Geometria delle masse: Baricentri

ESERCIZI SULLA GEOMETRIA DELLE MASSE
1) Calcolo del baricentro
Si scompone, dapprima, la figura complessiva in figure semplici (rettangoli, triangoli, ecc),
dopodiché si applica la relazione derivante dal Teorema di Varignon in cui le forze sono sostituite
dalle singole aree delle figure in cui si è scomposta la figura; in questo modo, le coordinate del
baricentro varranno:
n
XG =
n
å A i × x Gi
i =1
;
n
åA
YG =
åA
i
× y Gi
i =1
(1)
n
åA
i
i =1
i
i =1
in queste relazioni, i simboli hanno il seguente significato:
XG, YG = Coordinate del baricentro della figura rispetto al sistema di riferimento scelto;
xGi, yGi = Coordinate del baricentro delle figure elementari rispetto al sistema di riferimento scelto:
Ai = Aree delle figure elementari;
n
åA
i
= A = Somma delle aree delle figure elementari, quindi area dell’intera figura.
i =1
Nel calcolo dei baricentri occorre ricordarsi di una proprietà fondamentale degli stessi:
se la figura possiede un asse di simmetria, il baricentro si trova su tale asse; se gli assi di
simmetria sono due, il baricentro sarà il punto di intersezione degli stessi.
Esercizio n. 1 (trave in c.a.p.)
30
100
A4
A5
G3
40
A3
G4
G5
A7
A2
40
20
40
G6
X
G7
G2
50
73.33
26.67
28.33
142.5
7.5
A6
15
40
G1
285
A1
256.67
175
G
X
Scomposta la figura in sette figure elementari si ha:
A1 = 20×255 = 5100 cm2;
A2 = 100×15 = 1500 cm2;
A3 = 100×30 = 3000 cm2;
A4 = A5 = A6 = A7 = 0.5×40×40 = 800 cm2
Applicando le relazioni (1) si trova:
XG =
5100 × 50 + 1500 × 50 + 3000 × 50 + 800 × 26.67 + 800 × 26.67 + 800 × 73.33 + 800 × 73.33
5100 + 1500 + 3000 + 800 + 800 + 800 + 800
YG =
5100 × 256.67 + 1500 × 7.5 + 3000 × 285 + 800 × 256.67 + 800 × 256.67 + 800 × 28.33 + 800 × 28.33
5100 + 1500 + 3000 + 800 + 800 + 800 + 800
sviluppando le operazioni si trova:
XG =
640000
= 50 cm (il calcolo poteva evitarsi perché la figura è monosimmetrica)
12800
YG =
2631267
= 205.57 cm
12800
Esercizio n. 2 (impalcato da ponte)
Y
30
720
70
A1
A2
75
A3
30
150
A4
30
150
30
A5
150
30
75
X
Y
G1
85
G
35
G2
G3
G4
X
90
270
360
450
630
Scomposta la figura in cinque figure elementari si ha:
A1 = 720×30 = 21600 cm2;
G5
A2 = A3 = A4 = A5 = 30×70 = 2100 cm2
Applicando le relazioni (1) si trova:
XG =
21600 × 360 + 2100 × 90 + 2100 × 270 + 2100 × 450 + 2100 × 630
21600 + 2100 + 2100 + 2100 + 2100
YG =
21600 × 85 + 2100 × 35 + 2100 × 35 + 2100 × 35 + 2100 × 35
21600 + 2100 + 2100 + 2100 + 2100
sviluppando le operazioni si trova:
XG =
10800000
= 360 cm (il calcolo poteva evitarsi perché la figura è monosimmetrica)
30000
YG =
2130000
= 71 cm
30000
Esercizio n. 3 (profilato generico)
60
220
A1
G1
245
Y
G2
A3
55
152.5
135
65
200
G3
X
77.5
187.5
287.5
Scomposta la figura in 3 figure elementari si ha:
A1 = 155×60 = 9300 cm2;
A2 = 305×65 = 19825 cm2 ;
Applicando le relazioni (1) si trova:
XG =
9300 × 77.5 + 19825 × 187.5 + 7425 × 287.5
9300 + 19825 + 7425
YG =
9300 × 275 + 19825 × 152.5 + 7425 × 27.5
9300 + 19825 + 7425
sviluppando le operazioni si trova:
A3 = 135×55 = 7425 cm2
27.5
Y
275
A2
250
155
X
XG =
10800000
= 179.83 cm
30000
YG =
2130000
= 158.28 cm
30000