Struttura di dipendenza dei rischi assicurativi e i limiti alla

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Struttura di dipendenza dei rischi assicurativi
e i limiti alla diversicazione
Paolo Neri
Umberto Cherubini1
1 Università
di Bologna
Facoltà di Economia, Management e Statistica
XI Congresso Nazionale degli Attuari
Bologna, 16/06/2016
Introduzione
Distribuzioni Heavy tailed
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Riferimenti bibliograci
Il tema: code grasse in un paniere solo
Se assicuriamo per un certo ammontare due rischi, piuttosto
che in un rischio solo, la probabilità di perdita del capitale
diminuisce ?
Se assicuriamo due rischi anziché uno, per mantenere la stessa
probabilità di perdita dobbiamo accantonare meno capitale ?
Se i rischi hanno code particolarmente spesse, così da non
garantire l'esistenza della varianza, o addirittura della media, la
risposta a queste domande non è scontata.
E' il problema della non sub-additività del Value-at-Risk, cioè
dei quantili della distribuzione di perdita.
Applicazioni ? Rischi catastrofali. C'è un vasto dibattito sulla
possibilità di assicurazione (privata) di portafogli di rischi
catastrofali, e di comporre portafogli di riassicurazione.
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
L'importanza della dipendenza
Domande
Come inuisce la dipendenza sul grado di super-additività?
Come inuisce la dipendenza nelle code sul grado di
super-additività?
Intuizioni
Sappiamo che in caso di perfetta dipendenza il Value-at-Risk di un
portafoglio è uguale al portafoglio di Value-at-Risk (additività)
Sappiamo che in caso di dipendenza parziale il Value-at-Risk può essere
super-additivo
Quindi in certi casi la relazione tra dipendenza e grado di super-additività
(VaR della somma su somma dei VaR) è non monotona
La dipendenza nelle code dovrebbe aumentare il grado di super-additività
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Struttura di dipendenza nelle distribuzioni heavy tailed
Obbiettivo
Data due distribuzioni X, Y heavy tailed
valutare quale sia il comportamento del rischio nella diversicazione,
considerando la somma (X+Y) in funzione della struttura di dipendenza
Considerazioni iniziali
Il rischio nella diversicazione con marginali thin tailed (es. Gaussiana)
cresce in modo monotono rispetto alla struttura di dipendenza
Valutazione della diversicazione nella dipendenza di due v.a. X, Y
E' noto il caso di comonotonicity (Embrechts et al., 2003)
VaR(X + Y ) = VaR(X ) + VaR(Y )
Distribuzione multivariata α-stabili i.i.d. (es. Lévy, Cauchy)
diversicazione non diminuisce il rischio (Ibragimov and Walden, 2007),
(Ibragimov, 2009), (Ibragimov et al., 2011)
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Obbiettivo
Data due distribuzioni X, Y heavy tailed
valutare quale sia il comportamento del rischio nella diversicazione,
considerando la somma (X+Y) in funzione della struttura di dipendenza
Considerazioni iniziali
Il rischio nella diversicazione con marginali thin tailed (es. Gaussiana)
cresce in modo monotono rispetto alla struttura di dipendenza
Valutazione della diversicazione nella dipendenza di due v.a. X, Y
E' noto il caso di comonotonicity (Embrechts et al., 2003)
VaR(X + Y ) = VaR(X ) + VaR(Y )
Distribuzione multivariata α-stabili i.i.d. (es. Lévy, Cauchy)
diversicazione non diminuisce il rischio (Ibragimov and Walden, 2007),
(Ibragimov, 2009), (Ibragimov et al., 2011)
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Strumenti per determinare la diversicazione
Distribuzioni α-stabili
Funzioni di Copula
Value-at-Risk
Utilizzo delle distribuzioni α-stabili come modello per il rischio
catastrofale (Ibragimov et al., 2009)
comprendono classiche distribuzioni heavy tailed come Lévy, Cauchy
famiglia di distribuzione chiuse rispetto alla somma e al prodotto per uno
scalare
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Funzioni di Copula
Value-at-Risk
Funzioni di Copula
Determina la distribuzione congiunta come funzione della trasformata
sulle marginali
Dierenti funzioni di copula determinano strutture di dipendenza diverse
(simmetria, dipendenza di coda superiore e inferiore )
Utilizzato per estrarre una struttura di dipendenza tra le v.a.
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Funzioni di Copula
Value-at-Risk
Value-at-Risk
VaR è una misura di rischio non coerente (Artzner et al., 1999)
Caratterizzato da non subadditività
∃ X , Y : VaR(X ) + VaR(Y ) < VaR(X + Y )
VaR è una misura che non utilizza i momenti della distribuzione
VaRα (X ) = F −1 (α)(X ) = inf {x ∈ R : F (X ) ≥ α}
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
α-stabili : classe di distribuzione per rischi catastrofali
La famiglia di distribuzioni α-stabili S(α, β, γ, δ) è denita sui 4 parametri
α: profondità della coda, 0 < α ≤ 2
β : skewness (asimmetria), −1 ≤ β ≤ 1
γ : dispersione della distribuzione, γ ∈ [0, +∞]
δ : locazione della distribuzione, δ ∈ [−∞, +∞]
La funzione di distribuzione delle α-stabili non ha una forma chiusa.
Viene denita attraverso la funzione caratteristica ϕX (t)
(
i
h
i
h
exp{ıδt − γ α |t|α (1 − ıβsign(t) tan(πα/2))}, α 6= 1
ıtX
E ϕX (t) = E e
=
exp{ıδt − γ|t|(1 + ıβsign(t) π2 ln |t|)}, α = 1
Appartengono a questa famiglia le distribuzioni
Lévy= S( 12 , 1, 1, 0)
Cauchy= S(1, 0, 1, 0)
Gaussiana= S(2, 0, √12 , 0)
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
(
i
h
i
h
ıtX
E ϕX (t) = E e
=
Lévy= S( 12 , 1, 1, 0)
Cauchy= S(1, 0, 1, 0)
Gaussiana= S(2, 0, √12 , 0)
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
(
i
h
i
h
ıtX
E ϕX (t) = E e
=
Lévy= S( 12 , 1, 1, 0)
Cauchy= S(1, 0, 1, 0)
Gaussiana= S(2, 0, √12 , 0)
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
α-stabili : principali proprietà
Principali proprietà della famiglia delle α-stabili S(α, β, γ, δ)
a) Siano X1 ∈ S(α, β1 , γ1 , δ1 ) e X2 ∈ S(α, β2 , γ2 , δ2 ) v.a. indipendenti.
Allora la somma X1 + X2 ∼ S(α, β, γ, δ) , dove
β=
β1 γ1α + β2 γ2α
,
γ1α + γ2α
γ = (γ1α + γ2α )1/α ,
δ = δ1 + δ2
b) Per ogni valore di 0 < α ≤ 2, si ha
X ∼ S(α, β, γ, δ) ⇔ −X ∼ S(α, −β, γ, δ)
ovvero simmetria rispetto alla locazione della distribuzione
c) Un importante risultato riguarda i momenti di ordine p di una v.a. α-stabile.
Sia X ∼ S(α, β, γ, 0), con 0 < α < 2. Allora
E|X |p < ∞,
∀0<p<α
E|X |p = ∞,
∀p≥α
Da cui segue che la famiglia delle α-stabili non ammette momento secondo nito
per α < 2 e perciò la varianza non è denita.
Inoltre, si preclude anche l'esistenza del valore atteso per α ≤ 1.
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
β=
,
γ1α + γ2α
γ = (γ1α + γ2α )1/α ,
δ = δ1 + δ2
X ∼ S(α, β, γ, δ) ⇔ −X ∼ S(α, −β, γ, δ)
E|X |p < ∞,
∀0<p<α
E|X |p = ∞,
∀p≥α
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
β=
,
γ1α + γ2α
γ = (γ1α + γ2α )1/α ,
δ = δ1 + δ2
X ∼ S(α, β, γ, δ) ⇔ −X ∼ S(α, −β, γ, δ)
E|X |p < ∞,
∀0<p<α
E|X |p = ∞,
∀p≥α
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
α-stabili : un esempio di tting sui dati
Fitting Copenhagen Reinsurance fire losses (1980 - 1990)
0.8
0.7
Data
Fit stable density
α = 0.82068 β = 1 γ = 0.40896 δ = -0.1518
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
10
Log - Millions of Danish Krone
100
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Funzioni di Copula
Denizione (Copula)
una copula bi-dimensionale è una funzione C a valori reali, denita sul dominio
DomC = [0, 1] × [0, 1] = I2 , con le seguenti proprietà
1 ∀ u, v ∈ I,
C (u, 0) = C (0, v ) = 0
2 ∀u1 , u2 , v1 , v2 ∈ I
tale
che
C (u, 1) = u
C (1, v ) = v
u1 ≤ u2 e v1 ≤ v2
C (u2 , v2 ) − C (u2 , v1 ) − C (u1 , v2 ) + C (u1 , v1 ) ≥ 0
Teorema (Sklar, 1959)
Sia H la funzione di distribuzione congiunta relativa alle marginali F e G.
Allora esiste una copula C tale che per ogni x, y ∈ R
H(x, y ) = C(F (x), G (y ))
Le funzioni di copula permettono di specicare la struttura di dipendenza in
maniera separata dalle distribuzioni marginali.
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Funzioni di Copula
Denizione (Copula)
una copula bi-dimensionale è una funzione C a valori reali, denita sul dominio
DomC = [0, 1] × [0, 1] = I2 , con le seguenti proprietà
1 ∀ u, v ∈ I,
C (u, 0) = C (0, v ) = 0
2 ∀u1 , u2 , v1 , v2 ∈ I
tale
che
C (u, 1) = u
C (1, v ) = v
u1 ≤ u2 e v1 ≤ v2
C (u2 , v2 ) − C (u2 , v1 ) − C (u1 , v2 ) + C (u1 , v1 ) ≥ 0
Teorema (Sklar, 1959)
Sia H la funzione di distribuzione congiunta relativa alle marginali F e G.
Allora esiste una copula C tale che per ogni x, y ∈ R
H(x, y ) = C(F (x), G (y ))
Le funzioni di copula permettono di specicare la struttura di dipendenza in
maniera separata dalle distribuzioni marginali.
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Valutazione del portafoglio con struttura di dipendenza
1
Valutazione di X + Y con dipendenza di copula
Date due v.a. i.d. X, Y ∼ S(α, β, γ, δ), FX ∼ FY , si deve determinare il
VaRq (X + Y ), su tutta la struttura di dipendenza τ ∈ [−1, 1]
utilizzo delle funzioni di copula C(u,v) per associare la
struttura di dipendenza tra le v.a. α-stabili X, Y
calcolo della distribuzione della somma F
quantile di ordine q, VaRq (X + Y ) = −F −1 (q)
X +Y
X +Y
2
Rapporto di subadditività
Date le distribuzioni i.d. X , Y ∼ S(α, β, γ, δ)
Si denisce il Rapporto di subadditività al livello di condenza q
(
RSq ≥ 1, non subadditività
VaRq (X + Y )
RSq =
VaRq (X ) + VaRq (Y )
RSq < 1, subadditività
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Valutazione del portafoglio con struttura di dipendenza
1
Valutazione di X + Y con dipendenza di copula
Date due v.a. i.d. X, Y ∼ S(α, β, γ, δ), FX ∼ FY , si deve determinare il
VaRq (X + Y ), su tutta la struttura di dipendenza τ ∈ [−1, 1]
utilizzo delle funzioni di copula C(u,v) per associare la
struttura di dipendenza tra le v.a. α-stabili X, Y
calcolo della distribuzione della somma F
quantile di ordine q, VaRq (X + Y ) = −F −1 (q)
X +Y
X +Y
2
Rapporto di subadditività
Date le distribuzioni i.d. X , Y ∼ S(α, β, γ, δ)
Si denisce il Rapporto di subadditività al livello di condenza q
(
RSq ≥ 1, non subadditività
VaRq (X + Y )
RSq =
VaRq (X ) + VaRq (Y )
RSq < 1, subadditività
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Metodi di calcolo della distribuzione
Sono stati implementati due metodi di calcolo
1
Simulazione MonteCarlo della v.a. W = X + Y
Calcolo della distribuzione. Generazione di N realizzazioni
(N grande, ∼ 107 ) delle v.a. α-stabili X , Y legate da una
copula Cθ che ne denisce la dipendenza
W = FX−1 (u) + FY−1 (v )
u, v ∼ Unif (0, 1)
2
C-Convoluzione delle v.a. X , Y ⇒ W = X + Y sulla copula Cθ
(Cherubini et al., 2011)
C
Z
FX ∗ FY (t) =
0
1
d C ω, FY (t − FX−1 (ω)) dω
dω
Calcolo della distribuzione. Risoluzione numerica dell'integrale
su ogni punto t ∈ Dom(W )
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
1
W = FX−1 (u) + FY−1 (v )
u, v ∼ Unif (0, 1)
2
C
Z
FX ∗ FY (t) =
0
1
dω
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
1
W = FX−1 (u) + FY−1 (v )
u, v ∼ Unif (0, 1)
2
C
Z
FX ∗ FY (t) =
0
1
dω
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Struttura del rischio: Copule Ellittiche
Consideriamo in seguito due funzioni di Copula ellittiche per determinare la struttura del rischio in rapporto alla dipendenza del
portafoglio
Gaussian copula
C (u1 , u2 , ..., un ) = φn φ−1 (u1 ), φ−1 (u2 ), ..., φ−1 (un ), ρ
Student-t copula
C (u1 , u2 , ..., un ) = tνn tν−11 (u1 ), tν−21 (u2 ), ..., tν−n1 (un ), ρ
Diversamente dalla copula Gaussiana, per la Student-t copula
è presente anche il coeciente dipendenza di coda
λU = λL = 2tν+1
√
√
1−ρ
ν + 1√
1+ρ
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Risultati
V aRq (X + Y )
V aRq (X) + V aRq (Y )
StableDist(α = 0.2, β = 0, γ = 1, δ = 0), q = 0.01
gaussian
t nu(1)
t nu(2)
t nu(5)
16
V aRq (X + Y )
14
12
10
8
6
4
2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Kendall's Dependence
0.4
0.6
0.8
1
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Risultati
V aRq (X + Y )
1
StableDist(α = 2, β = 0, γ = √ , δ = 0), q = 0.01
2
1
V aRq (X + Y )
0.9
t nu(5)
t nu(2)
t nu(1)
gaussian
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Risultati
1
V aRq (X + Y )
1
StableDist(α = 2, β = 0, γ = √ , δ = 0), q = 0.1
2
V aRq (X + Y )
0.9
t nu(5)
t nu(2)
t nu(1)
gaussian
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
-0.5
0
0.5
1
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Risultati
1.1
V aRq (X + Y )
StableDist(α = 1, β = 0, γ = 1, δ = 0), q = 0.1
V aRq (X + Y )
1
0.9
t nu(5)
t nu(2)
t nu(1)
gaussian
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Risultati
1.1
V aRq (X + Y )
V aRq (X + Y )
1
0.9
t nu(5)
t nu(2)
t nu(1)
gaussian
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Risultati
V aRq (X + Y )
1.1
V aRq (X + Y )
1
0.9
t nu(5)
t nu(2)
t nu(1)
gaussian
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Risultati
V aRq (X + Y )
1.1
V aRq (X + Y )
1
0.9
t nu(5)
t nu(2)
t nu(1)
gaussian
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Conclusioni
La presenza di code grasse rende problematica l'aggregazione
dei rischi, perché il capitale economico necessario a garantirli
può aumentare in maniera esclusiva.
Per rischi α-stabili identicamente distribuiti la relazione tra
grado di dipendenza dei rischi e grado di super-additività è non
monotono per valori di α ≤ 1.
La presenza di dipendenza nelle code modera, anziché
accentuare, il problema di super-additività per i livelli di
probabilità tipicamente considerati.
Problemi aperti.
Rischi non identicamente distribuiti: può una coda grassa
infettare un portafoglio?
Strutture di dipendenza non standard: ad esempio, qual è
l'impatto di singolarità nella struttura di dipendenza, cioè
casi in cui eventi congiunti si possono vericare
simultaneamente con probabilità positiva?
Introduzione
Funzioni di Copula
Applicazioni
Conclusioni
Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., and Heath, D. (1999). Coherent measures
of risk. Mathematical nance, 9(3):203228.
Cherubini, U., Mulinacci, S., Gobbi, F., and Romagnoli, S. (2011). Dynamic
Copula methods in nance, volume 625. John Wiley & Sons.
Embrechts, P., Höing, A., and Juri, A. (2003). Using copulae to bound the valueat-risk for functions of dependent risks. Finance and Stochastics, 7(2):145
167.
Ibragimov, R. (2009). Portfolio diversication and value at risk under thicktailedness†. Quantitative Finance, 9(5):565580.
Ibragimov, R., Jaee, D., and Walden, J. (2011). Diversication disasters.
Journal of nancial economics, 99(2):333348.
Ibragimov, R., Jaee, D., Walden, J., et al. (2009). Nondiversication traps in
catastrophe insurance markets. Review of Financial Studies, 22(3):959993.
Ibragimov, R. and Walden, J. (2007). The limits of diversication when losses
may be large. Journal of Banking & Finance, 31(8):25512569.
Nelsen, R. B. (2007). An introduction to copulas. Springer Science.
Neri, P. (2016). Fat tails and limits of diversifacation: the case of dependent risks.
Master's thesis, Università di Bologna, Facoltà di Economia, Management e
Statistica, CdL Magistrale in Scienze Statistiche, Finanziarie ed Attuariali.
Nolan, J. P. (1997). Numerical calculation of stable densities and distribution
functions. Communications in statistics. Stochastic models, 13(4):759774.

Struttura di dipendenza dei rischi assicurativi e i limiti alla

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