti, che congetture per le quali essa fornisce una dimostrazione
condizionale:
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Il teorema di Thue–Siegel–Roth (dimostrato da Klaus Roth)
L'ultimo teorema di Fermat per tutti gli esponenti abbastanza grandi (dimostrazione generale
di Andrew Wiles)
La congettura di Mordell (dimostrata da Gerd Faltings)[6]
La congettura di Erdős-Woods, tranne che per un numero finito di controesempi[7].
L'esistenza di un numero infinito di non primi di Wieferich [8]
La versione debole della congettura di Hall[9].
La congettura di Fermat–Catalan, una generalizzazione dell'Ultimo Teorema di Fermat,
concernente potenze a loro volta somma di potenze[10].
La funzione L di Dirichlet L(s,(−d/.)) formata con il simbolo di Legendre, non ha alcun zero
di Siegel (questa conseguenza attualmente richiede una versione corrispondente della
congettura abc nel campo di numeri, non solo la congettura abc così come formulata sopra
per i numeri interi razionali).
P( x ) ha solo una moltitudine finita di potenze perfette di interi x per un polinomio P con
almeno tre zeri semplici.[11].
Una generalizzazione del teorema di Tijdeman.
È equivalente alla congettura di Granville-Langevin.
È equivalente alla congettura di Szpiro modificata.
Dąbrowski (1996) ha mostrato che la congettura abc implica che n!+ A = k 2 ha solo una
moltitudine finita di soluzioni per ciascun dato intero A[12].
Anche se il primo gruppo di queste conseguenze è ora stato dimostrato, la congettura abc stessa
rimane di interesse a causa delle numerose profonde implicazioni che ha nella teoria dei numeri.
Appunti sulla congettura abc
loro connessioni con le teorie di stringa
Abstract
In this paper we show our opinions about “abc conjecture”
Riassunto
In questo lavoro parleremo della congettura abc, esponendo i nostri
risultati su un problema (l’implicazione di Dabrowski, n! + A = k2 )
connesso con la medesima.
32
Utilità: possibili contributi alla soluzione di altri problemi
matematici (vedere “conseguenze” alla voce di Wikipedia”e
con Wikipedia)
Connessioni : con il problema di Basilea per q tendente a
1,64…. Vedi lavoro successivo:
Limite della congettura abc, connessione con i
numeri di Fibonacci e la distribuzione dei numeri
primi (TNP)
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto
Abstract:
In questo documento esponiamo le connessioni da noi trovate tra la
congettura abc, i numeri di Fibonacci e la distribuzione dei numeri primi
per via di formule logaritmiche simili.
Inoltre si calcola il limite superiore della congettura abc.
Congettura di Riemann
Parzialmenre, da Wikipedia:
Ipotesi di Riemann
33
Parte reale e immaginaria dei valori assunti dalla funzione zeta lungo la linea critica Re(x)=1/2. Si
possono notare i primi zeri non banali in Im(x) = ±14,135, ±21,022 e ±25,011.
In teoria dei numeri analitica, l'ipotesi di Riemann è una congettura sulla distribuzione degli zeri
non banali della funzione zeta di Riemann ζ(s), definita come
1
s
n =1 n
∞
ζ (s ) := ∑
per un numero complesso s con parte reale maggiore di 1 e prolungabile analiticamente a una
funzione meromorfa su tutto il piano complesso.
La congettura fu formulata per la prima volta nel 1859 da Bernhard Riemann, matematico di
Gottinga. Considerata il più importante problema aperto della matematica,[1] è uno dei ventitré
problemi di Hilbert e uno dei sette Millennium Problems, per la soluzione di ciascuno dei quali il
Clay Mathematics Institute ha offerto un premio da un milione di dollari. La sua importanza deriva
dalle conseguenze che una sua dimostrazione avrebbe sulla teoria dei numeri primi. Sebbene la
maggior parte dei matematici ritenga l'ipotesi di Riemann vera, vi sono alcune eccezioni, come
quelle notevoli di J. E. Littlewood e Atle Selberg.
Dall'equazione funzionale discende che la funzione zeta di Riemann ζ(s) ha zeri, detti banali, negli
interi pari negativi, s = −2, s = −4, s = −6, ... La congettura di Riemann riguarda invece gli zeri non
banali e afferma che
« La parte reale di ogni radice non banale è 1/2 »
In altre parole, le radici non banali dovrebbero trovarsi tutte sulla retta descritta dall'equazione s =
1/2 + it (indicata come critical line in Fig. 3) con t numero reale e i unità immaginaria.
34
Indice
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1 Rapporti con la teoria dei numeri primi
2 Conseguenze
3 Tentativi di dimostrazione
4 Note
5 Bibliografia
6 Voci correlate
§Rapporti con la teoria dei numeri primi[modifica | modifica
wikitesto]
Il primo legame tra la funzione zeta e i numeri primi era già stato scoperto da Eulero, che notò che
per ogni numero reale x > 1 , vale la formula prodotto di Eulero,
ζ (x ) =
1
,
−x
p ( primo ) 1 − p
∞
∏
dove, nella produttoria, p spazia tra tutti i numeri primi.
L'andamento della funzione zeta (e in particolare la distribuzione dei suoi zeri) risulta quindi legato
(attraverso altri passaggi che si omettono) alla distribuzione dei numeri primi immersi nell'insieme
dei numeri naturali.
Modulo della funzione Z sul piano complesso
35
Fig. 3: I valori assoluti della funzione ζ, indicati con tonalità più chiara al crescere del valore. Si
distinguono due zeri non banali (più scuri) che obbediscono alla congettura, ubicati sulla "retta
critica" verticale. Gli zeri banali giacciono invece sull'asse negativo delle x
È improbabile che Riemann avesse risolto la congettura che porta il suo nome, non avendo lui mai
pubblicato una dimostrazione. È possibile però che avesse comunque ideato linee di attacco diverse
da quelle studiate in seguito, ma parte delle sue carte fu distrutta dopo la sua morte da una troppo
zelante domestica;[2] non possiamo quindi sapere per certo se egli avesse solo impostato o risolto il
problema.
§Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]
Stabilire una regola matematica che dimostri l'esistenza o meno di una logica nell'assenza di una
cadenza nella distribuzione dei numeri primi, significherebbe comprendere se vi è un'"aritmia"
totale in quest'ultima o se essa manchi; questo potrebbe avere importanti ricadute sulle applicazioni
informatiche odierne e future, poiché la crittografia utilizza sovente come chiavi numeri interi la cui
fattorizzazione in numeri primi (molto grandi) non sia calcolabile in tempi accettabili.
L'eventuale conoscenza della distribuzione di tale sequenza potrebbe permettere quindi di facilitare
la fattorizzazione di cui sopra: si renderebbe perciò necessario trovare altre tecniche di sicurezza
telematica, quali ad esempio la crittografia con le funzioni ellittiche modulari, che però sono
anch'esse soggette a una congettura pendente (la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer), o la
crittografia quantistica, che per il momento sembra inattaccabile e la cui prima versione Qnet è già
disponibile.
Ipotesi RH equivalenti, le funzioni
σ(n), φ(n), µ(n) e le forme numeriche 6k + 1
(Accenno finale alla relazione Fattorizzazione veloce – RH)
Abstract
In this paper we show relations between RH equivalent
hypothesis, functions σ(n), φ(n), μ(n) and forms 6k + 1
of prime numbers. Possible weak connection with RSA
Riassunto
Con questo lavoro cercheremo di connettere e unificare tre
ipotesi RH equivalenti con la RH classica, tramite le funzioni
36
σ(n), μ(n), φ(n) di Eulero, e le forme numeriche 6k + 1 dei
numeri primi, considerato che queste funzioni hanno valori
massimi o minimi per i numeri di forma numerica 6k (multipli
2
di 6 come fattoriali o primoriali), o 6k + 1 (primi e semiprimi).
La nostra ipotesi di base è che, poichè i grafici di queste
funzioni sono di tipo comet (cioè con forma simile ad una
cometa), essi possono escludere l’esistenza di contro-esempi
(per esempio nella RH1 con la funzione σ(n) e i criteri di
Robin e di Lagarias ), tali connessioni tra le suddette funzioni
e le forme 6k + 1, che vedremo con apposite tabelle e grafici,
possano quindi escludere i relativi contro-esempi anche nelle
altre ipotesi RH equivalenti; portando così possibilmente a
ulteriori risultati utili alla verità della RH classica, o a possibili
nuove dimostrazioni, o a miglioramenti delle precedenti.
In altre parole, le regolarità dei numeri di forma 6k + 1
(primi e semiprimi) sono connesse alle funzioni σ(n), μ(n)
e φ(n) e queste, a loro volta, sono connesse ad alcune ipotesi
RH equivalenti. Studiando queste connessioni, si potrebbero
trovare indizi utili per future dimostrazioni di tali ipotesi e
quindi, indirettamente, anche della RH.
Infine, qualche relazione tra RH, fattorizzazione veloce
come possibile problema NP e crittografia RSA, con qualche
esempio e qualche considerazione (fattorizzazione in P se RH è
vera, cioè fattorizzazione possibile in tempi polinomiali, e
quindi ragionevoli). Ma ancora nessun pericolo per la RSA.
Congettura generale sulle possibili infinite
funzioni zeta , compresa quella di Riemann
Abstract
37
In this paper we show our possible generalizations of zeta
functions to other numeric series, but with critical line = ½ in
all the possible cases.
Riassunto
In questo lavoro proponiamo una nostra congettura, che
chiameremo provvisoriamente “zeta generalizzata”, fino alla
sua completa dimostrazione e trasformazione nell’omonimo
teorema. La generalizzazione consiste nella sostituzione dei
numeri primi della zeta di Riemann, con altre serie numeriche
simili. Esporremo i motivi per cui in tutte le generalizzazioni
la retta critica è sempre ½, poiché, ipotizziamo, sarebbe la
struttura della formula della funzione zeta a dare sempre gli
zeri sulla retta critica, indipendentemente dalla serie numerica
a denominatore. Per esempio, sostituendo le potenze complesse
dei numeri primi 1/ p^s con i le potenze complesse 1/3n^s,
avremmo sempre gli zeri coniugati sulla retta critica ½.
Introduzione
Nel nostro precedente lavoro (Rif. 1, I tre problemi del
Millennio con in comune i numeri primi), abbiamo accennato
a questa nostra congettura nella prima parte, dedicata
all’ipotesi di Riemann. Qui vogliamo approfondirla ancora
meglio, gettando possibilmente le basi per una sua successiva
dimostrazione, ottenendone un teorema parzialmente o
totalmente utile ad una successiva o immediata dimostrazione
della RH come caso particolarissimo ( basato sui numeri
primi)
possibilmente, con l’aiuto di matematici in grado di calcolare
gli zeri di ogni variante, da tali zeri che prevediamo sulla retta
critica, potremmo trarne delle conclusioni utili circa la RH ,
con la funzione zeta più famosa della matematica.
38
Utilità: in fisica, e soprattutto in matematica (dimostrazione
di centinaia di teoremi che si basano sulla sua dimostrazione
Nessuna utilità, pensiamo (vedi Rif. Generale 1) per la
fattorizzazione al fine di violare la crittografia RSA. La
funzione zeta, ricordiamo , potrebbe benissimo dare soltanto
la media ½ tra de zeri coniugati, dove la parte complessa
sparisce. Difficile pensare che una dimostrazione della RH dia
una lista di numeri primi, o di semiprimi (numeri RSA in
particolare), e nemmeno qualche tecnica di fattorizzazione
veloce in grado di violare la crittografia RSA.
Qui aggiungere altro lavoro in corso su RH e 1/2
……………………………
(un lavoro in corso)
Congettura di Ulam (o congettura di Collatz)
39
Congettura di Collatz
Istogramma per i numeri da 1 a 100 milioni
La congettura di Collatz, conosciuta anche come congettura 3n + 1, congettura di Syracuse,
congettura di Ulam, sequenza di Hailstone o numeri di Hailstone, è una congettura matematica
tuttora irrisolta. Fu enunciata per la prima volta nel 1937 da Lothar Collatz, da cui prende il nome.
Paul Erdős disse circa questa congettura: «La matematica non è ancora pronta per problemi di
questo tipo». Egli offrì 500 dollari per la sua soluzione.[senza fonte]
Indice
[nascondi]
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•
1 Enunciazione del problema
2 Argomenti a favore
o 2.1 Evidenza sperimentale
o 2.2 Considerazioni probabilistiche
3 Programmi per calcolare le sequenze di Collatz
4 Ottimizzazioni
5 Curiosità
6 Note
§Enunciazione del problema[modifica | modifica wikitesto]
La congettura riguarda il seguente algoritmo:
40
1. Si prenda un intero positivo n.
2. Se n = 1, l'algoritmo termina.
3. Se n è pari, si divida per due; altrimenti si moltiplichi per 3 e si aggiunga 1.
O, algebricamente:
n / 2
f (n ) = 
3n + 1,
n/2 se n è pari,
3n+1 se n è dispari
È possibile formare una sequenza applicando la funzione ripetutamente prendendo come primo
elemento un qualunque intero positivo e, ad ogni passaggio, applicare la funzione al risultato
precedente, cioè:
n
ai = 
 f (ai −1 )
la prima per i = 0,
la seconda per i > 0
Per esempio, iniziando con n = 6, otteniamo la sequenza 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
La congettura di Collatz asserisce che questo algoritmo giunge sempre a termine,
indipendentemente dal valore di partenza. Più formalmente:
∀n ∈ N > 0∃i ∈ N : (a0 = n ⇒ ai = 1)
La congettura risulterebbe quindi falsa se esistesse una sequenza che non contiene l'1; ciò potrebbe
voler dire un ciclo che si ripete senza mai dare 1, oppure una sequenza illimitata superiormente.
A volte il problema è enunciato diversamente. La condizione di terminazione (cioè di fermarsi se n
= 1) viene rimossa dalla congettura, in modo che la sequenza non termini mai. Enunciando il
problema in questo modo, la congettura di Collatz diventa l'affermazione che la sequenza generata
dall'algoritmo raggiunga sempre il ciclo infinito 1, 4, 2, 1, 4, 2...
Vi è un altro approccio per definire la congettura, approccio che considera di percorrere dal basso
verso l'alto il grafo di Collatz. Tale grafo è definito da una "funzione inversa" di quella prima
considerata:
2n, (n − 1) / 3
R (n ) = 
2 n
la prima se n ≡ 4 (mod 6),
altrimenti la seconda
Studiando il problema da questa prospettiva, il problema si definisce nel modo seguente. La
congettura di Collatz si riduce alle due affermazioni:
•
•
la funzione inversa forma un albero, eccezion fatta per il ciclo 1-2-4;
tutti gli interi sono presenti nell'albero.
41
§Argomenti a favore[modifica | modifica wikitesto]
Nonostante la congettura non sia stata provata, la maggioranza dei matematici che se ne sono
occupati pensa che la congettura sia vera. Vediamo alcuni motivi a supporto.
§Evidenza sperimentale[modifica | modifica wikitesto]
La congettura è stata verificata a computer per tutti i valori fino a 20 × 2 58 ≈ 5,764 × 1018 .[1]
Intuitivamente, sarebbe sorprendente se il più piccolo controesempio fosse così grande da superare
questo numero. Con l'aumento della velocità dei computer, verranno controllati valori sempre più
alti (pur ricordando che questi test non potranno mai dimostrare la correttezza della congettura, ma
solo l'eventuale falsità).
§Considerazioni probabilistiche[modifica | modifica wikitesto]
Se si considerano solo i numeri dispari della sequenza generata dall'algoritmo, si può affermare che
in media il successivo numero dispari dovrebbe essere pari a circa i 3/4 del precedente, fatto che
suggerisce che essi, a lungo termine, decrescano fino a raggiungere 1.
§Programmi per calcolare le sequenze di Collatz[modifica |
modifica wikitesto]
…”
PROPOSTA DI DIMOSTRAZIONE
DELLA CONGETTURA DI COLLATZ
( Con estensione a 4n + 5 )
Gruppo “B.Riemann*
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle
loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa
Abstract
Collatz’s Conjecture proof.
The calculation about Collatz’s Conjecture ends always with odd
number 1 because for any initial number “n” of “3n + 1”, this
42
calculation before or after, meets some “number of Collatz”
(4m -1) /3.
These numbers precede always 4m Collatz’s numbers and 4m are
both infinite numbers, so, for any “n” initial number of “3n + 1”,
the calculation ends always with final odd number 1, at once in the
calculation appears a Collatz’s number followed by a 4m till final
odd number 1.
Rassunto
In questo lavoro dimostriamo la congettura di Collatz anche e
soprattutto in base agli infiniti numeri di Collatz, di forma em
con m pari, o anche, più precisamente, di forma 4n -1/3, per
esempio:
(41-1)/3 = 3/3 = 1
(42-1) /3 = (16-1)/3 = 15/3 = 5,
(43-1) /3 = (64-1)/3 = 21
L’algoritmo della congettura di Collatz, già ben nota ai matematici
anche con altri nomi (problema del 3n + 1, problema di Syracuse,
problema di Katukani, procedura di Hasse, problema di Ulam) e
che asserisce che a partire da qualsiasi numero intero positivo n, la
ripetizione di questa funzione alla fine produce sempre il valore 1
(con 2 la sequenza finale …4...2…1), effettivamente termina in
questo modo per tutti gli infiniti n interi positivi.
Una citazione di questo nostro lavoro la troviamo nel link:
“Congettura di Collatz (Paolo Saracco)” sul sito:
1. webmath2.unito.it/paginepersonali/romagnoli/saracco.pdf
…
Siti
Informazioni generali: www.wikipedia.it
Congettura di Collatz in N: www.rudimathematici.com/Bookshelf/RTC03.pdf
Variante 4n + 5 di Collatz: xoomer.virgilio.it/stringtheory/nonsolo%20stringhe%202.pdf
43
Successioni ricorsive: www.dm.unito.it/personalpages/console/successioni/successioni.html
(L’evidenza in rosso è nostra)
Circa la possibile utilità di questa congettura, troviamo
qualcosa nel suddetto lavoro, a pag. 6:
“APPLICABILITÀ IN PROBLEMI COMBINATORICI
Attualmente non si conoscono legami diretti o ambiti di applicabilità della congettura o dei numeri
di Collatz al campo della combinatoria. Tuttavia, visto il forte legame tra la congettura di Collatz e
le potenze di 2 e il suo particolare andamento altalenante, è in fase di studio la possibilità di tendere
un ponte tra questi, anche solo come soggetto di studio più che come strumento.
Il fatto che il problema sia sorto a partire dallo studio di grafi, indica già un possibile percorso di
connessione tra la congettura e la combinatoria (che tra le altre cose si occupa dello studio di grafi
e degli algoritmi iterativi). “
Conclusioni
Possiamo concludere che questo lavoro riassume brevemente
l’attuale (2015) “ stato dell’arte” riguardante i nostri
principali progressi e risultati su dieci congetture ancora
aperte in Teoria dei numeri, e particolarmente nella Teoria
Elementare dei Numeri. Lavoro che segnaliamo a ricercatori
44
sia professionisti sia dilettanti, per poterli eventualmente
approfondire ulteriormente fino a raggiungere dimostrazioni
migliori in una o più di tal congetture, ovviamente citando la
fonte.
Riferimenti generali
1) “CRITTOGRAFIA R.S.A. INVIOLABILE”
Abstract
In this paper we show the inviolability of RSA cryptografy
Riassunto
In questo breve lavoro la possibile inviolabilità della crittografia
RSA, anche in base alle recenti precauzioni (sostituzione delle
chiavi pubbliche con numeri N di tipo RSA – 2048, di circa 600
cifre o poco più). Ancora peggio violarla con i futuri computer
quantistici , già in fase di sperimentazioni
2) - NOVITA’ SULLA TEORIA DEI NUMERI -
(Le nostre proposte di soluzioni alle questioni di C.
Caldwell)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli,
Abstract
In this paper we will show our solutions to the open questions about prime
numbers on website http://primes.utmedu/notes/conjectures/ .
45
Introduzione/Riassunto
In questo lavoro riepilogativo riportiamo in sintesi, con
riferimenti finali per eventuali approfondimenti le nostre soluzioni
o proposte di soluzione, totali o parziali, ai problemi sui numeri
primi ufficialmente ancora aperti in Teoria dei numeri, e indicati
da C. Caldwell nel suo famoso sito:
http://primes.utmedu/notes/conjectures/ .
3) CONNESSIONI FONDAMENTALI
NELLA TEORIA DEI NUMERI
Autori
Abstract
In this paper we will show some connections between more important
arguments in Number Theory, for example RH and others
Riassunto
In questo lavoro vogliamo mostrare le possibili connessioni interne
alla Teoria dei numeri, ma anche esterne, (per es. i numeri di
Fibonacci con la teoria delle stringhe), visto che al suo interno sembra
esserci ancora poca chiarezza su tali possibili connessioni
DODICI PROBLEMI MATEMATICI ANCORA
IRRISOLTI
(I NOSTRI CONTRIBUTI E OSSERVAZIONISU CINQUE DI ESSI)
Abstract
In this paper we show “ twelve mathematical problems” (by Ian
Stewart, recent book “ The Great Mathematical Problems –Marvels
and Mysteries of Mathematics” © 2013 Joat Enterprises) with our
some proposal of proofs and contributes about five of them
Riassunto
In questo lavoro riepilogativo, divulgativo e anche di ricerca (con i
nostri contributi), parliamo dei dodici problemi matematici ancora
irrisolti (a parte i sei Problemi del Millennio) ed esposti nel recente
46
libro di Ian Stewart “I grandi problemi della matematica” (Einaudi) ,
Rif. 1 (nostra recensione)
- I TRE PROBLEMI DEL MILLENNIO
CON IN COMUNE I NUMERI PRIMI (Ipotesi di Riemann, Congettura di Birch e Swinnerton –Dyer,
P = NP , limitatamente alla sola fattorizzazione veloce)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier francesco Roggero
Abstract
In this paper we show some connections between the three
millennium ‘s problem based on prime numbers: Riemann
hypothesis,,
Birch and Swinnerton’ s conjecture and P = NP ) limited at factoring
of N = p*q with N is a RSA- number
Riassunto
In questo lavoro, dopo una breve descrizione dei tre problemi del
millennio con in comune i numeri primi, parleremo delle loro possibili
connessioni, la cui conoscenza potrebbe essere utile per eventuali
dimostrazioni di qualcuno di essi. Per ognuno, aggiungeremo qualche
nostro piccolo contributo matematico, da sviluppare in un secondo
tempo, da parte nostra o altrui.
Matematica con i numeri primi e le forme 6k + 1
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
Abstract
In this paper we show arithmetic with general forms 6n + 1 of prime numbers
Riassunto
In questo lavoro tratteremo l’aritmetica e più in generale la matematica, con le
forme generali 6n + 1 dei numeri primi, tranne il 2 e il 3 iniziali, anche in merito
alle congetture interessate: Goldbach, numeri primi gemelli, Polignac, ecc. e
indicando nei riferimenti i nostri lavori precedenti in merito. Allegheremo
una nostra nota storica su Pietro Bongo, il matematico del ‘500 che per primo
ha scoperto le forme numeriche 6n + 1
Su tali forme sono stati elaborati di recente anche test di primalità e metodi di
fattorizzazione, reperibili sul Web
47
Alcuni tipi di numeri primi o connessi ai numeri primi: permutabili,
gemelli, cugini, sexy, numeri perfetti, esagonali centrati, persiani
amichevoli, cubani
loro connessioni con le teorie di stringa
Introduzione
In questo lavoro parleremo brevemente di alcuni tipi di numeri primi:
permutabili, gemelli, cugini, sexy, e di numeri in qualche modo connessi
ai numeri primi (esagonali centrati, numeri perfetti), con una loro breve
definizione (dall’omonima voce di Wikipedia), la loro forma numerica
6k+1, e qualche breve nota sulla connessione con altri tipi di numeri primi
e sulla loro distribuzione media.
Alcuni metodi noti di fattorizzazione veloce
(crivello quadratico, radici quadrate di 1 mod N,
algoritmo di fattorizzazione di Fermat, di Pollard,
congettura debole e forte e ipotesi percentuale per i
numeri RSA con un attendibile rapporto q/p ≈ 2)
Abstract
In this paper we will to compare some algorithm about speedy
factorization (quadratic sieve, Fermat, our RSA Number conjecture, our
percent conjecture, and so on)
Riassunto
In questo lavoro riportiamo mettendo a confronto, ove possibile, alcuni
noti metodi di fattorizzazione veloce (crivello quadratico, Fermat, radici
quadrate modulo 1), evidenziando eventuali similitudini, e accennando alle
nostre congetture debole e forte sui numeri RSA e alla congettura
percentuale (anche se ancora da dimostrare e perfezionare ulteriormente il
metodo che ne discende), e con qualche esempio di previsione sulla
possibile grandezza di p’ ≈ p reale di un numero RSA = N=p*q a basso
rapporto q/p.
48
IL TEOREMA FONDAMENTALE
DELLA FATTORIZZAZIONE
Gruppo “B.Riemann”*
Abstract
In this paper we show our Fundamental Theorem about
factorization
Riassunto
In questo lavoro esponiamo il nostro Teorema Fondamentale
della fattorizzazione, basato sulle progressioni geometriche,
poiché p, n e q fanno parte di una progressione geometrica con
numero fisso √r = √q/p, con n =√
√N e con N = p*q, essendo p e
q simmetrici rispetto ad n.
Ma anche, equivalentemente, come progressione geometrica ,
p*√r = n
2
n*√r = q
e quindi, di conseguenza,
p*r = q
Ovviamente non conosciamo a priori p e q (è proprio la
ricerca di p e q, conoscendo solo N, lo scopo della
fattorizzazione). Cercare √r per altre vie è quindi un
problema matematico equivalente alla fattorizzazione veloce.
Per il momento non si conosce nessuna valida via alternativa,
tuttavia…
49

Congetture matematiche ancora aperte

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