ESERCIZI Geometria 1 per Fisici – III Foglio 2011 Applicazioni

ESERCIZI Geometria 1 per Fisici – III Foglio 2011
Applicazioni lineari.
1. Si consideri l’applicazione f di R2 in R4 definita da f (s, t) = (2s + t, s − t, s + t, s + 2t).
a) Si mostri che f è lineare;
b) si determini Ker(f );
c) si trovi una base di Im(f ).
2. Si consideri l’applicazione f : R3 → R2 definita da f (r, s, t) = (r + s + t, 2r − s).
a) Si mostri che f è lineare;
b) si determini Ker(f );
c) mostrare che esiste e esibire v ∈ R3 tale che f −1 ((1, 2)) = v + w|w ∈ Ker(f
)
;
2
3
−1
d) mostrare che per ogni (a, b) ∈ R , esiste v ∈ R , tale che f ((a, b)) = v + w|w ∈ Ker(f ) .
3. Si determini quali delle seguenti applicazioni è lineare:
a)f : R3 → R2 , f (x, y, z) = (x + y, z − 2);
b)f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (x, y − 1, z);
c)f : R2 → R2 , f (x, y) = (x, y 2 );
d)f : R2 → R, f (x, y) = xy
e per le applicazioni che sono lineari si determini il nucleo e l’immagine.
4. Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare f := LA corrispondente alla moltiplicazione per la matrice


1 1 1
A :=  −1 0 1  .
1 2 3
(a) Determinare nucleo ed immagine di f . Calcolarne delle basi.
(b) Verificare se R3 = Ker(f ) ⊕ Im(f ).
5. Si consideri la matrice


3 −1 −1 0
 1
0 −1 1 

A := 
 −2 1
0 1 
−2 1
0 1
Sia f : R4 → R4 l’applicazione lineare f := LA corrispondente alla moltiplicazione per la matrice A
a) Calcolare il nucleo Ker(f ) e l’immagine Im(f ) di f .
b) Verificare se Ker(f ) e Im(f ) sono in somma diretta.
c)(Facoltativo) Sia g : C4 → C4 l’applicazione
lineare
che ha A come matrice associata rispetto alla


i


−1

base canonica di C4 . Dire se il vettore 
 −1 − i  è nell’immagine di g.
−1 − i
6. Sia V = R[X]≤4 lo spazio vettoriale su R dei polinomi di grado ≤ 4. Sia d : V → V la derivazione.
Determinare nucleo ed immagine di d. Dire se V è somma diretta di Ker(d) e Im(d).
7. (Esercizio 3.5 dell’ Eserciziario) Considerato C come spazio vettoriale su R, si studi l’iniettività
e la suriettività di un’applicazione lineare non nulla f : R → C. Stessa domanda con g : C → R lineare
non nulla.
1
2
8. Sia V uno spazio vettoriale su R di dimensione 3 e base v1 , v2 , v3 . Sia φλ : V → V l’applicazione
lineare definita da
φλ (v1 ) = (λ − 1)v1 + 2v2 − (λ + 1)v3 ,
φλ (v2 ) = 2v1 − λv3 ,
φλ (v3 ) = −λv1 − v2 + (λ + 2)v3
al variare di λ ∈ R
a) determinare immagine e nucleo di φλ al variare di λ;
b) per quali valori di λ l’immagine dell’applicazione φλ contiene il vettore v1 + 2v2 + 2v3 ?
c) è vero che V è il più piccolo sottospazio contenente l’unione dei nuclei di φλ al variare di λ ∈ R?
9. (Esercizio 3.3 dell’ Eserciziario) Si consideri l’applicazione Tr : Mn,n (IK) → IK definita da
Tr (A) = a11 + a22 + . . . + ann .
Tr (A) è detta traccia di A. Si provi che Tr è un’applicazione lineare e che vale la relazione Tr (AB) =
Tr (BA).
10. Per ognuna delle seguenti condizioni, definire se possibile un’ applicazione lineare R3 → R3 (non
nulla e) che la verifichi:
a) nucleo e immagine coincidano;
b) il nucleo contenga l’immagine;
c) il nucleo sia non nullo e contenuto nell’immagine;
d) nucleo e immagine siano complementari;
e) il nucleo sia diverso dall’immagine e la somma dei due non sia diretta.
f) Stesso problema nel caso di applicazioni lineari di R4 in R4 .
11. (Esercizio 3.9 dell’ Eserciziario) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia f un
endomorfismo di V .
a) Si provi che V = Kerf ⊕ Im f se e solo se Kerf = Kerf 2 .
b) Si trovi un endomorfismo f di R2 non iniettivo tale che f 6= 0, f 6= f 2 e Kerf = Kerf 2 .