Conservazione del momento angolare: studente su gabello rotante

Conservazione del momento angolare: studente su gabello rotante
Consideriamo il sistema mostrato in Fig. 1: uno studente seduto su uno sgabello
rotante. Inizialmente fermo, sostiene una ruota di bicicletta in moto con velocità
angolare ω . Lo studente gira l’asse della ruota di 180° come in Fig. 2. Tutto il sistema
studente – sgabello + ruota prende a ruotare in senso antiorario con velocità angolare
Ω (Fig. 3). Vediamo perché e calcoliamo Ω.
r
r
Dato che il sistema è
τ forzeestterne = 0 consegue che:
LSistema = cos t
isolato, cioè
Calcoliamo il momento angolare del sistema all’istante t, prima che l’asse venga
girato, e all’istante t+∆t, dopo che è stato girato:
t
t+ ∆t
L=Iw
ω
−ω
-L
Fig. 2
Fig. 1
Momento angolare ruota
r
r
LR = L
(Fig. 1)
Momento angolare Sgabello-Studente
r
LSS = 0
Momento angolare sistema
r
r
r
r
LSistema = LR + LSS = L
Momento angolare ruota
r
r
LR = − L
Momento angolare Sgabello-Studente
r
LSS = ?
Momento angolare sistema = cost = L
r
r r
r
r r
LSistema = L = LR + LSS = − L + LSS
r
r
LSS = 2 L
LSS = 2 L
−ω
Ω
-L
Fig. 3
LSS = I SS Ω = 2 L ⇒
Ω = 2 L I SS
ISS rappresenta il momento d’inerzia del sistema sgabello studente + ruota rispetto
all’asse verticale attorno a cui ruota lo sgabello.
Il fenomeno può essere analizzato suddividendo il sistema studente-sgabello + ruota
nei due sottosistemi: studente-sgabello e ruota. In questo caso i due sottosistemi non
sono isolati Nel girare l’asse della ruota, lo studente esercita un momento di forza,
τ SS, sulla ruota, e, a sua volta, per il principio di azione e reazione, la ruota esercita
un momento, τ R, uguale e contrario sullo studente costringendolo a ruotare. Secondo
questa trattazione τ SS e τ R sono momenti esterni, cioè prodotti da un sottosistema
sull’altro. Nella trattazione precedente le forza esercitate dallo studente sull’asse della
ruota sono forze interne che non hanno alcuna influenza sul momento angolare del
sistema, perché secondo l’equazione fondamentale della
r dinamica dei sistemi:
dL
τ forzeesterne =
dt
il momento angolare può cambiare solo per effetto di momenti di forze esterne.
LSS = 2 L
Ω
−ω