Algoritmi e Strutture Dati 11 gennaio 2007 Esercitazione Universit`a

Algoritmi e Strutture Dati
11 gennaio 2007
Esercitazione
Cognome:
Università di Salerno
Nome:
Matricola:
√
1. Si considerino le seguenti funzioni: 4 n + log n, log log n, 2n , nlog n , 13n3 , n + 15.
a) Si ordinino le funzioni scrivendole da sinistra a destra, in modo tale che la funzione f (n) sia
posta a sinistra di g(n) se f (n) = O(g(n)).
b) Si dimostri formalmente (cioe’ fornendo le costanti) almeno due (a scelta) dei confronti
affermati al punto a). In altre parole se l’ordine proposto e’: f1 (n), f2 (n), f3 (n), f4 (n), f5 (n),
f6 (n), allora occorre dimostrare che fi (n) = O(fi+1 (n)) per almeno due diversi indici i.
2. Siano f (n) e g(n) funzioni positive. Per ognuna delle seguenti affermazioni dire se essa e’ vera
o falsa giustificando la risposta con una dimostrazione precisa.
(a) f (n) + 2g(n) = Θ(f (n) + g(n))
(b) min{f (n), g(n)} = Θ(f (n) + g(n))
2
3. 17 punti
Si dimostri che T (n) = Θ(n log n), nelle ipotesi che la funzione T (n) soddisfi:
(n/2)blog nc ≤ T (n) ≤ 2n log(n + 1) + n.
4. 17 punti
Per ognuna delle seguenti affermazioni dire se essa e’ vera o falsa giustificando la risposta con
una dimostrazione precisa.
a) 3n + 1/8n log n = O(n)
b) n2 log8 n = Ω(n3 log3 n).
c) n2 + n4 = Ω(n3 ).
d) f (2n) = O(f (n)).
5. 17 punti
Risolvere la seguente relazione di ricorrenza :
T (n) = 4T (n/2) + 5n
a) col Master Theorem (Teorema dell’esperto)
b) col metodo dell’albero di ricorsione.