6 Reometria - Studenti Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell

Reometria:
principi di funzionamento, geometrie
e tipi di flusso
Romano Lapasin
DICAMP - Università di Trieste
Classificazione dei reometri (flussi a taglio)
Secondo la “distribuzione” della cinematica:
FLUSSO VISCOMETRICO UNIFORME
La shear rate è uniforme in tutto il campo di moto
Ideale per liquidi non-Newtoniani
FLUSSO VISCOMETRICO
La shear rate è costante lungo una traiettoria, ma cambia da
una traiettoria all’altra
La viscosità non-Newtoniana può (spesso) essere ancora
misurata, ma a costo di una manipolazione dei dati sperimentali
FLUSSO NON VISCOMETRICO
La shear rate varia anche lungo una traiettoria
Altre componenti di flusso sono presenti (es. elongazione)
Si possono estrarre solo informazioni semi-quantitative
Classificazione dei reometri (flussi a taglio)
Secondo il tipo di moto:
REOMETRI ROTAZIONALI
Flusso rotazionale – Traiettorie chiuse
+ Si possono raggiungere condizioni stazionarie
+ Esperimenti in transitorio in condizioni ben
controllate
+ Richiedono generalmente piccole quantità di materiale
– Effetti inerziali (forze centrifughe)
– Effetti di bordo
– Limitati a shear rate relativamente basse
Classificazione dei reometri (flussi a taglio)
Secondo il tipo di moto:
REOMETRI NON ROTAZIONALI
Flusso rettilineo - Traiettorie aperte
+ Assenza di forze centrifughe, maggiori shear rates
+ Sistema chiuso: effetti di bordo minori (o controllabili)
–
–
–
–
La durata della prova è limitata
Assenza di condizioni stazionarie
I transitori non sono controllati
Richiedono spesso grandi quantità di materiale
Classificazione dei reometri
Secondo il tipo di moto:
piani paralleli
drag flow
y
z
r
x
z
cilindri coassiali
cono/piatto
piatti paralleli
θ
r
θ
φ
r
θ
z
Il moto avviene per scorrimento (drag) relativo di due
superfici
Tipico dei reometri rotazionali
Classificazione dei reometri
Secondo il tipo di moto:
flusso capillare
(Poiseuille flow)
Pressure driven
flow
θ r
z
y
flusso in fessura
(slit flow)
flusso assiale
anulare
z
x
θ
r
x
Il moto avviene per differenza di pressione tra ingresso e
uscita
Tipico dei reometri non rotazionali
Reometri rotazionali
Viene applicata (o misurata) una coppia M,
riconducibile allo sforzo di taglio
Viene misurata (o applicata) una velocità
angolare Ω, riconducibile al gradiente di
velocità
Si perviene ad una espressione per la viscosità
Reometro a stress controllato
Si impone la coppia, si misura la velocità
angolare
Reometro a deformazione controllata
Si impone la velocità angolare, si misura la
coppia
Reometri rotazionali
Misura della viscosità: geometria a cilindri coassiali
(Couette)
Momento torcente = sforzo x braccio x area
Ω
M
Ro
R
h
Ro
= σ o • Ro • 2π Ro h = π Ro hσ o
2
= 2π Ri hσ i = M R
o
M
profilo iperbolico di σ
σ=
2
(decrescente con R)
2π R h
δ = Ro − Ri
ΩRi
ΩRi
γ& =
=
= costante
narrow gap δ
Ro − Ri
δ
σi
Mδ
η= =
3
&
γ i 2π Ri h Ω
M
Ri
2
Ri
Seminario di Reologia, Università di Padova, 2008
Reometri rotazionali
r
cilindri coassiali (wide gap δ)
θ
z
dall’equazione del moto (componente secondo ϑ):
1 ∂ 2
(r σ ) = 0
2
r ∂r
γ& = −r
Ro
1 dσ
dr
=−
2 σ
r
σ∝
d vϑ
dΩ
( ) = −r
dr r
dr
σ
i
γ& (r )
γ& (σ )
Ω = −∫
dr = − ∫
dσ
r
σ o 2σ
Ri
equazione integrale da risolvere
per ricavare la funzione incognita γ& (σ )
1
M
=
R 2 2π R 2 h
Reometri rotazionali
Viscosità e sforzi normali: geometria cono-piatto
α piccolo ( ≤ 4°)
Ω
α
h
R
2F
F N1 =
π R2
ΩR
ΩR
Ω
γ& =
=
≅ = costante
h
R tgα α
σ = costante
R
2
M = ∫ σ r 2π rdr = π R 3σ
3
0
3Mα
η=
2π R 3Ω
3M
σ=
2π R 3
Reometri rotazionali
viscosità e viscoelasticità: geometria piatto-piatto
z
dall’equazione del moto (componente secondo ϑ):
Ω
dτ z ϑ
h
dz
=
dτ ϑ z
dz
dγ& zϑ
=
dσ
=0
dz
dγ&
=
=0
dz
dz
R
R
R
M = 2π ∫ σ r 2 dr = 2π ∫η γ& r 2 dr
0
3 γ&R
0
dΩ
γ& = r
dz
Ωr
γ& =
= γ& (r )
h
ΩR
γ& R =
h
R
M = 2π 3 ∫η (γ& ) γ& 3dγ&
γ&R 0
equazione integrale da ricavare
la funzione incognita η (γ& )
Reometri rotazionali
viscosità e viscoelasticità: geometria piatto-piatto
nel caso di un fluido non Newtoniano si usa la relazione ottenuta
dalla derivazione (ricorrendo alla formula di Leibniz 1)
2Mh  3 1 d ln M 
η=
 +
4
π R Ω  4 4 d ln γ&R 
2Mh
η=
π R 4Ω
moduli viscoelastici:
1
con γ&R =
ΩR
h
per un fluido Newtoniano
2M 0 h
G' =
cos δ
4 0
πRγ
2M 0 h
G' ' =
sin δ
4 0
πRγ
Reometri rotazionali
Viscosimetro di Brookfield
Il rotore è immerso in una coppa
Si impone una velocità angolare
Si misura la coppia
La viscosità si ricava come rapporto tra
coppia e velocità di rotazione moltiplicato
per una costante di calibrazione
Misura rigorosa solo per fluidi Newtoniani
Solo valori indicativi per fluidi non-Newtoniani
Uso molto facile
Diversi rotori permettono di misurare ampio
range di viscosità
Limiti dei reometri rotazionali
Forze di inerzia (centrifughe)
Le forze centrifughe possono causare flussi
secondari (vortici).
Le maggiori dissipazioni richiedono coppie
maggiori e si traducono in una viscosità
(apparente) maggiore
Forze elastiche
Gli sforzi normali “spingono” il fluido verso il
centro. L’unica forza che bilancia questo
effetto è la tensione superficiale.
Al di sopra di una shear rate critica compare
la “edge fracture”.
Viscosimetro a capillare
La forza motrice è data dalla forza
peso, ossia dal battente idrostatico di
liquido che si realizza con la sua risalita
iniziale e che varia nel tempo durante la
prova.
La misura consiste nel misurare il tempo
di efflusso di un volume noto di liquido
attraverso il capillare, ed è, di norma
necessaria una correzione cinetica.
A Cannon-Fenske (liquidi trasparenti)
B Cannon-Fenske (liquidi opachi)
C Ubbelohde
Si calcola una viscosità cinematica con
l’espressione:
k''
ν = k 't − n
t
Viscosimetro a capillare
tipico uso: misura della viscosità di soluzioni diluite di polimeri,
calcolo della viscosità intrinseca e da questa del peso o altre
caratteristiche molecolari
η −η s
→ [η ] per c → 0
ηsc
[η ] = KM
a
Mark-Houwink-Sakurada
65
60
Polistirene in cicloesano:
55
50
3
/g]
45
s
40
s
[cm
(
η )/c η−η
η −ηs
ηsc
K=0.0955
a=0.49
[η] = 30.1 cm 3/g
35
30
M≅
≅125,000
25
20
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
c [g/cm3]
0.012
0.014
0.016
0.018
Viscosimetro a capillare
Equazioni per la correlazione dei dati di soluzioni diluite
lnη r
c
η −ηs
ηsc
[η ]
k ' [η ]
2
k ' ' [η ]
2
k ' = k ' '− 0.5
c
Reometro a capillare
Il polimero è spinto da un pistone in
un capillare.
V
Viene misurata la differenza della
pressione tra l’imbocco e lo sbocco
del capillare.
polimero
P
Nota la portata, la viscosità è data
(per fluidi Newtoniani) da:
L
R
η=
π R 4 ∆P
8Q L
Reometro a capillare
portata imposta
pressione imposta
pressione misurata
portata misurata
Reometro a capillare
Reometro a capillare
Effetti di imbocco:
La pressione è misurata prima dell’imbocco del capillare
∆P contiene anche le perdite di imbocco
Per determinare ∆Pcap è necessaria la correzione di Bagley
Reometro a capillare
∆Pmeas = ∆Pentr
 ∆P 
+ L

 L  cap
P [bar]
la correzione di Bagley
dipende da Re
lo sforzo alla parete si calcola
dalla ‘lunghezza effettiva’
del capillare
0
0
L
Misure svolte a portate differenti
(velocità medie differenti –
differenti numeri di Reynolds)
R ∆P
σw =
2 ( L + eR)
e = e(Re)
Reometro a capillare
effetto della correzione di Bagley
HDPE – 180°C
Reometro a capillare
La shear rate nel capillare è variabile ( γ& = γ& ( r ) )
Correzione di
Mooney-Rabinowitsch:
105
n
σw=∆PcapR/2L
γ& app =
γ& w = γ& app
dlog σw
n=
dlog γ& app
104
102
4Q
πR3
103
104
3
γapp=4Q/πR
σw
η ( γ& w ) =
γ& w
3n + 1
4n
Reometro a capillare
confronto tra dati grezzi e dati corretti
correzione di Mooney-Rabinowitsch
HDPE – 180°C
Reometro a capillare
Procedura sperimentale
Per ogni shear rate (portata):
misure con almeno 3 capillari
calcolo delle perdite di imbocco
Viscosity [Pa s]
1000
si ricava
100
10
1
101
∆Pcap R
σw =
L 2
Da tutte le shear rate:
102
103
104
-1
shear rate [s ]
105
si ricava la curva σw − γ& app
si determina n (log-log)
si determina γ& w
Si ricava la curva η( γ& w )
Melt Flow Index (MFI)
Principio di misura:
Il polimero viene fuso ad una temperatura
standard
Un peso standard viene applicato mediante
un pistone, forzando il polimero attraverso
un ugello di lunghezza e diametro standard
Il Melt Flow Index in queste condizioni è
definito come la massa (in grammi) di
polimero estrusa nel tempo standard di 10
minuti
Melt Flow Index (MFI)
L’MFI è particolarmente utile per:
Processo
Prodotto
Estrusione
Tubi
Fogli
Tubi sottili
Cavi
Fogli sottili
Fibre
Film
Normale
Pareti sottili
Stampaggio
Vacuum forming
Coating
MFI
<0.1
0.1-0.5
0.1-0.5
0.1-1
0.5-1
0.5-1
9-15
1-2
3-6
0.2-0.5
9-15
Controllo prodotti in ingresso
Degradazione termo-meccanica
Confronto tra polimeri di MW diverso
Scelta del materiale
L’MFI non può:
Sostituire la viscosità
Essere utilizzato per la simulazione
del processo
Dare indicazioni sulla viscoelasticità
L’MFI è uno standard ASTM e non è una viscosità
Alto MFI Bassa viscosità
MFI e viscosità
Non c’è un legame diretto tra MFI e viscosità ma solo
relazioni approssimate:
mρ
(poise)
η ≅ 49.4
MFI
ρ = densità [g/cm3]
m = peso applicato [g]
LDPE & LLDPE
4
10
viscosità apparente (Pas)
γ& app
MFI
−1
= 1.834
(s )
ρ
3
10
Exact 0203 LLDPE
Okiten 245A
OE 50/50
OE 62.5/37.5
OE 75/25
2
10
MFI 2.16 kg
MFI 5 kg
MFI 21.6 kg
1
10
2
10
3
10
4
10
shear stress (Pa)
5
10
Strumenti empirici o approssimati
Il flusso (anche nel caso di fluido Newtoniano) non è
modellabile analiticamente
La viscosità rappresenta comunque la “resistenza” del
liquido a fluire sotto l’azione di forze esterne
Una misura (qualitativa) di viscosità è sempre ottenibile
da un tempo (o una velocità, una portata, ecc.) di flusso
sotto l’azione di forze note, o viceversa dalla misura
della forza (o coppia, o potenza), una volta assegnata la
cinematica
ESEMPI
Coppe ad efflusso (coppa Ford)
Cono Marsh
Viscosimetri a caduta di sfera o a risalita di bolla
Strumenti con rotori a pale (viscosimetro di Stormer)
Cono Marsh
Usato per misurare la “fluidità” di
malte e affini.
Si misura il tempo di scarico del
materiale dall'orificio di un cono
standardizzato.
Conforme alla norma UNI EN 445
3.2.2.
Coppa Ford
Si misura il tempo di efflusso che è usato
come tale per definire la risposta (secondi
coppa Ford n.4) o per ricavare la viscosità
cinematica, con relazioni empiriche, se il
fluido è Newtoniano.
E’ usata per la caratterizzazione rapida di
oli, pitture, inchiostri, solventi, ecc.
Le caratteristiche e le modalità d’uso della
coppa sono standardizzate (ASTM Standard
D1200).
Viscosimetro Stormer
antesignano dei reometri a sforzo controllato
Si misura il peso necessario a produrre
una velocità di rotazione pari a 200 rpm
La misura è espressa in unità specifiche
(Krebs units)
E’ usata nel settore delle pitture.
Le caratteristiche e modalità d’uso sono standardizzate
(ASTM D562, GB/T 9269-88)
viscograph, amylograph
viscograph
Penetrometers, texture analyzers, consistometers
Texture analyzer,
Tenderometer,..
Penetrometro a
cono di Vicat
Slump test
Consistometri
Bostwick
Reometria estensionale
L
Stretching rate:
Sforzo di trazione:
v
Γ& =
L
T
σel =
A
Viscosità elongazionale:
T
σel
ηel =
Γ&
fluido Newtoniano: ηE = costante = 3η
η
fuso polimerico: ηE, η = f(
ε&, γ&
e struttura)
Viscosità elongazionale dei polimeri
ηE cresce a gradienti intermedi (ramificazioni):
strain hardening
ηE decresce a gradienti più alti
Tipi di flusso estensionale
Extension
Compression
x
Sheet stretching
z
Tipi di flusso estensionale
x
r
θ
r
r
x
+
Fiber spinning
x
x
y
z
z
Stagnation flows
r
θ
φ
x
r
θ
Bubble collapse
x
r
Entrance flows
Reometri estensionali
“Rotary clamps”:
Il fluido è “tirato” agli estremi
da due pulegge dentate.
La velocità delle pulegge
determina la velocità di
allungamento.
La forza di stiro viene misurata
ad uno degli estremi.
Ω1 + Ω2 ) Rc
(
ε& =
L0
σ el =
f ( t)
f ( t)
=
S ( t ) S0 exp ( −ε&t )
σ el
ηel ( t ) =
ε&
Reometri estensionali
Filatura:
Il fluido estruso da un capillare è
“tirato” dal basso da una puleggia.
La velocità della puleggia determina
la velocità di allungamento.
La forza di stiro viene misurata
alla puleggia.
Q
ε& ≅ 2
π R0 L
σ el =
σ el fL
ηel =
=
ε& Q
f
π R2o