Approfondimento 9 - operazioni nel dominio delle frequenze

IMAGE PROCESSING
&
DOMINIO DELLE
FREQUENZE
Pagano Luca
18/12/2013
IN GENERALE
Trasformata:
Antitrasformata:
In cui le funzioni r ed s vengono chiamate funzioni o immagini base.
Invece i termini T(u,v) vengono detti i coefficienti della trasformata.
Trasformate
Sono state studiate molti tipi di trasformate, ad esempio:
La Trasformata discreta di Fourier
Trasformate
Sono state studiate molti tipi di trasformate, ad esempio:
La Trasformata discreta di Walsh-Hadamard
In cui n deve essere un esponente di .
Trasformate
Sono state studiate molti tipi di trasformate, ad esempio:
La Trasformata discreta di Walsh-Hadamard
Ad esempio
queste sono le
basi per m = 2 ,
quindi n = 4 .
Il bianco denota il
valore 1 mentre il
nero il valore -1.
Quindi una
funzione si
esprime come
una sommatoria
di zeri e uni.
Trasformate
Sono state studiate molti tipi di trasformate, ad esempio:
La Trasformata discreta del coseno
Un vantaggio rispetto la DFT è
che i coefficienti della
trasformata sono reali
Trasformate
Sono state studiate molti tipi di trasformate, ad esempio:
La Trasformata discreta del coseno
Un vantaggio rispetto la DFT è
che i coefficienti della
trasformata sono reali
Vedere lo script per le basi
Confronto DCT DFT
Teorema della convoluzione
Come vediamo più avanti nel dominio delle frequenze tale
convoluzione è circolare (ciclica).
Passiamo alla trasformata di Fourier
Componenti:
La trasformata di Fourier di
una funzione reale è
coniugata simmetrica,
quindi lo spettro avrà la
proprietà:
|F(u,v)| = |F(-u,-v)|
Inoltre il coefficiente DC è
molto più grande rispetto
agli altri termini, per cui è
richiesta una
trasformazione logaritmica
per visualizzare lo spettro.
Passiamo alla trasformata di Fourier
Periodicità
Questa proprietà potrebbe creare qualche problema
WRAPAROUND ERROR
Quest’errore è dovuto alla periodicità della DFT.
WRAPAROUND ERROR
Soluzione: Zero Padding
Siano date f(x,y) e g(x,y) di
dimensioni A x B e C x D.
Scegliamo:
P > A + C -1;
Q > B + D -1;
Funzioni matlab utili:
F = fft2(f, P, Q);
Fc = fftshift(F);
S = abs(F);
Phi = angle(F);
H = freqz2(h, R, C);
Vedere script combinazione e
wraparound error
Generare filtri dal dominio spaziale
-Sia dato un filtro h(x,y);
-Si deve usare il padding fino alla dimensione necessaria;
-Calcolare la DFT per ottenenere il filtro nel dominio delle frequenze;
Si possono generare anche filtri nel dominio spaziale
partendo dal filtro nel dominio delle frequenze.
Infatti, per filtri di piccole dimensioni (massimo 32 elementi)
la convoluzione spaziale ha prestazioni più elevate.
Generare filtri nel dominio delle
frequenze
Possiamo distinguere 4 tipi di filtri:
-Filtri Lowpass; (Basse frequenze legate a zone omogenee)
-Filtri highpass; (Alte frequenze legate ai dettagli e al rumore)
-Filtri bandpass/reject;
-Filtri notch;
Le frequenze sono legate alle caratteristiche spaziali.
(vedi esempio rumore periodico)
FILTRI LOWPASS
IDEALE
Questo tipo di filtro
presenta il problema del
ringing. Vedere esempio.
FILTRI LOWPASS
GAUSSIANO
L’unico controllo possibile è sull’ampiezza della campane.
Ha il vantaggio che non presenta ringing, quindi è adatto
a quelle situazioni in cui non si vogliono introdurre i
minimi artefatti, ad esempio per le immagini di tipo
medico.
FILTRI LOWPASS
BUTTERWORTH
Questo tipo di filtro permette di avere più controllo sulla sua
forma, ma può causare l’effetto del ringing all’aumentare di n.
FILTRI HIGHPASS
Questi filtri eliminano le basse frequenze, e si ottengono a partire dai filtri lowpass:
Ovviamente partendo dall’equazione sopra, si
ottiene una formula per i filtri passa alto.
FILTRI HIGHPASS
IDEALE
Come per il filtro lowpass corrispondente, come ci si aspetta, produce l’effetto ringing.
FILTRI HIGHPASS
BUTTERWORTH
Come per il filtro lowpass, questo filtro risulta più smussato rispetto al filtro ideale.
Anche in questo caso, al crescere di n questo filtro si avvicina al filtro ideale.
FILTRI HIGHPASS
GAUSSIANO
.
FILTRI HIGHPASS
CONFRONTO
Le immagini mostrano un confronto tra i tre filtri passa alto portati nel dominio spaziale.
Da sinistra a destra si hanno i filtri ideale, di Butterworth e gaussiano.
.
FILTRI PASSA/REJECT BANDA
Questi filtri permettono di far passare o rigettare una banda di frequenze di dimensione W.
.
FILTRI PASSA/REJECT BANDA
A sinistra vediamo un filtro elimina banda (o bandreject), mentre a destra un filtro passa banda.
.
FILTRI NOTCH
Infine vediamo i filtri notch, che agisce su un intorno di un singolo punto. Questi
tipi di filtri sono costruiti come il prodotto di filtri passa alto centrate in dei punti
scelti. Solitamente vengono utilizzati in modo interattivo, selezionando i punti dei
notch direttamente sul grafico della DFT.
Questi sono filtri notch reject. Come per gli altri filtri, un filtro notch pass si ottiene:
Vedere esempi filtri
Grazie.
Riferimenti:
Digital Image Processing 3 ed., Gonzales