il cilindro

Fra tutti i solidi a superficie
curva, alcuni si possono
considerare ottenuti dalla
rotazione di una figura piana
attorno a un suo elemento o
attorno a una retta in generale.
Questi si chiamano solidi di
rotazione. Fra essi
consideriamo il cilindro e il
cono.
Ci occuperemo per ogni singolo solido di trovare dei procedimenti e
delle formule che ci consentano di calcolare la loro superficie laterale,
totale e il loro volume.
Consideriamo il rettangolo ABDC e
facciamolo ruotare di 360° (rotazione
B
completa) attorno a un suo lato, per
esempio attorno al lato AD. La parte di
spazio che esso occupa nelle varie
posizioni costituisce un solido di
rotazione chiamato cilindro circolare
retto o semplicemente cilindro.
A
A
B
Diciamo che:
Il cilindro è un solido ottenuto dalla
rotazione completa di un rettangolo
attorno a un suo lato.
C
C
Il lato attorno a cui ruota il rettangolo è l’asse di
rotazione e rappresenta l’altezza del cilindro, il
lato parallelo a questo è la generatrice e gli altri
due lati del rettangolo sono i raggi dei due
cerchi che formano le basi del cilindro.
D
r
D
raggio
Asse di
rotazione
generatrice
Per calcolare l’area della
superficie laterale
consideriamo un cilindro e il
suo sviluppo.
Circonferenza di base
L’area della superficie laterale di un cilindro si ottiene moltiplicando la
lunghezza della circonferenza per la misura dell’altezza.
In formule avremo:
Ricordando che:
Sl  C  h ( formula diretta )
Sl
C
h
Sl
h
C
( formule inverse)
C  2rh
Le formule precedenti diventano:
Sl  2rh
r
Sl
2h
( formula diretta )
h
Sl
( formule inverse)
2r
Per l’area della
superficie totale,
ovviamente,
sommeremo all’area
della superficie laterale
quella delle due basi.
Circonferenza di base
base
In formule avremo:
St  Sl  2 Ab
( formula diretta )
St  Sl
Sl  St  2 Ab
Ab 
2
( formule inverse)
Per il calcolo del volume di un
cilindro consideriamo un prisma
avente le basi equivalenti alle basi
del cilindro e l’altezza congruente
all’altezza del cilindro.
Per il principio di Cavalieri i due solidi sono equivalenti e quindi il volume del
cilindro si potrà calcolare con una formula analoga a quella del prisma.
Esattamente diremo che:
In formula, ricordando che
avremo:
Il volume di un cilindro si ottiene moltiplicando
l’area della base per la misura dell’altezza.
Ab  r 2
V  Ab  h  V  r 2 h ( formula diretta )
V
r
h
V
h  2 (formule inverse)
r
Se l’altezza del cilindro è
congruente al diametro di base, il
cilindro si dice equilatero e in esso,
quindi h = d = 2r. Le formule per il
calcolo della superficie laterale,
totale e del volume diventano
quindi:
Sl  2r  2r  4r
2
St  4r 2  2r 2  6r 2
V  Ab  h  r 2  2r  2r 3