Problema del mese di Marzo 2003 Dato un triangolo con i

Problema del mese di Marzo 2003
Dato un triangolo con i lati di 13, 14 e 15 centimetri, si costruiscano sui tre vertici tre cerchi di
raggio 5 cm. Calcolare il perimetro e l’area della figura così composta.
Il perimetro del triangolo si calcola semplicemente sommando i 3 lati:
13 + 14 + 15 = 42
a questo risultato dobbiamo togliere per ogni vertice e per due volte i 5 cm del raggio del cerchio:
42 – [ 3 x 2 x 5 ] = 42 – 30 = 12
Dobbiamo aggiungere il perimetro dei tre cerchi. Poiché la somma degli angoli interni di qualsiasi
triangolo è di 180°, il totale dei perimetri dei cerchi interni al triangolo equivale al perimetro di
mezzo cerchio. Quindi:
12 + [ 2,5 x ( 5 x 2 x 3,14 ) = 12 + [ 2,5 x 31,42 ] = 12 + 78,54 = 90,54 (Perimetro)
Per l’area del triangolo potremmo sfruttare la formula di Erone.
Se indichiamo con s il semiperimetro del triangolo, la sua area sarà uguale alla radice quadrata di
s(s-a)(s-b)(s-c).
s = ( 13 + 14 + 15 ) / 2 = 21
sqrt [ 21 x ( 21 – 13) x ( 21 – 14 ) x ( 21 – 15 ) ] = sqrt [ 21 x 8 x 7 x 6 ] = sqrt [ 7056 ] = 84
A questo, per la stessa considerazione di prima (della somma degli angoli interni) vanno aggiunti
due volte e mezzo l’area dei cerchi posti sui tre vertici:
84 + [ 2,5 x ( 5 x 5 x 3,14 ) = 84 + [ 2,5 x 78,54 ] = 84 + 196,35 = 280,35 (Area)
Problema del mese di Marzo 2003 (generalizzazione)
Dato un triangolo con i lati di lunghezza a, b e c, si costruiscano sui tre vertici tre cerchi di raggio r.
Calcolare il perimetro e l’area della figura così composta.
Innanzitutto mettiamo la condizione che ciascun lato sia maggiore o uguale di due volte il raggio
(questo per non complicare il problema).
Il perimetro del triangolo si calcola semplicemente sommando i 3 lati:
P = a+b+c
a questo risultato dobbiamo togliere per ogni vertice e per due volte la lunghezza del raggio del
cerchio:
P = (a+b+c) – 3(2r)
Dobbiamo aggiungere il perimetro dei tre cerchi. Poiché la somma degli angoli interni di qualsiasi
triangolo è di 180°, il totale dei perimetri dei cerchi interni al triangolo equivale al perimetro di
mezzo cerchio. Quindi:
P = (a+b+c) – 3(2r) + 2,5(2πr) =
= (a+b+c) – 6r + 5πr =
= (a+b+c) + (5π – 6)r
Per l’area del triangolo potremmo sfruttare la formula di Erone.
Se indichiamo con s il semiperimetro del triangolo, la sua area sarà uguale a
A = sqrt [s(s-a)(s-b)(s-c)]
A questo, per la stessa considerazione di prima (della somma degli angoli interni) vanno aggiunti
due volte e mezzo l’area dei cerchi posti sui tre vertici:
A = sqrt [s(s-a)(s-b)(s-c)] + 2,5(πr2 )