geometria - Tutto per la gloria di Dio

Matematica
Introduzione alla geometria
prof.
Vincenzo De Felice
2014
Problema. Si mostri che un triangolo con due bisettrici uguali è isoscele.
B
B
B
B
B
B
B
Z
B
B
B
Z
B
Z
Z
B
Z
Z BB
Z
ZB
La matematica è sfuggente.
Ziodefe
1
2
Tutto per la gloria di Dio
3
1
Assioma di Talete
I concetti di punto, retta, piano ed appartenenza sono concetti primitivi, cioè non ulteriormente specificati.
Definizione. Una retta su un piano individua due regioni di piano
dette semipiani.
ASSIOMA 1 (Talete) Tutti i semipiani sono uguali.
Definizione. Un punto P su una retta individua su questa due parti
dette semirette di estremo P .
Definizione. Due rette si dicono incidenti se e solo se sono distinte
e hanno un punto in comune.
Definizione. Due rette incidenti nel punto P individuano quattro
regioni di piano dette angoli di vertice P e di lati le semirette individuate
da P .
Definizione. Due angoli aventi in comune un lato e il vertice si dicono
adiacenti.
Definizione. Due rette incidenti individuano due coppie di angoli non
adiacenti, dette coppie di angoli opposti al vertice, e quattro coppie di
angoli adiacenti detti supplementari.
Teorema 1 Gli angoli opposti al vertice sono uguali.
→ α̂=γ̂ ∧ β̂=δ̂
PP
PP
β
γ
α PP
PPP
PP
δ
PP
P
P
PP
P
Dimostrazione. Dimostriamo che α = γ.
Consideriamo i semipiani α + β e β + γ
PP
PP
γ
α PP
P
PP
PP
PP
P
P
PP
P
β
4
Sono uguali per l’assioma 1, e se da questi due oggetti uguali levo β ottengo
oggetti uguali, cioè α = γ.
Definizione. Due rette incidenti sono perpendicolari se e solo se
formano quattro angoli uguali, detti retti.
Definizione. La bisettrice di un angolo è la retta passante per il suo
vertice che divide l’angolo in due angoli uguali.
Esercizio 1 Le bisettrici di due angoli supplementari sono perpendicolari.
5
2
Poligoni
ASSIOMA 2 Per due punti distinti passa una e una sola retta.
Definizione. Due punti distinti A e B su una retta individuano su di
essa due semirette e il segmento AB di estremi i punti A e B.
Definizione. Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide
in due segmenti uguali.
Definizione. L’insieme dei segmenti AB, BC, ..., KL e dei punti A,
B, C, ..., K e L si chiama spezzata. Se i punti A, B, C, ..., K e L stanno
su uno stesso piano e il punto L coincide col punto A, la spezzata prende il
nome di poligono, i punti A, ... prendono il nome di vertici e i segmenti
AB, ... prendono il nome di lati. Poligoni con tre, quattro, ..., n lati si
chiamano triangoli, quadrilateri, ..., n-agoni.
Definizione. Gli n vertici di un poligono individuano n angoli, detti
interni al poligono. I 2n angoli supplementari a questi si dicono esterni al
poligono.
Definizione. Un poligono è equilatero se ha tutti i lati uguali, è
equiangolo se ha tutti gli angoli interni uguali, è regolare se è equilatero
ed equiangolo.
Definizione. In un poligono, due vertici sono opposti se non sono
estremi di uno stesso lato, due angoli sono opposti se non hanno lati in
comune, due lati sono opposti se non hanno vertici in comune, un vertice è
opposto ad un lato se non è un suo estremo, un angolo è opposto ad un
lato se il suo vertice non è un suo estremo.
Definizione. Le bisettrici di un poligono sono le bisettrici dei suoi
angoli interni. Una mediana di un poligono è una retta passante per un
vertice e per il punto medio di un suo lato opposto. Un’altezza di un poligono è una retta passante per un vertice e perpendicolare ad un suo lato
opposto. Una diagonale di un poligono è un segmento i cui estremi sono
vertici opposti.
6
Esercizio 2 In ogni n-agono, ogni vertice ha n − 3 vertici opposti ed n − 2
lati opposti.
Esercizio 3 In ogni n-agono, ogni lato ha n−3 lati opposti ed n−2 angoli
opposti.
Esercizio 4 Ogni n-agono ha n bisettrici, n(n − 2) mediane, n(n − 2)
altezze ed n(n − 3)/2 diagonali.
7
3
Triangoli
ASSIOMA 3 Io Criterio di uguaglianza dei triangoli
Se due triangoli hanno rispettivamente uguali due lati e l’angolo compreso,
allora sono uguali.
Teorema 2 In ogni triangolo isoscele due angoli interni sono uguali.
AB=BC → Â=Ĉ
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
A
Dimostrazione.
uguali
C
Si tracci la bisettrice dell’angolo compreso tra i due lati
B
p
ppB
pppp B
ppp B
pppp B
ppp B
pp B
ppp
B
pp
pp
B
ppp
B
A
D
C
Consideriamo i triangoli ABD e DBC.
AB = BC
BD
AB̂D = DB̂C
per ipotesi
in comune
per costruzione
I triangoli sono uguali per il Io Criterio, in particolare  = Ĉ.
8
Teorema 3 In ogni triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di
ciascuno degli angoli interni non adiacenti.
→ δ̂>Â ∧ δ̂>B̂
B
Q
QQ
Q
A
Q
Q
Q
QQ δ
C
Dimostrazione. Dimostriamo che δ̂ > B̂ (δ̂ > Â è simile).
Sia M il punto medio di BC.
Sulla retta per A ed M (ass. 2) sia D il punto tale che AM = M D.
Si tracci la retta per C e D (ass. 2), ottenendo
B
pp
D p p pp p
p p pp
p p p p p ppp
QQ
p
p
p
p
p
Q M ppppppppp
pp
pp
Qp p p p p p
p
pp
p p p p QQ
pp
ppppp
p
p
p
p
p
p
Q
ppppp
QQp p p p
ppp
p p p p p
pp
A
pp C
Consideriamo i triangoli ABM e CM D.
BM = M C
AM = M D
per costruzione
per costruzione
AM̂ B = C M̂ D
per il teorema 1
I triangoli sono uguali per il Io Criterio, in particolare M ĈD = B̂.
Avremo perciò
δ̂ > M ĈD = B̂.
Teorema 4 IIo Criterio di uguaglianza dei triangoli
Se due triangoli hanno rispettivamente uguali un lato e gli angoli
adiacenti ad esso, essi sono uguali.
Â=Â0 ∧ AC=A0 C 0 ∧ Ĉ=Ĉ 0 → ABC=A0 B 0 C 0
9
B0
B
@
@
@
@
@
@C
A
@
@
@
@
@
@ C0
A0 Dimostrazione. Per assurdo. Se i triangoli fossero diversi, avremmo anche
gli altri due lati diversi, ad esempio AB > A0 B 0 . Potrei perciò trovare su AB
un punto D tale che AD = A0 B 0
B0
B
p p@
p p@
ppp
p@
ppp
ppp
@
ppp
@p p
pp
@
D
A
C
@
@
@
@
@
@ C0
A0 Consideriamo i triangoli ADC e A0 B 0 C 0 .
AD = A0 B 0
AC = A0 C 0
per costruzione
per ipotesi
 = Â0
per ipotesi
I triangoli sono uguali per il Io Criterio, in particolare AĈD = Ĉ 0 .
Ma per ipotesi Ĉ = Ĉ 0 , perciò AĈD = Ĉ, assurdo.
Teorema 5 IIIo Criterio di uguaglianza dei triangoli
Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre lati, essi sono
uguali.
AB=A0 B 0 ∧ BC=B 0 C 0 ∧ AC=A0 C 0 → ABC=A0 B 0 C 0
B0
B
S
S
S
S
A
S
S
S
SC
A0
S
S
S
S C0
Dimostrazione. Sul lato AC, dalla parte opposta a B rispetto ad AC,
riportiamo il triangolo A0 B 0 C 0 , e si tracci il segmento per B e B 0 .
10
B
p
ppppS
ppp S
pp S
pp
S
pp
pp
S
ppp
SC
pp
A
pp
Q
p
Q
p
pp
Q
ppp
Q
Q
ppp Q
pp
Q
p
QQppp
B0
Consideriamo i triangoli BAB 0 e BCB 0 : sono isosceli per ipotesi. In particolare AB̂B 0 = AB̂ 0 B e C B̂B 0 = C B̂ 0 B. Ma somme di angoli uguali sono
angoli uguali, perciò AB̂B 0 + C B̂B 0 = AB̂ 0 B + C B̂ 0 B, cioè B̂ = B̂ 0 . Ne
segue che i due triangoli hanno uguali due lati e l’angolo compreso e per il Io
criterio sono uguali.
Teorema 6 Se in un triangolo due lati non sono uguali, l’angolo opposto al lato maggiore è maggiore dell’angolo opposto al lato
minore.
AB>BC → Ĉ>Â
B
A
C
Dimostrazione. Se AB > BC, posso prendere un punto D su AB tale che
BD = BC.
Tracciamo la retta per D e C (ass. 2), ottenendo un triangolo isoscele DBC
B
Dp
A
ppp
ppp
ppp
pp
C
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Ĉ > DĈB
per costruzione
= C D̂B
per il teorema 2
> Â
per il teorema 3
Teorema 7 Se in un triangolo due angoli non sono uguali, il lato
opposto all’angolo maggiore è maggiore del lato opposto all’angolo
minore.
Ĉ>Â → AB>BC
B
A
C
Dimostrazione. Per assurdo. Se fosse AB = BC avremmo per il teorema 2 che Ĉ = Â contraddicendo l’ipotesi. Se fosse AB < BC avremmo
per il teorema 6 che Ĉ < Â, contraddicendo l’ipotesi.
Teorema 8 In ogni triangolo ogni lato è minore della somma degli
altri due.
→ AC<AB+BC ∧ AB<BC+AC ∧ BC<AC+AB
B
A
AA
A
A
A
C
Dimostrazione. Mostriamo ad esempio che AC < AB + BC.
Sul prolungamento di AB sia D un punto tale che BD = BC, e tracciamo
la retta per D e C, ottenendo il triangolo isoscele BDC:
p p p pp
p p p p pppp
p
p
p
ppp
pp
Bpppp
pp
p
p
p
AA
pp
pp p
A
pp
A pppp
Ap
D
A
C
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Abbiamo per il teorema 2 che
B D̂C = B ĈD < AĈD
e quindi per il teorema 7
AC < AD = AB + BC
Esercizio 5 In ogni triangolo isoscele due mediane sono uguali.
Esercizio 6 In ogni triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli
altri due.
13
4
Assioma di Euclide
Definizione. In un piano, due rette intersecate da una terza (trasversale) formano otto angoli, che a coppie assumono nomi particolari. Riferendoci alla figura
A
A
4 A3
1A 2
A 7 8 A
5 A6
A
A
gli angoli 1 e 7, 2 e 8 si chiamano alterni interni, gli angoli 4 e 6, 3 e 5 si
chiamano alterni esterni, gli angoli 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8 si chiamano
corrispondenti, gli angoli 1 e 8, 2 e 7 si chiamano coniugati.
Definizione. Due rette sono parallele se e solo se giacciono sullo
stesso piano (sono complanari) e non hanno punti in comune.
ASSIOMA 4 (Euclide) Data una retta r e un punto P esterno a questa,
esiste una e una sola retta s passante per P e parallela ad r.
Teorema 9 Due rette tagliate da una trasversale formano angoli
alterni interni uguali se e solo se sono parallele.
s
β
r
α
Dimostrazione. (→) Supponiamo che α̂ = β̂ e dimostriamo che r k s.
Per assurdo. Se le rette non fossero parallele, si intersecherebbero
β
r
α
s
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formando un triangolo con un angolo esterno uguale ad uno interno non
adiacente, contraddicendo il teorema 3.
(←) Supponiamo che r k s e dimostriamo che α̂ = β̂.
Per assurdo. Se i due angoli fossero diversi, potrei supporre ad esempio che
α̂ < β̂, potendo tagliare dunque β̂ con una retta t ottenendo un angolo γ̂ = α̂
s
(
(
((
(((
(
(
(
((( γ
t ((((
(
α
r
da cui ne seguirebbe per la prima parte di questo teorema che t k r, ottenendo in questo modo due parallele ad r passanti per uno stesso punto,
contraddicendo l’assioma 4.
Corollario 10 Due rette tagliate da una trasversale formano angoli
corrispondenti uguali se e solo se sono parallele.
Dimostrazione. Gli angoli corrispondenti sono uguali se e solo se gli angoli
alterni interni sono uguali (teorema 1), e questo se e solo se le rette sono
parallele (teorema 9).
Teorema 11 In ogni triangolo, la somma degli angoli interni è
uguale ad un angolo piatto.
→ α̂+β̂+γ̂=π
Q
β QQ
Q
α
Q
Q
Q
γ
QQ
Dimostrazione. Tracciamo per un vertice del triangolo la parallela al lato
opposto (assioma 4).
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
δ Q ε
β QQ
Q
Q
Q
Q
α
γ Q
Q
15
Avremo che δ̂ = α̂ e ε̂ = γ̂ perchè alterni interni (teorema 9).
Dunque
α̂ + β̂ + γ̂ = δ̂ + β̂ + ε̂
cioè un angolo piatto.
Teorema 12 In ogni triangolo, ogni angolo esterno è uguale alla
somma degli angoli interni non adiacenti.
→ δ̂=α̂+β̂
Q
β QQ
Q
α
Q
Q
Q
QQ δ
Dimostrazione. Tracciamo per un vertice del triangolo la parallela al lato
opposto (assioma 4).
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ε Q
β QQ
Q
Q
Q
Q
QQ δ
α
Avremo che δ̂ = ε̂ + β̂ e α̂ = ε̂ perchè alterni interni (teorema 9).
Dunque
δ̂ = ε̂ + β̂ = α̂ + β̂.
Esercizio 7 Due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro (il
parallelismo è transitivo).
Esercizio 8 Due rette perpendicolari ad una terza sono parallele tra loro.
16
Esercizio 9 Una retta perpendicolare ad una retta r, è perpendicolare
anche ad ogni retta parallela ad r.
Esercizio 10 Per un punto passa una e una sola perpendicolare ad una
retta data.
Esercizio 11 Ogni triangolo con due angoli uguali è isoscele.
Esercizio 12 Ogni triangolo è isoscele se e solo se ha due altezze uguali.
Esercizio 13 In ogni triangolo isoscele due bisettrici sono uguali.
Esercizio 14 La somma degli angoli interni di ogni quadrilatero è uguale
ad un angolo giro.
Esercizio 15 La somma degli angoli interni di ogni poligono ad n lati è
uguale a (n − 2)π.
17
5
Quadrilateri
Ricordiamo le seguenti definizioni:
Definizione. Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli.
Definizione. Un quadrilatero equilatero si chiama anche rombo,
un quadrilatero equiangolo si chiama anche rettangolo, un quadrilatero
regolare si chiama anche quadrato.
Definizione. Un deltoide è un quadrilatero con due coppie di lati
uguali.
Teorema 13 Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se ha
i lati opposti uguali.
ABkCD ∧ BCkAD ↔ AB=CD ∧ BC=AD
B
C
D
A
Dimostrazione.
Tracciamo la diagonale BD
B
A
pp
pp
C
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
D
(→) Consideriamo i triangoli ABD e BCD.
BD
in comune
AB̂D = B D̂C
per il teorema 9
AD̂B = DB̂C
per il teorema 9
18
I triangoli sono uguali per il IIo Criterio, in particolare AB = CD e BC =
AD.
(←) Consideriamo i triangoli ABD e BCD.
BD
AB = CD
AD = BC
in comune
per ipotesi
per ipotesi
I triangoli sono uguali per il IIIo Criterio, in particolare AB̂D = B D̂C e
AD̂B = DB̂C da cui seguono, rispettivamente, AB k CD e BC k AD.
Teorema 14 Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se ha
gli angoli opposti uguali.
ABkCD ∧ BCkAD ↔ Â=Ĉ ∧ B̂=D̂
B
C
A
D
Dimostrazione. → Dimostriamo ad esempio che β = δ.
Per i teoremi 9 e 2, β = ε = ε0 = δ.
β
p p pεp ppp p α
p p p ε0
γ
δ
(←) Dimostriamo ad esempio che AD k BC. Per l’esercizio 14 si ha α̂ + β̂ +
γ̂ + δ̂ = 2π e per ipotesi abbiamo α̂ = γ̂ e β̂ = δ̂. Ne segue che α̂ + β̂ = π.
Ma abbiamo anche che α̂ + ε̂ = π, da cui β̂ = ε̂ e per il teorema 9 si ha
AD k BC.
19
Esercizio 16 Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se le diagonali si dividono scambievolmente a metà.
Esercizio 17 Ogni rombo e ogni rettangolo è un parallelogramma.
Esercizio 18 Ogni rombo ha le diagonali perpendicolari.
Esercizio 19 In ogni rombo le bisettrici sono le diagonali.
Esercizio 20 Ogni rettangolo ha le diagonali uguali.
Esercizio 21 Ogni deltoide ha due angoli interni uguali.
Esercizio 22 Ogni deltoide ha le diagonali perpendicolari ed una di esse
è bisettrice di due angoli opposti e divide a metà l’altra.
20
6
La circonferenza
Definizione. Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti
che godono di una particolare proprietà.
Definizione. Una circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto detto centro. Ogni segmento avente come estremi il
centro di una circonferenza e un punto di questa prende il nome di raggio.
Una corda di una circonferenza è un segmento i cui estremi appartengono a
questa. Un diametro è una corda passante per il centro.
Definizione. Un triangolo è inscritto in una circonferenza se i suoi
vertici appartengono a questa. Un triangolo è inscritto in una semicirconferenza se inscritto in questa e se un lato è anche diametro.
Teorema 15 (Talete) Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.
O∈AC → B̂=π/2
B
A
Dimostrazione.
A
A
A
A
A
A
A
q
O
C
Tracciamo il raggio di cui un estremo è il vertice B̂.
B
A
p
pp A
p
A
p p p
A
p
p
A
pp p
A
p
p
A
pp p
A
p
O
C
21
I due triangoli ABO e BOC sono isosceli perchè AO, OB e OC sono raggi
della stessa circonferenza. In particolare  = AB̂O e Ĉ = OB̂C (teorema 2).
Ne segue che B̂ = AB̂O + OB̂C = Â + Ĉ. Di qui,
 + B̂ + Ĉ = B̂ + B̂
ma la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto (teorema 11), da cui B̂ è retto.
Esercizio 23 In ogni circonferenza, ogni sua corda è minore o uguale di
ogni suo diametro.