A. Papangelo - Relazione Finale I Anno

Politecnico di Bari
Dipartimento di Meccanica Matematica e Management
-Sezione di Progettazione Meccanica e Costruzione di Macchine-
Dottorato di Ricerca in Ingegneria Meccanica e Gestionale
-XXIX CicloCoordinatore: Prof. Ing. Giuseppe Pascazio
Relazione Finale
I anno
STUDIO DELLA RISPOSTA DINAMICA DI UN
OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO CON
ATTRITO SECCO
Tutors:
Prof. Ing. M. Ciavarella
Prof. Ing. L. A¤errante
Dottorando:
Dott. Antonio Papangelo
-Anno 2014-
Indice
1 Introduzione
2
2 Oscillatore armonico con attrito coulombiano e carico normale costante
6
2.1 Il modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Soluzione quasi-statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Soluzione dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Confronto tra la soluzione dinamica e la soluzione quasi-statica 9
3 Oscillatore armonico con attrito coulombiano e carico
male variabile
3.1 Due nuovi parametri  e  . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Soluzione quasi-statica in fase e in quadratura . . . . . .
3.3 La risposta dinamica e quella quasi-statica . . . . . . . .
3.4 Confronto tra la risposta dinamica e quella quasi-statica
3.5 Il regime a risposta finita e il limite di shakedown . . . .
nor.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
12
14
15
18
4 Conclusioni
20
Bibliografia
21
1
Capitolo 1
Introduzione
Uno dei più importanti problemi della meccanica delle strutture è quello di
modellare i giunti portando in conto l’attrito. Le interfacce con attrito infatti introducono pesanti non-linearità nel sistema di equazioni che si deve
risolvere, complicando considerevolmente la soluzione del problema. Il forte
interesse ingegneristico di modellare correttamente queste giunzioni è giustificato dal fatto che esse sono presenti in qualsivoglia applicazione e sono
in grado di dissipare energia nel contatto, pertanto, sono spesso utilizzate
come smorzatori delle vibrazioni. Nelle turbomacchine, per esempio, sono
largamente diffusi gli smorzatori sotto-pala [1], i quali sono semplici parallelepipedi a base triangolare che vengono spinti dalla forza centrifuga contro
le strutture di sostegno delle palette con lo scopo di ridurre la loro ampiezza
di vibrazione e quindi di incrementare la loro vita a fatica. Strutture bullonate, componenti montati con interferenza e più in generale giunti, sono
comunemente presenti in applicazioni come motori per l’autotrazione, strutture per l’aviazione militare e civile, ponti, telai etc. Sebbene la presenza di
superfici in contatto possa smorzare le vibrazioni è anche vero che l’attrito
introduce micro e macro slittamenti i quali causano l’usura delle superfici
con produzione di detriti. Quando l’usura è causata da piccole oscillazioni
relative tra le superfici dei due corpi a contatto che si ripetono molte volte
nel tempo si parla di fretting. Tale fenomeno può causare il cedimento della
giunzione e, ancora una volta, introduce non-linearità e isteresi nel problema.
Spesso l’impossibilità di trattare contemporaneamente l’usura delle superfici
e la dinamica del sistema ha portato a trascurare o l’uno o l’altro aspetto.
Solo recentemente sono stati proposti esempi di come si possa tentare di risolvere problemi di fretting-wear in campo dinamico [2]. L’usura da fretting
2
è intimamente legata alla possibilità che il sistema elastico soggetto ai carichi
esterni provochi all’interfaccia di contatto slittamenti che perdurano nel tempo, per esempio ripetendosi in modo ciclico. E’ anche possibile che il sistema
elastico dopo i primi cicli in cui si sverificano slittamenti evolva verso una
condizione di full-stick, in cui ogni slittamento cessa. In questi casi si dice che
il sistema evolve verso lo shakedown. Risulta di notevole importanza comprendere se una interfaccia evolverà verso una condizione di shakedown o no.
Nelle condizioni di stick, infatti, non avremo nè usura nè dissipazione energetica col risultato che la risposta dell’intero sistema elastico ne sarà affetta.
Klarbring et al. [3] hanno dimostrato che se il contatto è completo (i.e. se
l’area di contatto è nota a priori e non cambia durante il ciclo di carico) e se
non c’è accoppiamento tra gli spostamenti tangenziali e le pressioni normali,
allora l’esistenza di un set di spostamenti tangenziali indipendenti dal tempo
tali che questi comportano una distribuzione di stress residui che sommati ai
carichi esterni portano il sistema a non violare le condizioni di stick, è condizione sufficiente a garantire che un sistema elastico discreto evolverà verso
la condizione di shakedown. Flicek et al. hanno mostrato in [4] che per un
sistema discreto elastico in cui è presente accoppiamento tra gli spostamenti
tangenziali e le pressioni normali, soggetto ad un carico ciclico quasi-statico
(vedi Fig. 1 (a)), è possibile individuare due limiti di shakedown:
1. 1 : fattore di carico al di sotto del quale il sistema evolve sempre verso
la condizione di shakedown
2. 2 : fattore di carico al di sopra del quale la condizione di shakedown è
impossibile
dove il fattore di carico  è definito come:
=
Ampiezza del carico ciclico
Modulo del carico statico
3
(1.1)
Figure 1. (a) Il modello è costituito da un punch elastico a contatto con un
semipiano elastico. Il punch è caricato con una pressione costante  , il
semipiano con un carico variabile ciclicamente () (b) Il grafico mostra la
dissipazione in funzione del fattore di carico 
La Fig. 1 (b) mostra i due fattori di carico limite (propriamente 2 è
definito come il limite di shakedown). Come si può vedere per 1    2
esiste una zona in cui si hanno soluzioni multiple, in cui cioè in funzione
delle condizioni iniziali il sistema può o meno giungere alla condizione di
shakedown. Per un sistema accoppiato a due gradi di libertà infatti già Ahn
et al. [5] avevano mostrato che la condizione di shakedown, per certi fattori
di carico, è funzione delle condizioni iniziali.
Il progetto dell’intero corso di dottorato mira a comprendere in modo più
approfondito le condizioni di shakedown dei sistemi elastici con particolare
riferimento al caso in cui l’intera dinamica sia presa in considerazione. I lavori
sin qui citati infatti [3]-[4]-[5] considerano sempre le caratteristiche elastiche
dei sistemi e trascurano quelle inerziali, in altri termini si fa sempre l’ipotesi
che l’applicazione dei carichi si possa ritenere quasi-statica. L’obiettivo è
quindi quello di capire cosa succede quando anche gli effetti dinamici vengano
tenuti in conto, con particolare interesse a come la zona che presenta soluzioni
multiple evolve in funzione della frequenza di carico.
Tenendo a mente questo obiettivo, durante questo primo anno di dottorato, abbiamo voluto porre la nostra attenzione sul sistema discreto più
semplice, composto da una massa e una molla che oscillano a contatto con
un piano per il quale è possibile descrivere l’attrito con la legge di Coulomb.
4
In particolare ci siamo posti il problema di studiarne la dinamica, l’effeto
dei carichi normali e tangenziali, della loro variazione e della loro fase, confrontando attentamente le differenze tra la soluzione quasi-statica (in cui
l’inerzia è trascurata) e la soluzione dinamica.
5
Capitolo 2
Oscillatore armonico con
attrito coulombiano e carico
normale costante
2.1
Il modello
Il modello considerato è riportato in Figura 2: si tratta di una massa 
collegata ad una parete rigida attraverso una molla di costante  che si muove
su di un piano rigido. Il contatto è decritto tramite la legge di Coulomb
⎧
·
·
⎨  = − ()

 ·  () () 6= 0
()
(2.1)
·
⎩
() = 0
 ≤ |()|
dove  è la forza che il piano esercita sulla massa  () rappresenta
·
il paramentro lagrangiano scelto per descrivere il sistema, £ rappresenta la
derivata fatta rispetto al tempo, () è la forza di chiusura del contatto
considerata in questa fase costante (() = 0 ) e () = 1 sin(  ) è la
forza tangentiale variabile armonicamente. Il coefficiente d’attrito è stato
preso pari a  senza differenze tra il valore statico e quello dinamico.
Per meglio descrivere il sistema è opportuno definire un parametro adimensionale 
0=
0
1
1
6
(2.2)
dove il limite superiore è stato posto in modo da evitare la condizione
banale di full-stick.
Figure 2. Il modello massa-molla smorzato con attrito coulombiano.
2.2
Soluzione quasi-statica
Trascurando il termine inerziale possiamo scrivere l’equilibrio alla traslazione
nelle condizioni di sliding (2.3)
1
· 0
sin(  ) − ()
(2.3)


pertanto il massimo e il minimo spostamento saranno raggiunti per sin( ) =
±1 ottenendo
() =
1
(1 − )
(2.4)

Derivando rispetto al tempo l’equazione (2.3) durante una fase di slip si
ottiene per la velocità
 |max =
1
(2.5)
cos(  )

Per il calcolo della velocità massima raggiunta nelle fasi di slip è necessario
valutare gli istanti di tempo in cui lo slip comincia, dai quali risulta
½
 1

for 0 6  6 12
p
| |max =
(2.6)
2 1   (1 − ) for 12 6  6 1

() =  
7
Infatti per   12 lo slip comincia quando cos(  )  1 al contrario per
  12 l’istante di inizio dello slip coincide con quello in cui si raggiunge la
velocità massima. (Per maggiori dettagli sulla derivazione fare riferimento a
[6]).
2.3
Soluzione dinamica
Si consideri il modello in Fig. 2: l’equilibrio alla traslazione orizzontale
impone che durante una fase di slip


() + () = 1 sin( ) − ()0
(2.7)
La (2.7) è una equazione differenziale ordinaria, del secondo ordine a
coefficienti costanti la cui soluzione è [7]
¸
∙
 0
() = ( ) − ( ) + ()
{1 − cos [ ( −  )]} +


( )
sin [ ( −  )] +
+

1
{sin(  ) − sin(  ) cos [ ( −  )] +
+
 (1 − Ω2 )
−Ω cos(   ) sin [ ( −  )]}
(2.8)
, dove  è l’istante di tempo in cui la fase di slip è iniziata. L’evolzione
temporale degli spostamenti può allora ottenersi congiungendo le soluzioni
analitiche nei vari stati; durante la fase di stick la soluzione è banale, mentre
durante quella di slip vale la (2.8).
Per verificare i risultati ottenuti abbiamo integrato numericamente l’equazione del moto (2.7) utilizzando il metodo di Newmark. In breve, tale
metodo assume una forma per l’accelerazione in ogni timestep e integrando
ricava velocità e spostamenti per il passo successivo. Tutti i risultati proposti
di seguito sono stati verificati con entrambi i metodi presentati: numerico e
analitico a tratti.
8
2.4
Confronto tra la soluzione dinamica e la
soluzione quasi-statica
La Figura 3 riporta l’evoluzione degli spostamenti nel tempo (Fig. 3 (a-c-eg)) e nel corrispondente spazio degli stati (Fig. 3 (b-d-f-h)) per valori della
frequenza di carico che aumentano procedendo dall’alto verso il basso. Ω è
definito come ilprapporto tra la frequenza di eccitazione   e la pulsazione
naturale   = 
10
10
b
a
0
0
−10
30
40
50
60
10
−5
0
5
From the top to
the bottom:
20
d
v̇ [m/s]
c
0
−10
30
40
a−b) Ω=0.05
c−d) Ω=0.09
e−f) Ω=0.47
g−h) Ω=0.76
0
−20
50
20
−5
0
5
100
f
e
v [m]
β=0.51
−10
70
0
0
QSTC
−20
2
4
6
8
10
30
−100
−10
0
10
20
−10
0
v [m]
10
20
DYN
200
g
h
0
−30
25
−20
0
30
35
40
−200
t [s]
−20
Figure 3. Sulla colonna di sinistra gli spostamenti plottati in funzione del
tempo, (linea rossa = soluzione quasi-statica QSTC, linea blu = soluzione
dinamica DYN). Colonna di destra: spazio degli stati. (a-b) Ω = 005, (c-d)
Ω = 009, (e-f) Ω = 047, (g-h) Ω = 076. Per tutte le simulazioni  = 051.
Dall’alto verso il basso le soluzioni presentano10 - 6 - 2 - 0 stops.
Osservando la soluzione evolvere nel tempo si nota che al diminuire della
frequenza di eccitazione la soluzione dinamica si fa più prossima a quella quasi-statica senza però mai coincidere esattamente. Infatti mentre al
9
diminuire degli effetti dinamici lo spostamento massimo dinamico converge
esattamente sul quasi-statico (cfr. Fig. 3 (g-e-c-a)), durante le fasi di slip la
soluzione dinamica oscilla attorno a quella quasi-statica. Le differenze tra le
due soluzioni sono ben più evidenti nello spazio degli stati (cfr. Fig. 3 (b-d-fh)). In particolare per frequenze di eccitazione piccole diventano importanti
le vibrazioni della massa  alla frequenza naturale, le quali inducono a istanti di tempo in cui la velocità diminuisce a tal punto da annullarsi per poi
tornare a crescere in modulo con lo stesso segno assunto in precedenza. Ulteriori indagini hanno mostrato che al diminuire della frequenza di eccitazione
il numero di stop aumenta, apparentemente senza un limite superiore (cfr.
[6] Fig. 5).
Nel tentativo di smorzare le suddette oscillazioni abbiamo aggiunto nel
sistema dello smorzamento viscoso. La Figura 4 mostra che è necessario giungere sino allo smorzamento critico per ottenere l’eliminazione delle oscillazioni
alla pulsazione naturale.
6
ξ
a
8
ξ
b
6
4
4
2
v̇ [m/s]
v[m]
2
0
ξ=0
0.15
1
3
QSTC
0
−2
−2
−4
−4
−6
−6
0
−8
10
20
30
t[s]
40
50
60
−6
−4
−2
0
v[m]
2
4
6
Figura 4. Effetto dello smorzamento viscoso sulla evoluzione di velocità e
spostamenti. ( = 2√ = [0 − 015 − 1 − 3]
La Figura 5 (a) mostra il valore dello spostamento massimo adimensionalizzato con  |max (2.4) plottato in funzione di Ω per valori di  compresi
tra 01 − 09. Come si può vedere esiste un valore di  ' 08 per il quale
la risposta del sistema risulta finita per ogni frequenza di eccitazione, i.e.
scompare il picco di risonanza, inoltre è possibile verificare che al diminuire
di Ω lo spostamento converge sul valore quasi-statico per ogni  La Figura
10
5 (b) mostra invece la velocità massima adimensionalizzata col valore quasistatico (2.6) in funzione della frequenza di eccitazione. Si nota come nessuna
delle curve plottate tende ad 1 al tendere di Ω a 0 In generale per tutti i
valori di beta la velocità massima raggiunta è all’incirca doppia rispetto a
quella valutata con l’ipotesi quasi-statica e resta tale sino a Ω ' 06.
Figura 5. (a) Spostamento massimo adimensionalizzato con  |max
plottato in funzione di Ω ¯per diversi valori di (b) Velocità massima
·
¯
adimensionalizzato con  ¯
plottato in funzione di Ω per diversi valori
max
di 
11
Capitolo 3
Oscillatore armonico con
attrito coulombiano e carico
normale variabile
3.1
Due nuovi parametri  e 
Si consideri adesso il caso in cui il carico normale sia costituito da una componente media 0 e da una variabile armonicamente di ampiezza 1  fase 
e pulsazione   .
() = 0 + 1 sin(  + )
(3.1)
E’ utile a questo punto definire un ulteriore parametro  = 1 0  1,
dove il limite superiore garantisce che non ci sia separazione tra la massa e
il piano su cui scorre. Per confronto i casi considerati da Den Hartog prima
[8] e Hong and Liu più recentemente in [7]-[9] corrispondono al caso 1 = 0
3.2
Soluzione quasi-statica in fase e in quadratura
Abbiamo studiato il nostro modello nel limite quasi-statico seguendo la stessa
argomentazione proposta da Jang and Barber in [10] i quali hanno fornito la
formula per il calcolo della dissipazione nel caso di carichi in fase. Sfruttando la notazione fasoriale per le grandezze variabili armonicamente abbiamo
12
ricostruito il ciclo di isteresi e ricavato le espressioni che permettono di calcolare lo spostamenti massimo, la velocità massima e la dissipazione al ciclo
per qualsiasi valore di   e  La completa derivazione dei risultati si trova
in [11], in questa relazione ci limiteremo ai casi particolari in fase  = 0◦ e in
quadratura di fase  = 90◦ , in quanto di maggior interesse ingegneristico.
·
Adimensionalizzando lo spostamento  con 1 , la velocità  con   1 ,
e la dissipazione con 0 1  si ottiene, limitatamente al caso in fase, per
l’ampiezza massima di oscillazione
¯
∼ ¯
 ¯
=0◦
=
∼
 max
∼
−  min
=1−
2
(3.2)
per la velocità massima
(
¯¯
1
¯∼¯
1 + 
per 0 6  6 2+
¯ ¯
p
=
1
¯ ¯
2  (1 − ) (1 + ) per 2+
661
max=0◦
(3.3)
e per la dissipazione
2
f| ◦ = 4 (1 − ) (1 −  )

=0
1 −  22
(3.4)
, dove la (3.4) coincide con la formula trovata da Jang e Barber in [10].
Nel caso in quadratura di fase invece abbiamo per l’ampiezza dello spostamento
q
¯
∼
¯
 max ¯
= 1 +  2 2 − 
(3.5)
◦
=90
per la velocità
¯

¯
∼
 max ¯¯
=90◦
⎧
⎪
⎨
p
1 +  2 2
per  6 √ 1 2
4−
q p
=
⎪
⎩ 2  1 +  2 2 −  2 per   √ 1 2
(3.6)
4−
e per la dissipazione
f|

=90◦
¯
 ¯¯
=
¯
0 1 ¯
=90◦
!
Ãp
2 2
1+  −
=4
1 +  22
13
(3.7)
3.3
La risposta dinamica e quella quasi-statica
Per il sistema in Fig. 1 dall’equilibrio dinamico durante una fase di slip
possiamo scrivere


() + () = 1 sin(  ) − () [0 + 1 sin(   + )]
(3.8)
La (3.8) è una equazione differenziale ordinaria, lineare, del secondo ordine, pertanto sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti possiamo
ricavare la soluzione degli spostamenti durante la fase di slip
∙
¸
 0
() = ( ) − ( ) + ()
{1 − cos [ ( −  )]} +


( )
sin [ ( −  )] +
+

1
{sin(  ) − sin(  ) cos [ ( −  )] +
+
 (1 − Ω2 )
−Ω cos(   ) sin [ ( −  )]} +
1

{sin(  + ) cos [ ( −  )] +
+()
 (1 − Ω2 )
+Ω cos(   + ) sin [ ( −  )] − sin (   + )}
(3.9)
Congiungendo le soluzioni per le singole fasi di slip (3.9) con quella per le
fasi di stick si può ottenere la soluzione analitica a tratti per gli spostamenti.
Per verificare i risultati ottenuti e presentati a valle di questo paragrafo abbiamo utilizzato il metodo di Newmark per integrare numericamente
l’equazione del moto.
La Figura 6 mostra l’ampiezza dello spostamento plottata in funzione di
Ω per due valori di ,  = 02 (a-c),  = 09 (b-d), per i casi in fase (a-b)
e in quadratura di fase (c-d), per diversi valori di . I grafici mostrano che
per  = 02 la risposta nelle condizioni di risonanza è infinita e l’effetto della variazione del carico normale è minimo, mentre per  = 09 la risposta
del sistema (i.e. lo spostamento) diviene finita su tutto il range di frequenze e l’effetto della variazione del carico normale è notevole, soprattutto in
condizioni di quadratura di fase.
Per la dissipazione si ottengono risultati analoghi a quelli per lo spostamento.
14
2
0
10
10
(a)
1
(b)
−1
va
Q1 /k
10
va
Q1 /k
10
0
−2
10
10
−1
10
−3
0
0.5
1
Ω
1.5
10
2
0
0.5
1
Ω
1.5
2
0.5
1
Ω
1.5
2
2
10
(c)
(d)
η=0
0.4
0.6
0.8
0.98
0
10
1
va
Q1 /k
va
Q1 /k
10
0
10
−2
10
−1
10
0
0.5
1
Ω
1.5
2
0
Figura 6. e plottata rispetto a Ω per (a) ( ) = (02 0◦ ) (b)
( ) = (09 0◦ ) (c) ( ) = (02 90◦ ) (d) ( ) = (09 90◦ )
3.4
Confronto tra la risposta dinamica e quella quasi-statica
Come abbiamo visto nel paragrafo precedente per elevati valori di  l’ampiezza dello spostamento è finita su tutto il range di frequenze. Abbiamo voluto
esplicitare la dipendenza tra lo spostamento massimo raggiunto (vd. Fig. 6
(b-d)) e la dissipazione al ciclo in funzione di  andando poi a confrontare
queste curve con quelle ottenute nel caso quasi-statico per i casi  = 0◦ − 90◦ 
Dalle equazioni (3.2) - (3.5) otteniamo che il rapporto tra l’ampiezza dello
spostamento a carico normale variabile rispetto a quella a carico normale
costante vale
15
¯
¯
¯
= 1
¯
∼
 =0 ¯=0◦
¯
p
∼
  ¯¯
1 +  2 2 − 
=
¯
∼
1−
 =0 ¯=90◦
∼

(3.10)
(3.11)
mentre dalle equazioni (3.4) - (3.7) otteniamo che il rapporto tra la dissipazione al ciclo a carico normale variabile rispetto a quella a carico normale
costante vale
¯
f ¯¯

1 − 2
=
¯
f=0 ¯ ◦
1 −  2 2

=0
¯
p
f ¯¯
1 +  22 − 
1

=
¯
f=0 ¯
1−
1 +  2 2

=90◦
(3.12)
(3.13)
Le Figure 7 e 8 mostrano il confronto tra i risultati quasi-statici e quelli
dinamici rispettivamente per gli spostamenti e per la dissipazione al ciclo.
Si può notare che per carichi in fase l’ampiezza dello spostamento dinamico diminuisce considerevolmente all’aumentare di  al contrario di quello che
predice la teoria quasi-statica, mentre per la dissipazione l’accordo tra gli andamenti è solo qualitativo, a causa di una più marcata diminuzione in campo
dinamico. Riguardo al caso in quadratura di fase le curve appaiono qualitativamente in accordo mostrando un marcato incremento sia dell’ampiezza di
oscillazione sia della energia dissipata in un ciclo.
16
4.5
4
3.5
ṽa
ṽa,η=0
3
QSTC −− δ=0°
QSTC −− δ=90°
DYN −− δ=0°
DYN −− δ=90°
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
η
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 7. Rapporto tra lo spostamento massimo raggiunto per carico
normale variabile e lo spostamento massimo a  = 0
3
2.5
W̃
W̃η=0
2
QSTC −− δ=0°
QSTC −− δ=90°
DYN −− δ=0°
DYN −− δ=90°
1.5
1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
η
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 8. Rapporto tra la dissipazione massima per carico normale
variabile e la dissipazione massima a  = 0
17
3.5
Il regime a risposta finita e il limite di
shakedown
Abbiamo condotto ulteriori indagini per chiarire quale dovessse essere il  min
necessario a garantire la risposta bounded del sistema in oggetto. Per il caso
a carico costante sappiamo che 4    1 pertanto abbiamo condotto una
serie di indagini numeriche calcolando il massimo dell’ampiezza di oscillazione
per ogni valore di  La Figura 9 mostra che sia nel caso in fase (a) sia per
il caso in quadratura di fase (b) il valore minimo del  che garantice una
risposta finita è pari a  min ' 078 ' 4, come per il caso a carico costante.
3.5
3.5
(a)
2.5
2.5
2
2
η=0
0.4
0.8
0.98
border
ṽa
3
ṽa
3
(b)
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0.7
0.78
0.9
β
1
1.1
0
1
2
3
β
4
5
Figura 9. Ampiezza massima di oscillazione per il regime bounded nel caso
in fase (a) e in quadratura (b)
Ossevando la Fig. 9 (a) e (b) è evidente che la condizione di stick nel caso
in fase è raggiunta sempre per  = 1, mentre per  = 90◦ il  che porta in
stick la massa  è funzione del parametro  Il teorema di shakedown afferma
che per un sistema in cui gli spostamenti tangenziali sono disaccoppiati da
quelli normali, l’esistenza di uno stato di shakedown è sufficiente a garantire
che tale stato sarà raggiunto [3]. Il modello in Fig. 1 rientra in questa
categoria. Scriviamo quindi la condizione di shakedown
|1 sin(  ) − ()| ≤  [0 + 1 sin(  + )]  ∀
18
(3.14)
Affinchè la (3.14) abbia soluzione (i.e. affinchè esista uno stato di shakedown) è necessario che sia verificata la seguente condizione
s
1 −  2 cos2 ()
=  
(3.15)
≥
1 − 2
In Figura 10 abbiamo plottato il reciproco del   in funzione di  per
alcuni valori di  E’ opportuno sottolineare che per carichi in fase la variazione del carico normale non ha alcun effetto sulla condizione di shakedown,
i.e. per    1 la massa va in stick. Se i carichi sono fuori fase l’effetto della
variazione del carico normale è più evidente e diventa massimo per  = 90◦ 
Eccetto che per carichi in fase, per  → 1   → +∞ in quanto si tende alla
condizione di separazione, in cui chiaramente lo shakedown è impossibile.
1
0.8
1/βcr
0.6
0.4
0.2
0
0
δ= 0°
30°
60°
90°
0.2
0.4
η
0.6
0.8
1
Figura 10.   −1 plottato rispetto a  per i seguenti valori di
 = [0◦  30◦  60◦  90◦ ]
19
Capitolo 4
Conclusioni
Durante questo primo anno di dottorato abbiamo studiato la dinamica di
un oscillatore armonico smorzato con attrito secco con particolare attenzione
al confronto con la soluzione quasi-statica. La risposta dinamica è stata
analizzata concentrandosi sugli effetti introdotti dalla variazione del carico
normale, in modulo e fase rispetto al carico tangenziale.
Per il caso a carico costante abbiamo concluso che relativamente allo spostamento massimo l’approssimazione quasi-statica è valida finchè la
soluzione dinamica presenta 2 o più stops per ciclo. Abbiamo mostrato
che la velocità massima raggiunta in campo dinamico non converge mai alla soluzione quasi-statica, nemmeno per frequenze di eccitazione molto piccole. La motivazione risiede nel fatto che le oscillazioni libere della massa
 (ottenute con l’analisi dinamica) inducono un andamento oscillatorio per
la velocità che mediamente coincide con quella quasi-statica, ma istante per
istante oscilla tra un valore minimo e uno massimo pari a circa il doppio
rispetto alla velocità quasi-statica.
Guardando al modello con carico normale variabile abbiamo visto che gli
effetti di quest’ultimo sono minimi per bassi valori del carico di chiusura del
contatto, mentre diventano importanti quando il carico normale aumenta e
per sfasamenti prossimi a 90◦ . Abbiamo determinato la condizione (3.15) che
garantisce l’esistenza di uno stato di shakedown per la massa  e nello studiare il regime in cui l’ampiezza dello spostamento è finita abbiamo mostrato
che è necessario garantire  ≥ 4 La soluzione quasi-statica ha confermato
che la dissipazione è più elevata per carichi in quadratura di fase, come notato
anche da Jang and Barber [12], ma ha messo in evidenza che questo comporta anche una elevata ampiezza dello spostamento, risultando in un inefficace
20
contenimento delle vibrazioni. Per  = 90◦ la soluzione dinamica ha dato dei
risultati qualitativamente in accordo con le previsioni quasi-statiche, mentre
nel caso in fase abbiamo mostrato che si ottiene una contemporanea diminuzione sia dello spostamento massimo che della dissipazione al ciclo rispetto
al caso a carico costante.
Questi risultati sono relativi modelli molto semplici che nei prossimi due
anni ci proponiamo di modificare e ampliare per lo studio dello shakedown
in campo dinamico. In particolare ci proponiamo di aggiungere al modello in
Fig. 1 un ulteriore molla  che possa rappresentare una rigidezza di contatto
che nei modelli sin qui affrontati si è assunta infinitamente grande, il che è
chiaramente un limite. L’ulteriore sviluppo sarà poi quello di considerare la
dinamica di più di un nodo per studiare in particolare l’effetto dell’accoppiamento normale/tangenziale sulle condizioni di shakedown di sistemi più
complessi.
21
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22
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23