CPM: Calcolo del Cammino Critico

Transcript

Supponiamo di conoscere per ogni attività A = (i,j) la sua durata tij
tij
i
j
Calcoliamo il tempo al più presto in cui può iniziare o finire una attività.
Supponiamo di dover calcolare il tempo al più presto in cui si possono
iniziare le attività che partono dal nodo evento i.
k1
k2
kn
j1
i
j2
jn
1
ET(k1) k
1
ET(k2) k2
ET(kn) kn
tk1i
tk2
i
j1
i
j2
tkn
i
jn
ET(k1) + tk1i
ET(k2) + tk2i
......
ET(i)=
ET(kn) + tkni
2
ET(k1) k
1
tk1i
ET(k2) k2
tk2
i
j1
i
j2
ET(i)
ET(kn) kn
tkn
i
jn
ET(k1) + tk1i
ET(k2) + tk2i
......
ET(i)= MAX
ET(kn) + tkni
NOTA: ET(1)= 0
3
ET(k1) k
1
ET(k2) k2
tk1i
tk2
i
j1
i
j2
ET(i)
ET(kn) kn
tkn
i
jn
ET (i )  max ET (k )  t (k , i )
kP (i )
i=1,...,n
4
Calcoliamo il tempo massimo ammissibile entro il quale si può iniziare o finire
una attività. Un ritardo oltre questo tempo in un qualsiasi nodo-evento può
provocare un analogo ritardo alla fine del progetto. Supponiamo di dover calcolare
il tempo massimo ammissibile in corrispondenza del nodo evento i.
k1
k2
kn
j1
i
j2
jn
5
tij1
k1
k2
i
tij2
LT( j1)
j1
j2
LT( j2)
tijn
kn
jn LT( jn)
LT( j1) - tij1
LT( j2) - tij2
......
LT(i)=
LT( jn) - tijn
6
tij1
k1
i
k2
LT(i)
kn
......
LT(i)=MIN
LT( j1) - tij1
LT( j2) - tij2
LT( jn) - tijn
tij2
LT( j1)
j1
j2
LT( j2)
tijn
jn LT( jn)
NOTA: LT(n)= ET(n)
7
tij1
k1
k2
i
LT(i)
kn
tij2
LT( j1)
j1
j2
tijn
jn LT( jn)
LT (i )  min LT ( j )  t (i, j )
jS (i )
LT( j2)
i=1,...,n
8
In un qualsiasi progetto alcune attività sono flessibili, relativamente a quando si
Possono incominciare e finire, altre invece non sono flessibili, ma tali che se si
Ritarda una qualsiasi di esse si ritarderà l’intero progetto. Queste sono le attività
critiche.
Il cammino critico:
LA DURATA PIU’ LUNGA DELLE ATTIVITA’ ATTRAVERSO IL PROGETTO
In un progetto c’è sempre un cammino critico ed a volte ve n’è più di uno
9
Il cammino critico è quel cammino nel quale le attività non ammettono scorrimenti
di tempo (fluttuazioni di tempo)
Il flottante totale di una attività:
È dato dalla differenza fra il tempo massimo ammissibile di fine attività e il tempo
minimo possibile di inizio dell’attività, meno la durata dell’attività stessa.
tij
i
j
TF(i,j) = LT(j) – ET(i) - tij
10
Una attività A=(i,j) è detta critica se TF(i,j) = 0
Esempio: Sia dato il grafo delle seguenti attività con le rispettive durate
1
1
2
3
1
4
5
4
6
3
3
5
3
1
Nodo
ET(i)
LT(i)
1
0
0
2
1
2
3
4
4
4
5
5
5
8
8
6
11
11
11
1
1
2
3
1
4
3
5
4
3
3
5
1
6
Nodo
ET(i)
LT(i)
1
0
0
2
1
2
3
4
4
4
5
5
5
8
8
6
11
11
Attività
TF(i,j)
(1,2)
1
(1,3)
0
(1,5)
7
(2,4)
1
(3,4)
0
(4,5)
0
(4,6)
1
(5,6)
0
12
Il cammino critico è quel cammino formato da tutte e sole le attività critiche
Attività
TF(i,j)
(1,2)
1
(1,3)
0
(1,5)
7
(2,4)
1
(3,4)
0
(4,5)
0
(4,6)
1
(5,6)
0
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Attività
TF(i,j)
(1,2)
1
(1,3)
0
(1,5)
7
(2,4)
1
(3,4)
0
(4,5)
0
(4,6)
1
(5,6)
0
1
1
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Attività
TF(i,j)
(1,2)
1
(1,3)
0
(1,5)
7
(2,4)
1
(3,4)
0
(4,5)
0
(4,6)
1
(5,6)
0
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1
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3
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Attività
TF(i,j)
(1,2)
1
(1,3)
0
(1,5)
7
(2,4)
1
(3,4)
0
(4,5)
0
(4,6)
1
(5,6)
0
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Attività
TF(i,j)
(1,2)
1
(1,3)
0
(1,5)
7
(2,4)
1
(3,4)
0
(4,5)
0
(4,6)
1
(5,6)
0
1
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5
4
6
3
5
3
1
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Il problema di determinare il cammino critico può essere formulato anche come un
problema di programmazione lineare nel seguente modo:
xj = tempo al quale si “incontra” il nodo j durante il progetto;
F = nodo che rappresenta la fine del progetto;
min x F  x1
x j  x i  t (i, j )
(i, j)  A
x j qualsiasi
con A l’insieme degli archi o attività del grafo.
18
PERT
19
PERT
In molti casi non si può stabilire con precisione la data esatta di fine di un progetto,
però si può stabilire il tempo più probabile nel quale il lavoro può finire. Il metodo
PERT (Project Evaluation and Review Technique) ha avuto successo per la forma
particolare di calcolo della durata (incognita o aleatoria) di ogni singola attività.
Questo sistema consiste nello stimare, per ogni attività:
1. la durata più probabile (m);
2. la durata pessimistica (b);
3. la durata ottimistica (a).
20
PERT
La Durata Media (DE)
DE = (a + 4m + b)/6
La Durata Media serve solo ad indicare la durata di una attività con la maggiore
approssimazione possibile. Questa incertezza può essere però misurata attraverso
il calcolo della variabilità o varianza della durata della singola attività:
V = (b - a)2/36
21
PERT
Una volta calcolate le durate medie DE di ciascuna attività possiamo utilizzare
tali stime come pesi da associare agli archi del grafo G del progetto e calcorare, di
conseguenza, il cammino critico su G col metodo CPM.
Pertanto nel metodo PERT, per calcolare la durata totale del progetto
si sommano tutte le durate (stimate) delle attività critiche
La varianza totate del progetto, ossia la variabilità relativa al tempo
totale di esecuzione dell’intero progetto sarà la “somma” delle varianze
delle attività critiche.
22

CPM: Calcolo del Cammino Critico

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