Lucidi5
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Altre trasformazioni elementari Si possono definire altri tipi di trasformazioni elementari Analogamente alle trasformazioni di Gauss, esse danno luogo a fattorizzazioni Trasformazione elementari di Givens Esempio Se n=8, ϕ=π/4, i=3, j=6, la trasformazione di Givens è la matrice dove 1 Prodotto matrice vettore Caso n=2 Moltiplicare un vettore per una matrice di Givens equivale ad una rotazione di ampiezza ϕ. Osservazione Rotazione nel senso positivo degli archi In generale Il prodotto matrice vettore equivale ad una rotazione nell’iperpiano individuato da dove indicano l’-iesimo e il jesimo vettore della base canonica (colonne della matrice identità) 2 Proprietà La matrice è ortogonale (l’inversa coincide con la trasposta). Lo si vede dall’esempio in 2 dimensioni, poichè la trasposta esprime una rotazione in senso inverso. In generale si ha che Osservazione Osservazioni Le matrici ortogonali hanno la proprietà di avere un’inversa facilmente calcolabile (è la trasposta). L’idea è di usare le rotazioni di Givens in modo analogo alle trasformazioni di Gauss (matrici triangolari) per ottenere una fattorizzazione. Infatti Se è sempre possibile trovare valori di c ed s (trovare un angolo ϕ ) tale che 3 Il prodotto altera solo la iesima e la j-esima componente del vettore y secondo le relazioni Per annullare Data una matrice A, è possibile trovare tale che abbia l’elemento . occorre trovare c ed s tali che Inoltre Vengono alterate solo la riga i e la riga j della matrice prodotto 4 Fattorizzazione QR Usare le trasformazioni di Givens per ridurre a struttura triangolare una matrice (analogia con le trasformazioni di Gauss). Dopo n-1 passi Riassumendo TEOREMA Se A è una matrice nxn allora esiste una matrice ortogonale Q tale che dove R è triangolare superiore. è una matrice ortogonale perché prodotto di matrici ortogonali Si ha 5 Esempio: passo (1) Esempio: passo (1) Esempio: passo (1) Esempio: passo(2) 6 Esempio: passo(3) Esempio Esempio Complessità computazionale Passo 1 2 … n-1 Prodotti … Radici n-1 n-2 … 1 7 Osservazione La complessità della fattorizzazione QR è maggiore rispetto all’algoritmo di Gauss. Nel caso di matrici sparse può essere conveniente. Es: Matrici tridiagonali o di Hessemberg Osservazioni Si dimostra che la fattorizzazione QR equivale al procedimento di GramSchmidt. La fattorizzazione QR è utilizzata anche per Algoritmi per il calcolo degli autovalori di una matrice; Metodi per la soluzione di problemi di fitting (approssimazione) Soluzione di un sistema Calcolo dell’inversa Sostituzione all’indietro 8 Calcolo dell’inversa Calcolo dell’inversa Per definizione Se consideriamo l’uguaglianza per colonne otteniamo Se per esempio dove è la i-esima colonna dell’inversa e è la i-esima colonna della matrice identità Si risolvono n sistemi triangolari inferiori dove il termine noto è rappresentato dalle colonne della matrice identità e poi n sistemi triangolari superiori. Metodo di Gauss-Jordan Trasformazioni di GaussJordan Si risolvono contemporaneamente gli n sistemi La matrice A viene ridotta a forma diagonale mediante trasformazioni di Gauss-Jordan. Il prodotto equivale ad una combinazione lineare delle righe. La matrice risultante ha tutti elementi nulli sulla colonna i tranne l’elemento diagonale. 9 Dopo n-1 passi Si applicano n-1 trasformazioni alla matrice composta Si ottiene per definizione è l’inversa di A Osservazioni Esempio E’ una variante del metodo di Gauss. Si tratta di un procedimento di eliminazione. Anche in questo caso si può applicare la strategia di pivoting parziale. Il metodo di Gauss-Jordan ha complessità computazionale 10 Sommario dei metodi diretti Complessità computazionale Due librerie di subroutine per la risoluzione dei sistemi lineari (LAPACK) http://www.cs.colorado.edu/~jessup/lapack/ applets/linear_equations_routines.html (HSL) http://hsl.rl.ac.uk/contentshslarc.html#m La scelta del metodo dipende Dalla struttura della matrice (sparsa o densa) Dalla dimensione Dal condizionamento del sistema 11