Analisi delle Prestazioni dei Sistemi Produttivi

Analisi delle Prestazioni dei Sistemi Produttivi
Analisi delle Prestazioni dei Sistemi Produttivi
Schematizzazione di un sistema produttivo
Lo schema di un sistema produttivo serve ad evidenziare le componenti interessate ed i flussi dei materiali, ma non
rappresenta una dislocazione fisica delle macchine.
Si possono avere tre tipi di sistema:
- Semplice  tutte le parti attraversano le stesse risorse con la stessa sequenza (linea)
- Con routing differenziato  ogni parte ha un particolare routing
- Complesso  caratterizzato da routing complessi e ricircoli
In ogni schematizzazione si evidenziano:
- Risorse  entità che effettuano delle operazioni sulle parti. Operazioni che possono essere:
Trasformazione o assemblaggio
Movimentazione e trasporto
Ispezione e test
Coordinamento e controllo
- Polmoni  accumulatori di grezzo posti tra due risorse successive con lo scopo di evitare correlazioni tra le
lavorazioni.
Caratterizzazione delle risorse
Disponibilità
Il ciclo di vita di una macchina è composto da due fasi che si ripetono ciclicamente:
- Stato UP  UPtime è il tempo in cui la macchina è disponibile alla lavorazione
- Stato DOWN  DOWNtime è il tempo in cui la macchina è in avaria, in attesa di riparazione o che la stia
subendo.
Entrambe le fasi non hanno una durata nota a priori, sono variabili aleatorie che si cerca di approssimare con una
distribuzione di probabilità.
Il ciclo medio di vita di una risorsa può essere rappresentato come segue:
stato
MUT
UP
MTBF
MDT
MTTR
DOWN
tempo
MUT  mean up time , media dei tempi di funzionamento
MDT  mean down time , media dei tempi di non funzionamento
MTBF  mean time between failure, media dei tempi tra due guasti consecutivi
MTTR  mean time to repair , media dei tempi di riparazione
La caratterizzazione importante per una macchina è quindi la disponibilità intesa come:
- Tempo in cui la macchina è disponibile
- Probabilità istantanea che la macchina sia disponibile
Si possono considerare quindi le seguenti grandezze:
t0  tempo netto di processo (tempo ciclo)
CT
te =
CE
 capacità teorica
 tempo effettivo di processo con, Ts = tempo di setup e Q = dimensione lotto
 capacità effettiva
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Saturazione
Un’altra caratterizzazione importante è la saturazione o utilizzazione di una risorsa, che rappresenta la percentuale
del tempo disponibile della macchina, in cui questa è impegnata in attività produttive e si definisce come
- Stazioni monoserventi 
con ra = ritmo di arrivo parti in ingresso
-
Stazioni multi serventi  si hanno tre casi distinti:
La risorsa processa un unico tipo di parti 
La risorsa processa più parti con la stessa Ce 
La risorsa processa più parti con diversa Ce 
con
m = numero serventi
TU = tempo disponibilità servente
tei = tempo effettivo di lavorazione sulla parte iesima
-
La risorsa processa con un butching seriale
Tempo di processo unitario 
rai = ritmo di arrivo della parte iesima
Tempo effettivo di processo 
Tempo effettivo di processo di un lotto 
Capacità produttiva 
Utilizzazione 
C
Si osserva che il fattore di utilizzazione cresce all’aumentare della dimensione del
lotto, ciò è dovuto alla minore perdita di capacità causata dai setup.
Q
Sfruttando la definizione di utilizzazione si trova la dimensione minima del lotto sotto la quale la macchina
non riesce a smaltire il flusso di parti che arriva
-
La risorsa processa con butching parallelo
Le unità del lotto sono lavorate contemporaneamente, ciò aumenta la capacità del processo. La dimensione
massima del lotto dipende dalla capacità della macchina.
Il tempo di setup è assorbito nel tempo di lavorazione del lotto. Si hanno quindi le grandezze seguenti:
Capacità produttiva 
Utilizzazione 
C
Si osserva che il fattore di utilizzazione diminuisce all’aumentare della
dimensione del lotto, in quanto aumentano le parti che sono processate
simultaneamente.
Q
Sfruttando la definizione di utilizzazione si trova la dimensione minima del lotto come
Importante  per abbassare il fattore di utilizzazione sono possibili due azioni:
- Si diminuisce il numeratore, ossia il ritmo di arrivo. Si va incontro ad una perdita a causa del costo
opportunità per la mancata produzione
- Si aumenta il denominatore, ossia la capacità della macchina in termini di dimensione del lotto, aumentando
il numero dei serventi. Si va incontro ad una perdita a causa del costo del personale supplementare.
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La misura dell’utilizzazione delle risorse consente di valutare se il processo ha un eccesso o difetto di capacità e se le
risorse sono sbilanciate tra loro, in modo da attuare azioni correttive.
Capacità produttiva annua 
Con: S = numero turni , H = ore per turno , C = capacità oraria (pezzi all’ora) , U = utilizzazione media
Analisi dei processi in condizioni deterministiche
Tale approccio si utilizza per avere una pianificazione di massima e per effettuare un dimensionamento preliminare
dell’impianto. In questo caso tutte le grandezze assumono valori costanti e deterministici.
Il procedimento si basa sulle seguenti fasi: tra le parentesi si esprime il caso di multiprodotto
1) Preparare il diagramma di flusso (indicando con colori diversi flussi dei diversi prodotti)
2) Calcolare la capacità di ogni risorsa (capacità che può variare in base al prodotto)
3) Determinare il ritmo di arrivo delle entità ad ogni stazione e la loro utilizzazione (cumulativa nel caso multi
prodotto)
4) Indicare il collo di bottiglia e verificare che non ci siano deficit di capacità
5) Calcolare le misure di prestazione
Se il processo non riesce a smaltire il throughput si possono attuare le seguenti azioni:
- Si aumenta il numero di ore di lavoro giornaliere
- Si sostituiscono le risorse con macchine dedicate ove possibile
- Si aumenta il numero di serventi nella macchina collo di bottiglia
- Si cambia il mix produttivo, diminuendo la produzione dell’entità critica
Diagrammi di flusso complessi
i
j
fij
Nei casi più generali si hanno flussi complessi che presentano ricircoli
dovuti a scarti o rilavorazioni. Il flusso entrante il ciascuna stazione
dipende dalle entrate alle stazioni a monte.
Si impone il principio di conservazione del flusso ad ogni stazione
quindi il flusso uscente deve essere uguale al flusso entrante.
Si hanno le seguenti equazioni di bilancio:
 flusso dal nodo i al nodo j con pij = probabilità che il routing dell’entità sia da i a j
con xi = flusso esterno che entra nel sistema dal nodo i
Associando un costo cij ad ogni flusso (costo di trasporto) è immediato calcolare il costo del flusso totale 
Misure di prestazione di un sistema
Sono tre le grandezze d’interesse:
- Throughtput (TH)  ritmo con cui il processo genera l’output in un lasso di tempo (pezzi all’ora).
- Work in process (WIP)  numero di entità mediamente presenti nel processo in un generico.
- Tempo di attraversamento (TA)  tempo che impiega un’entità a fluire attraverso il processo.
Le misure di prestazione sono legate tra loro dalla legge di Little che risulta valida per qualsiasi sistema stazionario e si
esprime come
Il tempo di attraversamento TA è composto da una serie di azioni tra cui ad esempio i butching, la movimentazione, e
solitamente il tempo netto di lavorazione dell’entità è il 10% del tempo di attraversamento totale.
Considerando il TA costante, si ha che il valore WIP cresce all’aumentare del throughput fino a raggiungere la capacità
del collo di bottiglia. A questo punto, l’aggiunta throughput porterebbe a code ed inefficienze del sistema produttivo.
Ma nei sistemi ideali è possibile un accumulo di WIP solo in alcuni casi, quando questo è monitorato, assumendo un
andamento periodico che non porta a casi di divergenza del sistema (ad esempio quando i periodi di funzionamento
delle risorse sono differenziati, o quando esistono periodiche interruzioni di flusso.
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Importante  affinchè un sistema possa operare in stato stazionario è necessario che il fattore di utilizzazione sia di
ogni risorsa sia
da cui
.
Analisi dei processi in condizioni aleatorie
In un sistema reale la variabilità è un fatto intrinseco ed ineliminabile della natura, che spesso devia da un uniforme e
ripetitivo comportamento. Maggiore è il grado di variabilità maggiore sarà il peggioramento delle prestazioni del
sistema.
Si può evidenziare la variabilità di tre grandezze:
- Tempi di interarrivo  si possono avere a causa di fluttuazioni della domanda, o nel caso di particolari mix
produttivi.
- Tempi di processo  si possono avere a causa di guasti, manutenzioni nel caso di macchinari. Per operazioni
manuali è da considerarsi inevitabile.
- Routing delle parti  si possono avere a causa di rilavorazioni o lavorazioni multiple di macchine dedicate.
La variabilità dei tempi di interarrivo e dei tempi di processo comporta la perdita di sincronismo, perciò si avranno
periodi di temporanea inattività e periodi di congestione delle macchine, che portano ad accumulo di WIP col
conseguente aumento del TA.
A causa della variabilità dei tempi, i processi reali lavorano in situazioni di
; infatti non possono operare in
situazioni di
in quanto sul lungo periodo diventano instabili a causa del WIP che cresce indefinitamente.
Importante  In un sistema reale che opera con
risulta stabile nel lungo periodo, in quanto la variabilità
produce fluttuazioni solo sul breve periodo. La variabilità degli arrivi è compensata da un eccesso di capacità.
Più aumenta la saturazione di una risorsa, avvicinandosi alla piena utilizzazione, più aumentano in modo non lineare il
WIP medio ed il TA poiché si riduce l’eccesso di capacità che consente di riassorbire le code.
Nel caso di instabilità del processo si può operare in due modi:
- Si riduce il TH, causando perdite di profitto per il costo di mancata produzione.
- Si riduce la saturazione u investendo su capacità aggiuntiva.
I valori di targa di una macchina sono ottenuti tramite elaborazioni deterministiche. Si distinguono perciò:
- TH teorico  ottenuto dal valore di targa
- TH effettivo  il ritmo effettivo di processamento di un’entita
Con TH teorico < TH effettivo.
Limiti alle prestazioni di un sistema produttivo
I parametri del sistema che si considerano sono:
- Tempo netto di processo 
con Ti = tempo di processo della stazione i
- Ritmo del bottleneck 
Per trovare i limiti si analizza il sistema in tre casi:
1) Caso migliore possibile (BC)  il sistema lavora nelle migliori condizioni di lavoro ossia:
Regime deterministico (variabilità nulla)
Linea perfettamente bilanciata (tutte le stazioni sono il bottlenck)
WIP uniformemente distribuito su tutte le stazioni (corrisponde con il numero di stazioni)
Si può calcolare il valore di WIP critico (minimo WIP che assicura il massimo TH con minimo TA) tramite la
legge di Little:
.
Si fanno quindi le seguenti considerazioni:
 Se WIP < W0 allora TA = T0 e TH < rb con

Se WIP > W0 allora TH = rb e TA > T0 con
2) Caso peggiore possibile (WC)  il sistema lavora nelle peggiori condizioni possibili ossia:
Regime deterministico
Linea sbilanciata (un unico bottleneck)
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WIP concentrato (le entità si muovono come un lotto)
Come il caso precedente si può calcolare il WIP critico come
valore di TH con il massimo TA.
al quale corrisponde il minor
Si fanno quindi le seguenti considerazioni:


3) Il caso realistico peggiore (PWC)  definisce una demarcazione tra comportamenti del sistema accettabili e
non accettabili. Le peggiori condizioni realistiche sono:
Tempo di processamento aleatorio (alta variabilità)
La linea è bilanciata (il caso peggiore si presenta quando tutte le stazioni sono bottleneck)
Le stazioni sono monoserventi
Poiché gli stati sono equiprobabili il WIP è uniformemente distribuito sulla linea. Allora in corrispondenza
di una generica stazione, di una linea ad N stazioni, ogni entità troverà davanti a se altre
entità, la
coda.
Si fanno quindi le seguenti considerazioni:

con t = tempo di lavorazione

aumentare

 diminuisce TA
dalla legge di Little
E’possibile graficare i tre casi su uno stesso piano, considerando due aspetti:
TH
rb -
TA
WC
PWC
BC
BC
accettabile
PWC
WC
W0
WIP
accettabile
T0 W0
WIP
Per migliorare le prestazioni di un sistema si può intervenire nei seguenti modi:
- Sbilanciare la linea  in questo modo non tutte le stazioni sono sature ed è possibile gestire i fenomeni di
aleatorietà. Si tende quindi ad aumentare la capacità di alcune risorse.
- Aumentare il numero di serventi  si duplicano le macchine
- Diminuire la variabilità dei tempi di processo  si punta a ridurre la variabilità per ridurre le code
Si può concludere che variabilità e batching peggiorano le prestazioni sia della singola stazione che dell’intera linea.
Analisi quantitativa dei processi in presenza di variabilità
La variabilità di un processo si quantifica come segue:
In base al CV si hanno le classi:
- CV < 0,75  bassa variabilità
- 0,75 < CV < 1,3  media variabilità
- CV > 1,3  alta variabilità
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Detrattori
Generalmente la variazione intrinseca dei processi è bassa, sono eventi perturbatori esterni che la innalzano come ad
esempio guasti e tempi di setup delle risorse.
I detrattori sono quegli elementi di tempo non produttivo che si presentano durante la lavorazione e che, oltre ad
aumentare il tempo effettivo di processo te, introducono una variabilità che è necessario quantificare.
Si può quindi scrivere che il tempo effettivo di processo è
.
Si hanno due tipi di detrattori:
- Interruzioni non preemptive  interruzioni prevedibili che si verificano tra le lavorazioni di due job successivi
(tempi di setup, manutenzione preventiva, pause operatori,…) e causano l’aumento del tempo medio di
processo e del loro coefficiente di variabilità.
- Interruzioni preemptive  interruzioni impreviste che si possono verificare anche durante la lavorazione del
job (guasti, indisponibilità delle risorse,…) , lavorazione che riprenderà dal punto in cui si era interrotta.
Queste interruzioni causano l’aumento della media e della varianza dei tempi effettivi di processo che
aumentano del fattore
.
La variabilità dei tempi di processo dipende dai tempi di riparazione e da A.
A parità di A si preferiscono interruzioni brevi ma frequenti ad interruzioni lunghe ma rare.
Variabilità del flusso
E’una grandezza che influisce molto sulla propagazione della variabilità nei sistemi produttivi. Si hanno due casi:
- Stazioni ad alta utilizzazione  si creano fenomeni di congestione in arrivo alla stazione, la quale si comporta
come un filtro rispetto alla variabilità degli arrivi. La variabilità del flusso in uscita è determinato
principalmente dalla variabilità dei tempi di lavorazione.
- Stazioni a bassa utilizzazione  i tempi di processo sono piccoli rispetto ai tempi di arrivo alla stazione perciò
non si creano code e la variabilità del flusso in uscita è determinata dalla variabilità del flusso in entrata.
Legge di propagazione della variabilità
In base ad essa si può quantificare il coefficiente di variabilità delle partenze dalle stazioni come segue:
con
Come migliorare le prestazioni
Si possono migliorare le prestazioni di un sistema come segue:
- Si riducono gli sprechi (operazioni non necessarie, tutto ciò che rallenta la linea) e le perdite di tempo (tempi
di setUp, downTime, tutto ciò che limita l’utilizzazione di una linea)
- Si riduce la variabilità del sistema, in particolare dei tempi di processo e del flusso agendo su tre fattori detti
ammortizzatori:
Scorte  consente al sistema di accumulare WIP per fronteggiare domande improvvise
Capacità  si aumenta la capacità del sistema diminuendo la saturazione
Tempo  come compromesso si accettano TA molto lunghi
La variabilità di un sistema può assestarsi da sola peggiorando però le prestazioni, perciò prima di effettuare un
intervento è necessario considerare l’alternativa che preveda meno esborso.
Importante  per effettuare le stime necessarie si fa riferimento alla teoria delle code grazie alla quale è possibile
ottenere punto per punto la curva di prestazione di un sistema.
Lavorazione a lotti
Se le macchine sono condivise tra più prodotti devono essere riconfigurate per passare da una lavorazione all’altra.
Se i tempi di setup sono molto lunghi è conveniente effettuare una lavorazione a lotti. Questa tecnica di contro rende i
flussi discontinui aumentandone la variabilità ed introducendo ulteriori ritardi (batch time).
Sia Q la dimensione del lotto, è possibile sceglierlo per conferire alla risorsa la capacità necessaria, infatti
Lotti grandi determinano scorte elevate, e vengono utilizzati per le risorse bottleneck per aumentare la capacità del
processo. Lotti piccoli determinano una perdita di capacità, vengono utilizzati per risorse non bottleneck.
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Lotto Economico di Produzione
Aumentando la dimensione del lotto si diminuisce il costo totale, ma crescono i costi di mantenimento a scorta ed il
rischio di obsolescenza della scorta. Perciò si calcola il lotto economico che minimizza i costi totali composti dai tempi
di setup e di mantenimento a scorta. Quindi si ha:
CTOT = Cp + Cms + Csu
con
Cp Costo del prodotto ,
Cms Costo del mantenimento a scorta ,
Csu Costo di setup
Q
Nell’ipotesi di domanda costante e di rifornimento istantaneo
nell’istante di annullamento della scorta, il profilo della giacenza in
magazzino prodotti finiti assume una forma a dente di sega.
t
costo
costo mantenimento
Scorta max  (P-D) x (Q/P)
scorte
ritmo di produzione infinito 
costo setup
ritmo di produzione finito 
costo totale
dim lotto (Q)
con: A = assorbimento dell’articolo (pezzi prodotti all’anno)
C0 = costo unitario di produzione (valore del prodotto finito (costo della materia + costo della lavorazione)
i = costo annuo delle unità di capitale immobilizzato
Q/P = tasso di produzione del lotto
P = tasso di produzione
D = tasso della domanda
P-D = tasso di accumulo
Considerando invece il costo totale della produzione ed il WIP si può procedere come segue:
1) Si calcola il costo totale come
ossia
Costo totale di setup 
,
numero di lotti all’anno 
Costo di acquisto delle materie prime 
,
costo unitario materia prima  M
Costo di mantenimento a scorta del WIP 
Valore aggiunto unitario  v
,
WIP 
Costo di mantenimento a scorta del prodotto finito 
2) Si procede imponendo
e si ottiene il valore del lotto economico
Il lotto economico nella programmazione della produzione – le Campagne
Considerando una situazione di risorse condivise non si possono considerare i lotti indipendenti e ciascuno pari al lotto
economico calcolato, in quanto potrebbe non essere sufficiente per soddisfare la domanda fino alla successiva
lavorazione del lotto.
Quando lotti di più codici devono essere prodotti sulla stessa macchina è possibile organizzare la produzione in
campagne. In ogni campagna si lancia in produzione un lotto per ciascun codice ed i lotti vengono lavorati sempre
nella stessa sequenza.
Effettuando poche campagne si dovranno gestire grandi scorte, con elevati costi di mantenimento, e minori costi di
setup. Viceversa facendo più campagne diminuiranno i costi di mantenimento a scorta ma aumenteranno i costi di
setup. I tempi di setup, oltre che un costo, comportano una riduzione della capacità produttiva E’ allora necessario
ridurre l’incidenza dei setup aumentando la durata dei cicli.
E’quindi necessario determinare il numero ottimale no di campagne da attuare, e la loro durata ottimale TOTT.
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Metodo di Magee-Boodman per il calcolo di n0
Considerando K articoli diversi si ha:
Determinato il numero di campagne n0 , il lotto di produzione si calcola come
.
Se per alcuni prodotti la domanda è limitata ed i costi di setup elevati può non convenire la produzione di un lotto ad
ogni campagna. Il valore di Qk può essere confrontato con quello del lotto economico Qek, calcolato per il codice k
come segue:
gli ordini del codice K potranno essere lanciati solo ogni R campagne
con quantità pari a:
Metodo di Magee-Boodman per il calcolo di TOTT
1) Si verifica la capacità disponibile 
2) Si considera il costo totale, ricordando che per evitare fenomeni di stock out si deve avere che
3) Si impone
e si ottiene
Si vuole adesso verificare che la durata della campagna consenta di effettuare anche i setup calcolando il tempo
necessario al processo con l’aggiunta dei tempi di setup, quindi
Perciò la durata della campagna dovrà essere
Effetto della riduzione del costo di setup
La riduzione del costo di setup provoca:
- Una riduzione della dimensione del lotto economico
- Aumento del numero di setup per unità di tempo, ma riduzione del tempo totale di setup (Più si accorcia il
tempo di setup più si possono fare lotti piccoli).
- Riduzione del tempo di processamento del lotto
- Riduzione dei costi totali e potenzialmente un minore tempo di attraversamento.
Tuttavia, se la riduzione della dimensione del lotto, grazie a riduzione del costo del setup, non è accompagnata da una
riduzione del tempo di setup allora può aumentare la saturazione della risorsa ed il tempo di attraversamento.
Importante  solo se il setup comporta un vero esborso di denaro ha senso considerare il costo di setup come
criterio per determinare la dimensione dei lotti, altrimenti conviene guardare all’effetto dei tempi di setup.
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Effetto della dimensione del lotto sulla variabilità del tempo di processo
La variabilità del tempo di lavorazione di un lotto è minore della variabilità del tempo di lavorazione di una singola
parte e si riduce all’aumentare della dimensione del lotto.
Coefficiente di variazione della singola parte 
con t0 = tempo naturale di processo
= deviazione standard di t0
Coefficiente di variazione del lotto 
Effetto della dimensione del lotto sul tempo di attraversamento
Se Q cresce si eseguono meno setup quindi u e il tempo di attesa in coda (TAq) diminuiscono, ma aumentano i tempi di
attesa per formare e processare il lotto (WTBT).
Il tempo di attraversamento di un lotto seriale è uguale a:
TA(lotto) = tempo di attesa per creare un lotto
+ tempo in coda
(più è grande il lotto e più si attende)
con
+ tempo netto di lavorazione del lotto TS + Q*t
Il tempo di attraversamento di un lotto parallelo è uguale a:
TA(lotto) = tempo di attesa per creare un lotto
(più è grande il lotto e più si attende)
+ tempo in coda
con
+ tempo netto di lavorazione del lotto t
Nel secondo caso la dimensione del lotto influisce anche sul secondo membro.
Lot Splitting
I tempi di attraversamento di una porzione di routing aumentano al crescere della dimensione del lotto di
movimentazione. Questo tempo aggiuntivo dipende dal cattivo controllo.
I fenomeni di coda dovuti all’attesa per i mezzi di trasporto possono vanificare la riduzione dei tempi di
attraversamento. Perciò si differenziano due lotti; lotto di lavorazione ed il lotto di movimentazione.
Differenziare le dimensioni dei due lotti, in particolare riducendo il lotto di movimentazione, consente di ridurre il
tempo di attraversamento della singola entità.
Infatti, considerando il tempo di attraversamento del lotto
con WIBT = tempo che ogni parte deve aspettare per la lavorazione dell’intero lotto
si può distinguere il valore del WIBT nel caso di lot splitting come segue:
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Leggi del butching
1) Oltre una certa dimensione di lotto, il tempo di attraversamento del lotto aumenta all’aumentare della
dimensione del lotto.
2) La dimensione del lotto che minimizza il tempo di attraversamento può essere maggiore del lotto minimo.
3) Ridurre il tempo di setup o frazionare i lotti può contribuire a ridurre il tempo di attraversamento.
4) Se si opera con prodotti multipli occorre anche verificare l’assenza di stock out tra campagne successive dello
stesso prodotto.
5) La dimensione economica del lotto prescinde dalla capacità e non necessariamente corrisponde al lotto con
minimo tempo di attraversamento.
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