Matematica - I.I.S. "MARCO POLO"

Istituto d’Istruzione Superiore “POLO-LICEO ARTISTICO” - Venezia
A.S.: 2014/15
Docente:FIORENZA CESSARI
Classe: IVC CLASSICO
Disciplina:MATEMATICA
PROGRAMMA SVOLTO
MODULO/UNITÀ DIDATTICA/PERCORSO TEMATICO
ORE
CALCOLO NUMERICO IN
CALCOLO LETTERALE
SCOMPOSIZIONI E FRAZIONI ALGEBRICHE
EQUAZIONI LINEARI INTERE E PROBLEMI RISOLUBILI CON ESSE
INSIEMI E LOGICA
GEOMETRIA EUCLIDEA (CONCETTI FONDAMENTALI, TRIANGOLI, CRITERI DI CONGRUENZA)
GLI INSIEMI NUMERICI
Definizione di operazione, sue proprietà,
elemento neutro e simmetrico
Costruzione dei numeri : N Z Q
M.C.D. e m.c.m.
Numeri decimali e numeri periodici
Frazioni e operazioni con esse
proprietà delle potenze e potenze negative
Sistemi di numerazione in base diversa dal 10
CALCOLO LETTERALE
Definizione di monomio, m. simili
Operazioni tra monomi
M.C.D. e m.c.m. tra monomi
Definizione di polinomio
Operazioni tra polinomi
Prodotti notevoli
Scomposizioni:
o s. mediante raccoglimento totale e parziale,
o s. utilizzando i prodotti notevoli,
o s. mediante il trinomio notevole
Operazioni con le frazioni algebriche
EQUAZIONI DI I GRADO
Nozioni generali
Principi di equivalenza per le equazioni
Equazioni numeriche intere e fratte di I grado
Problemi
LA TEORIA DEGLI INSIEMI
Rappresentazioni di un insieme
Teoria degli insiemi e sua simbologia
Le operazioni con gli insiemi:
o unione, intersezione, differenza,
1
16
19
16
12
12
10
o
o
diff. simmetrica, complementare,
prodotto cartesiano e tutte le loro proprietà.
INTRODUZIONE ALLA LOGICA
Definizione di proposizione semplice e composta
Le operazioni logiche:
o congiunzione, disgiunzione,
o negazione,implicazione materiale, coimplicazione,
o Modus ponens e modus tollens
Tabelle di verità
Proposizione aperte
Quantificatori universali ed esistenziali
Corrispondenza tra operazioni logiche e insiemistiche
PRIMI ELEMENTI DI GEOMETRIA RAZIONALE
Metodo deduttivo
Elementi primitivi: punto, retta, piano e postulati
Congruenza tra figure piane
I segmenti e gli angoli e loro principi
I TRIANGOLI E LA CONGRUENZA
Poligoni e triangoli
Mediane, bisettrici, altezze, assi e loro intersezione
Criteri di congruenza
Proprietà dei triangoli isosceli
Consegne di studio per il periodo estivo:
Gli alunni dovranno eseguire gli esercizi in allegato. Il lavoro estivo, come indicato, è inversamente
proporzionale al voto. Gli alunni insufficienti oltre a questo lavoro, dovranno ripassare le nozioni
fondamentali dei capitoli affrontati eseguendo almeno dieci esercizi per capitolo, se l’argomento non è già
presente nelle fotocopie.
Data:
Firma del/della Docente: ………………
Firme degli Allievi:……………………..
………………………
Con voto 6 risolvere tutto, con voto 7 i 2/3, con voto 8 o più risolverne metà (partendo dai più difficili).
Svolgere su fogli protocollo, inserire in una cartellina con nome e consegnare il primo giorno di scuola.
Se non vengono eseguiti si partirà l’anno prossimo con una grave insufficienza.
Buon lavoro
la prof.ssa Fiorenza Cessari
Calcola il valore dell’espressione.
1
1 1  2 3   2  1 1  2 1  3 5 
− + − −
− +  − + − − 
5 4  5 10   20  4 5   5 4  2 4 
2
[0]
2
3
 −4 
 15 
 2  3 1   1 
2 3 1
− +  −  ⋅  − − 3  ⋅ 3 −  ⋅ − + 2
3  5 15
 3  5 2   3 
 1 2   4
  6 4  1 2  1  2  11
 5 − 3  :  5 − 2   ⋅ 7 − 5 −  3 + 5 −  − 4  ⋅ 3  + 30
 


 


4
 1  1 3  5 4
 2 ⋅  10 : 4   ⋅ 3 − 9

 
 1 1   2 4 
1 1
 7 − 5  :  3 − 7  − 1 + 5  ⋅ 3
 



5
 4 2 4 3  2 4 8 4  6
2
    
  
 
   ⋅    :   +  :   − 1 +
3
  5   5    5  5   5 
6
2
3
2
2  7   4   6  4   1 
3
:   ⋅  −  :   +  −  − 1 :
3  4   7   7  3   4  ( −4 )2
[ −1]
5
 7 
13 
15 
3
 3
 − 4 
7
Calcola il valore della seguente espressione, assegnando alle lettere i valori indicati a fianco.

1
3
1 
1
139 
x= , y= .
 x +  y +  + 2 xy;
 24 
y 
x
2
4

8
Calcola il valore della seguente espressione, assegnando alle lettere i valori indicati a fianco.
2
a
b
 25a 
⋅
;

 +
 3b  1 − a b + 3
 14 
 − 9 
2
5
a= , b=− .
5
2
−1
9
2
  1 2 15 2  −1  9 3 6 3  
    
     2
   ⋅    ⋅    :     ⋅  
  5   2    5   5     3 
10
2
 

1  −1 
2  13
9 
−3  5
 3   3  3 
 ( −3 ) :  +  + 2  : ( −2 )  : 1 − ( −4 ) :  −   :  −  −  
 15 3 

8  7   7  2 
 
 
8
 27 
 1
 − 9 
Risolvi il problema.
11
In un gruppo di 30 ragazzi il 30% ha 14 anni, il 40% ha 15 anni e i rimanenti hanno 16 anni. Calcola
quanti ragazzi hanno 14 anni, quanti ne hanno 15 e quanti ne hanno 16.
[9; 12; 9]
12
In un vassoio ci sono 60 pasticcini di tre tipi diversi: il 20% sono cannoli, il 35% sono bignè e
i
rimanenti sono alla frutta. Calcola il numero di pasticcini di ciascun tipo. [12; 21; 27]
13
Una scuola ha 12 classi, il 25% di queste è formato da 20 alunni, il 50% è formato da 25 alunni e le restanti
da 30 alunni. Calcola quanti alunni frequentano la scuola. Sapendo che di essi il 40% frequenta il biennio, calcola
quanti sono gli alunni del triennio. [300; 180]
14
In una comitiva ci sono 12 italiani, 20 tedeschi, 35 americani e 8 francesi. Qual è la
percentuale degli
italiani sull’intera comitiva? E quale, tra gli europei?
[16%; 30%]
15
Lungo una strada sono parcheggiate 27 automobili di colore blu, 9 di colore rosso e 39 grigie. Qual è la
percentuale di auto rosse? E quale, se si escludono le auto grigie?
[12%; 25%]
16
Un negoziante aumenta il prezzo di un elettrodomestico del 20%. Sul nuovo prezzo applica
però uno
sconto natalizio del 15%. Dopo tali operazioni, l’elettrodomestico costerà più o meno di prima? Se la differenza
tra i due prezzi è di € 3, qual era il prezzo originario?
[di più; € 150]
18
Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni. 2, 6;
3
0,5;
0,37; 2, 63.
13 5 17 79 
 5 ; 9 ; 45 ; 30 
2

1
3 
13

+ 0,8 :  0,136 + 0,5 −  :  0, 05 + − 0, 045  
2
11  
18
 

19
 49 
 10 
MONOMI
20
Riduci a forma normale i seguenti monomi e indicane il grado complessivo.
7
 2
b ac 2 ( −9 ) b 2 a 3c  −  ab;
8
 3
4
mn m 2
( −2 ) n 2  −  n mn3.
2 3
 5
Risolvi
21
1
 2 
 1  1
− x3 −  + xy  − ( + x 3 ) −  − y 3  − xy − y 3 .
6
 3 
 6  3
22
x n + 3 x m − 3x n + ( −4 x m ) + 4 x n ;
23
24
25
26
8
 1

a 2b n + ab 2 n +  − b n a  − ( −7a 2b n ) + ab n + ( −ab 2 n ) .
3
 2

1
5 6 6

xy ( −9 x 4 y ) .
a b ; − 3x5 y 2 

3
2

1

−5ab3  a 3b  ( −5a 2b 2 ) ;
 10

3
2
1
4
a ( −2ab 2 ) + 3b 2 ( −ab ) + 3 ( ab3 ) a 2 − 2a 2b 4 ( −3a 2b 2 )
2
3 6 5 10  9 2 5 
 1 4 2   1 2 2
x y z :  − x yz  ;
 a b c  : − ( a b )  .
5
 20

 25
  5

 3 2 
1
2
 1 4 3   2 
2
 4 x  ( −2 xy ) +  5 x y  :  − 5 xy   : ( − xy ) + 3 y ( 3 x )


 


8a 4b6 
1 
 4 4 4 5
 − 3 x y z ; − 5 c 
5x 2 y 
27
2
  1
5  6 2 2  
2
3 2
3 3
2 7
7
7 2
  − ( −2 xy )  : ( −2 xy ) ⋅ ( −2 x ) − xy  − x y   : ( − xy ) + 2 x ( − y ) 
3  5

 
  2
28
Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di monomi.
20a 4b 2 c,
8ab5 ,
12a 2 c3 ;
a 2 a,
3a 2 6a3,
2a 3 2a 2 ;
a 3 ab 2 ,
2a 2b 2ab 2 ,
2ab3 .
[ 0]
POLINOMI
29
30
31
32
2 3  1 3 7 2
3 3 1 2  1 3 5 2 1 2
 x − x y  −  y − xy  +  x y − y  −  − x + xy 
4
2
3   2
2
2
 3
 4

3
1 1
3  1 
xy − x  y ( − xy ) + 2 xy 2 − x  − y 2   − xy
2
2 2
2  3 
1
1
1
( 2a + 2b )( a − b ) − ( 2a + b )  a − b  + ( 2b − 3a )  a + b 
2 
2

3
( x2 + 1) ( y − 2) − ( 3xy + 6 )  13 x − 2  + 2 x ( x + 1)
 2 x3 − y 3 − xy 2 
1
2 2
 2 xy − x y 
2 
 3 ab 
[6 xy + y + 10]
3
33
34
35
3
 3

2 xy 2 − x 2 ) .
(
− x + 2y ;
 2

2
( 2 x + x + 2 )( 2 x2 − x − 2) ; ( x + y + z + t )( x + y − z − t ) .
Completa in modo da ottenere il quadrato di un binomio. 4a 2 − 6ab + ...; ... +
4
xy y 2
+ .
3
9
Utilizza i prodotti notevoli per semplificare l’espressione.
2
37
38
39
 43 2 9 2 
 12 b − 4 a 
 3 4
3
4
 − 2 a + a + b 
3  3
2 

 1
 a + b   b − a  −  a + b  ( −3) − 2a ( a + b )
2  2
3 

 2
3
2
( a + b2 ) − b4 3  a − 12  + ( b + 1)( b − 1) +  − 23  ( a 2 + b2 )


(x
2
− 3 x + 2 ) + x 2 ( x + 2 )( x − 3) − 2 x ( x − 1) + x ( x 2 + 10 )
2
 x 2 + 4 
3
La scomposizione in fattori dei polinomi
40
Scomponi in fattori i seguenti polinomi, raccogliendo a fattor comune un monomio.
15 9 21 6 3 3
x − x − x
4 x 2 y 2 − 6 x3 y + 8 x 2 y 3 ;
4
4
4
41 Scomponi in fattori le seguenti espressioni algebriche, raccogliendo a fattor comune un polinomio.
( a − 3)( a − 2 ) ; x 2 + 2
( 2 x − 3) ( x 2 + 2 ) + ( x 2 + 2 ) ( −2 x + 4 ) .
( a − 3)( 2a − 4 ) − ( a − 2 )( a − 3) ;
42
(y
Scomponi in fattori con il metodo del raccoglimento. ax 2 − ab 2 + b 2 x − x 3 ;
2a ( x 2 + y 2 ) − ( x 2 + y 2 ) b + ( b − 2a ) .
2
2
− y ) − 7 y 2 + 7 y;
2
( a − x )( x − b )( x + b ) ; y ( y − 1) ( y 2 − y − 7 ) ; ( 2a − b ) ( x 2 + y 2 + 2a − b ) 


43
Scomponi in fattori, dopo aver osservato che ciascun polinomio è la differenza di due quadrati.
2
4 − ( a − 2 ) . ( a − 8b )( a + 8b ) ; ( 2 x − y )( 2 x + y ) ( 4 x 2 + y 2 ) ; a ( 4 − a ) 
a − 64b 2 ;
16 x 4 − y 4 ;
44
Scomponi in fattori, dopo aver osservato che ciascun polinomio è il quadrato di un binomio.
1 2
2
2 1
2
2

a + 4a + 8;
9 x 2 − 6 xy + y 2 ;
( a − 3) − 8 ( a − 3) + 16.
( 3x − y ) ; ( a + 4 ) ; ( a − 7 ) 

2
2


2
45
Scomponi in fattori, dopo aver scritto ciascun polinomio come la differenza di due quadrati.
( a + 2)
3 ( x + y + 1)( x + y − 1) ; ( a + b + 1)( a − b + 3) 
Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi.
2 3 16 9
3
3
a + b ; ( a + 1) + ( a − 2 ) .  xy − 5 x y + 5xy + 25 ; 2  a + 2 b  a − 2 ab + 4 b  ; ( 2a − 1) a − a + 7 
x 3 y 6 − 125;
)(
) 3  3 
(
)


(
3
81
3
9 


3 x + 6 xy + 3 y 2 − 3;
2
46
2
− b 2 − 1 + 2b.
2
47
2
4
2
3
2
3
6
2
Scomponi in fattori i seguenti trinomi particolari.
( x + 7 )( x − 4 ) ; a ( a + 10b )( a + 2b ) 
a 3 + 12a 2b + 20ab 2 .
x 2 + 3 x − 28;
Scomponi in fattori i seguenti polinomi.
48
9 x 3 y − 6 x 2 − 4 y + 6 xy 2 ;
49
1
 1
3  a − b  − a + b;
3
 3
2
1
1
 2



(3x + 2 y )(3xy − 2 );  z + 2 + x  z + 2 − x 




1
z 2 + z − x2 + .
4
x 2 ( a 2 − b 2 ) + 4 y 2 ( a 2 − b 2 ) + 4a 2 xy − 4b 2 xy.
 1
2

 3 a − b  ( a − 3b − 1) ; ( a − b )( a + b )( x + 2 y ) 



3 xy − y − 6 x 2 + 2 x;
3ax ( x − 2a ) ; ( 3x − 1)( y − 2 x ) ;3x ( x − 2 y )( x + 2 y ) ;
50
3ax 2 − 6a 2 x;
3 x 3 − 12 xy 2 ;
50b
1
9a 2 − 3ab + b 2 ; 64 x 6 − y 6 ; x 2 − 9 x + 14.  3a − 1 b  ; ( 2 x − y )( 2 x + y ) 4 x
(


4
2 

2
5
2

+ y 2 − 2 xy )( 4 x 2 + y 2 + 2 xy ) ; ( x − 7 )( x − 2 ) 

51
4 x − a 2 x − a 2 y + 4 y;
25a 2 − 10ab + b 2 + 4 + 20a − 4b;
51b
27 a 3b − 54a 3 − b + 2;
x 2 + 8 x5 − 4 − 32 x 3 .
( 2 + a )( 2 − a )( x + y ) ; ( 5a − b + 2 )2 ;

( 3a − 1) ( 9a 2 + 3a + 1) ( b − 2 ) ; (1 + 2 x ) (1 − 2 x + 4 x 2 ) ( x − 2 )( x + 2 ) 
9. Le frazioni algebriche
Semplifica le seguenti frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza.
1 − 2b + b 2
.
b3 − b 2
52
6 x3 y 2
;
10 x 4 y 2 z
53
a4 − x4
;
a 3 − 3a 2 x + 3ax 2 − x 3
 3 b − 1
 5 xz ; b 2 
( 2x − y ) − ( x + y )
2
4 y + x − 4 xy
2
2
2
 ( a + x ) ( a 2 + x 2 ) 3x 


;
2
x − 2y 

( a − x)

.
Esegui l’espressione e semplifica il risultato, se è possibile.
x + 1 5 − 3x 3x 2 + 7
54
−
−
x − 2 x + 3 x2 + x − 6
Semplifica l’espressione.
b2 − 4  b − 1   b − 5 
1
55
⋅ 2
: 2
⋅ 2
2
b − 2b + 1  b − 3b + 2   b − 6b + 5  b + 4b + 4
56
 a 2b − ab 2 a 2 − ab
a 3 − a 2b  a + b
2b 
−
+
−
 2 2


2
2
a−b
a + b − 2ab  ab a + b 
 a − b
 x2 − 7 x + 6 
 x2 + x − 6 




1


 ( b − 1)( b + 2 ) 
(a
1
2
−b
)
2 −1
 2 ( a 2 + b 2 )


Risolvi l’equazione numerica intera.
57
58
59
1
1 1 
1  1
2

 3 x −  = 6 x − 1 − x   − ( x + 1) +
2
5 4 
30
 15   6
5

 x = − 3 
1 
1 
1
1
2


 x −  x +  −  2 ( x − 3) −  = x  − x +  − 18
2 
2 
4
4


( x + 1)( x − 1) − 1 x − 2 2 + 2 x − 1 = 2 − x + 1 − 23
(
)
3
3
4
3
4
12
60
( x + 1)
62
( 3 − x )( 5 + x ) = 2 x ( x + 2 )
63
( 2 x + 3)( 2 x + 8 ) − 18 = x ( 2 x + 1)
2
( x − 3)
+
2
( x + 2)
=
2
( x − 1)
−1+
2
[ x = 0]
1

 x = 5 
6

 x = 7 
6
4
3
12
2
2 5x + 3 x − 3
x − 2 − 12
x−
+
+
2

3 −x+ 3
15
3 ⋅ 2 = 10 − x + 3
6
61
x
=

13
6
5
5
4 2− 5
3 
3−
5
4
Riduci l’equazione a formula normale, fattorizza e risolvi mediante la legge dell’annullamento del prodotto.
2
3 

 −5; − 2 ; 1
1 

 −2; − 4 ; 3
+ x − 4

2
− 3x − 4

Le equazioni fratte
Risolvi l’equazione numerica fratta, scrivendo C.E. e m.c.m. dei denominatori.
6
64
65
66
4x + 2 2x + 3
6x
x +1
−
=
+
x + 3 4x + 2 2x +1 2x + 6
x
2
15 x + 4 5 x − 3
− +6=
+
4x + 2 x
4x + 2
2x
4x − 7
1
5
−2=
+
2x − 5
x − 1 2 x2 − 7 x + 5
3

 x = − 16 
[ x = 1]
[ x = 3]
7. Equazioni e problemi
67
Marco e Paolo giocano alla roulette: Marco ha a disposizione € 15 e Paolo € 25. Alla fine della serata
Marco possiede il triplo di quanto possiede Paolo. Quale somma ha perso Paolo? [€ 15]
68
Il rettangolo ABCD viene trasformato in quadrato, diminuendo di 25 cm la lunghezza dell’altezza e
aggiungendo 12 cm alla lunghezza della base. Calcola il perimetro del rettangolo, sapendo che la lunghezza
dell’altezza è doppia di quella della base.
[222 cm]
69
Una corda lunga 58 cm viene divisa in tre parti. Sapendo che la seconda è lunga 2 cm più del doppio della
prima, e che la terza è lunga 3 cm più del doppio della seconda, quanto misurano le tre parti? [7 cm; 16 cm; 35 cm]
70
Se a un numero si aggiunge il suo triplo e si sottrae la sua terza parte, si ottiene 44. Determina il
numero.[12]
71
Un trapezio isoscele di area 92 cm2 ha l’altezza lunga 4 cm. Sapendo che la base minore è lunga il
quadruplo del lato obliquo e che la base maggiore supera di 11 cm il triplo dello stesso lato obliquo, determina il
perimetro del trapezio.
[56 cm]
7