Lezione 25 - Introduzione al progetto di controllori in

Lezione 25.
Introduzione al progetto
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Schema
1. Il problema del progetto
2. Specifiche di progetto
3. Formulazione delle specifiche
4. Loop shaping: progetto statico e progetto dinamico
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1. Il problema del progetto
dA
w
+
-
e
R(s)
G(s)
+
y
+
Determinare R(s ) in modo che il sistema retroazionato
soddisfi alcune specifiche assegnate.
Nel seguito si assumerà che L(s ) soddisfi in ogni caso
le condizioni di applicabilità del criterio di Bode.
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2. Specifiche di progetto
 Stabilità in condizioni nominali
Criterio di Bode
µ>0 & ϕm>0
 Stabilità robusta
ϕm e/o km elevati
 Precisione statica
g>0 e/o µ elevato
 Precisione dinamica
- velocità
ωc elevata
- smorzamento
ϕm elevato
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 Attenuazione disturbi
in andata
|L(jω)| >> 0 dB
per ω < ωc
(ωc elevata)
 Attenuazione disturbi
in retroazione
|L(jω)| << 0 dB
per ω > ωc
(ωc non troppo
elevata)
 Moderazione del controllo
|R(jω)| << 0 dB
per ω > ωc
 Realizzabilità del regolatore
R(s) almeno
propria
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3. Formulazione delle specifiche di progetto
Specifiche statiche
e(∞ ) ≤ e
con w(t) e dA(t) dati
(di solito scalini e/o rampe)
Specifiche dinamiche
 ωmin ≤ ωc ≤ ωmax
 ϕm ≥ ϕm
 km ≥ k m
specifica di velocità
specifiche di robustezza
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Altre formulazioni delle specifiche
possono essere trasformate nelle precedenti.
Specifica dinamica di velocità
 Tempo di assestamento della risposta allo scalino
del sistema retroazionato t a < t
 Se F(s) ha poli dominanti complessi
Infatti t a ≅
5
500
≅
<t
ξωn ϕm ωc
ωc >
500
ϕmt
500
ωc >
ϕmt
Quale valore per φm?
Se c’è una specifica di robustezza (ϕm ≥ ϕm) si sceglie il limite di
tale specifica
 Se F(s) ha polo dominante reale
5
Infatti t a ≅
<t
ωc
5
ωc >
t
ωc >
5
t
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Esempio
Progettare un controllore R(s) per una assegnata G(s) in modo che:
 la risposta allo scalino del sistema retroazionato
abbia tempo di assestamento t a < 5 s
 il margine di fase del sistema retroazionato sia ϕm ≥ 30°
La specifica sul tempo di assestamento si può tradurre
nella seguente
500 500 10
ωc >
=
=
rad/s
ϕmt 30 ⋅ 5 3
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approfondimento
Specifica dinamica di robustezza
 Massima sovraelongazione
percentuale S% < S
−
Infatti S % = 100e
ξπ
1−ξ 2
&
ϕm >
ϕm
ξ≅
100
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 100 
100 ln

 S 
  100  
π 2 +  ln

  S 
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approfondimento
E’ possibile dare specifiche più precise per la reiezione dei disturbi.
Per esempio è possibile richiedere uno specifico valore di
attenuazione (N dB) di disturbi in una certa banda [ω1,ω2].
 Disturbo sulla linea di andata nella
banda [ω1,ω2] attenuato di almeno N dB
|L(jω)| ≥ N dB
per ω∈ [ω1,ω2]
(con ωc ≥ ω2)
 Disturbo sulla linea di retroazione nella
banda [ω1,ω2] attenuato di almeno N dB
|L(jω)| ≤ – N dB
per ω∈ [ω1,ω2]
(con ωc ≤ ω1)
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Esempio
approfondimento
Progettare un controllore R(s) per una assegnata G(s) in modo tale
che:
• attenui un disturbo in andata con banda [0.1,1]
di almeno 20 dB;
• attenui un disturbo in retroazione con banda [50,500]
di almeno 20 dB.
Come deve essere fatta la L(s)? Dove è ragionevole cercare di
mettere la ωc?
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60
approfondimento
L
40
Magnitude (dB)
20
0
ω1
ω2
ωc
ω1
ω2
-20
-40
-60
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
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4. Loop Shaping
1. Trasformare le specifiche di progetto in vincoli su L(s).
2. Cominciare scegliendo una R(s) di struttura semplice.
3. Modificare R(s) per tentativi successivi in modo tale
che L(s) rispetti tutte le specifiche di progetto.
4. Al termine di ogni tentativo verificare, mediante gli
strumenti dell’analisi, se il controllore progettato
rispetta tutte le specifiche di progetto.
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Progetto statico e progetto dinamico
La funzione di trasferimento del controllore viene fattorizzata
R(s ) = R1 (s ) R2 (s )
µR
R1 (s ) = r
s
Parte statica
∏ (1 + sTi )
R2 (s ) = i
∏ (1 + sτi )
i
Parte dinamica
(rete stabilizzatrice)
Progetto statico
(soddisfare le specifiche statiche)
Progetto dinamico
(soddisfare le specifiche dinamiche)
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