densita` dell`aria umida e dell`acqua pura per la taratura

Istituto Guglielmo Tagliacarne
Roma
Filename: Aria_umida_ed_acqua_2005_TESTO_Tagliacarne
DENSITA’ DELL’ARIA UMIDA E DELL’ACQUA PURA
PER LA TARATURA DEI SERBATOI
CAMPIONE DI VOLUME
MEDIANTE PESATA DEL CONTENUTO DI
ACQUA A DENSITA’ NOTA
Giorgio Cignolo
Istituto di Metrologia Gustavo Colonnetti
del Consiglio Nazionale delle Ricerche, Torino
Revisione 2, Gennaio 2005
Riassunto: si presentano con rimandi agli articoli scientifici originali le formule per
il calcolo della densità dell’aria umida e dell’acqua pura attualmente utilizzate negli
Istituti Metrologici Primari in ogni settore applicativo, ivi incluso quello della
determinazione del volume di recipienti campione con il metodo della pesata del
contenuto d’acqua pura a temperatura e densità nota.
DENSITA’ DELL’ARIA UMIDA
La formula raccomandata dal Comitè International des Poids et Mesures ed adottata in tutti gli
Istituti Metrologici Primari (detta formula CIPM-81) é:
ρ aria = 0,001 ⋅ [3,48349 + 1,44 ⋅ (χ CO 2 − 0,0004)] ⋅
p
⋅ (1 − 0,3780 ⋅ χ H 2O )
ZT
(1)
dove ρaria é la densità espressa in kg/m3, p la pressione in Pa, T la temperatura assoluta in K, Z il
fattore di compressibilità (che tiene conto delle deviazioni dell’aria umida dal comportamento di
gas ideale) e le χ sono le frazioni molari di anidride carbonica e vapor d’acqua. Questa formula, pur
abbordabile, non é di uso semplicissimo perché:
1) Il fattore di compressibilità Z deve essere calcolato come una funzione nota di una decina
di termini e grandezze fisico-chimiche;
2) la frazione molare di vapor d’acqua deve essere ricavata come una funzione anch’essa non
semplice della misura di umidità dell’aria in termini di umidità relativa, oppure di punto di
rugiada, che sono le grandezze fornite dagli igrometri da laboratorio;
3) meno importante é il fatto che occorrerebbe anche misurare il contenuto di anidride
carbonica dell’aria, che è notoriamente variabile a causa della respirazione e delle attività
umane. Tuttavia, in mancanza della costosa strumentazione analitica necessaria, si può
assumere il valore χCO2 = 0,0004, annullando così il relativo termine. Un dato medio più
realistico è però χCO2 = 0,00045.
Le funzioni ed i coefficienti per l’uso di questa formula si trovano in:
1) P. Giacomo “Equation for the determination of the density of moist air (1981)”
Metrologia, 18, 1982, pp. 33-40
Aggiornamento in: 2) R.S. Davis “Equation for the determination of the density of moist air”
Metrologia, 29, 1992, pp. 67-70
La formula (1) é implementata nel Foglio 1 (intitolato DENSITA’) del foglio di calcolo Excel
TARATURA_VOLUMI_2004 predisposto dall’IMGC. L’incertezza estesa propria della formula
(cioè del modello matematico rispetto alla realtà) è dell’ordine di 0,01%, incertezza con la quale
devono essere composte quelle derivate dai dati di ingresso, cioè le incertezze delle misure con cui
si è capaci di determinare i valori dei vari parametri ambientali moltiplicate per i rispettivi
coefficienti di sensibilità (cioè le derivate parziali della formula (1) rispetto a ciascuna variabile).
Una formula assai più semplice é la seguente:
ρaria = 1,1835 – 0,0044 (t – 20) + 0,000012 (p –100000) – 0,0001 (ur – 50)
(2)
in cui t é la temperatura Celsius e ur l’umidità relativa, espressa in % (es.: 60 per significare 60%) e
le altre grandezze hanno significato ed unità di misura come in formula (1). Questa formula deriva
da una linearizzazione di quella generale nell’intorno delle condizioni di 20 °C, 100 000 Pa e 50%
di umidità relativa, quindi può essere usata solo se non ci si discosta troppo (cioè entro alcuni gradi,
alcuni kPa e una decina di percento di umidità relativa) da tali valori.
2
CALCOLO DEL COEFFICIENTE “A” PER LA CORREZIONE
DELLA SPINTA AEROSTATICA
Una volta calcolato il valore della densità dell’aria ambiente ed assunto un valore anche
approssimativo della densità dell’acqua (una valutazione di entrambe le densità entro ± 0,1% é più
che sufficiente in questa sede: comporta un’incertezza di solo 1 parte per milione (1 ppm) ciascuna
sul risultato), è possibile calcolare il valore di un coefficiente moltiplicativo A che consente di
ricavare il valore di massa Mw dell’acqua dal valore della massa convenzionale od apparente Mcw
(che è la massa lorda meno la tara) indicato da una bilancia propriamente utilizzata:
Mw = Mcw ⋅ A
Il valore di A é dato da:
A=
1−
1−
(3)
ρ aria
8000
ρ aria
ρ acqua
(4)
Un valore tipico di A nella pesata di acqua a temperatura ambiente è 1,00106 (UNI EN 24185, par.
5.1) oppure (nelle condizioni medie presso l’IMGC) 1,00102. Come si vede, le variazioni di A sono
sulla quinta cifra decimale, quindi dell’ordine di parti su centomila. In buona sostanza, ogni pesata
di acqua a temperatura ambiente (ed anche quella del corpo umano, che ha una densità simile....)
deve essere aumentata di circa lo 0,1%, se si vuole avere la massa e non la massa convenzionale (ai
sensi della OIML Int. Recommendation 33).
La formula (4) che calcola A é implementata nello stesso Foglio DENSITA’ del foglio di calcolo
Excel già citato.
3
DENSITA’ DELL’ACQUA PURA
Il lavoro di riferimento é quello di un Gruppo di lavoro istituito presso il Comitato Consultivo per la
Massa (CCM) del CIPM, a cui ha collaborato anche l’IMGC:
M.Tanaka, G.Girard, R.Davis, A.Peuto, N.Bignell “Recommended Table for the density of water
between 0°C and 40 °C based on recent experimental reports” Metrologia, 38, 2001, pp. 301-309
In questo complesso e completo lavoro, che fa il punto su tutto l’argomento (effetti della
composizione isotopica, dell’aria in soluzione, della compressibilità) per l’acqua pura ottenuta
distillando l’acqua di mare di Copenhagen (che per convenzione è la SMOW, Standard Mean
Ocean Water), quando sia priva di aria disciolta e sia alla pressione di 101 325 Pa si dà la densità
ρacqua in kg/m3 come segue:

(t + a1 )2 ⋅ (t + a 2 )

a3 (t + a 4 )
ρ acqua = a5 1 −
(5)


dove:
t é la temperatura Celsius secondo la ITS-90 (Scala di Temperatura Internazionale del 1990)
a1 = - 3,983035 °C
a2 = 301,797 °C
a3 = 522528,9 °C2
a4 = 69,34881 °C
a5 = 999,974950 kg/m3
L’incertezza estesa (k = 2) associata a tale formula della densità è un po’ migliore di 1 parte per
milione (0,84 ppm, ovvero 84 g/m3); ovviamente nelle applicazioni deve essere considerata anche e
soprattutto l’incertezza di misura della temperatura. La formula é facilmente utilizzabile sui PC.
INFLUENZA DELL’ARIA DISCIOLTA NELL’ACQUA
L’acqua esposta all’atmosfera si satura rapidamente di aria (non per nulla i pesci possono respirare).
In tale stato, contrariamente a quel che si potrebbe pensare, l’acqua è meno densa di quella priva di
gas (che si ottiene sottoponendo l’acqua ad un prolungato pompaggio sotto vuoto).
Fra 6 °C e 25 °C la differenza di densità varia fra 4 ppm e 2 ppm, ed è perciò trascurabile ai nostri
fini. Tuttavia, il metrologo australiano Bignell ha calcolato che, fra 0 °C e 25 °C, la differenza di
densità, espressa in kg/m3 vale:
∆ρ = (0,000106 t) – 0,004612
(6)
dove t é la temperatura Celsius.
Approfittiamo dell’occasione per ricordare che la scala di temperatura CENTIGRADA, e con essa i “gradi
centigradi” diligentemente citati da quasi tutti gli “esperti”, é stata ABOLITA da decenni, e che al posto di
essa oggi è definita (non per sfizio, ma perchè è leggermente diversa) la Scala di Temperatura Celsius (unità
di misura: grado Celsius, °C), che si affianca alla Scala di Temperatura Termodinamica od assoluta (unità
di misura: kelvin, simbolo K senza la parola “grado”).
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