Georg Cantor: una singolarita` nel corso della storia?

Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della
storia?
Giovanni Sambin
Dipartimento di Matematica, Univ. di Padova
Pura o Applicata?
La Matematica tra Teoria e Problemi
Padova, 12-14 Aprile 2013
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Aritmetizzazione dell’analisi
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805 -1859
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
l’analisi matematica deve essere ridotta ai numeri naturali N
+ sottoinsiemi di numeri naturali
i numeri reali si possono identificare con le successioni (an )n∈N , dove ogni
cifra an è 0 oppure 1.
corrispondenza tra successioni di 0, 1 e sottoinsiemi A ⊆ N:
dato A ⊆ N, poni an = 1 se n ∈ N, e an = 0 altrimenti
data la successione (an )n∈N , poni A = {n ∈ N : an = 1}
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Bernhard Riemann 1826-1866
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Richard Dedekind 1831-1916
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Karl Weierstrass 1815 - 1897
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Leopold Kronecker 1829 - 1891
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Georg Cantor 1845 - 1918
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Prime scoperte sulle cardinalità infinite
Definizione: due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità, scritto
A ∼ B, se esiste una funzione f : A → B con f iniettiva e suriettiva.
A ha cardinalità inferiore a B se se esiste f : A → B con f iniettiva.
Galileo osservò che c’è una corrispondenza tra numeri naturali e i loro
quadrati.
L’osservazione di Galileo dice che N e il suo sottoinsieme {n2 : n ∈ N}
hanno la stessa cardinalità.
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
N e Q hanno la stessa cardinalità
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
L’unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile
Data una famiglia di S
insiemi (An )n∈N , se An è numerabile per ogni n,
allora anche l’unione An è numerabile
Idea per convincersi: c’è una biiezione tra tutto N e i soli numeri primi.
Per ogni n, dato che An è numerabile, è in biiezione con {pn k : k ∈ N}
E ancora c’è posto... (vedi albergo di Hilbert)
Consequenza: i numeri algebrici sono numerabili (posso fare una
numerazione di tutti i polinomi, e ogni polinomio ha un insieme finito di
soluzioni)
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Esistono cardinalità infinite diverse: discreto e continuo
Cantor 1873-4:
la cardinalità dei numeri reali R è maggiore di quella di N
prova: vedi sotto quella data 20 anni dopo
conseguenza: esistono tantissimi numeri reali trascendenti, anzi, quasi
tutti
contro ogni intuizione (lo vedo, ma non ci credo):
R2 ∼ R piano e retta hanno la stessa quantità di punti!!!
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Georg Cantor 1845 - 1918
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Teorema di Cantor
Per ogni insieme A, indichiamo con PA l’insieme delle parti di A.
Teorema: Qualunque sia A, la cardinalità di PA è maggiore di quella di A
Prova: facciamo vedere che non può esistere una suriezione F : A → PA.
Per ogni F : A → PA poniamo D = {a ∈ A : a 6∈ F (a)}.
Allora D = F (b) per qualche b (in quanto F suriezione), da cui
b ∈ F (b) sse b ∈ D sse b 6∈ F (b), contraddizione.
conseguenza: esiste una successione infinita di cardinalità crescenti
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Bertrand Russell 1872 - 1970
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Paradosso di Russell
Principio di comprensione: per ogni proprietà P(x), la sua estensione
{x : P(x)} è un insieme.
Naturalmente, vale y ∈ {x : P(x)} sse P(y ).
Scegliamo come proprietà: x 6∈ x. Allora y ∈ {x : x 6∈ x} sse y 6∈ y .
Se chiamiamo R = {x : x 6∈ x}, si ha in particolare R ∈ R sse R 6∈ R,
contraddizione.
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Ernst Zermelo 1871 - 1953
Assiomatizzazione delle teoria degli insiemi ZFC
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
David Hilbert 1862- 1943
La teoria ZFC (come ogni teoria assiomatica) deve essere
non-contraddittoria, e la prova deve essere finitaria.
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Kurt Gödel 1905 - 1978
La teoria ZFC (come ogni teoria assiomatica decente) non può
dimostrare la proprio non-contraddittorietà.
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?
Dalla consistenza alla conservatività
Gli insiemi infiniti sono enti ideali (=non esistono nealla realtà, servono
solo a semplificare il nostro quadro mentale)
Nella storia, enti ideali sono stati: i numeri complessi, i punti all’infinito.
Questi sono stati accettati quando è stato chiaro (ad es. piano di
Argand-Gauss) che gli enti ideali non modificano le conoscenze reali
precedenti.
Richiesta di conservatività: ogni ente ideale introdotto deve essere
conservativo sugli enti reali precedenti.
La conservatività è ancora più difficile della consistenza.
Via d’uscita: umiltà, un pezzetto alla volta...
la storia non ha fine...
Giovanni Sambin
Georg Cantor: una singolarita’ nel corso della storia?