Esempi Modelli a singolo prodotto ea un livello (SCOL)
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Esempi Modelli a singolo prodotto ea un livello (SCOL)
Corso di Gestione dei sistemi di trasporto Cap.5 Pianificazione strategica di reti logistiche: problemi di localizzazione di nodi logistici S. Sacone, S. Siri - DIST Introduzione Le decisioni di localizzazione (location) riguardano: Î la tipologia, l’ubicazione, le dimensioni di nuovi nodi logistici; Î la dismissione, lo spostamento, il ridimensionamento di eventuali nodi logistici preesistenti. L’obiettivo generalmente perseguito è la minimizzazione del costo logistico totale, espresso dalla somma dei costi associati alle attività dei nodi (ad esempio costi di produzione, di stoccaggio) e dei costi di trasporto tra i nodi e dai nodi ai clienti. I vincoli più comuni riguardano la dimensione massima dei nodi nei diversi siti e il minimo livello di servizio assicurato ai clienti. S. Sacone, S. Siri - DIST 2 Introduzione Alcuni fattori che influenzano le decisioni di localizzazione di nodi logistici sono: Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î tipo di distribuzione requisiti della produzione domanda del mercato requisiti degli ordini di acquisto requisiti progettuali dei magazzini centri di domanda possibili siti di localizzazione dimensioni magazzino natura del bene da distribuire livello di servizio richiesto dai clienti costi operativi (produzione, inventario, trasporto,...) S. Sacone, S. Siri - DIST 3 Introduzione Alcuni fattori che influenzano la scelta relativa al numero di nodi logistici sono: Î order lead time: processamento dell’ordine, assemblaggio del bene secondo le specifiche, spedizione del bene Î domanda totale Î area di rifornitura Le decisioni di localizzazione sono inscindibili da quelle di allocazione della domanda ai nodi, per questo si parla di problemi di localizzazione/allocazione. S. Sacone, S. Siri - DIST 4 Classificazione di problemi di localizzazione Orizzonte di pianificazione Î Î modelli monoperiodo: le decisioni sono attuate all’inizio dell’orizzonte di pianificazione, sulla base dell’andamento previsto della domanda e dei costi modelli multiperiodo: l’orizzonte temporale è suddiviso in più periodi e sono possibili modifiche alle decisioni all’inizio dei periodi considerati Omogeneità dei flussi di materiali Î Î modelli singolo-prodotto (single commodity): flusso omogeneo di materiali nel sistema logistico modelli multi-prodotto (multi-commodity): molteplicità di prodotti diversi per costo o per natura S. Sacone, S. Siri - DIST 5 Classificazione di problemi di localizzazione Tipologia dei nodi logistici Î Î modelli singolo-tipo: un solo tipo di nodo logistico da localizzare modelli multitipo: localizzazione di nodi di due o più tipi Livelli della rete logistica Î Î modelli singolo-livello: si considerano solo i flussi di materiali tra magazzini e clienti modelli multi-livello: si considerano i flussi coinvolgenti più livelli, tra impianti, magazzini e clienti S. Sacone, S. Siri - DIST 6 Classificazione di problemi di localizzazione Frazionabilità della domanda Î Î modelli single-sourcing: la domanda di un cliente deve essere soddisfatta da un unico nodo logistico modelli multi-sourcing: il soddisfacimento della domanda può essere ripartito tra due o più nodi logistici Modalità di trasporto Î Î modelli con trasporto a pieno carico: presuppone collegamenti diretti tra i nodi logistici (situazione considerata nella maggior parte dei modelli) modelli di trasporto non a pieno carico: i costi di trasporto sono determinati dall’ordine con il quale i clienti vengono visitati e quindi l’ubicazione ottimale dei centri di distribuzione dipende dalle rotte dei veicoli S. Sacone, S. Siri - DIST 7 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL) I modelli di localizzazione a prodotto singolo e ad un livello (singlecommodity, one-level, SCOL) consentono di schematizzare problemi di localizzazione in cui la porzione di rete di interesse è composta da nodi logistici che riforniscono di un solo tipo di bene tutti gli altri nodi e nei quali è trascurabile (o pressoché costante) il costo di trasporto dai nodi a monte oppure verso i nodi a valle. Supponendo di voler localizzare i magazzini e allocare i mercati ai magazzini soddisfacendone la domanda, l’obiettivo perseguito consiste nel minimizzare i costi di gestione dei centri di distribuzione e i costi di trasporto da questi ai punti di domanda. S. Sacone, S. Siri - DIST 8 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL) Il problema può essere schematizzato tramite l’utilizzo di un grafo bipartito orientato G(N, A) nel quale: Îl’insieme dei nodi N è suddiviso in due sottoinsiemi V1 e V2 Îi nodi in V1 rappresentano i siti potenziali Îi nodi in V2 descrivono i punti di domanda archi in A sono associati ai flussi di materiali tra i siti potenziali e i punti di domanda e rappresentano le allocazioni sito-punto di domanda ammissibili (per livello di servizio) Îgli S. Sacone, S. Siri - DIST 9 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL) Rappresentazione su grafo bipartito del problema di localizzazione a un livello S. Sacone, S. Siri - DIST 10 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL) Definendo i parametri: dj, j ∈ V2 : quantità richiesta dal punto di domanda j qi, i ∈ V1 : capacità del sito i cij, i ∈ V1, j ∈ V2 : costo corrispondente al trasporto di una quantità di prodotto dal sito i al punto di domanda j Fi, i ∈ V1 : costo del magazzino i (funzione della quantità prodotta) e le variabili decisionali: ui, i ∈ V1 : livello di attività del sito i (definisce la scelta di localizzazione) sij, i ∈ V1, j ∈ V2 : quantità di prodotto inviata dal sito i al punto di domanda j (descrive la scelta di allocazione delle domande ai nodi logistici) S. Sacone, S. Siri - DIST 11 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL) Nell’ipotesi che la domanda sia frazionabile (cioè il cliente può essere servito da due o più centri), il problema SCOL può essere così formulato: min ∑ ∑ cij ( sij ) + ∑ Fi (ui ) i∈V1 j∈V2 i∈V1 subject to ∑ sij = ui , i ∈ V1 j∈V2 ∑ sij = d j , j ∈ V2 i∈V1 ∑ sij ≤ qi , i ∈ V1 j∈V2 sij ≥ 0, i ∈ V1, j ∈ V2 ui ≥ 0, i ∈ V1 S. Sacone, S. Siri - DIST 12 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL) Nel modello definito: Î la funzione obiettivo è la somma dei costi di trasporto e dei costi derivanti dal funzionamento dei nodi logistici Î i vincoli (che definiscono la regione di ammissibilità della soluzione del problema) servono rispettivamente a: • esprimere l’uguaglianza tra il livello di attività del sito i ed il volume dei beni trasportati a partire da esso • esprimere la parità tra il volume dei beni trasportati al nodo j e la sua domanda • stabilire che il livello di attività realizzabile nel sito i non può superare il corrispondente valore prestabilito di capacità • stabilire che la quantità di prodotto inviata dal sito i al punto di domanda j non è mai negativa • stabilire che un sito i è sede di attività se e solo se la corrispondente variabile è positiva S. Sacone, S. Siri - DIST 13 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL) Casi particolari del problema SCOL Si assume che i costi unitari di trasporto siano indipendenti dalla quantità trasportata e quindi: cij ( sij ) = cˆij ⋅ sij , i ∈ V1, j ∈ V2 Per quanto riguarda i costi di esercizio , si considerano tre casi: Î Costi lineari Î Costi concavi Î Costi lineari a tratti S. Sacone, S. Siri - DIST 14 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): costi di trasporto lineari e costi di esercizio costanti Se la funzione Fi(ui) presenta per ogni nodo un termine di avviamento (setup) fi ed un costo marginale costante gi, risulta: ⎧ fi + gi ⋅ ui Fi (ui ) = ⎨ ⎩0 se ui > 0 se ui = 0 i ∈ V1 Inoltre assumendo gi trascurabile, si può sostituire la variabile continua ui con una variabile decisionale di tipo binario yi, detta di attivazione, che assume valore 1 se nel vertice i è aperto un impianto, 0 altrimenti. Quindi si ha: Fi (ui ) = fi ⋅ yi , i ∈ V1 S. Sacone, S. Siri - DIST 15 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): costi di trasporto lineari e costi di esercizio costanti Il primo e il terzo vincolo del problema SCOL vengono così riformulati: ∑ sij ≤ qi ⋅ yi , i ∈ V1 j∈V2 Inoltre nel caso in cui i nodi debbano essere in numero p prefissato, viene introdotto il nuovo vincolo: ∑ yi = p i∈V1 S. Sacone, S. Siri - DIST 16 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): costi di trasporto lineari e costi di esercizio costanti Infine si indica con xij, i ∈ V1, j ∈ V2 la frazione della domanda dj del punto di domanda j soddisfatta dal nodo i, tale che: sij = d j ⋅ xij , i ∈ V1, j ∈ V2 ui = ∑ d j ⋅ xij , i ∈ V1 j∈V2 S. Sacone, S. Siri - DIST 17 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): costi di trasporto lineari e costi di esercizio costanti Il problema SCOL è quindi riformulabile nella seguente forma equivalente: min ∑ ∑ kij ⋅ xij + ∑ fi ⋅ yi i∈V1 j∈V2 i∈V1 subject to ∑ xij = 1, j ∈ V2 i∈V1 ∑ d j ⋅ xij ≤ qi ⋅ yi , i ∈ V1 j∈V2 ∑ yi = p i∈V1 0 ≤ xij ≤ 1, i ∈ V1, j ∈ V2 yi ∈ {0,1}, i ∈ V1 S. Sacone, S. Siri - DIST 18 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): costi di trasporto lineari e costi di esercizio costanti Nel problema si è indicato con kij = cˆij ⋅ d j , i ∈ V1, j ∈ V2 il costo di trasporto sostenuto qualora l’intera domanda del cliente sia soddisfatta dal centro di distribuzione. N.B. Rilassando il terzo vincolo di questa seconda formulazione del problema SCOL, si ottiene il modello di localizzazione di impianti con vincoli di capacità (capacitated plant location, CPL); mentre eliminando anche il secondo vincolo, si ottiene il modello di localizzazione di impianti non capacitato (simple plant location, SPL) S. Sacone, S. Siri - DIST 19 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Costi di esercizio lineari a tratti In questo caso ⎧⎪ f + g ⋅ u i i Fi (ui ) = ⎨ i ⎪⎩0 se qi− ≤ ui ≤ qi+ altrimenti i ∈ V1 Il nodo logistico i-esimo non è conveniente quando il suo livello di _ attività è minore di un limite inferiore qi o maggiore di un limite superiore qi+; per valori intermedi il costo cresce con andamento lineare. Si introducono, inoltre, i seguenti vincoli di capacità al posto del secondo vincolo nella seconda trattazione vista per il modello SCOL: qi− ⋅ yi ≤ ∑ d j ⋅ xij ≤ qi+ ⋅ yi , i ∈ V j∈V2 S. Sacone, S. Siri - DIST 20 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Costi di esercizio concavi e lineari a tratti Il costo di esercizio di un nodo logistico è, in questo caso, una funzione concava e lineare a tratti del suo livello di attività per la presenza di economie di scala: ⎧ ⎪ fi ″ + gi ″ ⋅ ui se ui > ui′ ⎪⎪ Fi (ui ) = ⎨ fi′ + gi′ ⋅ ui se 0 < ui ≤ ui′ i ∈ V1 ⎪ ⎪0 se ui = 0 ⎪⎩ dove, ovviamente fi’ < fi” e gi’ > gi”. Si può modellare questo caso sostituendo ogni nodo logistico con tanti nodi fittizi quanti sono i tratti lineari della funzione di costo. In questo modo il problema è riconducibile al caso di costi di esercizio costanti perché è dimostrabile che, in ogni soluzione ottima, al più uno dei nodi fittizi risulta attivato. S. Sacone, S. Siri - DIST 21 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Esempio di problema di localizzazione di un modello SCOL con costi di trasporto lineari e costi di esercizio costanti Il caso preso in esame riguarda un corriere espresso specializzato nel trasporto rapido di piccoli colli sul territorio italiano. L' impresa svolge la propria attività attraverso: Î un insieme di terminali, che sono aree attrezzate dove i colli in partenza sono raccolti su bancali, classificati e avviati alla distribuzione Î un sottosistema di trazione che provvede al trasporto, generalmente notturno, di carichi consolidati tra i terminali di origine e di destinazione e a tale scopo utilizza degli autocarri con capacità compresa tra 14 e 18 bancali Î un sottosistema di distribuzione, che dispone di una flotta di furgoni che, a partire dai terminali, provvedono al ritiro delle merci in partenza e alla consegna delle merci in arrivo. S. Sacone, S. Siri - DIST 22 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi L’impresa dispone di nove terminali ubicati nelle città di: Genova, Milano, Ferrara, Bologna, Firenze, San Marino, Ancona, Perugia, Pescara. Si vuole dimensionare il sistema di trazione in modo da avere due terminali di interscambio (da cui far confluire le merci provenienti dagli altri terminali dividendo il territorio in due zone) da localizzare "ex novo " senza tenere conto della situazione di partenza. Un’analisi preliminare dei costi ha inoltre stabilito di considerare solamente i costi di trasporto da ciascun terminale al relativo centro di interscambio e viceversa. S. Sacone, S. Siri - DIST 23 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Il problema in termini di programmazione lineare può essere così formulato: min ∑ ∑ cij ⋅ xij i∈V1 j∈V2 subject to ∑ xij = 1, j ∈ V2 i∈V1 ∑ xij ≤ V2 ⋅ yi , i ∈ V1 j∈V2 ∑ yi = 2 i∈V1 0 ≤ xij ≤ 1, i ∈ V1 , j ∈ V2 yi ∈ {0,1}, i ∈ V1 S. Sacone, S. Siri - DIST 24 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi dove V1 = V2 è l’insieme dei terminali ; yi è la variabile decisionale di attivazione dell’impianto i; xij è la variabile reale rappresentante la frazione di allocazione della domanda del mercato i all’impianto j; Î cij = 2*0.55*Iij sono i costi di trasporto giornalieri (0.55 è il costo chilometrico in euro e Iij corrisponde alla distanza chilometrica tra i ∈V1 e j ∈ V2) Î Î Î Soluzione con Lingo S. Sacone, S. Siri - DIST 25 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Dall’analisi dei risultati si ottiene che la soluzione ottima prevede la localizzazione dei due nuovi terminali di interscambio nelle città di Bologna e Ancona. Il costo complessivo di trasporto giornaliero che si ottiene dalla minimizzazione è di 1024.10Euro. A Bologna afferiranno i terminali delle seguenti città: Genova, Milano, Ferrara, Bologna, Firenze, San Marino mentre il centro di interscambio di Ancona sarà utilizzato dai terminali delle città di Ancona, Perugia e Pescara. S. Sacone, S. Siri - DIST 26 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Se l’azienda avesse voluto localizzare ad esempio tre terminali di interscambio anzichè due si sarebbe ottenuto, tramite la risoluzione in Lingo (sostituendo il vincolo @sum(hub(i): y(i))=2 con @sum(hub(i): y(i))=3), il seguente risultato: Soluzione con Lingo La soluzione ottima prevede la localizzazione dei tre nuovi terminali di interscambio nelle città di Genova, Bologna e Ancona. Il costo complessivo di trasporto giornaliero che si ottiene dalla minimizzazione è di 671.00 Euro con un risparmio di 353.1 Euro rispetto al caso precedente. N.B. La scelta se attivare tre terminali piuttosto che due dipenderà dai costi di attivazione degli impianti stessi che in questa analisi preliminare non sono stati presi in esame. S. Sacone, S. Siri - DIST 27 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Esempio di problema di localizzazione di impianti con vincoli di capacità ( capacited plant location, CPL ) Il caso considerato riguarda un’azienda francese produttrice di bevande analcoliche. L’impresa recentemente ha ottenuto un inaspettato incremento delle proprie vendite a causa soprattutto dell’immissione sul mercato di una nuova bevanda che ha riscontrato il favore dei giovani consumatori. Per tale ragione i dirigenti stanno considerando l’opportunità di aprire un nuovo impianto trasferendovi parte della produzione attualmente realizzata negli altri stabilimenti. Il processo produttivo è tale da rendere i costi di approvvigionamento trascurabili rispetto a quelli di distribuzione del prodotto finito e i costi di trasporto indipendenti dal tipo di prodotto. La direzione vuole quindi stabilire quale\i impianto\i aprire. S. Sacone, S. Siri - DIST 28 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi I dati a disposizione sono le distanze in chilometri tra i potenziali siti e i punti di domanda, le domande dei distretti di vendita, i costi fissi di attivazione e le capacità degli impianti. Il problema di localizzazione è: min ∑ ∑ cij ⋅ xij + ∑ f i ⋅ yi i∈V1 j∈V2 i∈V1 subject to ∑ xij = 1, j ∈ V2 i∈V1 ∑ d j ⋅ xij ≤ qi ⋅ yi , i ∈ V1 j∈V2 0 ≤ xij ≤ 1, i ∈ V1 , j ∈ V2 yi ∈ {0,1}, i ∈ V1 S. Sacone, S. Siri - DIST 29 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi dove ÎV1 = {Tolosa, Nizza, Marsiglia, Lione, Limoges, Digione, Parigi, Brest } ÎV2 = { Tolosa, Nizza, Marsiglia, Lione, Grenoble, Limoges, Digione, Orleans, Parigi, Lille, Nantes, Brest } Îyi è la variabile decisionale di attivazione dell’impianto i; Îxij è la variabile reale rappresentante la frazione di allocazione della domanda del mercato i all’impianto j; Îdj è la domanda annua del mercato j (vedi dati) Îqi è la capacità annua dell’impianto i (vedi dati) Îfi è il costo fisso dell’impianto i (vedi dati) Îĉij è il costo unitario di trasporto da i a j, con ĉij = (2*0.5/150)*dsij dove dsij è la distanza da i a j considerando che i veicoli viaggiano a pieno carico (150 hl) da i a j e ritornano a i vuoti Îcij = ĉij sij sono i costi di trasporto per rifornire il mercato j attraverso l’impianto i (vedi dati) Soluzione con Lingo S. Sacone, S. Siri - DIST 30 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi La soluzione ottima prevede: S. Sacone, S. Siri - DIST 31 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Frazione di allocazione domanda del mercato j all’impianto i S. Sacone, S. Siri - DIST 32 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Inoltre Siti produttivi da attivare Tolosa Nizza Lione Parigi Brest Distretti di vendita Tolosa, Limoges Nizza, Marsiglia Lione, Grenoble, Digione Parigi, Orleans, Lille Nantes, Brest Il costo logistico totale annuo risulta pari a 118.38 (milioni di euro). S. Sacone, S. Siri - DIST 33 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Esempi di localizzazione con costi di esercizio concavi e lineari a tratti Un’azienda commerciale specializzata nella distribuzione di alimenti surgelati ha delegato ad una società di consulenza il compito di individuare eventuali modifiche al suo sistema logistico. Punto fondamentale dell’analisi riguarda possibili riallocazioni dei centri di distribuzione. Tramite un esame preliminare del problema si sono potuti individuare circa 30 siti dove è possibile aprire nuovi magazzini o trasferire magazzini attualmente operanti; in un dato sito è generalmente possibile realizzare diversi tipi di magazzini. S. Sacone, S. Siri - DIST 34 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Si suppone di dover schematizzare la struttura dei costi di un magazzino potenziale i. I costi fissi sono imputabili prevalentemente: all’affitto dei locali; all’ammortamento dei macchinari; all’assicurazione di locali e macchinari; alla retribuzione del personale e ammontano a circa 8000 Euro l’anno; le spese variabili sono invece legate: al mantenimento delle scorte; alla movimentazione delle scorte. S. Sacone, S. Siri - DIST 35 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Si stabilisce di stimare i costi variabili in base ai dati registrati in passato. Domanda (Quintali/Anno) 1000 2500 3500 6000 8000 9000 9500 12000 13500 15000 16000 18000 S. Sacone, S. Siri - DIST Costo variabile (Euro) 17579 56350 62208 76403 85941 90237 96251 109429 107355 122432 116816 124736 36 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi L’andamento dei costi variabili è dominato dai costi di stoccaggio che crescono generalmente con la radice quadrata della domanda. Tale andamento suggerisce di ricondursi al modello di costi di esercizio concavi e lineari a tratti, dove : fi’ = 82252 Euro /anno; gi’ = 18,5 Euro /quintale; fi’’= 134400 Euro /anno; gi’’=4.1 Euro /quintale. Inoltre, ogni magazzino potenziale i è rimpiazzato da due nodi fittizi i’ e i’’ con costi fissi pari a f ’ e f’’ , rispettivamente, e costi marginali pari a g’ e g’’ , rispettivamente. S. Sacone, S. Siri - DIST 37 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi In una semplificazione del problema i siti potenziali sono stati ridotti a tre e nello specifico: Bologna, Latina e Salerno, ciascuno di essi avente capacità di 20000 quintali/anno ed i distretti di vendita sono stati aggregati in quattro macromercati (Nord-Ovest, Nord-Est, Centro, Sud) rappresentati dalle città di Torino, Vicenza, Roma e Napoli, rispettivamente. Le domande annue ammontano a: 6200 quintali per Torino 6600 quintali per Vicenza 5800 quintali per Roma 4400 quintali per Napoli. Il trasporto avviene tramite autocarri di portata q=10 quintali e costo pari a 0.5 Euro /km. S. Sacone, S. Siri - DIST 38 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi La formalizzazione del problema è: min ∑ ∑ tij ⋅ xij + ∑ f i ⋅ yi i∈V1 j∈V2 i∈V1 subject to ∑ xij = 1, j ∈ V2 i∈V1 ∑ d j ⋅ xij ≤ qi ⋅ yi , i ∈ V1 j∈V2 0 ≤ xij ≤ 1, i ∈ V1 , j ∈ V2 yi ∈ {0,1}, i ∈ V1 S. Sacone, S. Siri - DIST 39 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi dove ÎV1 = { Bologna1, Bologna2, Latina1, Latina2, Salerno1, Salerno2} ÎBologna1 e Bologna 2 corrispondono ai due magazzini fittizi potenzialmente attivabili nella città di Bologna con livello di attività, rispettivamente, inferiore e non inferiore ai 3500 quintali/anno(lo stesso dicasi per Latina1 e Latina2, Salerno1 e Salerno2 ); ÎV2 = { Torino, Vicenza, Roma, Napoli}; Îĉij è il costo unitario di trasporto da i a j, con ĉij = (2*0.5*dsij)/q dove dsij è la distanza da i a j Îcij = ĉij sij sono i costi di trasporto per rifornire il mercato j attraverso l’impianto i Îtij = cij +gi dj. Soluzione con Lingo S. Sacone, S. Siri - DIST 40 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi La soluzione ottima prevede un costo di 764840 Euro all’anno e l’attivazione di due magazzini nelle città di Bologna e Latina (nei siti fittizi di Bologna2 e Latina2), con livello di attività pari , rispettivamente, a 12800 quintali/anno e 10200 quintali/anno. I distretti di vendita corrispondenti alle città di Torino e Vicenza sono serviti dalla città di Bologna, mentre quelli relativi alle città di Roma e Napoli sono serviti dal magazzino di Latina. S. Sacone, S. Siri - DIST 41 Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici Mentre nei modelli trattati finora l’obiettivo primario era il contenimento del costo logistico totale, nella pianificazione di diversi servizi pubblici (per esempio i servizi di trasporto feriti, antincendio, ecc.) assume maggiore importanza il livello di servizio, ossia l’erogazione di un trattamento adeguato per tutti gli utenti. Un tipico esempio è il modello di localizzazione fondato sul concetto di copertura (modello di location- covering ) S. Sacone, S. Siri - DIST 42 Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici Modello di localizzazione fondato sul concetto di copertura In questo modello si ipotizza che un utente sia servito adeguatamente soltanto se esso è situato entro una distanza temporale massima prestabilita dal nodo logistico più vicino. Il problema può essere schematizzato con questa formulazione: min ∑ f i ⋅ yi + ∑ p j ⋅ z j i∈V1 j∈V2 subject to ∑ aij ⋅ yi + z j ≥ 1, j ∈ V2 i∈V1 yi ∈ {0,1}, i ∈ V1 z j ∈ {0,1}, j ∈ V2 S. Sacone, S. Siri - DIST 43 Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici Modello di localizzazione fondato sul concetto di copertura dove: Î i vertici in V1 rappresentano i siti potenziali Î i vertici in V2 descrivono i clienti Î ogni coppia (i,j) ∈ E indica il collegamento a minimo tempo di percorrenza tij tra i nodi i e j Î fi , i ∈ V1 è il costo di attivazione del nodo logistico i Î pj, j ∈ V2 è la penalità al mancato servizio del cliente j Î aij, i ∈ V1, j ∈ V2 è una costante binaria pari a 1 se tij ≤T (e quindi il nodo logistico i è in grado di servire il cliente j) e 0 altrimenti Î T è un tempo massimo fissato dall’utente Î yi , i ∈ V1 è la variabile decisionale di tipo binario, avente valore pari a 1 se un nodo logistico è ubicato nel sito i e 0 altrimenti Î zj, j ∈ V2 è la variabile decisionale di tipo binario avente valore pari a 1 se il cliente j non è servito e 0 altrimenti S. Sacone, S. Siri - DIST 44 Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici Modello di localizzazione fondato sul concetto di copertura Inoltre: Î la funzione obiettivo consiste nella minimizzazione della somma dei costi di attivazione dei nodi logistici aperti e delle penalità corrispondenti al mancato servizio di taluni clienti Î il primo vincolo impone che, per ogni j ∈ V2, zj sia pari a 1 se i nodi logistici aperti non coprono il cliente j ovvero se ∑ aij ⋅ yi = 0 S. Sacone, S. Siri - DIST 45 Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici problema di set-covering Il modello di localizzazione fondato sul concetto di copertura è riconducibile alla ricerca della copertura a costo minimo di un insieme (problema di Set-Covering). Se sono verificate le seguenti condizioni: Î tutti i clienti devono essere serviti (le penalità pj, j ∈ V2, sono sufficientemente elevate) e quindi le variabili zj, j ∈ V2, possono essere poste uguali a zero Î i costi di attivazione fi, i ∈ V1 sono uguali per tutti i siti potenziali è conveniente modificare il modello in modo che l’obiettivo diventi determinare, tra tutte le soluzioni con il minimo numero di nodi logistici attivati, quella a cui corrisponde il minimo valore del tempo complessivo di trasferimento. S. Sacone, S. Siri - DIST 46 Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici problema di set-covering Si ottiene la seguente formulazione: min ∑ M ⋅ yi + ∑ i∈V1 ∑ tij ⋅ xij i∈V1 j∈V2 subject to ∑ aij ⋅ xij ≥ 1, i∈V1 ∑ xij ≤ V2 ⋅ yi , j∈V2 yi ∈ {0,1}, xij ∈ {0,1}, S. Sacone, S. Siri - DIST j ∈ V2 i ∈ V1 i ∈ V1 i ∈ V1, j ∈ V2 47 Modelli di localizzazione per il Settore dei Servizi Pubblici problema di set-covering dove: Î M è una costante arbitrariamente grande, per cui, in corrispondenza del valore ottimale, si ha comunque che il numero dei siti attivabili è pari al minimo i ∈ V1, j ∈ V2 è una variabile decisionale di tipo binario con valore pari a 1 se il cliente j è servito dal nodo logistico i e 0 altrimenti Î xij, Î i primi due vincoli servono rispettivamente a garantire la copertura di tutti i clienti e ad assicurare che qualora il nodo i non sia attivato, e quindi yi = 0, nessun cliente j possa essere servito da tale nodo. S. Sacone, S. Siri - DIST 48 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Esempio di modello fondato sul concetto di copertura Il modello implementato è la localizzazione dei punti di erogazione di un servizio di autoambulanze i cui requisiti principali sono rapidità di intervento e capacità di servire tutto il territorio. Situazione territoriale ipotizzata : Î presenza di un comune il cui territorio non comprende grandi centri abitati, ed è composto da nove frazioni suddivise in tre classi di importanza in base alla popolazione; Î le tre frazioni più grandi sono candidate a essere sede del servizio. S. Sacone, S. Siri - DIST 49 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Dati a disposizione: Î tempi medi di percorrenza in minuti da un nodo all’altro (vedi dati); Î penalità per il mancato servizio nelle varie frazioni, per definirla si è attribuito un diverso peso ai vari centri, in base alla classe di importanza, pari a 30 per i principali, 20 per quelli intermedi, 10 per quelli minori; Î valori del parametro a(i,j) Obiettivo: Si vuole minimizzare la somma dei costi di attivazione dei nodi e dei costi legati al mancato servizio di una o più frazioni. S. Sacone, S. Siri - DIST 50 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Soluzione con Lingo Si ottiene come risultato l’attivazione dei siti S1 e S3 con un costo logistico di 20.00 (in migliaia) di euro e inoltre il servizio viene erogato a tutti i clienti infatti i valori di z al variare di j sono sempre uguali a zero) S. Sacone, S. Siri - DIST 51 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Esempio di problema di set-covering Nella regione inglese della Cornovaglia un consorzio composto da 8 comuni ha deciso di potenziare il proprio servizio antincendio. Per fare ciò si è stabilito che: Î ciascun centro della comunità dovrà essere situato a non più di 15 km dalla più vicina stazione dei vigili del fuoco; Î ciascuna stazione dei vigili del fuoco, dovendo assicurare solo un primo intervento, avrà a disposizione un unico veicolo. Il costo annuo di una stazione, comprensivo delle spese del personale, è di 123000 euro. La velocità media di spostamento è ipotizzata pari a 90 km/h per ogni strada. S. Sacone, S. Siri - DIST 52 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Per determinare il numero e la dislocazione ottimale delle postazioni, dal momento che tutti i comuni devono essere serviti, si può ricorrere al seguente modello di copertura: min ∑ M ⋅ yi + ∑ i∈V1 ∑ tij ⋅ xij i∈V1 j∈V2 subject to ∑ aij ⋅ xij ≥ 1, j ∈ V2 i∈V1 ∑ xij ≤ V2 ⋅ yi , j∈V2 yi ∈ {0,1}, xij ∈ {0,1}, i ∈ V1 i ∈ V1 i ∈ V1, j ∈ V2 S. Sacone, S. Siri - DIST 53 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi dove: Î V1 = V2 è l’insieme dei comuni del consorzio; i ∈V1 , j ∈ V2 sono le distanze temporali in minuti tra i comuni del consorzio (vedi dati); Î tij, Î aij, i ∈V1 , j ∈ V2 sono i coefficienti che si ottengono imponendo aij =1 se tij ≤ 10 minuti, aij=0 altrimenti; dove 10 minuti è il tempo medio impiegato per percorrere 15 km alla velocità di 90 km\h. S. Sacone, S. Siri - DIST 54 Modelli a singolo prodotto e a un livello (SCOL): Esempi Soluzione con Lingo Il numero delle stazioni dei vigili del fuoco da attivare è pari a due, da ubicare nelle città di Sennen Cove e Zennor. Le stazioni servono i comuni del consorzio secondo la seguente modalità: Î la stazione dei vigili del fuoco della città di Sennen Cove servirà gli utenti delle città di Sennen Cove stessa, Porth Curno, Trevilley e Bottalack; Î la postazione di Treen risponderà alle chiamate delle città di Morvah, Treen, Zennor e St. Ives. S. Sacone, S. Siri - DIST 55