SAMPLE ProbLEMS IN ENGLISH Meccanica

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Meccanica, Macchine
ed Energia
KINEMATICS
SAMPLE Problems IN ENGLISH
1. An automobile travels at a constant speed on a highway curve of 1000 m radius. If the normal
component of the acceleration is not to exceed 1.2 m/s2, determine the maximum allowable speed
in [mi/h] and [km/h].
Meccanica, Macchine ed Energia 1 – Giuseppe Anzalone, Paolo Bassignana, Giuseppe Brafa Musicoro • Copyright © Ulrico Hoepli Editore S.p.A.
(Un automobile viaggia a velocità costante lungo un tratto curvo di autostrada avente raggio
1000 m. Imponendo che la componente normale dell’accelerazione non superi 1,2 m/s2, determinare la massima velocità raggiungibile.)
L’accelerazione centripeta ha la seguente formula:
acp = ω2 r
Noti i valori del raggio e dell’accelerazione, si ricava la velocità angolare ω:
ω=
acp
r
=
1, 2
rad
= 0, 03464
1000
s
Infine si calcola la velocità periferica dell’automobile:
v = ω r = 0, 03464 × 1000 = 34, 64
m
km 125
mi
= 125
=
= 77, 7
s
h
1, 609
h
2. Drops of water are observed to drop from a faucet at uniform intervals of time. As any drop B
begins to fall freely, the preceding drop A has already fallen 0,3 m. Determine the distance drop
A will have fallen by the time the distance between A and B will have increased to 0,9 m.
(Si osservino delle gocce d’acqua cadere da un rubinetto a intervalli regolari di tempo l’una dall’altra. Nel momento in cui una generica goccia B inizia la sua caduta libera, la precedente goccia A è
già caduta di uno spazio di 0,3 m. Calcolare la distanza percorsa dalla goccia A nella sua caduta,
nel tempo necessario affinché la distanza tra A e B abbia raggiunto il valore di 0,9 m.)
L’equazione del moto della goccia B è la seguente:
sB =
1 2
gt
2
L’equazione del moto della goccia A è la seguente:
s A = s0 + v0 t +
1 2
gt
2
Nel momento in cui la goccia B inizia la sua caduta libera, la goccia A ha già percorso 30 cm, al
termine dei quali ha raggiunto la velocità v0 valutabile mediante la formula di Torricelli:
v0 = 2 g h = 2 × 9, 81 × 0, 3 = 2, 426
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SAMPLE Problems IN ENGLISH
m
s
Meccanica, Macchine ed Energia 1
È ora possibile inserire i valori numerici nelle equazioni del moto delle due gocce:
sB =
1
9, 81 t 2 = 4, 9 t 2
2
s A = 0, 3 + 2, 426 t + 4, 9 t 2
Ora si impone che la distanza fra le due gocce abbia raggiunto il valore di 0,9 m:
s A − sB = 0, 9
0, 3 + 2, 426 t + 4, 9 t 2 − 4, 9 t 2 = 0, 9
Meccanica, Macchine ed Energia 1 – Giuseppe Anzalone, Paolo Bassignana, Giuseppe Brafa Musicoro • Copyright © Ulrico Hoepli Editore S.p.A.
t=
0, 6
= 0, 25 s
2, 426
Come verifica finale, si può inserire il valore del tempo così trovato nelle due equazioni del moto:
si noterà che la differenza fra gli spazi percorsi dalle due gocce è proprio 90 cm.
FLUID STATICS
3. A mercury U-tube manometer is connected to the inlet and outlet of a water pump: the left leg to
the inlet and the right leg to the outlet. The level of mercury in the right leg is 6.0 in lower than
that in the left one. Assuming that the inlet and the outlet are at the same elevation, determine
the pressure increase for the pump in [psi] and [Pa]. (Start writing the pressure equations at
point A lying at the bottom of the two legs)
(Un manometro a mercurio a U ha le due bocchette finali collegate a una pompa per l’acqua: la colonna sinistra del manometro è collegata con il collettore di aspirazione della pompa; quella destra
è collegata con quello di mandata. Nella colonna destra, il livello del mercurio si trova più basso
di 6" rispetto al livello della colonna sinistra. Sapendo che le due bocchette finali si trovano alla
stessa altezza, determinare l’aumento di pressione prodotto dalla pompa, esprimendola in [psi] e
in [Pa]. Si incominci scrivendo le due equazioni che esprimono la pressione idrostatica nel punto
A, che si trova sulla sezione più bassa del manometro.)
Per prima cosa si tramuta la quota di 6" in centimetri, pari a 15,24 cm. Quindi si scrivono le due
espressioni della pressione idrostatica nel punto A, valutate prendendo come riferimento il battente destro e il battente sinistro. La colonna destra comprende, dal basso verso l’alto, l’altezza
h1 di mercurio in comune con la colonna sinistra, l’altezza h2 di acqua pari al dislivello di 6" e
l’altezza h3 di acqua:
pA = h1 γ merc + h2 γ acqua + h3 γ acqua
La colonna sinistra comprende, sempre osservando dal basso verso l’alto, l’altezza h1 di mercurio
in comune con l’altra colonna, l’altezza h2 di mercurio pari al dislivello di 6" e l’altezza h3 di acqua:
pA = h1 γ merc + h2 γ merc + h3 γ acqua
Osservando le equazioni, si nota che i due valori di pA non possono essere uguali, in quanto il battente sinistro esercita un carico idrostatico maggiore a causa della maggiore altezza di mercurio.
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Meccanica, Macchine ed Energia 1
Per stabilire l’equilibrio occorre tenere conto anche del valore della pressione Δp generata dalla
pompa; tale valore andrà inserito nell’equazione relativa alla colonna destra, visto che agisce proprio su di essa:
∆p + h1 γ merc + h2 γ acqua + h3 γ acqua = h1 γ merc + h2 γ merc + h3 γ acqua
Eseguendo le varie semplificazioni e ricordando che la massa volumica del mercurio vale circa
13,5 kg/m3, si ottiene la differenza di pressione Δp generata dalla pompa:
(
)
)
(
∆p = h2 γ merc − γ acqua = h2 ρmerc − ρacqua g = 15, 24 × 10−2 (13500 − 1000 ) 9, 81 = 18838 Pa
Infine si calcola la pressione in [psi] come prescritto dalle norme USA:
Meccanica, Macchine ed Energia 1 – Giuseppe Anzalone, Paolo Bassignana, Giuseppe Brafa Musicoro • Copyright © Ulrico Hoepli Editore S.p.A.
18838
N
m
2
× 2, 089 × 10 −2
psi
= 393 psi
Pa
FLUID DynamICS
4. Air at 50 °C and 18 m/s stream velocity flows inside a pipe having diameter of 1,70 m. At 50 °C
air dynamic viscosity is 1.951 × 10–5 N s/m2 and density is 1,186 kg/m3. Determine the Reynolds
number and explain the fashion of stream.
(Una corrente d’aria, a 50 °C e alla velocità di 18 m/s, scorre internamente a un tubo il cui diametro
misura 1,70 m. Alla temperatura di 50 °C, l’aria ha viscosità dinamica pari a 1951 × 10–5 N s/m2 e
massa volumica pari a 1,186 kg/m3. Calcolare il numero di Reynolds e spiegare qual è la tipologia
del moto che si instaura nel tubo.)
Si applica la formula del numero di Reynolds:
Re =
v d ρ 18 × 1, 7 × 1,186
=
= 1 861 110
µ
1, 951 × 10−5
Il moto è senza dubbio turbolento, alla luce del valore molto elevato raggiunto dal numero di Reynolds.
WATER TURBINES
5. Water turbines French manufacturer ALSTOM shows the following data sheet for a Francis turbine:
– discharge: 297 m3/s;
– head: 111 m;
– efficiency: 0,958.
Determine the effective power in [MW].
(La ditta francese ALSTOM, costruttrice di turbine idrauliche, fornisce i seguenti dati relativi a
una turbina Francis di sua produzione:
– portata: 297 m3/s;
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Meccanica, Macchine ed Energia 1
– salto utile: 111 m;
– rendimento complessivo: 0,958.
Calcolare la potenza effettiva in [MW].)
Si applica la formula della potenza effettiva inserendo a denominatore la costante 106 per ottenere il risultato finale direttamente in [MW]:
1000 × 9, 81 × 111 × 297
ρ g hQ
= 0, 958
= 310 MW
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Peff = µ
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Meccanica, Macchine ed Energia 1