capitolo G1 - generalità sulle funzioni

G1. Generalità sulle funzioni
G1.1 Notazioni utilizzate
Dati due numeri detti estremi dell’intervallo, l’intervallo è l’insieme dei numeri reali compresi tra essi. Per esempio
con la notazione 2<x<5 si intende l’insieme di tutti i numeri compresi tra 2 e 5 esclusi gli estremi.
Ci sono gli intervalli limitati (ad es. 2<x<5) e quelli illimitati (ad es. x>2)
Esistono due diverse notazioni per gli intervalli come risulta più chiaro dagli esempi che seguono:
2<x<5
ha lo stesso significato di ]2;5[
2≤x<5
ha lo stesso significato di [2;5[
2<x≤5
ha lo stesso significato di ]2;5]
2≤x≤5
ha lo stesso significato di [2;5]
x<2
ha lo stesso significato di ]-∞;2[
x≤2
ha lo stesso significato di ]-∞;2]
x>5
ha lo stesso significato di ]5;+∞[
x≥5
ha lo stesso significato di [5;+∞[
La parentesi quadra normale indica che l'estremo è compreso nell'intervallo, la parentesi quadra contraria indica che
l'estremo è escluso dall'intervallo. Si può notare che -∞ e +∞ sono sempre esclusi dall'intervallo poiché non sono
numeri reali.
In analisi si utilizzano alcuni simboli che forse si vedono per la prima volta:
Il simbolo ∀ si legge "per ogni" oppure "qualsiasi".
Il simbolo ∃ si legge "esiste".
Il simbolo ! si legge "unico".
Il simbolo ∪ indica l'unione tra insiemi.
Il simbolo ∩ indica l'intersezione tra insiemi.
Il simbolo ⊂ indica l'inclusione tra insiemi , ⊄ la non inclusione.
Il simbolo R rappresenta l'insieme dei numeri reali, ossia tutti i valori associati ai punti della retta.
Il simbolo ∈ indica l'appartenenza di un elemento a un insieme e ∉ la non appartenenza.
Il simbolo ∅ rappresenta l’insieme vuoto.
G1.2 Definizione di funzione
Definizione: una funzione è una legge che associa a numeri reali al più un numero reale.
y=f(x) è la notazione per rappresentare una funzione. f(x) è un’espressione numerica contenente l’incognita x.
Esempio G1.1:
y = x2 - 2x +1 è una funzione cha associa ad ogni valore della x un numero reale y.
Se la x=2 allora y=(2)2-2(2)+1=1
Se x=3 allora y=(3)2-2(3)+1=4.
In questo modo si stabilisce che al valore 2 risulta associato il valore 1, al valore 3 il valore 4 e così via.
Ogni associazione determina un punto sul piano cartesiano. In questo caso si sono già trovati due punti: (2;1) e (3;4).
E’ possibile ripetere tale procedimento per tutti i valori della x che si desidera; tracciando sugli assi cartesiani tutti i
punti che si possono trovare si ottiene il grafico della funzione. La funzione y = x2 - 2x +1 è la parabola rappresentata
nella figura G1.1. Il codominio è la proiezione della funzione sull'asse y ossia y≥0.
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Fig. G1.1
Grafico di y = x2 - 2x +1 .
Teoria
G1-1
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Esempio G1.2:
y = x - 1 è una funzione che associa a valori della x valori della y. Non per tutti i valori della x è possibile trovare un
x-2
valore della y. Per x=3 la y assume il valore 2 e quindi si può tracciare sul grafico il punto (3;2), per x=2 la y non
assume alcun valore perché 1 non è un’operazione permessa. Ciò nonostante y = x - 1 è comunque una funzione.
0
x-2
Infatti per la definizione data precedentemente una funzione è una legge che associa a numeri reali al più un numero
reale, che vuol dire uno o nessuno. Ciò che è vietato è che per una x la y assuma 2 o più valori. In tal caso
l’espressione non sarebbe una funzione. Il codominio è la proiezione della funzione sull'asse y e quindi è y≠1.
Anche in questo caso, dando alla x tutti i possibili valori e calcolando le corrispondenti y si ottengono i punti che
formano il grafico della funzione, che è un’iperbole rappresentata nella figura che segue.
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Fig. G1.2
Grafico di y = x - 1 .
x-2
Esempio G1.3:
y 2 = x non è una funzione. Infatti alla x=4 corrispondono 2 valori della y, il 2 e il –2. Tali oggetti sono chiamati curve
piane e il loro studio non riguarda il programma di analisi delle scuole superiori. Il grafico di questa curva comunque
esiste ed è rappresentato dal grafico che segue. Il codominio è R.
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Fig. G1.3
Grafico di y 2 = x .
Se si fissa un valore della x sull’asse delle ascisse e ci si muove in verticale fino ad incontrare il grafico della funzione,
e poi ci si muove orizzontalmente fino ad incontrare l’asse delle ordinate, si sta associando ad un valore della x il
corrispondente valore della y graficamente. Può capitare che per alcuni valori della x non si incontri il grafico della
funzione, come se la x=2 nell’esempio G1.2. Se però per un certo valore della x si interseca più volte il grafico della
funzione, come nell’esempio G1.3, non si tratta di una funzione.
Le funzioni, quindi, non avranno mai due o più punti sulla stessa verticale.
1.3 Dominio di una funzione
Si è visto nell'esempio G1.2 che per alcuni valori della x è possibile determinare il valore della y, mentre per altri valori
ciò potrebbe non essere possibile. L'insieme dei valori della x per cui è possibile determinare la y corrispondente è
Teoria
G1-2
detto DOMINIO della funzione. L'insieme dei valori che la y assume dando tutti i possibili valori alla x è detto
CODOMINIO della funzione.
Osservando i grafici si nota che il dominio è la proiezione della funzione sull'asse x, mentre il codominio è la proiezione
della funzione sull’asse y.
Nell’esempio G1.1 il dominio è l’insieme R ed il codominio è l’insieme [0;+∞[.
Nell’esempio G1.2 il dominio è l’insieme R-{2} ed il codominio è l’insieme R-{1}.
Per ricavare il dominio di una funzione data si usano le seguenti regole:
1) Il denominatore deve essere diverso da zero
2) Il radicando nelle radici pari deve essere maggiore o uguale a zero
3) L’argomento dei logaritmi deve essere maggiore di zero
Se devono essere utilizzate per la stessa funzione più regole allora devono essere messe a sistema. Le regole sono in
realtà più di 3 ma queste sono le principali che verranno utilizzate.
Esempio G1.4:
Trovare il dominio della funzione y =
x
x -1
Le regole da utilizzare sono due ossia:
1) Denominatore diverso da zero. x-1≠0 che dà risultato x≠1.
2) Radicando maggiore o uguale a zero nelle radici pari.
x ≥ 0 è una disequazione che risolta dà come risultato x≤0
x -1
e x>1.
Il dominio della funzione risulta essere quindi x ≤0 e x>1, che è possibile scrivere anche come D=]-∞;0]∪]1;+∞[.
E’ quindi possibile per questi valori determinare il valore della y, mentre non è possibile per i valori 0<x ≤1, in quanto
la radice di numeri negativi ed il denominatore uguale a zero fanno perdere significato all’espressione.
Quando si trova il dominio di una funzione è possibile rappresentarlo sugli assi cartesiani, in modo da iniziare a
determinare qualcosa relativamente al grafico di una funzione. In particolare si tracceranno delle linee verticali in
corrispondenza dei valori trovati, e si cancelleranno le zone che non fanno parte del dominio, come nel grafico che
segue.
y
1
x
Fig. G1.4
Dominio di y =
x .
x -1
1.4 Segno di una funzione
Lo studio del segno di una funzione permette di determinare per quali valori di x la funzione si trova al disopra
dell’asse y, dove si trova al di sotto e dove interseca l’asse delle x. Nel grafico si potranno cancellare alcune parti dove
la funzione non passa, come si vedrà negli esempi.
PROCEDIMENTO:
Data una funzione y=f(x) si risolve la disequazione f(x)≥0.
Bisogna quindi riferirsi alla linea del totale della disequazione:
Ddove la linea è continua la funzione è positiva e va quindi cancellata la parte sotto l’asse x.
Dove la linea è tratteggiata la funzione è negativa e va quindi cancellata la parte sopra l’asse x.
Dove ci sono i pallini la funzione vale zero, quindi la funzione interseca l’asse x.
Dove ci sono le crocette la funzione non assume alcun valore, quindi siamo in presenza di valori della x che non fanno
parte del dominio.
Esempio G1.5:
Si torna a studiare la funzione y = x2 - 2x +1 dell’esempio 1 e si risolve la disequazione x2 - 2x +1 ≥ 0 .
Si scompone
( x - 1)
2
≥ 0 . La linea del totale è quindi
1
La funzione è sopra l’asse x per tutti i valori della x escluso x=1 in cui la funzione interseca l’asse x.
Ciò si può riportare sul grafico cancellando la zona sotto l’asse delle ascisse.
Teoria
G1-3
y
1
x
Fig. G1.5
Segno di y = x 2 - 2x + 1 .
Esempio G1.6:
Si torna a studiare la funzione y = x - 1 dell’esempio G1.2 e si risolve la disequazione x - 1 ≥ 0 .
x-2
x -2
La
La
La
La
linea del
funzione
funzione
funzione
1
2
per cui:
totale risulta
è sopra l’asse x per i valori x<1 e x>2. In tali intervalli si cancella la zona inferiore all’asse x.
è sotto l’asse x per i valori 1<x<2. In tale intervallo si cancella la zona superiore all’asse x.
interseca l’asse x per il valore x=1. Il valore x=2 non fa invece parte del dominio.
y
x
2
1
Fig. G1.6
Segno di y = x - 1 .
x-2
Esempio G1.7:
x
dell’esempio G1.4 e si risolve la disequazione x ≥ 0 .
x -1
x -1
Le radici pari sono sempre maggiori o uguali a zero esclusi i valori non facenti parte del dominio per cui la linea del
Si torna a studiare la funzione y =
totale è:
0
1
per cui:
La funzione è sopra l’asse x per i valori x<0 e x>1. In tali intervalli si cancella la zona inferiore all’asse x.
La funzione non è mai sotto l’asse x. Interseca l’asse x per x=0.
La funzione interseca l’asse x per il valore x=0. I valori 0 ≤x<1 non fanno parte del dominio.
y
0
1
Fig. G1.7
Segno di y =
Teoria
G1-4
x .
x -1
x
1.5 Alcune definizioni importanti
In matematica c’è la necessità di utilizzare definizioni formali molto precise.
In questo paragrafo verrà data prima una definizione non formale per capire alcuni concetti e poi successivamente la
definizione formale.
Una funzione è detta monotona crescente se sale sempre.
Una funzione è detta monotona decrescente se scende sempre.
Una funzione è detta monotona non crescente se non sale mai, quindi o scende o è orizzontale.
Una funzione è detta monotona non decrescente se non scende mai, quindi o sale o è orizzontale.
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Fig. G1.9
Funzione monotona decrescente.
Fig. G1.8
Funzione monotona crescente.
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Fig. G1.10
Funzione monotona non decrescente.
Fig. G1.11
Funzione monotona non crescente.
Se si prendono due valori x1 e x2 sull’asse delle x e si calcolano i corrispondenti f(x1) e f(x2) sull’asse delle y si nota che
se x1<x2 allora f(x1)<f(x2) per le funzioni crescenti. Ciò non si verifica solamente per le x scelte, ma per tutte le x che
possono essere scelte. La definizione formale è quindi:
FUNZIONE MONOTONA CRESCENTE: ∀ x1,x2 ∈ Df se x1<x2 allora f(x1)<f(x2).
FUNZIONE MONOTONA DECRESCENTE: ∀ x1,x2 ∈ Df se x1<x2 allora f(x1)>f(x2).
FUNZIONE MONOTONA NON CRESCENTE: ∀ x1,x2 ∈ Df se x1<x2 allora f(x1) ≥ f(x2).
FUNZIONE MONOTONA NON DECRESCENTE: ∀ x1,x2 ∈ Df se x1<x2 allora f(x1) ≤ f(x2).
Una funzione è limitata superiormente se la y non diventa”grandissima” in corrispondenza di alcuni valori della x.
Ciò vuol dire che esiste almeno un numero abbastanza grande che il grafico della funzione si trovi completamente al di
sotto di una retta orizzontale abbastanza in alto.
In termini matematici si dice quindi che:
Una FUNZIONE è detta LIMITATA SUPERIORMENTE se ∃k t.c. f(x) ≤k ∀x∈Df.
I k che rendono vera la precedente definizione sono infiniti. Tra tutti questi k ce ne è uno che è il più piccolo di tutti.
Ci sono due possibilità: la funzione in qualche punto tocca la retta orizzontale y=k o non la tocca. Se la tocca allora k è
detto MASSIMO ASSOLUTO della funzione, se non la tocca è detto ESTREMO SUPERIORE.
Analogamente si definiscono la FUNZIONE LIMITATA INFERIORMENTE se ∃k t.c. f(x) ≥k ∀x∈Df, il MINIMO
ASSOLUTO e l’ESTREMO INFERIORE.
Esempio G1.8:
La funzione y=-x2+2 è limitata superiormente con un massimo di valore 2.
Teoria
G1-5
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Fig. G1.12
Funzione y=-x2+2 limitata
superiormente con un massimo.
Esempio G1.9:
La funzione y =
2x2 -1
è limitata superiormente con estremo superiore di valore 2 ma senza massimo.
x2
Fig. G1.13
2x2 -1
Funzione y =
limitata superiormente con
x2
un estremo superiore ma senza massimo.
Un intorno di x è un intervallo contenente x e si indica con Ix.
Un massimo relativo, a differenza del massimo assoluto, non è il punto più alto in assoluto della funzione, ma il più in
alto in una certa zona. Usando la definizione di intorno appena data si può dire che un certo punto x0 è un MASSIMO
RELATIVO per la funzione f(x) se esiste un intorno di x0 nel quale per ogni x che si sceglie la corrispondente f(x) è
minore di f(x0).
In linguaggio matematico si dice che x0 è un MASSIMO RELATIVO per f(x) se ∃ Ix0 t.c. ∀x∈Ix0∩Df ⇒ f(x)<f(x0).
Analogamente si dice che x0 è un MINIMO RELATIVO per f(x) se ∃ Ix0 t.c. ∀x∈Ix0∩Df ⇒ f(x)>f(x0).
1.6 Alcune funzioni importanti
FUNZIONI POLINOMIALI:
Sono le funzioni del tipo y=p(x) in cui l’espressione p(x) è un polinomio.
Se il grado del polinomio è 0 siamo in presenza di rette orizzontali; per esempio y=3.
Se il grado del polinomio è 1 siamo in presenza di rette oblique; per esempio y=2x-3.
Se il grado del polinomio è 2 siamo in presenza di parabole; per esempio y=-x2+2.
Se il grado del polinomio è 3 siamo in presenza di una cubica; per esempio y=x3-x2.
Se il grado del polinomio è 4 siamo in presenza di una quadrica; per esempio y=x4-4x2.
E così via. Le funzioni polinomiali hanno una forma caratteristica che si può osservare nelle seguenti figure:
Teoria
G1-6
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Fig. G1.15
Grafico della funzione polinomiale y=-x2+2.
Fig. G1.14
Grafico della funzione polinomiale y=2x-3.
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Fig. G1.17
Grafico della funzione polinomiale y=x4-4x2.
Fig. G1.16
Grafico della funzione polinomiale y=x3-x2.
FUNZIONI RAZIONALI FRATTE:
Sono le funzioni del tipo y=p(x)/q(x) o riconducibili ad esse, dove p(x) e q(x) sono polinomi. Se p(x) e q(x) sono di
primo grado siamo in presenza di iperboli equilatere, cioè iperboli con gli asintoti perpendicolari e paralleli agli assi. Il
dominio è dato da tutti i valori di R che non annullano il denominatore.
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Fig. G1.19
Fig. G1.18
x2 - 1
Grafico della funzione razionale fratta y =
.
Grafico della funzione razionale fratta y = x - 1 .
x +1
x3 + 1
x2 - 1
Si noti che la funzione y =
presenta una discontinuità per x=-1.
x3 + 1
FUNZIONI IRRAZIONALI:
Sono le funzioni che presentano la x al radicando.
Se la radice è di indice pari il dominio è l’insieme dei valori della x per cui il radicando è positivo.
Le funzioni irrazionali più semplici sono quelle che contengono solo una radice, come nelle figure seguenti.
Teoria
G1-7
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Fig. G1.20
Grafico della funzione irrazionale y =
Fig. G1.21
Grafico della funzione irrazionale y = 3 x .
x.
FUNZIONI GONIOMETRICHE:
Sono le funzioni che contengono seno, coseno, tangente o cotangente.
π + kπ o l’argomento della
Il dominio è tutto R tranne i valori della x per cui l’argomento della tangente è uguale a
2
cotangente è uguale a kπ.
Le 4 funzioni goniometrici principali sono y=sen x, y=cos x, y=tg x, y=cotg x.
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Fig. G1.22
Grafico della funzione goniometrica y=sen x.
Fig. G1.23
Grafico della funzione goniometrica y=cos x.
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Fig. G1.24
Grafico della funzione goniometrica y=tg x.
Fig. G1.25
Grafico della funzione goniometrica y=cotg x.
FUNZIONI ESPONENZIALI:
Le funzioni esponenziali sono quelle in cui la variabile x si trova all’esponente. Se la base è maggiore di 1 la funzione è
crescente; se la base è compresa tra 0 e 1 la funzione è decrescente. Con base uguale a zero o negativa la funzione
perde di significato. Con base uguale a 1 viene la retta y=1. Il dominio è tutto R. Tutte queste funzioni sono sempre
positive.


x
Si presentano qui di seguito i grafici delle funzioni esponenziali y = 2 x , y = e x , y =  1  .
2
Teoria
G1-8
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Fig. G1.26
Grafico della funzione
Fig. G1.27
Grafico della funzione
esponenziale y = 2 x .
esponenziale y = e x .
Fig. G1.28
Grafico della funzione


x
esponenziale y =  1  .
2
FUNZIONI LOGARITMICHE:
Le funzioni logaritmiche sono quelle che presentano la x all’argomento della funzione logaritmo. Il dominio è dato da
tutti i valori della x per cui l’argomento del logaritmo è maggiore di zero. La base deve essere positiva e diversa da 1.
Se la base è compresa tra 0 e 1 la funzione è decrescente. Se la base è maggiore di 1 la funzione è crescente. Tutte
queste funzioni passano per il punto (1;0) per cui la funzione vale zero se la x è 1.
Se la base è maggiore di 1 la funzione è negativa per 0<x<1 e positiva per x>1.
Se la base è compresa tra 0 e 1 la funzione è positiva per 0<x<1 e negativa per x>1.
Si presentano i grafici delle funzioni y = log 2 x , y = ln x , y = log 1 x .
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Fig. G1.29
Grafico della funzione
logaritmica y = log 2 x .
Fig. G1.30
Grafico della funzione
logaritmica y = lnx .
Fig. G1.31
Grafico della funzione
logaritmica y = log 1 x .
2
Anche se non si tratteranno le seguenti funzioni in maniera approfondita è importante notare che non tutte le funzioni
presentano delle caratteristiche intuitive o di continuità. Ecco perché sono presentate le funzioni seguenti.
FUNZIONE SEGNO:
La funzione segno associa ai numeri negativi il valore –1, a zero il valore zero, ai numeri positivi il valore 1. Presenta
pertanto un punto di discontinuità per x=0.
y
x
Fig. G1.32
Grafico della funzione y=sgn x.
Teoria
G1-9
FUNZIONE VALORE ASSOLUTO:
La funzione valore assoluto associa ad ogni valore lo stesso valore ma positivo. Si indica con y=|x|.
y
x
Fig. G1.33
Grafico della funzione y=|x|.
FUNZIONE PARTE INTERA:
La funzione parte intera associa ad ogni numero il numero intero inferiore ad esso. Si indica con y=int(x) oppure
y=[x]. Ha un caratteristico andamento a gradini.
y
x
Fig. G1.34
Grafico della funzione y=int(x).
FUNZIONI DEFINITE PER TRATTI:
Le funzioni definite per tratti sono quelle per cui si usano diverse formule per calcolare la y a seconda del valore della
x.
5
4
Eccone un esempio:

π
cosx → - 2 ≤ x < 0

y = -x + 1 → 0 ≤ x < 1


lnx → x ≥ 1
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
Fig. G1.35
Grafico di una funzione definita a tratti.
1.7 Funzioni pari e dispari
Definizione: Una funzione è PARI se f(x)= f(-x) ∀x∈Df.
Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all’asse y.
Una funzione è DISPARI se f(x)= - f(-x) ∀x∈Df.
Le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all’origine.
n
Sono dette così perché le funzioni del tipo y=x con n pari sono pari, quelle con n dispari sono dispari.
Con riferimento ai grafici mostrati precedentemente le funzioni y=-x2+2, y=-x4+4x2 e y=|x| sono funzioni PARI. Si può
notare dal loro grafico la loro simmetria rispetto all’asse y.
Teoria
G1-10
La funzione y=tg x, la funzione y=sen x e la funzione y = 3 x sono invece DISPARI. Si può notare dal loro grafico la
loro simmetria rispetto all’origine.
Per determinare se una funzione è pari, dispari o né pari né dispari si utilizza il seguente procedimento:
si parte dalla funzione di partenza, che è f(x), e si calcola f(-x). Se ciò è uguale a f(x) la funzione è pari.
Se la funzione non è pari si calcola –f(-x). Se ciò che si ottiene è uguale a f(x) la funzione è dispari, altrimenti non è né
pari né dispari.
Esempio G1.10:
Dire se la funzione y=-x4+4x2 è pari, dispari, o né pari né dispari.
Per vedere se tale funzione è pari si deve sostituire –x al posto della x e poi verificare se l’espressione in questione è
uguale a quella di partenza.
f(x) =-x4+4x2.
f(-x) = –(-x)4+4(-x)2 = -x4+4x2.
Essendo f(x) uguale a f(-x) la funzione è pari.
Esempio G1.11:
Dire se la funzione y= x3 è pari, dispari, o né pari né dispari.
Si verifica prima se è pari.
f(x)=x3.
f(-x)=(-x)3=-x3.
Quindi f(x) non è uguale a f(-x) e la funzione non è pari.
Si verifica quindi –f(-x) cambiando il segno di f(-x).
-f(-x)=-(-x3)= x3
Essendo -f(-x) uguale a f(x) la funzione è dispari.
Esempio G1.12:
Dire se la funzione y =
x +1
x2
è pari, dispari, o né pari né dispari.
Si calcola f(-x).
f(x) =
x +1
f(-x) =
x2
.
(-x) + 1
(-x) 2
=
-x + 1
x2
.
f(x) è diverso da f(-x) quindi la funzione non è pari.
Si calcola quindi –f(-x).
-x + 1
x -1
.
x
x2
Anche –f(-x) è diverso da f(x) quindi la funzione in questione non è né pari né dispari.
-f(-x) = -
2
=
1.8 Funzioni inverse
Una funzione associa a valori della x valori della y.
Ad esempio la funzione y=2x+3 associa alla x i seguenti valori della y:
x
-2
-1
0
1
2
y
-1
1
3
5
7
La funzione inversa associa i valori esattamente
in maniera opposta scambiando le x con le y
come mostrato qui accanto:
x
-1
1
3
5
7
y
-2
-1
0
1
2
Per trovare la funzione inversa di una funzione data si esplicita la x con passaggi algebrici e poi si scambiano le x con
le y. Non tutte le funzioni ammettono inversa.
Le funzioni che ammettono inversa sono dette invertibili.
Se svolgendo il procedimento appena mostrato si trova come inversa una espressione che non ricade nella definizione
di funzione allora la funzione di partenza non è invertibile.
Esempio G1.13:
Trovare la funzione inversa della funzione y=2x+3.
1) y=2x+3
Si esplicita la x
-2x=-y+3
Teoria
G1-11
2x=y-3
1
3
y2
2
Si scambiano x e y.
x=
y=
1
3
x2
2
Esempio G1.14:
Trovare la funzione inversa della funzione y = x 3 + 3 .
Si esplicita la x.
-x 3 = -y + 3
x3 = y - 3
x =3 y-3
Si scambiano x e y.
y=
3
x-3
Esempio G1.15:
Trovare la funzione inversa della funzione y=1+ln x.
Si esplicita la x.
-lnx=-y+1
lnx=y-1
x = e y-1
Si scambiano x e y.
y = e x-1
Esempio G1.16:
Trovare la funzione inversa della funzione y = x 2 .
Si esplicita la x.
-x 2 = y
x2 = y
x =± y
Si scambiano x e y.
y =± x !
Ma quest’ultima espressione non è una funzione, in quanto per la stessa x si trovano due y.
Se ne conclude che la funzione y = x 2 non è invertibile.
Come si vede dall’esempio G1.16 non tutte le funzioni ammettono la funzione inversa.
Le funzioni crescenti e decrescenti sono invertibili, ma non sono le uniche. Esistono infatti alcune funzioni invertibili che
non sono crescenti o decrescenti.
Il grafico di una funzione è simmetrico a quello della sua inversa rispetto alla retta y=x.
Ecco due figure:
La prima figura è quella delle funzioni y = e x e della sua inversa y=lnx.
La seconda invece mostra come la funzione y=x2 non ammetta inversa perché y = ± x non è una funzione.
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-5
5
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
Fig. G1.36
Grafici di y = e x e della sua inversa y=lnx.
Teoria
-4
G1-12
1
2
3
4
5
Fig. G1.37
Grafici di y=x2 e della sua “inversa” y = ± x .
1.9 Funzioni composte
Le funzioni possono essere immaginate come scatole che ad un certo ingresso forniscono, dopo opportuni calcoli, una
ben determinata uscita. Ad esempio per la funzione y=2x-3 fa corrispondere all’ingresso x=4 l’uscita y=5, in quanto
y=2⋅4-3=5.
Ciò può essere mostrato nel seguente diagramma:
4
5
y= 2 x -3
Non ci si dovrebbe stupire che l’uscita di una funzione può essere l’ingresso per un’altra, come mostrato nel seguente
diagramma:
x
y=f(x)
f(x)
g(f(x))
y=g(x)
Si noti che la prima funzione ad essere utilizzata, f(x), è quella che alla fine si trova dentro la parentesi. Considerando
le funzioni f(x)=2x, g(x)=x2 e il valore di ingresso x=5 un esempio di tale trasformazione potrebbe essere il seguente:
y=2x
5
y=x2
10
100
Si noti che 10=2⋅5 (banale) e 100=(2⋅5)2 ossia (2⋅x)2, per cui è possibile calcolare la funzione composta y=g(f(x)) che
è, nel nostro caso y=4x2.
In realtà vanno considerati anche il dominio ed il codominio delle 2 funzioni. Infatti perché esista la composta il
codominio della prima deve essere un sottoinsieme del dominio della seconda.
Gli esercizi su questa parte saranno di due tipi:
•
Date le funzioni f(x) e g(x) ricavare le funzioni f(g(x)) e g(f(x)). [Si indicano con (f°g)(x) e (g°f)(x)
rispettivamente e si leggono “f composto g” e “g composto f”].
•
Data la funzione (f°g)(x) trovare le funzioni f(x) e la funzione g(x).
•
Esempio G1.17:
Date le funzioni f(x) = x 2 + 2 e g(x) = e x calcolare (f°g)(x) e (g°f)(x).
(f°g)(x): per determinare (f°g)(x) si deve prima utilizzare g(x) = e x . Adesso e x va al posto della x nella funzione
f(x). Quindi f(e x ) = e 2x + 2 .La soluzione è quindi (f°g)(x) = f(g(x)) = e 2x + 2 .
(g°f)(x): per trovare (g°f)(x) si deve prima utilizzare f(x) = x 2 + 2 . Adesso x 2 + 2 va al posto della x nella funzione
g(x). Quindi g(x 2 + 2) = e x
2+2
. La soluzione è quindi (g°f)(x) = g(f(x)) = e x
2+2
.
Esempio G1.18:
Data la funzione (g°f)(x) = cos(x 2 - 1) determinare f(x) e g(x).
La prima funzione utilizzata, quella più vicina alla x, è la funzione f(x). La si riconosce perché è la più interna. Quindi
f(x) = x 2 - 1 . La funzione g(x) è quella esterna ossia g(x) = cosx . Ciò si può visualizzare con il seguente schema:
x
f(x )= x 2-1
g (x )= co sx
x2-1
co s(x 2-1 )
1.10 Restrizione e prolungamento
Definizione: se f(x)=g(x) e Df ⊂ Dg allora f(x) è detta restrizione di g(x) e g(x) è detta prolungamento di f(x).
Esempio G1.19: Siano f(x) =
x-2
x
e g(x) =
x-2
. Si determini se f(x) è restrizione di g(x), se ne è prolungamento o
x
se non è né l’uno né l’altro.
x-2
= x-2 per le note proprietà delle radici. Quindi
x
x
f(x)=g(x). Se così non fosse stato allora f(x) non sarebbe stata né prolungamento né restrizione di g(x).
1. Si verifica se f(x)=g(x) per mezzo di passaggi algebrici:
2. Si determinano i domini di f(x) e di g(x):
Teoria
G1-13
Df
Bisogna risolvere il sistema di disequazioni seguente
x - 2 ≥ 0

x > 0
Si omettono i passaggi, comunque la risoluzione di tale sistema ci permette di trovare Df=[2;+∞[.
x-2
Dg
Bisogna risolvere la disequazione seguente:
≥0
x
Si omettono i passaggi, comunque la risoluzione di tale disequazione ci permette di trovare Dg=]-∞;0[∪[2;+∞[.
3. Si confrontano i domini di f(x) e di g(x).
Poiché Df ⊂ Dg allora f(x) è restrizione di g(x). Se uno dei due insiemi non fosse stato un sottoinsieme dell’altro
allora f(x) non sarebbe stata né prolungamento né restrizione di g(x)
Se f(x) è restrizione di g(x) la funzione f(x) e la funzione g(x) hanno lo stesso grafico, tranne che per il fatto che il
grafico della funzione g(x) è presente in zone in cui non è presente il grafico della funzione f(x).
x-2
x-2
e g(x) =
x
x
Si vede chiaramente che il grafico di f(x) è uguale (dove esiste) al grafico di g(x).
Ecco il grafico delle funzioni dell’esempio precedente: f(x) =
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-5
5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
1
2
3
4
5
Fig. G1.39
Fig. G1.38
x-2
.
x
Grafico di g(x) =
x-2
Grafico di f(x) =
x
.
1.11 Funzioni periodiche
Per capire cos’è una funzione periodica si dà prima una definizione non formale, per poi formalizzarla.
Si può dire che una funzione è periodica se i valori della y si ripetono a intervalli regolari.
Sono ad esempio funzioni periodiche le funzioni goniometriche come nelle figure G.22, G.23, G.24, G.25, che qui si
riportano in piccolo:
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
5
5
4
4
3
3
2
2
-2
-1
5
6
7
8
0
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
y=tgx
4
1
0
-3
3
y=cosx
1
-4
2
-5
y=sen x
-5
1
1
2
3
4
5
-5
y=cotgx
Il grafico del seno e del coseno si ripete ogni 2π. Il periodo di seno e coseno è quindi 2π.
Il grafico della tangente e della cotangente si ripete ogni π. Il periodo di tangente e cotangente è quindi π.
Teoria
G1-14
Definizione: Una f è periodica se ∃k>0 t.c. ∀x∈Df f(x)=f(x+k).
Il più piccolo k per cui è valida la definizione è detto periodo della funzione.
5
4
3
2
k
f(x)=f(x+k)
1
0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
x
2
3
4
5
6
7
8
x+k
-1
-2
-3
-4
-5
Fig. G1.40
Definizione di funzione periodica.
Per capire il significato della definizione si osservi quanto segue:
Si vede dalla figura che f(x) e f(x+k) hanno lo stesso valore. Ciò non accade solo per il particolare x che abbiamo
scelto ma vale per tutte le x del dominio. Se ciò non fosse la funzione non sarebbe periodica.
Nella definizione si dice che il periodo è il più piccolo k per cui vale la definizione.
Si prenda ad esempio la funzione seno:
sen(90°)=sen(360°+90°)=sen(720°+90°)=sen(1080°+90°) ecc. Quindi il periodo è 360°.
Ma è anche vero che sen(90°)= sen(720°+90°)=sen(1440°+90°)=sen(2160°+90°). Quindi il periodo in teoria
potrebbe essere 720°, oppure qualunque multiplo di 360°.
Per evitare questo si dice che il periodo è il più piccolo k per cui vale la definizione.
Il vantaggio di una funzione periodica è che non bisogna tracciarla in tutto R ma basta tracciarla in un intervallo ben
definito, perché poi tale grafico si ripete ad intervalli regolari.
1.12 Grafici deducibili
Conoscendo il grafico di una o più funzioni è possibile tracciarne molte altre. In questo paragrafo si vedrà come.
Le tecniche di questo paragrafo valgono per tutte le funzioni.
Si useranno per gli esempi la funzione y=lnx e y=x2-1 di cui già si conosce il grafico.
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
-5
-4
-3
-2
-1
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1
2
3
4
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5
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1
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3
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-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
Fig. G1.42
Grafico di y=x2-1.
Fig. G1.41
Grafico di y=lnx.
a)
IL GRAFICO DI y=f(x)+k e di y=f(x)-k
Se si conosce il grafico di f(x), e k è un numero positivo, il grafico di f(x)+k sarà identico ma spostato verso l’alto di k,
quello di f(x)-k sarà identico ma spostato verso il basso di k.
Quindi il grafico di y=ln(x)+2 sarà spostato in alto di 2, mentre y=ln(x)-2 sarà spostato in basso di 2.
Teoria
G1-15
-5
-4
-3
-2
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
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2
1
1
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-1
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-1
0
0
1
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3
4
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-2
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-3
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-4
-4
-5
-5
-5
Fig. G1.43
Grafico di y=lnx.
b)
-2
Fig. G1.44
Grafico di y=lnx+2.
1
2
3
4
5
Fig. G1.45
Grafico di y=lnx-2.
IL GRAFICO DI y=f(x+k) e di y=f(x-k)
Se si conosce il grafico di f(x), e k è un numero positivo, il grafico di f(x+k) sarà identico ma spostato verso sinistra di
k, quello di f(x-k) sarà identico ma spostato verso destra di k.
Quindi il grafico di y=ln(x+2) sarà spostato verso sinistra di 2, quello di y=ln(x-2) sarà spostato verso destra di 2.
-5
-4
-3
-2
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
0
1
2
3
4
5
-5
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3
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1
0
0
1
2
3
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0
-1
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-1
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-2
-3
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-3
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-4
-5
-5
-5
Fig. G1.46
Grafico di y=lnx.
c)
-2
5
1
2
3
4
5
Fig. G1.48
Grafico di y=ln(x-2).
Fig. G1.47
Grafico di y=ln(x+2).
IL GRAFICO DI y=|f(x)|
Quando si disegna il grafico del valore assoluto di una funzione basta prendere le parti negative e tracciare al loro
posto il grafico simmetrico rispetto all’asse delle x. Le parti positive del grafico rimangono invariate.
Ecco quindi i grafici di y=|lnx| e di y=|x2-1|
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-5
-4
-3
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-1
0
1
2
3
4
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0
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2
3
4
5
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-2
-2
-3
-3
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-5
-5
Fig. G1.49
Grafico di y=|lnx|.
d)
Fig. G1.50
Grafico di y=|x2-1|.
IL GRAFICO DI y=kf(x)
Bisogna qui distinguere se k è positivo o negativo e se k è maggiore o minore di uno.
k>1 - Il grafico di kf(x) è dilatato verso l’alto e verso il basso. Più grande è k maggiore è la dilatazione.
Nelle successive figure il grafico di y=2(x2–1) e di y=2⋅lnx
Teoria
G1-16
5
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
-5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
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-3
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0
1
2
3
4
5
5
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-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
Fig. G1.52
Grafico di y=2⋅lnx
Fig. G1.51
Grafico di y=2(x2–1).
0<k<1 - Il grafico di kf(x) è schiacciato verso l’asse x. Più piccolo è k maggiore è lo schiacciamento.
1
1
Nelle successive figure il grafico di y = (x 2 - 1) e di y = lnx .
2
2
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-5
-4
-3
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2
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4
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1
2
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5
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-1
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-3
-3
-4
-4
-5
-5
Fig. G1.53
1 2
(x - 1) .
2
Fig. G1.54
1
lnx .
2
Grafico di y =
Grafico di y =
-1<k<0 - Il grafico di kf(x) è schiacciato verso l’asse x ed è simmetrico a quello di partenza rispetto all’asse x.
Più vicino è k a zero maggiore è lo schiacciamento.
1
1
Nelle successive figure il grafico di y = - (x 2 - 1) e di y = - lnx .
2
2
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
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0
1
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3
4
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0
1
2
3
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5
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-3
-3
-4
-4
-5
-5
Fig. G1.56
1
Grafico di y = - lnx .
2
Fig. G1.55
1
Grafico di y = - (x 2 - 1) .
2
k<-1 - Il grafico di kf(x) è dilatato verso l’alto e verso il basso ed è simmetrico a quello di partenza rispetto all’asse
x.Più piccolo è k, (per esempio –1000), maggiore è la dilatazione.
Nelle successive figure il grafico di y = -2(x 2 - 1) e di y = -2lnx .
Teoria
G1-17
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
5
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-4
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
2
3
4
5
-4
-4
-5
-5
Fig. G1.57
Grafico di y = -2(x
e)
1
2
Fig. G1.58
Grafico di y = -2lnx .
- 1) .
IL GRAFICO DI y=-f(x)
Il grafico di –f(x) è quello simmetrico di f(x) rispetto all’asse x. E’ un caso particolare del precedente con k=-1.
Nelle successive figure i grafici di y = -(x 2 - 1) e di y = -lnx .
5
5
4
4
3
3
2
2
1
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0
0
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1
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4
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-5
-5
Fig. G1.59
Fig. G1.60
Grafico di y = -lnx .
Grafico di y = -(x 2 - 1) .
f)
1
-1
-1
IL GRAFICO DI y=f(-x)
Il grafico di f(-x) è quello simmetrico di f(x) rispetto all’asse y. Nell’equazione troviamo -x al posto di x.
Nelle successive figure i grafici di y = (-x) 2 - 1 e di y = ln(-x) . Essendo y = (-x) 2 - 1 una funzione pari il grafico resta
invariato.
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0
1
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-1
-1
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-3
-4
-4
-5
-5
Fig. G1.61
Fig. G1.62
Grafico di y = ln(-x) .
2
Grafico di y = (-x) - 1 .
Teoria
G1-18
4
5
g)
IL GRAFICO DI y=f(x)+g(x)
Per disegnare il grafico di una somma di funzioni basta sommare le due funzioni per punti.
Ecco il grafico di y = (x 2 - 1) + lnx .
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-1
0
1
2
3
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-1
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-3
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-5
Fig. G1.63
Grafico di y = (x 2 - 1) + lnx .
h)
IL GRAFICO DI y=f(x)⋅g(x)
Per disegnare il grafico di un prodotto di funzioni basta moltiplicare le due funzioni per punti.
Ecco il grafico di y = (x 2 - 1) ⋅ lnx
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0
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Fig. G1.64
Grafico di y = (x 2 - 1) ⋅ lnx .
i)
IL GRAFICO DI y=f(x)/g(x)
Per disegnare il grafico di un quoziente di funzioni basta dividere le due funzioni per punti.
Ecco il grafico di y =
Teoria
ln x
(x 2 - 1)
.
G1-19
5
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2
1
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0
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Fig. G1.65
Grafico di y =
l)
ln x
(x 2 - 1)
.
IL GRAFICO DI y=f(kx)
Se k>1 il grafico della funzione viene schiacciato da destra e da sinistra verso l’asse y. Più grande è k e maggiore è lo
schiacciamento. Se per alcune funzioni come y=ln(x) il grafico subisce uno schiacciamento forse non molto visibile, per
altre funzioni (quelle goniometriche) lo schiacciamento è visibile con facilità perché diminuisce il periodo della funzione.
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0
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-5
Fig. G1.67
Grafico di y=ln(2x).
Fig. G1.66
Grafico di y=lnx.
5
5
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2
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-5
Fig. G1.68
Grafico di y=senx.
Teoria
-4
-1
1
2
3
Fig. G1.69
Grafico di y=sen(2x).
G1-20
4
5
Se 0<k<1 il grafico della funzione viene allargato verso destra o verso sinistra. Più k è vicino a zero e maggiore è
l’allargamento. Anche in questo caso nelle funzioni goniometriche l’effetto è maggiormente visibile perché il periodo
aumenta.
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-5
-5
Fig. G1.70
Grafico di y=lnx.
Fig. G1.71
Grafico di y = ln 1 x  .
2 
5
5
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-5
Fig. G1.72
Grafico di y=senx.
Fig. G1.73
Grafico di y = sen 1 x  .
2 
Se il numero k è negativo valgono le stesse regole di allargamento e schiacciamento con la differenza che ci sarà
anche una simmetria rispetto all’asse delle y.
In particolare se –1<k<0 ci sarà un allargamento della funzione verso destra e verso sinistra, ed in più una simmetria
rispetto all’asse y. Più vicino è k a zero e maggiore sarà l’allargamento.
Se k<-1 ci sarà uno schiacciamento della funzione verso l’asse y, ed in più una simmetria rispetto all’asse y. Minore è
k maggiore sarà lo schiacciamento.
Se k=-1 si è nel caso del punto f) di questo paragrafo.
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-5
Fig. G1.74
Grafico di y=ln(-2x).
Teoria
Fig. G1.75
Grafico di y = ln − 1 x  .
 2 
G1-21
4
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-5
Fig. G1.77
Grafico di y = sen − 1 x  .
 2 
Fig. G1.76
Grafico di y=sen(-2x).
Teoria
-4
-1
-1
G1-22
4
5