Teoria dei sistemi e del controllo

Teoria dei sistemi e del controllo
LM in Ingegneria Informatica e Ingegneria Elettronica
Prova pratica del 18 settembre 2015
Avvio di Matlab e salvataggio della prova
La prova pratica viene svolta in ambiente Linux. Per accedere al programma Matlab e creare i propri file di
lavoro (che dovranno essere inclusi dentro la stessa directory cognome.nome) eseguire la seguente procedura:
1. Accedere al pc utilizzando le seguenti username e password (sono quelle per accedere alla propria e-mail
di ateneo):
Username: <numero di tessera dello studente>
Password: <password e-mail dello studente>
2. Sulla barra in alto, cliccare sull’icona del terminale
3. Da terminale creare la propria directory di lavoro (all’interno della propria home) ed entrarvi con i comandi
mkdir cognome.nome
cd cognome.nome
4. Aprire il programma Matlab con il comando matlab R2006b
5. Svolgere la prova chiamando il programma principale prova.m (nella prima riga del file prova.m specificare
il proprio nome e cognome, opportunamente commentati)
Consegna della prova. Al termine della prova, occorre salvare l’intera directory di lavoro (cognome.nome) su
un server FTP all’indirizzo 155.185.48.253, accessibile dal menu a tendina Places mediante l’opzione Connect
to server. Le opzioni da scegliere sono illustrate nella figura seguente (username: TSC, password: TSC). Per il
salvataggio della prova si hanno 5 minuti oltre la fine della stessa. Non verranno considerate le prove
consegnate tardivamente o non presenti sul server.
Menu per connettesi al server FTP
Terminale per aprire Matlab
Home contenente
la directory di lavoro
Finestra per la connessione al server FTP
Testo della prova
Si progetti con Matlab un m-file (prova.m) che (eventualmente con l’ausilio di altri m-file e di uno o più schemi
Simulink) svolga le operazioni richieste.
[Durata 90 min.]
Si consideri il modello dinamico di un Series Elastic Actuator (SEA, attuatore con elasticità in serie), di cui in figura è riportato uno
schema (l’attuatore è composto da un motore
il cui albero è connesso attraverso una molla
torsionale ad un link).
τ
q
θ
g
k
Considerando una disposizione orizzontale dell’attuatore, con il link che agisce verticalmente, il modello risulta
(
j q̈ = −tq̇ − k(q − θ) − m g l cos(q)
bθ̈
= −dθ̇ − k(θ − q) + τ
dove è stato indicato con j l’inerzia del link, con t il coefficiente di attrito viscoso, con k la costante elastica
della molla torsionale che collega l’albero motore al link, con b e d l’inerzia e l’attrito viscoso dell’albero motore;
q denota lo spostamento angolare del link e θ la posizione angolare dell’albero motore, mentre τ è la coppia
motrice che agisce sull’albero motore. Indicando con [x1 , x2 , x3 , x4 ]T = [q, θ, q̇, θ̇]T le variabili di stato del
sistema, e con u = τ l’ingresso di controllo, si ottiene il seguente sistema

ẋ1 = x3







 ẋ2 = x4
k
mgl
t

cos(x1 )
ẋ3 = − x3 − (x1 − x2 ) −


j
j
j




 ẋ4 = − d x4 − k (x2 − x1 ) + 1 u
b
b
b
1. Assumendo i seguenti valori numerici: b = 0.0575 kg m2 /rad, d = 2.5185 Kg m2 /(rad s), m = 0.15 kg,
l = 0.5 m, k = 200 Nm/rad, j = 0.2156 Kg m2 /rad, t = 1.2 Kg m2 /(rad s), g = 9.81 m/s2 , realizzare il
modello Simulink del sistema considerando come uscite le posizioni q e θ.
2. Simulare il comportamento del sistema considerando un ingresso costante τe = 0.2N m e le condizioni
iniziali x0 = xe + δx0 dove xe = [qe , θe , 0, 0]T , essendo qe = arccos(τe /(m g l)) e θe = qe + τe /k, e
δx0 = [0.05, 0.01, 0, 0]T (durata della simulazione 20s). Plottare in un’unica figura (2 subplot distinti) gli
andamenti di q e θ sovrapposti e l’andamento di q − θ.
3. Linearizzare il sistema nel punto di equilibrio xe che corrisponde all’ingresso τe e valutare la stabilità del
sistema linearizzato.
4. Per il sistema linearizzato progettare un regolatore ottimo che minimizzi il funzionale
Z
1 ∞
10x21 (t) + 10x22 (t) + u2 (t) dt
J=
2 t0
Simulare il comportamento del sistema retroazionato a partire dalle condizioni iniziali δx0 , supponendo
lo stato x completamente accessibile. Plottare in un’unica figura (2 subplot distinti) gli andamenti di q e
θ sovrapposti (subplot 1) e l’andamento dell’azione di controllo u(t) (subplot 2).
5. Supponendo di avere a disposizione la sola misura della deflessione dell’albero di trasmissione (σ = q − θ =
x1 − x2 ), che verrà assunta come nuova uscita del sistema linearizzato (occorre di conseguenza modificare
la matrice C), progettare uno stimatore asintotico dello stato da inserire nella retroazione, in modo
da utilizzare la stima dello stato anzichè lo stato vero (che in realtà risulta inaccessibile). Simulare il
comportamento del sistema con la retroazione dinamica dell’uscita a partire da δx0 e plottare in una
figura lo stato vero e quello stimato (si realizzino 4 sottofigure e in ciascuna di esse si consideri una diversa
componente dello stato) e in un’altra l’andamento di q, θ e di u (come già fatto al punto precedente).
6. Applicare il regolatore al sistema non lineare di partenza e simularne il comportamento a partire dalle
condizioni iniziali x0 . Plottare in un’unica figura (2 subplot distinti) gli andamenti di q e θ sovrapposti e
l’andamento di q − θ, come già fatto al punto 2.