Esercizi Esercizi di riepilogo 1 1. Trovare un supplementare in R4

Esercizi
Esercizi di riepilogo 1
1. Trovare un supplementare in R4 del sottospazio
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 = 0
U=
.
x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 0
2. Trovare l’equazione cartesiana del nucleo e dell’immagine dell’applicazione lineare L : R3 → R3 tale
che
   

  

 

1
1
0
0
1
−1
L 1  =  1 ,
L 1  =  0 ,
L  −1  =  −1  .
1
1
−1
0
0
−1
3. Scrivere la matrice definita da un’applicazione lineare LA : R3 → R3 tale che ker(LA ) = {2x1 − 2x2 + x3 = 0}.
4. Determinare U + W e U ∩ W dove
 
0
1
 0   1




W = Span   , 
0
1
1
0

U=
x1 + x3 = 0
x2 + x4 = 0
e


 ;

5. Scrivere la matrice definita da un’applicazione lineare LA : R3 → R3 iniettiva e tale che LA (U ) = W ,
dove
U = {x1 − 3x2 − 3x3 = 0}
e
W = {2x1 + x2 + x3 = 0} ;
6. Scrivere la matrice definita da un’applicazione lineare LA : R3 → R3 non iniettiva e tale che LA (v) = v
per ogni v ∈ {x1 + 5x3 = 0};
7. Trovare, al variare del parametro a ∈ R, l’equazione cartesiana del nucleo e dell’immagine dell’applicazione
lineare LA : R3 → R3 definita dalla matrice


a −a 0
A= 0 2 2 
a −1 0


0
Per quali valori di a esiste una soluzione di Ax =  2 ?
0
  

1
1
8. Scrivere la matrice definita da un’applicazione lineare LA : R3 → R3 tale che LA  1  =  1 ,
1
1
rg(LA ) = 2, e si abbia LA (U ) ⊂ U dove U = {x1 + x2 = 0}.
9. Trovare, al variare del parametro a ∈ R, l’equazione parametrica del nucleo e dell’immagine dell’applicazione
lineare LA : R3 → R3 definita dalla matrice


a 0 a
A= a 1 4 
2 −1 1
Per quali valori di a si ha R3 = U ⊕ ker(A), dove U = {2x1 + 5x3 = 0}?
1
Soluzioni.
1. W =
x1 = 0
x2 = 0
2. ker(L) = {x1 − 2x2 − 2x3 = 0} e Im(L) =

0
3. A =  0
2
0
0
−2
4. U ⊕ W = R4
 1
3
5. A =  −1
0

1
6. A =  0
− 15
x1 − x2 = 0
x1 − x3 = 0

0
0 
1

0 0
1 0 
0 1

0 0
1 0 
0 0
7. Se a 6= 0, 1 la matrice A è invertibile, quindi ker(A) = {0}e Im(A) = R3 . Se a = 0 si ha ker(A) =
x2 = 0
x1 − x2 = 0
e Im(A) = {x1 = 0}. Se a = 1 si ha ker(A) =
e Im(A) = {x1 − x3 = 0}.
x3 = 0
x2 + x3 = 0


0
In particolare troviamo che  2  ∈ Im(A) per ogni a ∈ R.
0


1 0 0
8. A =  0 1 0 
1
1
0
2
2
9. Se a 6=
0, 3 la 
matrice
A è invertibile, quindi ker(A) = {0} e Im(A) = R3 . 
Sea = 0 
siha ker(A) =


5
1
Span  8  e Im(A) = Span (e2 , e3 ). Se a = 3 si ha ker(A) = Span  1  e Im(A) =
−2
−1
Span (3e1 + 5e2 , e2 − e3 ). Infine si ha R3 = U ⊕ ker(A) per a = 3.
2