B4. Frazioni algebriche

B4. Frazioni algebriche - Esercizi
SEMPLIFICARE LE SEGUENTI FRAZIONI ALGEBRICHE
1)
5a2xy
;
10a2 x
2)
12a3bx 3 ;
18ab 2x 5
9a
12a
2
[ 2a 2 ;
3bx
3)
16a3b 2c ;
30ab 5c
12ax 5y
28ax 6 y 2
2
[ 8a 3 ;
15b
4)
8a3bc 2 ;
16a4bc 2
12xyz
12xy 2z
[ 1;
2a
5)
120a2b 3c ;
48a3b 2c 3
6)
121x 3y 4z 5
;
33x 4 y 3z 4
7)
2x 2 + 5x − 3;
x 2 − x −12
8)
3ax 2 − 3ax + x −1;
9a2 x 2 −1
9)
4b 2 + 4b + 1 ;
2bx − 2b + x − 1
10)
1 − a2 ;
a2 − a
11)
4 − a2 ;
a3 − 2a2
12)
−x 3 + x ;
x 2 + 3x − 4
3x 2 −11x − 4 ;
x 2 −16
13)
a2 − 4a + 4 ;
4 − a2
b − 2a + b 2 − 2ab
b 3 − 2ab 2
[ − a− 2 ;
2+a
14)
a3 − a2b
;
2a2 − 5a − 2ab + 5b
x 2 − 6x + 9
9 − x2
2
[ a ;
2a − 5
15)
x 2 − 4x + 4 ;
3x 2 − 5x − 2
16)
a3 − 3a2 + 3a −1;
a2 − a
17)
x 3 −1 ;
x3 + x2 + x
18)
8x 3 − 4x 2y − 2xy 2 + y 3
;
4x 2 − y 2
19)
x 2 − 5x + 6 ;
x 2 − 4x + 4
x 2 − 2x − 8 ;
x 2 − 3x − 4
20)
x2 + x −2 ;
x 2 + 5x + 6
x 2 −121 ;
x 2 − x −110
21)
5a − 10b ;
4b 2 − a2
22)
5ax + 5x 2 − 2a − 2x ;
25x 2 −10x
23)
a6 − b 6 ;
a2 − b 2
y
[ ;
2
28ab 2c 2
7abc 2
70xy
35xy 2
25a2bx ;
10ab 4x 3
[
24x 2 y
40xy 2
[
4x 2 − 4 ;
2x + 2
x 2 − 2x +1
3 − 3x
a3 − a2 ;
a2 −1
ax 2 − 2ax + a
a − ax
4x 2 −1 ;
2x 2 + 3x − 2
x 2 − 4x + 3;
9 − x2
x 2 − 6x − 27
x2 − 9
x 2 + 2x + 1
ax + a − x −1
x 2 − 8x + 16 ;
x 2 −16
x 2 − 3x + 2
ax − bx − 2a + 2b
x2
2x − x 2
9b 2 − 6b + 1
9b 2 −1
x 3 + y3
x 3 + 3x 2y + 3xy 2 + y 3
4b ]
3]
4
3 ]
7xy
1]
y
5b ;
2ac 2
5a ;
2b 3x 2
11yz
;
3x
3x ]
5y
[ 2x −1;
x −4
2 (x − 1);
[ x −1 ;
3ax − 1
a2 ;
a+1
x−9 ]
x −3
[ − 1 + a;
a
− x −1 ;
x +3
x +1 ]
a −1
[ − 2 +2a;
a
x − 4;
x+4
[
−x ( x + 1)
x+4
− x −3 ]
x +3
[ x −2 ;
3x + 1
3b −1 ]
3b + 1
(a −1) 2 ;
x 2 − xy + y 2
(x + y)
[ x −3;
x −2
x + 2;
x +1
x 3 − 7x + 6
3x 2 − 3x
[ x −1 ;
x+3
x +11 ;
x + 10
[− 5 ;
a + 2b
a6 − b 6
a3 + b 3
2
x ]
3x − 4
x2 + x +2
5x 2 + 5x + 10
[ a + x;
5x
1]
5
(x + 3)(x − 2) ]
3x
x −a ]
a+ b ]
[ a 4 + a2b 2 + b 4 ;
a3 − b 3 ]
PRODOTTO E DIVISIONE DI FRAZIONI ALGEBRICHE
24)
7a3b 5 ⋅ 6a5bx 2 ;
84b 4 x 2
ab
25)
15abc 3 ⋅ 42a3 ;
10a4bc 63c 2
26)
50abc 6 : 21c 4a ;
40a2bc 28a3b
27)
27a2b : 45a3 ;
25x 2b 125abx 2
2ax ⋅ 3ay ⋅ b 2 ;
9by 4bx a2
28)
Esercizi
12a2b ⋅ 32x 3c 2b 4
40ab5 x 3
18a
7
a : a;
b b
a2 ⋅ b 2 ;
ab ab
8c 2 ]
15
[ a b;
2
33x 2 y 22x 2y 2
:
24xy 2 8xy 3
[ 1;
x ⋅x
2y y
1]
2
[ 5abc ;
3
a2 ⋅ a
b b2
10a2b 3 ⋅ 12b 2c 2
24abc 2 5a3b 4
B4.1
x ]
2−x
1+ b ]
b2
x −1 ]
a4 − b 4
a3 − ba2 + ab 2 − b 3
x −1 ]
a−b
3x + 1;
x+4
;
[ 2x − y;
x 3 − 3ax 2 + 3a2 x − a3
x 2 − 2ax + a2
1− x ]
2x + 1;
x+2
[ x − 1;
x
x 2 −1
x +1
− x −1 ]
3
[ 2b + 1;
x −1
a
3x 2 + 4x
9x 2 − 16
2]
y
1;
[ 3b;
1;
[ 1;
6
1 ]
a2
x2 ]
2y 2
a3 ]
b3
[
x (x + 1)
9x 2 −16 ⋅
9a2 + 18a
3ax + 4a 3ax + 6x + 4a + 8
[
9(3x − 4)
31)
2
x 3 − 6x 2 y + 12xy 2 − 8y 3
⋅ 2x + 4x + 3 2
x 2 + 3x − 2xy − 6y
x − 4xy + 4y
[ x +1 ]
32)
a − x ⋅ a2x 2 − a2x − 6a2
ax + 2a ax 2 + a3 − 2a2x
[ − x −3 ]
x−a
33)
4x 2 y 2 − 4xy + 1 x 3 + 2x 2 + x
⋅
2x 2y + 2xy − x − 1 2x 3y − x 2
[ x +1 ]
x
34)
a4 − 2a2b 2 + b 4 ⋅ a2 − 5a + 6 ;
2a + 2b − a2 − ab a2 − 2ab + b 2
35)
x 4 − 2x 2 : x 2 + x − x 2 −
x3 − x2
x 2 −1
36)
x 2 − x − 30 : x 2 −14x + 48 ;
x 2 + 8x + 15 x 2 − 5x − 24
37)
4ax + 2a − 2x 2 − x: 4a2 − x 2
2ax + a
4ax 2 + 4ax + a
[
38)
x 2 −10x + 25 : x 3 − 15x 2 + 75x −125
x 2 + 10x + 16
x 2 − 3x − 10
[
39)
x 3 − x 2 − x − 2 : x 3 −1
x 3 − 4x 2 + 4x x 2 − 3x + 2
[1 ]
x
40)
x 2 − 2x + 1 ⋅ x + 1;
x 2 − 1 x −1
41)
x 2y − xy 2 x 2 + xy
⋅
;
x 4 − x 2 y 2 xy − y 2
42)
9x 2 + 16 − 24x ⋅ 2x 3 − 3x 2
3x 2 − 4x
4x 3 + 9x − 12x 2
[ 3x − 4 ]
2x − 3
43)
9x 2 −1 ⋅
x-1
3x 2 − 2x −1 9x 2 − 6x +1
[
29)
x 2 + 2x +1 ⋅ 5x 2 ;
10x
x +1
30)
44)
45)
4 − x2 ⋅
4x
2x 2 + 4x 2x 2 − 8x + 8
a2 − a : a2 + a
a2 − 2a + 1 a2 −1
2
3x + 4
]
[ − (a + b)(a − 3);
x 2 − x − 6 ⋅ x2 + x − 2 [ x +
x 2 + 4x + 4 x 2 − 4x + 3
2;
1 ]
2−x
;
2;
(2x + 1) 2 ]
2a + x
1 ]
x +8
[1;
x 2 + x − 2 ⋅ x 2 − 4x + 4
x 2 − 4 x 2 − 4x + 3
1]
3x +1 ]
x −5
9x 2 −1 ⋅ 3x 2 + 5x − 2 [ 1;
x 2 − 3x −10 9x 2 − 6x +1
a2 : a2 − ab
a − b a2 − 2ab + b 2
a]
[ 1 ;
x−y
x 3 − 6x 2 + 12x − 8 :
4 − x2
x 3 − 4x
x 3 + 4x 2 + 4x
xy + bx − ay − ab ay + xy
⋅ 2
y 2 + by
2a − 2x 2
1]
x −2 ]
x −3
1 ]
3x −1
[ − ( x − 2) ]
[ −1 ]
2
46)
ax + 2bx − a − 2b : ax + 2bx + a + 2b
x2 − x
x2 + x
[1 ]
47)
1 − 3x + 3x 2 − x 3 ⋅ x + 2
x2 + x − 2
x 2 −1
[−
48)
x 3 + 4x 2 + x − 6 ⋅ x 2 + 2x − 3
x +2
x 2 + 6x + 9
[ (x −1) ]
49)
x 3 − 9x 2 + 27x − 27 : x 2 − 6x + 9
x 3 − 2x 2 − 3x
x3 − x
[ x −1 ]
(1 − x) ]
x +1
2
POTENZA DI FRAZIONI ALGEBRICHE
2
50)
 x +1 ;


 2a 
 2a + b 


 x −1 
51)
 − 3x  ;


 2a −1 
52)
− 1  ;


 2a 
53)
− a  ;
 
 b
54)
 x + y +1 

 ;
 2a − b 
55)
 x+ 5 

 ;
 a − 2b + 3c 
56)
 3 − x − 2y 

 ;
 2a 
2
2
 a+b 


 x 
3
 a−2 


 x −2 
5
 a −1 


 a 
2
2
2
2
+1;
[ x + 2x
4a2
3
[
2
[ − 13 ;
8a
4
 a − 3b 


 x 
5
[ − a5 ;
b
2
 4a 


 2x −1 
 − 2a 


 3x 2 
a2 − 4a + 4 ]
x 2 − 4x + 4
a4 − 4a3 + 6a2 − 4a + 1 ]
a4
x 2 + y 2 + 1 + 2xy + 2x + 2y
;
4a2 − 4ab + b 2
a2 − 6ab + 9b 2 ]
x2
[
x 2 + 2x 5 + 5
;
a2 + 4b 2 + 9c 2 − 4ab + 6ac − 12bc
64a3
]
8x 3 − 6x 2 + 12x −1
[
9 + x 2 + 4y 2 − 6x −12y + 4xy
;
4a2
4
B4.2
a3 + 3a2b + 3ab 2 + b 3 ]
x3
[
3
SOMMA E SOTTRAZIONE DI FRAZIONI ALGEBRICHE
Esercizi
9x 2
;
4a2 − 4a + 1
4a2 + 4ab + b 2 ]
x 2 − 2x + 1
16a4 ]
81x 8
2 (a − b)(a + b)
57)
a − 2b + 2a − b ;
a
b
xy − y x 2 + x xy − y
+
−
x
y
x
[
58)
3a − ab + a + b ;
a2
a
5 − x − 2x + 3
2x
x2
[ a + 3;
a
59)
a + b − c + b − c-a;
ab
bc
ac
60)
3a − 2b − 3a + 2b + b 3 -a2 ;
2a
3b
ab 2
61)
a + 1 − a2 -1 − a2 −1;
a
a2
a3
62)
2
2 − b −2a − 4b + 2 ;
a b
2b
63)
9a2 + 2b 2 + 6a − 2b − b + 2a;
18ab
24a
4b
64)
2 + y y 2 + 6y −4x
−
+
;
3xy 9xy 2 18x 2
65)
66)
y − x 2 y2 − x x − y
+
+
x 2y
xy 2
xy
ab
−x 2 + x-6 ]
2x 2
y 2 -x 2
]
x 2y 2
[ 0;
x + y x + 1 4y − 3
−
+
4xy 3x
12y
1 − 2ab − 3a + b + 1
2ab
8a2
8a + 1 − 3 + 6b + 1
4a
6b
1− a+ b + a + c
ab
ac
x − y
x−y x+y
[ a +31
a
4a − 3ab − b 2 ]
8a2b
[ − 12 ;
a
3b + 2a ]
12ab
[ b ;
36a
bc + b − c ]
bc
x2 + y2
]
(x − y)(x + y)
[ 2 ;
x +1
2]
5
4a ]
3 (a − b )
[ −x ;
x −1
67)
x + 1 − 3x 2 + 2x ;
1 − 3x 9x 2 −1 3x + 1
68)
3x + 1 + 2x − 3 ;
4x 2 −1 6x − 3
69)
a − 2a2 − 3a + 1;
a −1 a2 − 2a + 1
70)
3a + 2a − b 2 + ab + 4a2
a −b a+ b
a2 − b 2
[1 ]
71)
4a − b + 8ab + 7a + 5b
3a +12b a2 −16b 2 20b − 5a
2
2
[ −a − 64ab − 40b ]
15(a − 4b)(a + 4b)
72)
2 + 2x + 1 + x-3 ;
x 3 − x x2 + x 1 − x 2
73)
1 − a3 + a2 − a + 1
a +1
[ 2 ]
a +1
74)
1
1
1
+
−
a2 − 4ab + 4b 2 a2 − 4b 2 a2 + 4ab + 4b 2
2
− 4b 2 ]
[ a + 8ab
(a + 2b) 2 (a-2b)2
75)
(a + b)(a + c) (a + b)(b + c) (a + c)(b + c)
b−c
+
a+ 2 − 1
a2 a − 2
[−
2a + x − x − 2a − 2a2
a+ x
x − a a2 − x 2
c-a
[
8a2 − a-3 − 2a + 1
6a2 − 6 3-3a a + 1
a + 5b − a + 15b + 1
a − 5b a + 5b
+
[
−4
]
a2 (a − 2)
1 ;
3x +1
x (4x + 5)
3(2x − 1)(2x +1)
1
(a −1)
2
a2 + 75b 2
(a − 5b)(a + 5b)
[0 ]
−b ]
2 (a − b )
76)
4b 2 − 4ab + 2a + 4b − 4a + b
a2 − 2ab + b 2
a −b
2a − 2b
[
77)
5
x −2 + 3 − x + 2 − x +
]
x 2 + 2x − 3 x 2 + 3x x − x 2 x 3 + 2x 2 − 3x
[ x+4 ]
x (x+3)
78)
−2a2 −
4ab
+2
a2 + 2ab a2 + 4ab + 4b 2
[
79)
5 − xy
3xy − 19
3 − xy
+
−
3xy − 3 6x 2y 2 − 6 2xy + 2
[
80)
6
x
x −2
−
+
x 2 + 3x −10 x 2 − 3x + 2 x 2 + 4x − 5
[
81)
2 + 10x + 8
− 2x
+ 1− x
− x +1
x 3 + 3x 2 + 3x + 1 x 2 + 2x + 1 x + 1
82)


 a − b − a + b : −2a2 + 2a 


 a + b a − b   (a − b ) 2 a − b 


[
83)
a − 2 − a + 8 − 9a2 + 25 + 20a
3a − 5 5 + 3a
25 − 9a2
[
84)
a − 1 −
a
1 +
a − b b 2 − ab a − 2b 2b 2 − ab
[
85)
2a − 1 + a − 2 + a3 + 3a + 4
a2 + 3a + 2 a2 + a a3 + 3a2 + 2a
[1 ]
Esercizi
8b 2
(a + 2b)2
]
xy
]
6 (xy +1)
2
(x − 2)(x + 5)
−2( x + 3)
[
]
(x + 1) 2
B4.3
]
2 (a − b )
]
a+ b
9a2 + 55
(3a − 5)(3a + 5)
−1 ]
a − 2b
−2a ]
a− x
;
−a ]
3(a + 1)
;
[ x +1 ;
x (x −1)
a−b
−y
]
12x
2
2
2
[ 5ab − 6a 2b − 6a ;
6ab
[ 0;
x+y
x-y 2x − 2y
a + 2 + a − 2 − 2a +10
−
+
;
x 2 + x x 2 − x x 2 −1
3a − 3 5a − 5 15a −15
2a −1 − 2a − 6b + 2b −1
x + 2x ;
x −1 1 − x
a − b 3a − 3b b − a
x2 + x ]
y
;
]
]
(2b − x)(2b + x)(a + x) ]
(a − 2b) (2a2 − x 2 − 4b2 )
86)
 a + x + a + 2b  ⋅  5a2 − 3x 2 − 8b 2 − 2



 a − 2b a − x   2a2 − x 2 − 4b 2

[
87)
1− x
1+ x
+
− 2
x 2 + y 2 − 2xy x 2 + y 2 + 2xy x 2 − y 2
[
( x − y) 2 ( x + y ) 2
88)
−
10x + 22
x +1 − 2
−
x 3 + 4x 2 + x − 6 x 2 + 5x + 6 1 − x
[
(x − 1)(x + 2)
89)
a2 − b 2 − a + b + a3 − b 3 + 6ab 2
a2 + ab + b 2 a − b
a3 − b 3
90)
 5 − 3x
3x
+
− 1  ⋅  x − 5 + x + 19 
 2
 2x + 3x − 2 x 2 + 4x + 4 2x −1   x −1 2x − 2 x − 3 2x − 6 
Esercizi
[
B4.4
4y (y − x 2 )
x-3
]
−3ab
]
a2 + ab + b 2
[ 2 ]
x +2
]