esercizio 1

economia industriale internazionale
esercizio-tipo su teoria dei giochi e duopolio (più ampio e pesante del compito in classe)
domande
1 e 2. Discuti e risolvi i seguenti giochi
s
d
a
10; - 10
0; 5
b
0; -5
5; 10
c
5; 10
10; 0
s
c
d
alfa
1; -1
2; 1
1; 0
beta
4; 0
-2; 2
1; -2
gamma
3; -2
-3; - 4
3; -3
delta
0; 4
-4 ; 4
-1; 4
3. Discuti ed analizza il seguente gioco simmetrico 2x2. Eʼ una tragedia dei terreni
comuni? Considera e discuti anche il caso del gioco ripetuto numerose volte.
pascolo sostenibile
pascolo eccessivo
pascolo sostenibile
500; 500
0; 1000
pascolo eccessivo
1000; 0
250; 250
4. Analizza le 3 soluzioni di collusione totale (cartello monopolistico), di equilibrio di NashCournot e Nash-Bertrand, dei rispettivi giochi non cooperativi, e le loro implicazioni di
economia del benesere, per il seguente duopolio omogeneo:
la domanda totale per il prodotto sia: p = 100 - Q
i costi sostenuti, identici nelle due imprese siano: c(q) = 55 q + 10
5 e 6. Scegli due punti a piacere sulla curva della domanda di cui allʼesercizio precedente:
5.
imposta, discuti e risolvi un gioco non cooperativo di Bertrand;
6.
idem per un gioco di Cournot.
1
SOLUZIONI
i commenti qui sono assai ampi ed esaustivi a fini didattici - nel compito li ridurrete alle
poche cose che ritenete essenziali da dire
1 in rosso le migliori risposte:
s
d
a
10; - 10
0; 5
b
0; -5
5; 10 pareto
c
5; 10 pareto
10; 0 pareto
Questo gioco non sembrerebbe avere alcun equilibrio di Nash nelle strategie intere.
Controllo, per essere certo di non aver fatto errori, se per caso esistano dei Nash-Selten
che violerebbero la precedente affermazione. Per il 1° giocatore (riga) c > b, quindi posso
eliminare la riga-strategia b, strettamente dominata. Ho il nuovo gioco equivalente:
s
d
a
10; - 10
0; 5
c
5; 10
10; 0
che tuttavia non presenta alcun Nash nelle strategie finite. QDE
Torno al gioco iniziale ed
analizzo gli ottimi nello spazio dei payoff π(1) -π(2):
ad
bd,cs
cd
bs
as
La frontiera di Pareto scorre sul segmento (5; 10) - (10; 0) mentre, per quanto riguarda le
funzioni di benessere sociale, ad es.: una Cobb Douglas si annullerebbe in cd (10; 0), e
pertanto segnalerebbe un ottimo sociale solo in (5; 10). Pertanto ai fini di un qualche tipo
di ottimo, nel gioco ridotto il 1° giocatore dovrebbe essere indotto da qualche incentivo ad
adottare la strategia c. Ma in un gioco tutti gli incentivi sono già descritti dalla forma
normale; ed in un gioco non cooperativo, nessuna alleanza può formarsi. Di qui la
inesistenza di punti di attrazione sulla frontiera di Pareto, che indica una “coordination
failure” (attenuata dal fatto che il gioco non cade in un Nash inefficiente, sotto la frontiera).
2
Se esistesse una soluzione mista (Nash nelle strategie miste) sulla frontiera di Pareto, il
problema di mancato coordinamento sarebbe allora risolto.
2 Sottolineo in rosso le migliori risposte:
s
c
d
alfa
1; -1
2; 1
nash pareto
1; 0
beta
4; 0
pareto
-2; 2
1; -2
3; -2
-3; - 4
3; -3
0; 4
pareto
-4 ; 4
-1; 4
gamma
delta
equilibri
(Alfa ; c) è lʼunica COPPIA di strategie a costituire un equilibrio di
Nash nelle strategie finite. Verifico ora se essa ha anche le proprietà di un Nash-Selten
ottenibile dalla eliminazine iterata di strategie dominate (corrispodente ad un equilibrio
perfetto nei sotto-giochi). Delta è strettamente dominata da tutte e 3 le altre strategie. Qui
il processo eliminatorio si arresta: lʼequilibrio di Nash non è un Selten.
ottimi
Nello spazio dei payoff, riporto per brevità solo la frontiera di Pareto:
0 4
2 1
4 0
NB: (1; 0) non sta sulla frontiera, essendo Pareto inferiore in senso lato a (4; 0). Idem per
(-1; 4) rispetto a (0; 4).
In definitiva, secondo il criterio di Pareto, questo gioco ha una proprietà di “mano invisibile”
ovvero assenza di “fallimenti di mercato” (come lo sono un fallimento di coordinamento,
una pluralità di equilibri subottimali, standard indecidibili o inefficienti).
Se poi rendiamo lʼanalisi più stringente e valutiamo lʼefficienza sociale comparata dei punti
Pareto.efficienti:
- unʼampia famiglia di funzioni-somma previlegia gli estremi della curva
- tutte le funzioni-prodotto (inclusa la CobbDouglas) hanno un ottimo proprio nel Nash.
Questo rafforza le proprietà Smithiane, di “mano invisibile” delle regole del gioco.
3. Discuti ed analizza il seguente gioco simmetrico 2x2. Eʼ una tragedia dei terreni
comuni? Considera e discuti anche il caso del gioco ripetuto numerose volte.
3
pascolo sostenibile
pascolo eccessivo
pascolo sostenibile
500; 500
0; 1000
pascolo eccessivo
1000; 0
250; 250
Si, è un PD (Prisonerʼs Dilemma) o ToC (Tragedy of Commons); infatti:
- è un simmetrico 2x2 con ordinamento strettamente decrescente della matrice payoff.
- Pertanto, se giocato una tantum:
- presenta un Nash-Selten evolutivamente robusto nella coppia non Paretiana delle
strategie non sostenibili
- un fallimento del coordinamento che porterebbe alla coppia di strategie sostenibili.
- Se invece fosse giocato un numero abbastanza alto e\o ignoto di volte (tale da impedire
una soluzione a ritroso, dallʼequilibrio non collaborativo dellʼultima giocata), allora: 1
- emergerebbero coppie di strategie ad esito di coordinamento: i giocatori scelgono
(quasi) sempre “pascolo sostenibile”;
- sia con strategie estreme di retaliation (Trigger Strategy), che via via più morbide
(sino a Tit for Tat), via via con un range di tassi di sconto temporale meno ampio.
- Comunque, e specie nel primo caso (strategie simili alla Trigger, con molti periodi
di punizione): unʼampia gamma di tassi di sconto realistici, comportano un Nash di
sequenze “sostenibile-sostenibile” nel gioco ripetuto (Folk Theorem).
4. Analizza le 3 soluzioni di collusione totale (cartello monopolistico), di equilibrio di NashCournot e Nash-Bertrand dei rispettivi giochi non cooperativi, e le loro implicazioni di
economia del benessere, per il seguente duopolio omogeneo:
la domanda totale per il prodotto sia: p = 100 - Q
i costi sostenuti, identici nelle due imprese: c(q) = 55 q + 10
5 e 6. Scegli due punti a piacere sulla curva della domanda di cui allʼesercizio precedente:
5.
imposta, discuti e risolvi un gioco non cooperativo di Bertrand;
6.
idem per un gioco di Cournot.
4. Costruisco i due grafici:
Si ricorda, dalle dispense, che:
a) per i game theorist: solo il gioco infinitamente ripetuto rende impossibile la soluzione a ritroso,
perché manca lʼultimo periodo di gioco - da cui partire per risalire con una sequenza di soluzioni
insostenibili.
b) In un approccio behaviouristico (e\o sperimentale) e per gli economisti industriali: la soluzione
sostenibile, ossia di coordinamento di Akerlof emerge (per un certo insieme di tassi di sconto,
funzione dei tre premi - 250, 500 e 1000 nel nostro esercizio) anche nei giochi indefinitamente
ripetuti (N. alto o incognito).
c) Lʼerrore comportamentale del primo approccio, consiste nel ritenere possibile un infinito
rispecchiarsi di aspettative, come nellʼottica di due specchi posti di fronte. Lʼeconomia
sperimentale constata la rarità di aspetttative incrociate (o “specchiate”) superiori al 5°, 6°
ordine. Del resto, potete “sperimentarlo” voi stessi, in qualsiasi situazione di interazione (quando
partirà unʼauto ferma allo stop, si aspetterà di riuscire a tagliarvi la strada senza incidenti? ecc.).
1
4
p
100
A
M
C
B
55 D
costo marginale
22,5
45
50
100
Q = q(1) + q (2)
q (2)
11,25 15
22,5
45
q (1)
MONOPOLIO
è immediatamente visibile, per la condizione di primo ordine CM = RM, lʼottimo del
monopolista (che sarà replicato da un cartello) in: M (22,5; 77,5).
Un cartello ottimo (per lʼinsieme dei produttori) di oligopolio o duopolio, spartisce tale
mercato: in parti eguali, toccano 11,25 unità da produrre e vendere a ciascuno dei due, nel
caso nostro che è un duopolio.
Si noti una proprietà delle curve di ricavi totali paraboliche pQ = aQ (exp2) + bQ, che
generano curve di domanda rettilinee: essendo localizzato dalla retta di ricavo marginale
con tangente pari alla metà della retta del ricavo medio, il punto M sta sempre nel punto
5
intermedio del segmento AB di domanda che sta sopra i costi (domanda socialmente
soddisfabile a tecnologia data). Automaticamente, M separa un tratto di domanda AM
economicamente impraticabile, almeno in unʼeconomia capitalista (i profitti aumentano al
diminuire dei prezzi), da quello effettivo ed osservabile MB, che soddisfa tutti i vincoli, sia
sociali (non vendere sotto-costo) che economici (non perdere occasioni di profitto).
BERTRAND
Sappiamo inoltre che il Nash-Bertrand è in B (45; 55). Ciascuno produce 22,5.
COURNOT
Dal secondo grafico, nello spazio delle quantità individuali, oppure\ovvero risolvendo il
sistema delle due curve di reazione (miglior risposta), individuiamo il Cournot in C (30; 70).
Nel Cournot, ciascun duopolista produce 15 unità; la merce, giunta al mercato si vende a
70.
Notiamo qui unʼaltra proprietà delle curve di domanda (ricavo medio) lineari: il NashCournot si colloca in un punto del segmento AB, distante da A il doppio che da B; ossia,
risalendo dal Bertrand lungo la retta di domanda: C sta ad ⅓ dellʼintero percorso BA; a ⅔
del solo tratto di domanda osservabile BM.
ECONOMIA DEL BENESSERE
La curva di domanda, opportunamente corretta, individua approssimativamente lʼarea del
triangolo ABD di massimo benessere producibile da questa industria (a tecnologia, gusti e
redditi dei consumatori dati). Ad esso corrisponde il caso iper-concorrenziale di Bertrand:
massimo benessere, e tutto traslato ai clienti finali.
- In B, Welfare: W = 45x45/2 = 1012,5.
- In C: vi è una perdita sociale di W (punta attorno a B del triangolo ABD) pari a 112,5.
Pertanto W = 900; aspetto distributivo: metà al duopolio dei produttori, metà ai
consumatori; ogni duopolista si appropria di 1/4 del benessere sociale (225).
- In M: totale W = 759,375. Distribuzione: 22,5x22,5/2 = 253,125 ai consumatori o clienti
finali. Un eventuale monopolista: ha sottratto alla società un W potenziale di altri € 253, e
se ne mette in tasca 506. Un cartello di duopolio omogeneo fa parti uguali del bottino; il
W concorrenziale di 1012 lo abbiamo ora diviso in 4 fette uguali: una va persa, ed una
ciascuno va ai dupolisti e clientela finale.
5 e 6: un gioco di Bertrand ed un Cournot: scelgo per entrambi (per ridurre i calcoli) i punti
della curva di domanda (50; 50) e C (30;70). Eseguiti i calcoli, ho i due schemi di gioco:
bertrand
p (2) = 70
p (2) = 50
p (1) = 70
225; 225
0; -250
p (1) = 50
- 250; 0
- 125; - 125
Ottengo, dai dati dellʼesercizio, i payoff (profitti pre-tasse ed al lordo degli ammortamenti
che coprono i costi fissi) di 2 giochi simmetrici 2x2, che ora analizzo e risolvo.
cournot
q (2) = 15
q (2) = 25
q (1) = 15
225, 225
75; 125
q (1) = 25
125; 75
- 125; -125
6